tóm tắt công thức toán THPT

tóm tắt công thức toán THPT tham khảo

BÍ KÍP ÔN THI QUỐC GIA MÔN TOÁN Nếu GV Đoàn Quốc Đông phương trình có nghiệm: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH I.Các đẳng thức đáng nhớ:  Nếu phương trình có nghiệm: II.Phương trình bậc hai: 1.Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai:  : Phương trình vơ nghiệm  :  Phương trình 5.Dấu nghiệm số: Phương trình có nghiệm trái dấu có nghiệm kép:  Phương trình có nghiệm dương phân biệt  Phương trình có nghiệm âm phân biệt : Phương trình có nghiệm phân biệt: ; 2.Cơng thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai: Nếu “b chẵn” (ví dụ cơng thức nghiệm thu gọn ) ta dùng III.Dấu đa thức:  1.Dấu nhị thức bậc nhất: : Phương trình vơ nghiệm  : Phương trình có nghiệm kép: trái dấu a0  : Phương trình có nghiệm phân biệt: “Phải cùng, trái trái” 2.Dấu tam thức bậc hai: ;  Chú ý: với hai nghiệm dấu a phương trình bậc 2: 3.Định lí Viet: Nếu phương trình bậc nghiệm dấu a có dấu a dấu a thì: dấu a trái dấu a  “Tổng bà, tích ca” 4.Các trường hợp đặc biệt phương trình bậc 2: “Trong trái, ngồi cùng” 3.Dấu đa thức bậc 3: Bắt đầu từ bên phải dấu với hệ số a số mũ cao nhất, qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép khơng đổi dấu IV.Điều kiện để tam thức khơng đổi dấu   2.Bất phương trình: Cho tam thức bậc hai:  V.Phương trình bất phương trình chứa trị tuyệt đối  1.Phương trình :    VII LƯỢNG GIÁC 1.Định nghĩa giá trị lượng giác:  2.Bất phương trình:   2.Các cơng thức lượng giác bản:  3.Các giá trị lượng giác đặc biệt: VI.Phương trình bất phương trình chứa ẩn dấu bậc hai 1.Phương trình:  Hai cung đối nhau:  Hai cung phụ nhau:  Hai cung và 4.Cơng thức cộng: 5.Cơng thức nhân đơi: Hệ quả: 6.Cơng thức hạ bậc: : : Hệ quả: 7.Cơng thức nhân ba: 8.Cơng thức biến đổi tích thành tổng:  Hai cung 9.Cơng thức biến đổi tổng thành tích: “Sin góc lớn = cos góc nhỏ - Cos góc lớn = trừ sin góc nhỏ” 11.Cơng thức tính 10.Cung liên kết: Sin – bù; cos – đối; phụ – chéo; tan, cot  Hai cung bù nhau: theo Nếu đặt 12.Một số cơng thức khác:  thì: : TH2: Phương trình có chứa ẩn mẫu Điều kiện: mẫu  •   •   • • b) Cách chuyển hàm:  13.Phương trình lượng giác c) Cách loại dấu trừ: Đặc biệt: Ngoại lệ: 14 Phương trình bậc hai theo hàm số lượng giác: Là phương trình có dạng Đặc biệt:  Đặt: Điều kiện Khơng có điều kiện t Các cơng thức cần nhớ: Lưu ý: a) Khi giải phương trình lượng giác ta phải đặt điều kiện gặp hai trường hợp sau: TH1: Phương trình có chứa hàm số tang cotang (trừ phương trình bậc bậc hai theo hàm số tang cotang) • Phương trình có chứa : Điều  kiện  15 Phương trình bậc đối vối sinx cosx : Là phương trình có • dạng Phương trình có chứa : Điều Chia vế phương trình cho • Phương trình có chứa kiện : Điều kiện ta được: Vì nên tồn cung cho Khi phương trình trở thành:  Điều kiện có VIII.Cơng thức tính đạo hàm: nghiệm:  Cơng thức cần nhớ: 16.Phương trình bậc hai: phương trình có dạng (*) TH1: vào (*) TH2: Chia vế (*) cho ta phương trình bậc theo Lưu ý: Phương trình với đưa dạng (*) cách: 17 Phương trình đối xứng phản xứng : phương trình có dạng  Đặt :  Điều kiện “anh bạn ăn cơm chén”  Điều IX.Các dạng tốn hàm số: 1.Các bước chung khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số:(6 dấu *) kiện ∗ Tập xác định: ∗ n g h i ệ m Giới hạn (và tiệm cận hàm phân thức ) ∗ Đạo hàm:  p h â n Đối với hàm bậc 3, bậc 4: Giải phương trình tìm nghiệm  Đối với hàm phân thức b i ệ t : c ó (hoặc n g h i ệ m ) ∗ Bảng biến thiên: Nhận xét chiều biến thiên cực trị ∗ Bảng giá trị:(5 điểm hàm bậc 3, bậc 4; điểm hàm phân thức ∗ k é p ) Vẽ đồ thị: v Các dạng đồ thị hàm số bậc ba n g h i ệ m Số n g h i ệ m Các dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương c ủ a p h n g c ó n g h i ệ m t r ì n h p h â n c ó b i ệ t  Hàm số đồng biến khoảng xác định  (Khơng có dấu “=”) Hàm số nghịch biến khoảng xác định c ó (Khơng có dấu “=”) 3.Cực trị hàm số: n g h i ệ m d u y  Hàm số đạt cực trị  Hàm số đạt cực đại  Hàm số đạt cực tiểu n h ấ t Các dạng đồ thị hàm số phân thức a.Hàm bậc 3:  Hàm số có cực trị (cực đại cực tiểu) trình có phương nghiệm phân biệt 2.Tìm điều kiện tham số m để hàm số đơn điệu khoảng xác định:  a.Hàm bậc 3: Tập xác định Hàm vơ Đạo hàm  Hàm số khơng có cực trị nghiệm Phương trình có nghiệm kép tam thức bậc số đồng biến b.Hàm bậc trùng phương:  Hàm số nghịch biến Ta có: b.Hàm biến: Tập xác định  Đạo hàm có dấu phụ thuộc vào dấu tử Hàm số có cực trị có nghiệm phân biệt Phương trình Phương trình (2) có nghiệm phân biệt nghiệm phân biệt khác  Lưu ý : Trục hồnh có phương trình 7.Dùng đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình Hàm số có cực trị Phương trình Cho đồ thị có nghiệm Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số Phương trình (2) vơ nghiệm có nghiệm phương trình nghiệm kép 4.Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: a.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số  Biến  (*) Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm hai đồ  thị : Bảng kết : đổi phương trình dạng xác định đoạn  Hàm số liên tục đoạn  Tính đạo hàm  Giải   Số phương trình Tính , So sánh kết luận Tìm nghiệm , … Cho hàm số Tìm tập xác định Cho hai đồ thị Lưu ý: Ta phải tìm đại lượng: Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến biết hồnh độ tiếp điểm  Phương trình hồnh độ giao điểm  : (*) Giải phương trình (*) ta hồnh độ giao điểm, vào hàm số tung độ giao điểm 6.Tìm điều kiện tham số m để hai đường cong cắt với số điểm cho trước Cho hai đồ thị Phương trình hồnh độ giao điểm :   Tính đạo hàm  Thay vào tính  Thay vào tính  Phương trình tiếp tuyến: Dạng 2: Viết phương tiếp tuyến biết tung độ tiếp điểm  là:  có đồ thị đường cong (C) Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm  Tính đạo hàm  Lập bảng biến thiên  Dựa vào bảng biến thiên, so sánh kết luận 5.Tìm giao điểm hai đường  n g h i ệ m … … … … Lưu ý: Nếu tốn u cầu tìm giá trị m để phương trình có nghiệm, nghiệm,… ta khơng cần lập bảng kết mà cần rõ trường hợp thỏa đề (Dựa vào đồ thị ta thấy (C) (d) cắt điểm, điểm …) 8.Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: b.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số khoảng nửa khoảng  Số gi a o ể m (*) cắt điểm phân biệt phương trình (*) có  Giải phương trình  Thay  Phương trình tiếp tuyến: vào tìm tính Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc  Giả sử tiếp điểm  Giải phương trình  Thay 7)  Lưu ý: tìm vào (đổi số) ta tìm 8) Phương trình tiếp tuyến: 9)  Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng  Nếu 10) Đặc biệt: tiếp tuyến vng góc với đường thẳng Các tính chất quan trọng:  Nếu  Nếu XI.Phương trình bất phương trình mũ: 1.Phương trình mũ: X.Các cơng thức lũy thừa lơgarit: 1.Cơng thức lũy thừa:    2.Bất phương trình mũ:  nếu  nếu Các tính chất quan trọng:  Nếu  Nếu Cơng thức lơgarit:   XII.Phương trình bất phương trình lơgarit: 1.Phương trình lơgarit: 1)  2)  3) Đặc biệt:  2.Bất phương trình lơgarit:  4) 5)  (lơgarit tích tổng lơgarit) 6) (lơgarit thương  hiệu lơgarit)   Phương pháp đổi biến số dạng 1: Một số cách đổi biến thường gặp: Lưu ý đặt điều kiện cho phương trình, bất phương trình mũ lơgarit:   Khơng có điều kiện Đặt   Điều kiện:  Đặt  Đặt Điều kiện: Đặt  Đặt  Đặt Khơng có điều kiện  Đặt  Đặt XIII.Cơng thức ngun hàm-tích phân  Cơng thức ngun hàm: Ngun hàm Ngun hàm mở rộng    Nếu biểu thức dấu tích phân có chứa  Khi tính tích phân dạng đặt : o Nếu m n chẵn ta dùng cơng thức hạ bậc o Nếu m chẵn, n lẻ ta đặt o Nếu m lẻ, n chẵn ta đặt Phương pháp đổi biến số dạng 2:  Hàm có chứa đặt  Hàm có chứa đặt  Hàm có chứa hay đặt Tích phân phần: Thứ thự ưu tiên:  Phương pháp tính tích phân hàm hữu tỉ:  10 Bậc thức tử cho mẫu Bậc : Chia đa Chú ý: Giả thiết tốn cho hai dạng sau:   vng góc với Ta có: Cơ sở định lý: “Hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba đó” 3)  Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy: đường cao mặt bên đường cao hình chóp Chú ý:  Cơ sở định lý: “Hai mặt phẳng vng góc với nhau, nếuVIII Ứng dụng cơng thức thể tích để tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng kia”  Đường cao SH hình chóp nên vẽ SH thẳng đứng  Thường tốn cho “ tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy” ta trình bày sau: - Gọi H trung điểm AB - Vì đường cao Ta có: Tương tự: SH đường cao Ta có: VII Trong đó: Tỉ số thể tích khối chóp: Cho khối chóp tam giác S.ABC Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy điểm A’, B’, C’ khác với S IX Hình lăng trụ - khối lăng trụ: Thể tích khối lăng trụ diện tích đa giác đáy nhân với chiều cao Ta có: dùng cho khối chóp tam giác) Các trường hợp đặc biệt: (Cơng thức  17 Tính chất hình lăng trụ:  Các cạnh bên song song  Các mặt bên mặt chéo hình bình hành  Hai đáy nằm hai mặt phẳng song song, hai đa giác nhau, có cạnh tương ứng song song 1) Lăng trụ đứng: Là lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy Đối với hình lăng trụ đứng:   2) 3) Các cạnh bên đường cao Các mặt bên hình chữ nhật nằm mặt phẳng vng góc với đáy Lăng trụ đều: Là lăng trụ đứng có đáy đa giác Đối với lăng trụ đều, mặt bên hình chữ nhật Hình hộp:  Hình hộp hình lăng trụ có đáy hình bình hành  Hình hộp đứng hình hộp có cạnh bên vng góc với đáy  Hình hộp chữ nhật hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật  Thể tích hình hộp chữ nhật (a, b, c: kích thước) Hình lập phương hình hộp chữ nhật có tất cạnh Thể tích hình lập phương X XI XII 1) Diện tích mặt cầu thể tích khối cầu:  Diện tích mặt cầu:  Thể tích khối cầu: Diện  Thể tích khối trụ: chiều cao) 2) XIII  Hai cạnh AD BC vạch hai hình tròn nhau, hình tạo thành mặt trụ hai hình tròn gọi hình trụ Hai hình tròn gọi hai đáy hình trụ  Cạnh CD gọi đường sinh hình trụ  Cạnh AB gọi trục hình trụ  Khoảng cách hai đáy gọi chiều cao hình trụ  Hình trụ với phần khơng gian bên gọi khối trụ Diện tích mặt trụ thể tích khối trụ: Diện tích xung quanh mặt trụ: độ dài đường sinh, phần hình trụ: ( : Mặt nón – Hình nón - Khối nón: Định nghĩa: Cho tam giác OIM vng I quay quanh cạnh IO cạnh OM vạch thành mặt tròn xoay gọi mặt nón Cạnh IM vạch hình tròn, hình tạo thành mặt nón hình tròn gọi hình nón Hình tròn gọi mặt đáy hình nón  Cạnh OM gọi đường sinh hình nón  Cạnh OI gọi trục hình nón Độ dài đoạn OI gọi chiều cao hình nón  Điểm O gọi đỉnh hình nón Diện tích mặt nón thể tích khối nón:  Diện tích xung quanh mặt nón:  độ dài đường sinh, Diện tích   tồn  Mặt trụ – Hình trụ - Khối trụ: 1) Định nghĩa: Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh cạnh AB cạnh CD vạch thành mặt tròn xoay gọi mặt trụ 2) tích (a: độ dài cạnh) Mặt cầu – Khối cầu: 1) Định nghĩa: Mặt cầu tâm I bán kính R ký hiệu S(I;R) tập hợp tất điểm khơng gian cách điểm I cố định khoảng R khơng đổi Mặt cầu với phần khơng gian bên gọi khối cầu 2)  ( : : bán kính đáy ) 18 tồn Thể tích khối nón: : chiều cao) ( : bán kính đáy ) phần hình : nón: ( Cách xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp số hình chóp thường gặp Hình 1: Hình chóp S.ABC có Cách đặc biệt vng B, Hình 3: Hình chóp S.ABC có tam giác đều, Gọi I trung điểm SC vng A (1) Gọi J trung điểm BC vng B Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp (2) Qua O dựng đường thẳng Từ (1) (2) Suy ra: I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp vng góc với mp(ABC) trục đường tròn ngoại tiếp Trong mp(SAJ), dựng đường thẳng d trung trực SA Bán kính: Hình 2: Hình chóp S.ABC có vng A, Gọi Ta có: Suy ra: I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bán kính: Hình 4: Hình chóp S.ABC Gọi O trung điểm BC tiếp O tâm đường tròn ngoại Qua O dựng đường thẳng vng góc với mp(ABC) trục đường tròn ngoại tiếp Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d trung trực SA Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi trục đường tròn ngoại tiếp Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d trung trực SA Ta có: Gọi Suy ra: I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Ta có: Suy ra: I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bán kính: Bán kính: 19 SO Cách tính bán kính: (Vì tam giác vng có chung góc S) (Vì tam giác vng có chung góc S) Hình 5: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng (hoặc hình chữ nhật), Cách đặc biệt HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN OXYZ I.Hệ tọa độ Oxyz: Gồm trục Ox,Oy,Oz đơi vng góc có véctơ đơn vị là: Gọi I trung điểm SC vng A II.Tọa độ vectơ: (1) Đặc biệt: vng B vng D III.Tọa độ điểm: y : tung độ, z : cao độ) Đặc biệt: (2) (3) Từ (1), (2) (3) Suy ra: I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bán kính: Hình 6: Hình chóp S.ABCD  M ∈ (Oxy) ⇔  M ∈ (Oyz) ⇔  M ∈ (Oxz) ⇔  M ∈ Ox ⇔  M ∈ Oy ⇔  M ∈ Oz ⇔ Hình chiếu vng góc điểm Gọi O giao điểm đường chéo SO trục đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d trung trực SA Gọi  Trục Ox là:  Trục Oy là:  Trục Oz là:  mp(Oxy) là:  mp(Oxz) là:  mp(Oyz) là: (x : hồnh độ, lên: Ta có: IV.Các cơng thức tọa độ: Nếu Suy ra: I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp  Bán kính: Cách tính bán kính:  20 thì:   Định nghĩa: Cho hai vectơ Tích có hướng “Hồnh hồnh, tung tung, cao cao”  hai vectơ sau: ⇔ tồn số k phương vectơ xác định cho:  Quy tắc: 23-31-12 Cách tính tích có hướng hai vectơ máy tính 1.Máy 570VN PLUS  Tọa độ vectơ  ON MODE 8 1: Nhập tọa độ Vectơ    Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB: Toạ độ trọng tâm G AC MODE 1: Nhập tọa độ Vectơ tam giác ABC:  AC SHIFT X SHIFT = 2.Máy 570ES PLUS  ON V.Tích vơ hướng hai vectơ:  MODE  Biểu thức tọa độ tích vơ hướng: Nếu thì: nhân hồnh+ tung nhân tung + cao nhân cao” AC SHIFT Độ  dài vectơ: Nếu 1: Nhập tọa độ Vectơ “Hồnh Ứng dụng:  1: Nhập tọa độ Vectơ  AC SHIFT X SHIFT = 3.Máy 570MS  Độ dài đoạn thẳng AB:  Góc hai vectơ:  ON SHIFT   AC Điều kiện hai vectơ vng góc: 3: Nhập tọa độ Vectơ SHIFT VI.Tích có hướng hai vectơ:  AC SHIFT 3: Nhập tọa độ Vectơ 21 X 3 SHIFT =  Tính chất tích có hướng:  Nếu  Hai vectơ  Đặc biệt: Các dạng tốn viết phương trình mặt phẳng: Để viết phương trình mặt phương với phẳng (α) ta cần xác định điểm thuộc (α) VTPT Dạng  Ba vectơ , 1: (α ) qua điểm có VTPT đồng phẳng với : ⇔ (  (α): gọi tích hỗn tạp ba vectơ) Dạng 2: (α) qua điểm : Ứng dụng tích có hướng:  A, B, C thẳng hàng  A, B, C, D đồng phẳng Suy A, B, C, D tạo thành tứ diện (khơng đồng phẳng)  Khi VTPT (α)  Diện tích hình bình hành ABCD:   Diện tích tam giác ABC: Thể tích khối hộp ABCD.A′B′C′D′: Dạng 3: (α) qua điểm phẳng (β): Ax + By + Cz + D = 0: có cặp VTCP song song với mặt  Khi Dạng 4: (α) qua điểm khơng thẳng hàng A, B, C:  Thể tích tứ diện ABCD: VII.Phương trình tổng qt mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng qua có VTPT là:  Khi VTPT (α) Dạng 5: (α) mặt phẳng trung trực MN:    Nếu (α) có phương trình (α) có VTPT Hai mặt phẳng song song với VTPT mặt VTPT mặt kia, hai mặt phẳng vng góc VTPT mặt VTCP mặt Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng : 22 (α): Dạng 6: (α) qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng cắt (β), (γ):  Khi VTPT (α) Dạng 7: (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm H ((α) tiếp diện mặt cầu (S) H): Dạng 12: (α) chứa đường thẳng d1 song song với đường thẳng d (d1, d2 chéo nhau): – Tìm tâm I mặt cầu (S) – Dạng 8: (α) song song với mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S): Dạng 13: (α) chứa đường thẳng d điểm M khơng nằm d: – Vì ( α) song song với nên phương trình mp(α) có - Trên d lấy điểm A dạng – Vì ( Dạng 14: (α) chứa đường thẳng cắt d1, d2: α) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên Giải phương trình ta tìm Dạng 9: (α) qua điểm thẳng AB: vng góc với đường – Lấy điểm M thuộc d1 d2 ⇒ M ∈ (α) – Dạng 15: (α) chứa đường thẳng song song d1, d2:  Khi VTPT (α) Dạng 10: (α) qua điểm thẳng vng góc với đường – Lấy M1 thuộc d1 M2 thuộc d2 – Dạng 16: (α) chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (β): :  Khi VTPT (α) Dạng 11: (α) qua điểm M song song với hai đường thẳng d1, d2 chéo (hoặc cắt nhau): 23 – Lấy điểm M thuộc d ⇒ M ∈ (α) – VIII.Phương trình mặt cầu:  Dạng 1: Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R:  Dạng 2: Phương trình với điều – Bán kính: kiện IX.Phương trình đường thẳng: Cho đường thẳng d qua điểm phương trình mặt cầu tâm I(a; b; có VTCP d có c) bán kính R =  Điều kiện mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:  Các dạng tốn viết phương trình mặt cầu: Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I bán kính R mặt cầu Dạng 1: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) bán kính R: Phương trình tham số là:  Phương trình là: (nếu a, b, c khác 0) Các dạng tốn viết phương trình đường thẳng: Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định điểm thuộc d VTCP (S): Dạng 2: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) qua điểm M: Dạng 1: d qua điểm – Bán kính R = IM Dạng 3: Mặt cầu (S) có đường kính AB: – Tâm I trung điểm có VTCP : Dạng 2: d qua hai điểm A, B: đoạn thẳng AB: Dạng 3: d qua điểm thẳng ∆ cho trước: song song với đường – Bán kính R = IA = Dạng 4: Mặt cầu (S) qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD): – Giả sử phương trình mặt cầu có dạng: Dạng 4: d qua điểm (P) cho trước: vng góc với mặt phẳng (S) – Thay toạ độ điểm A, B, C, D vào (S), ta phương trình – Giải hệ phương trình đó, ta tìm a, b, c, d ⇒ Phương trình mặt cầu (S) Dạng 5: Mặt cầu tâm I(a; b; c) tiếp xúc với mặt phẳng (P): : Dạng 5: d giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q): 24 – Tìm toạ độ điểm M ∈ d: cách giải hệ phương trình d qua hình chiếu H đường thẳng ∆ (với việc chọn giá trị cho ẩn, thường cho Dạng 10: d qua điểm d2: cắt hai đường thẳng d1, ) – Dạng 6: d qua điểm thẳng d1, d2: vng góc với hai đường – Gọi (P) = , (Q) = – Khi d = (P) ∩ (Q) Do đó, VTCP d Dạng 11: d song song với ∆ cắt hai đường thẳng d1, d2: Dạng 7: d qua M, song song (hoặc nằm mp(P)) vng góc với đường thằng ∆: – Gọi (P) mặt phẳng chứa d1 song song ∆: – Gọi (Q) mặt phẳng chứa d2 song song ∆: Dạng 8: d nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng d1, d2: – – – Khi d = (P) ∩ (Q) Dạng 12: d đường vng góc chung hai đường thẳng Tìm giao điểm A = d1 ∩ (P), B = d2 ∩ (P) Khi d đường thẳng AB Dạng 9: d qua điểm thẳng ∆: , vng góc cắt đường 25 chéo nhau: – • – Giả sử d cắt – Vì – Giải hệ phương trình: từ suy tọa độ I, J – d đường thẳng qua điểm I, J I, d cắt  J Khi đó: Nếu tốn u cầu tìm M’ đối xứng với M qua mp(P), ta có H trung điểm MM’ nên: Tìm hình chiếu H điểm M đường thẳng d: , – ta tìm Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vng góc với d Dạng 13: d hình chiếu đường thẳng ∆ lên mặt phẳng (P): cách: – • – Khi đó: Nếu tốn u cầu tìm M’ đối xứng với M qua d, ta có H trung điểm MM’ nên: Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa ∆ vng góc với mặt phẳng (P) cách: XI.Vị trí tương đối hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng – Khi d = (P) ∩ (Q) Dạng 14: d qua điểm M, vng góc với d1 cắt d2: – – –  (P), (Q) cắt ⇔  (P) // (Q) ⇔  (P) ≡ (Q) ⇔ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vng góc với d1 Đặc biệt: (P) ⊥ (Q) ⇔ Tìm giao điểm N (P) d2 Khi d đường thằng qua điểm MN X.Cách tìm hình chiếu, điểm đối xứng  Tìm hình chiếu H điểm M mặt phẳng (P): XII.Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: Cho mặt phẳng (P): đường thẳng d: Thay phương trình đường thẳng d vào phương trình mặt phẳng (P) ta phương trình bậc ẩn t: – Viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc với    mp(P) cách: 26 (*) TH1: (*) có nghiệm d cắt (P) TH2: (*) vơ nghiệm d // (P) TH3: (*) có vơ số nghiệm d ⊂ (P) phương Đặc biệt: XIII.Vị trí tương đối hai đường thẳng:  Cho hai đường thẳng qua  Muốn tìm tọa độ điểm H ta tìm hình chiếu I mp(α) có VTCP  qua (α) (S) có điểm chung H Khi ta nói (α) tiếp xúc với (S) H H gọi tiếp điểm, (P) gọi tiếp diện (S) H có VTCP (α) (S) cắt theo giao tuyến đường tròn (C) Tâm H đường tròn (C) hình chiếu I mp(α), bán kính (C) với  chéo  cắt phương trình  XV.Khoảng cách:  Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = hệ  Khoảng cách hai mặt phẳng song song: Bằng khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đến mặt phẳng  Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Bằng khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng  Khoảng cách từ điểm M đến đường thằng có nghiệm //  Đặc biệt: XIV.Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu: Cho mặt phẳng (α) mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R  (α) (S) khơng có điểm chung :  Cách 1: Giả sử đường thẳng có vectơ phương 27 qua Ta có:  Cách 2: – Viết phương trình mặt phẳng song song với chứa cách: – Tìm tọa độ hình chiếu H M đường thẳng – – Khi  Khoảng cách hai đường thẳng song song Cho hai vectơ : Bằng khoảng cách từ điểm tùy ý đường thẳng đến đường thẳng  Khoảng cách hai đường thẳng chéo Khi đó: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY I.Các cơng thức tọa độ:  Hai vectơ nhau: hồnh, tung tung”  Tọa độ  Cơng  I trung điểm AB   G trọng tâm ABC Tích vơ hướng hai vectơ: thức “hồnh : tính tọa độ vectơ: :  Cách 1: Giả sử đường thẳng có vectơ phương thẳng phương qua điểm qua điểm , đường có vectơ  Ta có:   “hồnh x hồnh + tung x tung” kiện vng  Điều  Độ dài vectơ - khoảng cách hai điểm: góc Cách 2: Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách đường thẳng đến mặt phẳng song song với chứa đường thẳng   28 hai vectơ:  Góc hai vectơ: 3.Phương trình đường thẳng qua điểm có hệ số góc cho trước: Phương trình đường thẳng d qua điểm là:  , có hệ số góc k Cơng thức tính diện tích tam giác: 4.Các dạng tốn viết phương trình đường thẳng:  Để lập phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng ∆ ta cần xác định điểm ∈ ∆ VTCP II.Phương trình đường thẳng mặt phẳng 1.Phương trình tham số, phương trình tắc đường thẳng: Đường thẳng d qua điểm vectơ phương có: , nhận PTTS ∆: làm    Phương trình tham số là: Phương trình ∆ tắc: PTCT ∆: Để lập phương trình tổng qt đường thẳng ∆ ta cần xác ∈ ∆ VTPT định điểm ∆ 2.Phương trình tổng qt đường thẳng:  Phương trình tổng qt đường thẳng d qua điểm , nhận PTTQ ∆: Dạng 1: Phương trình đường thẳng d qua hai điểm A, B: làm vectơ pháp tuyến là:  Nếu đường thẳng d có phương trình tổng qt Dạng 2: Viết phương trình đường cao AH tam giác ABC , vectơ pháp tuyến (d)  Dạng 3: Viết phương trình đường trung tuyến AM tam giác ABC Nếu đường thẳng d có vectơ pháp tuyến d có vectơ phương  hay Nếu đường thẳng d có vectơ phương d có vectơ pháp tuyến Vì M trung điểm BC nên Dạng 4: Viết phương trình đường trung trực AB hay Gọi M trung điểm AB  Cho đường thẳng d có phương trình tổng qt :  Nếu d’ song song với d d’ có phương trình V.Vị trí tương đối hai đường thẳng:  Nếu d’ vng góc với d d’ có phương trình Cho hai đường thẳng Toạ độ giao điểm ∆1 ∆2 nghiệm hệ phương trình: 29 Nếu tốn u cầu tìm M′ đối xứng với M qua d, ta có H trung điểm MM′ nên: (1) ∆1 cắt ∆2 ⇔ hệ (1) có nghiệm⇔  (nếu X.Phương trình đường tròn mặt phẳng  Dạng 1: Đường tròn tâm ) ∆1 // ∆2 ⇔ hệ (1) vơ nghiệm⇔ Nếu )  Đặc biệt: VI.Vị trí tương đối hai điểm đường thẳng  M, M, N N nằm nằm ∉ ∆ khác Dạng 2: Cho phương trình phương trình đường tròn Dạng 1: (C) có tâm I qua điểm A Cho đường thẳng ∆:  R: tâm I(a;b) bán kính XI.Các dạng tốn viết phương trình đường tròn Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) bán kính R (C) Khi phương trình đường tròn (C) là: ∆1 ≡ ∆2 ⇔ hệ (1) có vơ số nghiệm⇔ (nếu kính (nếu )  bán (C)   I(a;b) hai điểm phía phía đối với ∆ ∆ ⇔ ⇔ – Bán kính R = IA Dạng 2: (C) có đường kính AB VII.Góc hai đường thẳng: Cho hai đường thằng – Tâm I trung điểm AB – Bán kính R = Dạng 3: (C) có tâm I tiếp xúc với đường thẳng ∆ VII.Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho IX.Tìm hình chiếu điểm đối xứng điểm qua đường thẳng – Bán kính R = Dạng 4: (C) qua ba điểm khơng thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác) – Phương trình (C) có dạng: Để tìm điểm H hình chiếu điểm M đường thẳng d, ta thực sau:  Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M vng góc với d, cách:  Khi H = d ∩ ∆ 30 (*) – Lần lượt thay toạ độ A, B, C vào (*) ta hệ phương trình – Giải hệ phương trình ta tìm a, b, c ⇒ phương trình (C) Dạng 5: (C) qua hai điểm A, B có tâm I nằm đường thẳng ∆ – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB – Xác định tâm I giao điểm d ∆ – Bán kính R = IA Dạng 6: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1, ∆2 có tâm nằm đường thẳng d – Tâm I (C) thoả mãn: - Vì - nên tiếp phương trình tuyến với (C) Tìm m – Bán kính R = Dạng 7: (C) qua hai điểm A, B tiếp xúc với đường thẳng ∆ – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB  Dạng 4: Tiếp tuyến qua điểm – Tâm I (C) thoả mãn: – Bán kính R = IA Dạng 8: (C) qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng ∆ điểm B – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB – Viết phương trình đường thẳng ∆′ qua B vng góc với ∆ – Xác định tâm I giao điểm d ∆′ – Bán kính R = IA XII.Các dạng tốn viết phương trình tiếp tuyến đường tròn  Dạng 1: Tiếp tuyến đường tròn điểm thuộc đường tròn - - Giả sử góc k tiếp tuyến qua M có hệ số tiếp xúc với (C) nên Tìm k Lưu ý: Nếu khơng tìm tiếp tuyến ta phải xét đường thẳng (là đường thẳng qua M khơng có hệ số góc) Kiểm tra điều kiện tiếp xúc  Dạng 2: Tiếp tuyến song song với đường thẳng - Giả sử - Vì -  tiếp tuyến đường tròn nên tiếp phương trình tuyến với (C) Tìm m Dạng 3: Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng - Giả sử tiếp tuyến đường tròn 31 [...]... cố A B xung khắc và (công thức cộng - , với mọi biến cố A HÌNH HỌC PHẲNG I Một số công thức thường dùng trong hình học phẳng: hạng tổng quát:  a, b, c: độ dài 3 cạnh R: bán kính đường tròn ngoại tiếp  Định lí côsin:   Định lí sin: Công thức tính của một phép thử Kí hiệu (ô-mê-ga) Biến cố: Là một tập con của không gian mẫu - Biến cố không xảy ra là biến cố không bao giờ 2 Hệ thức lượng trong tam... tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai phương án A hoặc B Nếu có m cách thực hiện phương án A, n cách thực hiện phương án B thì sẽ có m+n cách hoàn thành công việc là 2 Quy tắc nhân: Một công việc được thực hiện qua hai hành động liên tiếp A và B Nếu có m cách thực hiện hành động A, n cách thực hiện hành động B thì sẽ có 11 cách hoàn thành công việc Lưu ý: Đối với bài toán thành lập... Phép  Phép nhân hai số phức:  Phép chia hai số phức: trừ Đặc biệt:  trục hoành, hai đường thẳng Cho ) phương trình bậc hai ( ) Công thức: Loại 2: Hình phẳng (H) giới hạn bởi hai đồ thị đồ thị hàm số  , hai đường thẳng : Phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt: ; Công thức:  phức:  Số phưc nghịch đảo của là: 2.Giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức: và  số (nhân cả tử và mẫu... xảy ra của phép thử đó  Không gian mẫu: Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra  thì: xác suất) 1 Hệ thức lượng trong tam giác: Cho Số và Xác suất của biến cố: Trong đó: - lấy k III.Nhị thức Niu-tơn  Công thức nhị thức Niu – tơn:  khắc sắp thứ tự   A ) Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( ) Lấy ra k phần tử và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó, mỗi kết quả thu được được gọi là một chỉnh... bằng 5.Các công thức tính diện tích:  Tam giác thường: độ dài A J  đường cao) ( H : độ dài 3 B * Tính chất:  Ba đường cao trong tam giác cắt nhau tại một điểm và điểm này được gọi là trực tâm của tam giác 3.Đường trung trực_Tâm đường tròn ngoại tiếp  Qua trung điểm một cạnh  Vuông góc với cạnh đó    (r: bán kính đường tròn nội tiếp, A I : nửa chu vi) B   C I Tam giác vuông: C (Công thức Hê-rông)... thẳng đến đường thẳng  Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Khi đó: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY I.Các công thức tọa độ:  Hai vectơ bằng nhau: bằng hoành, tung bằng tung”  Tọa độ của  Công  I là trung điểm AB   G là trọng tâm ABC Tích vô hướng của hai vectơ: thức “hoành : tính tọa độ của vectơ: và :  Cách 1: Giả sử đường thẳng và có vectơ chỉ phương là thẳng phương là qua điểm... chóp Chú ý:  Cơ sở là định lý: “Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, nếuVIII Ứng dụng công thức thể tích để tìm khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng: đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia”  Đường cao SH của hình chóp nên vẽ SH thẳng đứng  Thường bài toán cho “ là tam giác đều là nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy” ta trình bày... cố chắc chắn Phép toán trên các biến cố: - , ký hiệu hoặc IV.Xác suất  Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm, một phép đo hay một sự quan sát hiện tương nào đó mà: Kết quả của nó không đoán trước được Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó  Không gian mẫu: Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra  thì: xác suất) 1 Hệ thức lượng trong tam... đường thẳng kia   28 hai vectơ:  Góc giữa hai vectơ: 3.Phương trình đường thẳng qua 1 điểm và có hệ số góc cho trước: Phương trình đường thẳng d qua điểm là:  , có hệ số góc k Công thức tính diện tích tam giác: 4.Các dạng toán viết phương trình đường thẳng:  Để lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ ta cần xác định một điểm ∈ ∆ và một VTCP II.Phương trình đường thẳng... bán kính R =  Điều kiện mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:  Các dạng toán viết phương trình mặt cầu: Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu Dạng 1: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R: Phương trình tham số là:  Phương trình chính là: (nếu a, b, c đều khác 0) Các dạng toán viết phương trình đường thẳng: Để lập phương trình đường thẳng d ta cần ... nhau:  Hai cung và 4 .Công thức cộng: 5 .Công thức nhân đôi: Hệ quả: 6 .Công thức hạ bậc: : : Hệ quả: 7 .Công thức nhân ba: 8 .Công thức biến đổi tích thành tổng:  Hai cung 9 .Công thức biến đổi tổng... XIII .Công thức nguyên hàm-tích phân  Công thức nguyên hàm: Nguyên hàm Nguyên hàm mở rộng    Nếu biểu thức dấu tích phân có chứa  Khi tính tích phân dạng đặt : o Nếu m n chẵn ta dùng công thức. .. mũ: 1.Phương trình mũ: X.Các công thức lũy thừa lôgarit: 1 .Công thức lũy thừa:    2.Bất phương trình mũ:  nếu  nếu Các tính chất quan trọng:  Nếu  Nếu Công thức lôgarit:   XII.Phương