tóm tắt lý thuyết toán 11 tham khảo
Lý thuyết Tốn 11 I/KIẾN THỨC CẦN NHỚ I./CÁC CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 1.CƠNG THỨC CỘNG 2.CƠNG THỨC NHÂN ĐƠI cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos2a = cos2a – sin2a cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb = 2cos2a –1 sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb = – 2sin2a sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb sin2a = 2.sina.cosa tan(a + b) = tan2a = tan(a - b) = + cos 2a 3.CƠNG THỨC HẠ BẬC cos2a = sin2a = 4.CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH cosa + cosb = 2.cos cos cosa - cosb = -2.sin sin sina + sinb = 2.sin cos sina - sinb = 2.cos sin tan a + tan b = sin(a + b) cosacosb sin(a − b) cosacosb 5.CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG cosa.cosb = [cos(a – b) + cos(a + b)] sina.sinb = [cos(a – b) - cos(a + b)] tan a − tan b = sin acosb= cosasinb= [ sin(a + b) + sin(a − b) ] [ sin(a + b) − sin(a − b) ] II/Các đẳng thức lượng giác : • sin α + cos α = • cot α = • • cos α ( với ∀x ≠ kπ ,k ∈ Z ) sin α cot α + = ( với ∀x ≠ kπ ,k ∈ Z ) sin α kπ tan α cot α = ( với ∀α ≠ ,k ∈ Z ) Cung k2π kπ : sin ( x + k 2π ) = sin x • • • • tan ( x + kπ ) = tan x Cung đối : sin α π ( với ∀α ≠ + kπ ,k ∈ Z ) cos α π * tan α + = ( với ∀α ≠ + kπ ,k ∈ Z ) cos α * tan α = cos ( x + k 2π ) = cos x cot ( x + kπ ) = cot x sin ( − x ) = − sin x cos ( − x ) = cos x tan ( − x ) = − tan x cot ( − x ) = − cot x GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 ( - -) Lý thuyết Tốn 11 Cung bù : sin ( π − x ) = sin x • • tan ( π − x ) = − tan x Cung phụ : π • • sin − x ÷ = cos x 2 π tan − x ÷ = cot x 2 Cung π/2 : π • • sin + x ÷ = cos x 2 π tan + x ÷ = − cot x 2 Cung π : sin ( π + x ) = − sin x • • tan ( π + x ) = tan x cos ( π − x ) = − cos x cot ( π − x ) = − cot x π cos − x ÷ = sin x 2 π cot − x ÷ = tan x 2 π cos + x ÷ = − sin x 2 π cot + x ÷ = − tan x 2 cos ( π + x ) = − cos x cot ( π + x ) = cot x Cơng thức chia đơi : • • x − cos x =± 2 x − cos x − cos x tan = ± = + cos x sin x sin cos x + cos x =± 2 Cơng thức nhân ba : • • • • sin x = 3sin x − 4sin x cos3 x = 4cos x − 3cos x 3tan x − tan x π tan x = ∀x,3 x ≠ + kπ ÷ − 3tan x cot x − 3cot x cot x = ( ∀x,3 x ≠ kπ ) 3cot x − Cơng thức hạ bậc : • • ( − cos x ) − cos x π tan x = ∀x ≠ + kπ ÷ + cos x sin x = GV : Phạm Hồng Phượng ( + cos x ) + cos x cot x = ( ∀x ≠ kπ ) − sin x cos x = ĐT : 0976.580.880 ( - -) Lý thuyết Tốn 11 • sin x = 3sin x − sin x Cơng thức theo t = tan • sin x = 6.BẢNG r a -π d đ -180o ộ x cos3 x = x : 2t 1+ t2 cos x = 1− t2 1+ t2 tan x = 3cos x + cos3 x 2t x π ∀x, ≠ + kπ ÷ 1− t 2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT - - - - - -150o -135o -120o -90o -60o - sin - - - -1 cos tan cot -1 || - 1 - || - - - -45o -30o - - - || || -1 -1 π 30o 45o 60o 90o 1 120o 135o 150o - -1 -1 KIẾN THỨC CƠ BẢN y = sinx Tập xác đònh Tập giá trò Chu kỳ Tính y = cosx y = tanx π + kπ} D=R T = [– ; ] T = [– ; ] R R T = 2π Lẻ T = 2π Chẵn T=π Lẻ T=π Lẻ GV : Phạm Hồng Phượng D=R\{ y = cotx D=R ĐT : 0976.580.880 180o D = R \ {kπ} ( - -) - -1 || Lý thuyết Tốn 11 chẵn lẻ Sự biến thiên Đồng biến trên: π π − + k2 π ; + k2π ÷ Nghòch biến trên: π 3π + k2π ÷ + k2π ; 2 x Bảng biến thiên y = sinx –π − π Đồng biến trên: ( −π + k2π ; k2π ) Nghòch biến trên: ( k2π ; π + k2π ) π Đồng biến khoảng: π π − + kπ ; + kπ ÷ π x y = tanx –1 x –π π π +∞ –∞ π x y =cosx +∞ π y = cotx –1 Đồ thò − Nghòch biến khoảng: ( kπ ; π + kπ ) –1 –∞ a a y = sinx ……………………………………………………………………………… y = cosx y = tanx …………………………………………………………………………………… y = cotx II.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1.Phương trình sinx=a.( -1≤ a ≤ 1) x = arcsina+k2π x = α +k2π sinx = a ⇔ ; k ∈ Z +sinx = sinα ⇔ ; k ∈ Z ( a = sinα) x = π − arcsina+k2π x = π − α +k2π sinx = ⇔ x = kπ; k ∈ Z sinx = ⇔ x = + k2π; k ∈ Z sinx = -1 ⇔ x = -+ k2π; k ∈ Z 2.Phương trình cosx=a.( -1≤ a ≤ 1) GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 ( - -) Lý thuyết Tốn 11 x = arccosa+k2π cosx = a ⇔ ;k∈Z x = −arccosa+k2π cosx = ⇔ x = + kπ; k ∈ Z cosx = ⇔ x = k2π; k ∈ Z cosx = -1 ⇔ x = π+ k2π; k ∈ Z 3.Phương trình tanx=a π TXĐ: ¡ \ + kπ , k ∈ ¢ 2 t anx=a ⇔ x=arctana+k π ,k ∈ ¢ + π tanx=1 ⇔ x= + kπ , k ∈ ¢ π tanx=-1 ⇔ x=- + kπ , k ∈ ¢ t anx=0 ⇔ x=kπ , k ∈ ¢ 4.Phương trình cotx=a TXĐ: ¡ \ { kπ , k ∈ ¢} x = α +k2π +cosx = cosα ⇔ ; k ∈ Z ( a = cosα) x = −α +k2π + tanx=tanα ⇔ x=α +kπ ,k ∈ ¢ + co t x=a ⇔ x=arccota+kπ ,k ∈ ¢ π cotx=1 ⇔ x= + kπ , k ∈ ¢ π cotx=-1 ⇔ x=- + kπ , k ∈ ¢ π co t x=0 ⇔ x= + kπ , k ∈ ¢ + cotx=cotα ⇔ x=α +kπ ,k ∈ ¢ III.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1.Phương trình a.sinx+bcosx=c ( a + b ≠ ) ⇔ đặt: a s inx+ a +b a cosα = a + b2 b sin α = a + b2 2 b a +b 2 cosx= phương trình trở thành: s inxcosα + cosx sin α = ⇔ sin( x + α ) = c a + b2 c a + b2 c a + b2 *Chú ý +Phương trình có nghiệm c ≤ a + b +Nếu a.b ≠ 0, c = thì: a sin x + b cos x = ⇔ tan x = − b a 2.Phương trình : asin x + b s inxcosx+ccos x = (1) +Nếu a = 0: b s inxcosx+ccos x = cosx=0 ⇔ cosx(bsinx+ccosx)=0 ⇔ bsinx+ccosx=0 GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 ( - -) Lý thuyết Tốn 11 +Nếu c = 0: asin x + b s inxcosx=0 sinx=0 ⇔ sinx(asinx+bcosx)=0 ⇔ asinx+bcosx=0 sin x s inxcosx cos x +Nếu a ≠ 0, c ≠ 0, cos x ≠ : (1) ⇔ a + b + c =0 cos x cos x cos x ⇔ a tan x + b t anx+c=0 IV /Các kết thường dùng : • • • • • • • • • π π sin x + cos x = sin x + ÷ = cos x − ÷ 4 4 π π sin x − cos x = sin x − ÷ = − cos x + ÷ 4 4 π tan x + cot x = −2cot x ∀x ≠ k ÷ 2 π tan x − cot x = ∀x ≠ k ÷ sin x 2 sin x + cos x = + cos x 4 sin x + cos x = + cos x 8 π x + sin x = 2cos − ÷ 2 π x − sin x = 2sin − ÷ 2 π cos x − ÷ 4 + tan x = cos x π sin − x ÷ 4 − tan x = cos x V/ Các đẳng thức tam giác : • • • • • • • • • A B C cos cos 2 A B C cos A + cos B + cos C = + 4sin sin sin 2 tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = cos A + cos B + cos C = − 2cos A cos B cos C sin A + sin B + sin C = + 2cos A cos B cos C sin A + sin B + sin 2C = 4sin A sin B sin C cos A + cos B + cos 2C = −1 − 4cos A cos B cos C A B C A B C cot + cot + cot = cot cot cot 2 2 2 sin A + sin B + sin C = 4cos GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 ( - -) Lý thuyết Tốn 11 • tan A B B C C A tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 VI/Các phương trình lượng giác thường gặp : Các họ nghiệm : • • u = v + k 2π sin u = sin v ⇔ u = π − v + k 2π π v ≠ + lπ tan u = tan v ⇔ ( ∀k , l ∈ ¢ ) u = v + kπ u = v + k 2π cos u = cos v ⇔ ( ∀k ∈ ¢ ) u = −v + k 2π v ≠ lπ cot u = cot v ⇔ ( ∀k , l ∈ ¢ ) u = v + k π 1/Phương trình bậc theo hàm số lượng giác u : −b ( 1) a a sin u + b = −b cos u = ( 2) a cos u + b = a ;a ≠ → Có dạng: a tan u + b = −b tan u = ( 3) a a cot u + b = −b cot u = ( 4) a sin u = Đối với phương trình (1) (2) cần có thêm điều kiện −b −π π ;α ∈ ; a 2 −b cos α = ;α ∈[ 0; π ] a −b −π π tan α = ;α ∈ ; a 2 −b cot α = ; α ∈[ 0; π] a −b ≤1 a sin α = Chọn α cho ⇒ đưa họ nghiệm để giải Phương trình bậc hai theo hàm số lượng giác u : a sin u + b sin u + c = Có dạng: a cos u + b cos u + c = a tan u + b tan u + c = a cot u + b tan u + c = sin u = t t ≤1 cos u = t ; a ≠ Đặt tan u = t cot u = t ⇒ Phương trình bậc hai at2 + bt + c = Giải phương trình tìm t (xét điều kiện có) ⇒ họ nghiệm bản, giải tìm x Các dạng khác : Dạng phương trình Dạng : Phương trình bậc bậc hai f(x),trong f(x) biểu thức lượng giác GV : Phạm Hồng Phượng Phương pháp giải Đặt ẩn phụ t = f(x) ĐT : 0976.580.880 ( - -) Lý thuyết Tốn 11 Cách : Biến đổi vế trái dạng C sin ( x + α ) với C = a + b ,α số thực cho Dạng : Phương trình bậc sin x cos x cos α = a a2 + b2 sin α = b a2 + b2 Cách : • Tìm nghiệm thỏa cos • Với cos x =0 x x ≠ đặt t = tan ta có: 2 2t 1− t sin x = ; Đưa cos x = 1+ t 1+ t2 phương trình cho thành phương trình bậc hai theo ẩn t Dạng : Phương trình đối xứng với sin x cos x : • • a ( sin x + cos x ) + b sin x cos x + c = a ( sin x − cos x ) + b sin x cos x + c = Đặt π t = sin x ± cos x = sin x ± ÷∈ − 2; 4 t −1 sin x cos x = ± ÷ Cách : • Tìm nghiệm thỏa cos x = • Với cos x ≠ chia hai vế Dạng : Phương trình bậc hai phương trình cho cos x dể đưa sin x cos x : phương trình cho dạng phương 2 trình bậc hai theo ẩn tan x a sin x + b sin x cos x + c cos x = 2 Cách : Với a + b + c ≠ • Tìm nghiệm thỏa sin x = • Với sin x ≠ chia hai vế phương trình cho sin x dể đưa phương trình cho dạng phương trình bậc hai theo ẩn cot x Dạng : Phương trình bậc ba Cách giải tương tự phương trình bậc hai chia hai vế cho cos3 x sin x cos x : a sin x + b cos3 x + c sin x cos x + d sin x cos x +hoặc sin x ý áp dụng đẳng thức lượng giác + e sin x + f cos x = Kết hợp cơng thức nghiệm : Kết hợp cơng thức nghiệm PTLG chẳng những giúp cho ta loại nghiệm ngoại lai mà còn có cơng thức nghiệm đơn giản hơn, từ việc giải tốn trở nên đơn giản (giống tốn mà ta vừa xét trên) Đơi lúc việc kết hợp cơng thức nghiệm cũng tương tự việc giải hệ phương trình lượng giác phương pháp Ở ta khơng đề cặp đến phương pháp mà ta chỉ nói đến hai phương pháp chủ yếu sau : GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 ( - -) Lý thuyết Tốn 11 a) Đường tròn lượng giác * Các khái niệm : • Đường tròn lượng giác: đường tròn có bán kính đơn vị R = ta chọn chiều • dương ( + ) (thơng thường chiều dương chiều ngược chiều kim đờng hờ) Cung lượng giác: »AB (với A, B điểm đường tròn lượng giác) cung vạch điểm M • di chuyển đường tròn lượng giác theo chiều định từ A đến B Góc lượng giác: khác với góc bình thường góc lượng giác có chiều định *Phương pháp biểu diễn góc cung lượng giác : • Biểu diễn điểm cung lượng giác biết số đo có dạng α + kπ : 2π m Một số cơng thức chính dùng nhiều ở phương pháp : cot gx − tgx = cot g 2x Ta đưa số đo dạng α + k cot gx + tgx = sin x − cot gx = − cot g 2x sin x TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Bài QUI TẮC ĐẾM 1/ QUY TẮC CỘNG QUY TẮC Một cơng việc hồn thành hai hành động Nếu hành động có m cách thực hiện, hành động có n cách thực khơng trùng với cách hành động thứ cơng việc có m+n cách thực Chú ý Quy tắc cộng mở rộng cho nhiều trường hợp 2/ QUY TẮC NHÂN QUY TẮC Một cơng việc hồn thành hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hành động thứ ứng với cách có n cách thực hành động thứ hai có m.n cách hồn thành cơng việc Chú ý Quy tắc nhân mở rộng cho nhiều trường hợp Bài 2.HOÁN VỊ - CHỈNH HP - TỔ HP HOÁN VỊ Đònh nghóa : Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥ 1) Mỗi kết thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hoán vò n phần tử Giai thừa: GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 ( - -) Lý thuyết Tốn 11 n! = 1.2.3…n Qui ước: 0! = n! = (n–1)!n n! = (p+1).(p+2)…n (với n>p) p! n! = (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p) (n − p)! Hoán vò (không lặp): Một tập hợp gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự gọi hoán vò n phần tử Số hoán vò n phần tử là: Pn = n! = 1.2.3………(n-1).n Hoán vò lặp: Cho k phần tử khác nhau: a1, a2, …, ak Một cách xếp n phần tử gồm n phần tử a1, n2 phần tử a2, …, nk phần tử ak (n1+n2+ …+ nk = n) theo thứ tự gọi hoán vò lặp cấp n kiểu (n1, n2, …, nk) k phần tử Số hoán vò lặp cấp n, kiểu (n1, n2, …, nk) k phần tử là: n! Pn(n1, n2, …, nk) = n1 ! n2 ! nk ! Hoán vò vòng quanh: Cho tập A gồm n phần tử Một cách xếp n phần tử tập A thành dãy kín gọi hoán vò vòng quanh n phần tử Số hoán vò vòng quanh n phần tử là: Qn = (n – 1)! CHỈNH HP Đònh nghóa : Cho tập hợp A có n phần tử( n ≥ 1) Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập hợp A thứ tự chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử đcho Số chỉnh hợp chập k n phần tử : Nếu kí hiệu số chỉnh hợp chập k n phần tử k A n k A n = n! (n − k )! Chỉnh hợp (không lặp): Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử A (1 ≤ k ≤ n) theo thứ tự đóđược gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A n! k Số chỉnh hợp chập k n phần tử: An = n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1) = (n − k )! • Công thức cho trường hợp k = k = n • Khi k = n Ann = Pn = n! Chỉnh hợp lặp: Cho tập A gồm n phần tử Một dãy gồm k phần tử A, phần tử lặp GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 ( - 10 -) Lý thuyết Tốn 11 • Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song với • Cho điểm A ∉ (P) đường thẳng qua A song song với (P) nằm mp(Q) qua A song song với (P) • Nếu mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cắt mặt phẳng giao tuyến chúng song song với • Hai mặt phẳng song song chắn hai cát tuyến song song đoạn thẳng • Đònh lí Thales: Ba mặt phẳng đôi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ • Đònh lí Thales đảo: Giả sử hai đường thẳng d d′ lấy điểm A, B, C A′, B′, C′ cho: AB BC CA = = A ' B ' B 'C ' C ' A ' Khi đó, ba đường thẳng AA′, BB′, CC′ nằm ba mặt phẳng song song, tức chúng song với mặt phẳng VẤN ĐỀ 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song Phương pháp: Chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng mặt phẳng VẤN ĐỀ 2: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Phương pháp: • Tìm phương giao tuyến cách sử dụng đònh lí: Nếu mặt phẳng song song bò cắt mặt phẳng thứ ba giao tuyến song song • Sử dụng đònh lí để xác đònh thiết diện hình chóp bò cắt mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước CHƯƠNG III: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN I VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Đònh nghóa phép toán • Đònh nghóa, tính chất, phép toán vectơ không gian xây dựng hoàn toàn tương tự mặt phẳng • Lưu ý: GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 ( - 36 -) Lý thuyết Tốn 11 uuu r uuur uuur Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB + BC = AC uuu r uuur uuur Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB + AD = AC uuu r uuur uuur uuuu r Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, ta có: AB + AD + AA ' = AC ' Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: u Cho uu r Iuulà u r trung uur điểm đoạn thẳng AB, O tuỳ ý uur uur r Ta có: IA + IB = ; OA + OB = 2OI + Hệ thức trọng tâm tam n tâ củ uuu r giá uuurc: Cho uuur Gr trọ uuu rg u uu rm u uura tam uuurgiác ABC, O tuỳ ý Ta có: GA + GB + GC = 0; OA + OB + OC = 3OG + + + + + Hệ thức trọng tâm tứ nu:urCho tứ tuỳ uuu rdiệu uuurG uuurtrọnrg tâmuucủ u r auu u r diệ uuun r ABCD, uuur Ouuu r ý Ta có: GA + GB + GC + GD = 0; OA + OB + OC + OD = 4OG r r r r r r + Điều kiện hai vectơ phương: a b phương (a ≠ 0) ⇔ ∃! k ∈ R : b = ka + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số u kuu r(k ≠ u1), uu r O tuỳ ý Ta có: uuur uuur uuuu r OA − kOB MA = k MB; OM = 1− k Sự đồng phẳng ba vectơ • Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng r r r r r • Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a , b , c , a b không r r r r r r phương Khi đó: a, b , c đồng phẳng ⇔ ∃! m, n ∈ R: c = ma + nb r r r r • Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý r r r r Khi đó: ∃! m, n, p ∈ R: x = ma + nb + pc Tích vô hướng hai vectơ • Góc hai vectơ không gian: uuu r r uuur r r r · · AB = u , AC = v ⇒ (u , v ) = BAC (00 ≤ BAC ≤ 180 ) • Tích vô hướng hai vectơ không gian: rr r r r r r r r u.v = u v cos(u , v ) + Cho u , v ≠ Khi đó: rr r r r r + Với u = v = Qui ước: u.v = r r rr + u ⊥ v ⇔ u.v = II HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC r r r Vectơ phương đường thẳng: a ≠ VTCP d giá a song song trùng với d Góc hai đường thẳng: • a′//a, b′//b ⇒ ( a¶, b ) = ( a· ', b ' ) r r r r • Giả sử u VTCP a, v VTCP b, (u , v ) = α 00 ≤ α ≤ 1800 ¶, b ) = α ( a Khi đó: 0 180 − α 90 < α ≤ 180 • Nếu a//b a ≡ b ( a¶, b ) = 0 GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 ( - 37 -) Lý thuyết Tốn 11 Chú ý: 0 ≤ ( a¶, b ) ≤ 90 Hai đường thẳng vuông góc: • a ⊥ b ⇔ ( a¶, b ) = 900 r r rr • Giả sử u VTCP a, v VTCP b Khi a ⊥ b ⇔ u.v = • Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với cắt chéo III ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Đònh nghóa d ⊥ (P) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (P) Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng a, b ⊂ (P ), a ∩ b = O ⇒ d ⊥ (P ) d ⊥ a, d ⊥ b Tính chất • Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng trung điểm Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng a ⁄⁄b a ≠ b • ( P ) ⊥ a ⇒ ( P ) ⊥ b • a ⊥ ( P ), b ⊥ ( P ) ⇒ a ⁄⁄b ( P ) ⁄⁄ (Q) ( P ) ≠ (Q) • a ⊥ ( P ) ⇒ a ⊥ (Q) • ( P ) ⊥ a,(Q) ⊥ a ⇒ ( P ) ⁄⁄(Q) a ⁄⁄ (P ) a ⊄ (P) • b ⊥ (P ) ⇒ b ⊥ a • a ⊥ b,( P ) ⊥ b ⇒ a ⁄⁄( P ) Đònh lí ba đường vuông góc Cho a ⊥ ( P ), b ⊂ ( P ) , a′ hình chiếu a (P) Khi b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′ Góc đường thẳng mặt phẳng • Nếu d ⊥ (P) d· ,( P ) = 900 ( ( ) ) • Nếu d ⊥ (P ) d· ,( P ) = ( d· , d ' ) với d′ hình chiếu d (P) Chú ý: 00 ≤ d· ,( P ) ≤ 900 ( ) VẤN ĐỀ 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Chứng minh hai đường thẳng vuông góc * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d ⊥ (P), ta chứng minh cách sau: • Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nằm (P) • Chứng minh d vuông góc với (Q) (Q) // (P) • Chứng minh d // a a ⊥ (P) * Chứng minh hai đường thẳng vuông góc GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 ( - 38 -) Lý thuyết Tốn 11 Để chứng minh d ⊥ a, ta chứng minh cách sau: • Chứng minh d vuông góc với (P) (P) chứa a • Sử dụng đònh lí ba đường vuông góc • Sử dụng cách chứng minh biết phần trước IV HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC Góc hai mặt phẳng a ⊥ (P ) · ¶ • b ⊥ (Q) ⇒ ( P ),(Q) = ( a, b ) ( ) a ⊂ ( P ), a ⊥ c • Giả sử (P) ∩ (Q) = c Từ I ∈ c, dựng b ⊂ (Q), b ⊥ c ⇒ (·P ),(Q) = ( a¶, b ) Chú ý: 0 ≤ (·P ),(Q) ≤ 900 ( ( ) ) Diện tích hình chiếu đa giác Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S′ diện tích hình chiếu (H′) (H) (Q), ϕ = (·P ),(Q) Khi đó: S′ = S.cosϕ ( ) Hai mặt phẳng vuông góc • (P) ⊥ (Q) ⇔ (·P ),(Q) = 900 ( ) ( P ) ⊃ a • Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: a ⊥ (Q) ⇒ ( P ) ⊥ (Q) Tính chất ( P ) ⊥ (Q) ( P ) ⊥ (Q),( P ) ∩ (Q) = c ⇒ a ⊥ ( Q ) ⇒ a ⊂ (P ) • a ⊂ ( P ), a ⊥ c • A ∈ (P ) a ∋ A, a ⊥ (Q) ( P ) ∩ (Q) = a ⇒ a ⊥ ( R) • ( P ) ⊥ ( R) (Q) ⊥ ( R) VẤN ĐỀ 1: Góc hai mặt phẳng Phương pháp: Muốn tìm góc hai mặt phẳng (P) (Q) ta sử dụng cách sau: • Tìm hai đường thẳng a, b: a ⊥ (P), b ⊥ (Q) Khi đó: (·P ),(Q) = ( a¶, b ) ( ) a ⊂ ( P), a ⊥ c • Giả sử (P) ∩ (Q) = c Từ I ∈ c, dựng ⇒ (·P ),(Q) = ( a¶, b ) b ⊂ (Q), b ⊥ c VẤN ĐỀ 2: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng * Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Để chứng minh (P) ⊥ (Q), ta chứng minh cách sau: • Chứng minh (P) có đường thẳng a mà a ⊥ (Q) ( GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 ) ( - 39 -) Lý thuyết Tốn 11 ( ) • Chứng minh (·P ),(Q) = 90 * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d ⊥ (P), ta chứng minh cách sau: • Chứng minh d ⊂ (Q) với (Q) ⊥ (P) d vuông góc với giao tuyến c (P) (Q) • Chứng minh d = (Q) ∩ (R) với (Q) ⊥ (P) (R) ⊥ (P) • Sử dụng cách chứng minh biết phần trước VẤN ĐỀ 3: Tính diện tích hình chiếu đa giác Phương pháp: Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S′ diện tích hình chiếu (H′) (H) (Q), ϕ = (·P ),(Q) Khi đó: S′ = S.cosϕ ( ) IV KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng d ( M , a) = MH H hình chiếu M a (P) d ( M ,( P )) = MH Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song d(a,(P)) = d(M,(P)) M điểm nằm a d((P),(Q) = d(M,(Q)) M điểm nằm (P) Khoảng cách hai đường thẳng chéo • Đường thẳng ∆ cắt a, b vuông góc với a, b gọi đường vuông góc chung a, b • Nếu ∆ cắt a, b I, J IJ gọi đoạn vuông góc chung a, b • Độ dài đoạn IJ gọi khoảng cách a, b • Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với • Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng VẤN ĐỀ 1: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp: Dựng đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo a b Cách 1: Giả sử a ⊥ b: • Dựng mặt phẳng (P) chứa b vuông góc với a A • Dựng AB ⊥ b B ⇒ AB đoạn vuông góc chung a b Cách 2: Sử dụng mặt phẳng song song • Dựng mặt phẳng (P) chứa b song song với a • Chọn M ∈ a, dựng MH ⊥ (P) H • Từ H dựng đường thẳng a′ // a, cắt b B • Từ B dựng đường thẳng song song MH, cắt a A ⇒ AB đoạn vuông góc chung a b Chú ý: d(a,b) = AB = MH = a(a,(P)) Cách 3: Sử dụng mặt phẳng vuông góc GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 ( - 40 -) Lý thuyết Tốn 11 • Dựng mặt phẳng (P) ⊥ a O • Dựng hình chiếu b′ b (P) • Dựng OH ⊥ b′ H • Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b B • Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a A ⇒ AB đoạn vuông góc chung a b Chú ý: d(a,b) = AB = OH § VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN Dạng XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ VỀ VECTƠ I)CÁC ĐỊNH NGHĨA 1)Vec tơ , giá, độ dài vec tơ •Vec tơ khơng gian đoạn thẳng có hướng •Giá vec tơ đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vec tơ Hai vec tơ gọi phương giá chúng song song trùng Hai vec tơ phương hướng ngược hướng •Độ dài vec tơ độ dài đoạn thẳng có hai đầu mút điểm đầu điểm cuối vec tơ 2)Hai r r vec tơ nhau, vec tơ -khơng r r • a, b chúng có độ dài hướng kí hiệu a = b •Ve tơ- khơng vec tơ có điểm đầu điểm cuối trùng II)PHÉP CỘNG VÀ TRỪ VEC TƠ 1)Định nghĩa r r uuu r r uuur r •Cho hai vectơ a b Trong khơng gian lấy điểm A tùy ý, vẽ AB = a , BC = b Vec tơ uuur r r uuur uuu r uuur r r AC gọi tổng hai vec tơ a b , kí hiệu AC = AB + BC = a + b r r r r r r r r •Vec tơ b vec tơ đối a b = a a , b ngược hướng kí hiệu a = - b r r r r • a - b = a + (- b ) 2)Tính r r chất r r r r r r r r •a + b= b+a •( a + b )+ c = a +( b + c ) r r r r r r r r r r r •a + a + = 0+ a = a • a + −a = −a + a = ( ) 3)Các quy tắc a)Quy tắc điểm Với A,B,C ta có uuu r bauuđiểm ur uu ur AB u uur + BC uuur = AC uuu r BC = AC − AB GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 ( - 41 -) Lý thuyết Tốn 11 B A C b)Quy tắc hình bình hành uuu r uuur uuur Với hình bình hành ABCD ta có AB + AD = AC B C A D c)Quy tắc hình hộp uuuur r uuu r uuur uuuu AC / = AB + AD + AA/ B C A D C' B' A' D' III)TÍCH CỦA VEC TƠ VỚI MỘT SỐ 1)Định nghĩa r r r r Cho số k≠0 vec tơ a ≠ Tích vec tơ a với số k vec tơ, kí hiệu k a , r r r hướng với a k > 0, ngược hướng với a k 90 góc (α) (β) 1800 - xOy Cách 2.Nếu (α) (β) chứa hai tam giác ACD, BCD có cạnh đáy CD gọi I trung điểm CD ,ta có AI ⊥ CD, BI ⊥ CD Từ tính góc AIB Cách Diện tích hình chiếu : S/=S cosα II/ HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC 1/ Định nghĩa Hai mặt phẳng (α) (β) gọi vng góc với góc giữa hai mặt phẳng góc vng 2/ Tính chất a/ Điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng chứa GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 ( - 46 -) Lý thuyết Tốn 11 đường thẳng vng góc với mặt phẳng b/ Nếu hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng c/ Cho hai mặt phẳng (α) (β) vng góc với Nếu từ điểm thuộc mặt phẳng (α) ta dựng đường thẳng vng góc với mặt phẳng (β) đường thẳng nằm mặt phẳng (α) d/ Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba III/ HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HÌNH HỘP CHỮ NHẬT, HÌNH LẬP PHƯƠNG Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy Hình hộp chữ nhật hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật Hình lập phương hình lăng trụ đứng có đáy hình vng mặt bên hình vng IV/ HÌNH CHĨP ĐỀU VÀ HÌNH CHĨP CỤT ĐỀU Hình chóp hình chóp có đáy đa giác có chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy Phần hình chóp nằm giữa đáy thiết diện song song với đáy cắt tất cạnh bên hình chóp gọi hình chóp cụt Hai đáy hình chóp cụt hai đa giác đờng dạng với Dạng ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc (P) cắt (Q) theo giao tuyến d ( α ) ⊥ ( β) ( α ) ∩ ( β) = d 1/ ⇒ a ⊥ ( α) a ⊂ ( β ) a ⊥ d ( β) ∩ ( γ ) = a / ( β) ⊥ ( α ) ⇒ a ⊥ ( α) ( γ ) ⊥ ( α ) § KHOẢNG CÁCH I/ KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG, ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG 1/ Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho điểm O đường thẳng a Trong mặt phẳng (O,a) gọi H hình chiếu O a Khi khoảng cách giữa hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a, kí hiệu d(O,a) 2/ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) khoảng cách giữa hai điểm O H, với GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 ( - 47 -) Lý thuyết Tốn 11 H hình chiếu vng góc O (α), kí hiệu d(O,(α)) II/ KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG MẶT PHẲNG SONG SONG, GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 1/ Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách giữa đường thẳng a mặt phẳng (α) song song với a khoảng cách điểm thuộc a tới mặt phẳng (α), kí hiệu d(a,(α)) 2/ Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α) (β) khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng kia, kí hiệu d((α),(β)) III/ ĐƯỜNG VNG GĨC CHUNG VÀ KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU 1/ Định nghĩa a/ Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng chéo a, b vng góc với đường thẳng gọi đường vng góc chung a b b/ Nếu đường vng góc chung ∆ cắt hai đường thẳng chéo a b M,N độ dài đoạn thẳng MN gọi khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo a b 2/ Cách tìm đường vng góc chung hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo a b Gọi (β) mặt phẳng chứa b song song với a, a/ hình chiếu vng góc a mặt phẳng (β) Vì a// (β) nên a//a/ Do a/ b cắt điểm Gọi điểm N Gọi (α) mặt phẳng chứa a a/ ∆ đường thẳng qua N vng góc với (β) Khi (α) vng góc vơi (β) Vậy ∆ nằm (α) nên cắt đường thẳng b N, đờng thời ∆ vng góc với a b Do ∆ đường vng góc chung củ a b 3/ Nhận xét a/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo khoảng cách giữa hai đường thẳng đến mặt phẳng song song với chứa đường thẳng b/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng Dạng KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG Để tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P), ta làm sau: - Dựng đoạn OH vng góc với (P) - Tính đoạn OH Dạng KHOẢNG CÁCH GIỮA MỘT ĐƯỜNG THẲNG VÀ MỘT MẶT PHẲNG SONG SONG – KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 ( - 48 -) z Lý thuyết Tốn 11 1/ Để tính khoảng cách từ đường thẳng a đến mp(P) song song với a : - Ta lấy điểm M a - Tính khoảng cách từ điểm M đến (P) 2/ Để tính khoảng cách hai mặt phẳng song song (P) (Q) : - Ta lấy điểm M tùy ý (P) - Tính khoảng cách từ M đến (Q) Dạng KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG NẰM TRONG MỘT MẶT PHẲNG Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a nằm mp(P): - Vẽ OI vng góc với (P) IH vng góc a - Tính OI ,IH suy OH Dạng 4.KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Cách tìm đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo a b Cách Dùng mặt phẳng song song - Dựng mp(P) qua b song song với a - Lấy điểm M thuộc a, chiếu xuống (P) thành N - Từ N dựng đường thẳng b // a , b cắt a I - Từ I dựng đường thẳng song song với MN cắt a J IJ đoạn vng góc chung a b Cách Dùng mặt phẳng vng góc - Dựng mp(P) vng góc với a O - Chiếu b xuống (P) thành b/ - Dựng OH vng góc b/ - Từ H dựng đường thẳng song song với a, cắt b J - Từ J dựng đường thẳng song song với OH, cắt a I IJ đoạn vng góc chung a b Cách 3.Nếu biết a vng góc với b - Dựng mp(P) qua b vng góc với a I - Trong (P) , dựng IJ vng góc với b IJ đoạn vng góc chung Cách 4.Nếu tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối ( AD=BC, AC=BD) đoạn vng góc chung cặp cạnh thứ ba ( AB CD) đoạn thẳng nối trung điểm I, J chúng Cách 5.Nếu có đường thẳng d vng góc với a b d // IJ Dựa vào mp(IJ,d) ta xác định vị trí I J TRUNG TÂM DẠY KÈM VÀ LUYỆN THI GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 ( - 49 -) Lý thuyết Tốn 11 THANH PHƯƠNG TỔNG HỢP LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ & HÌNH HỌC 11 GV Biên Soạn :Phạm Hồng Phượng NĂM HỌC : 2014 – 2015 Lưu hành nội GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 ( - 50 -) [...]... §3 CẤP SỐ CỘNG A LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa: (un) là cấp số cộng ⇔ un+1 = un + d, ∀n ∈ N* un = u1 + (n − 1)d 2 Số hạng tổng qt: với n ≥ 2 3 Tính chất các số hạng: GV : Phạm Hồng Phượng uk = uk −1 + uk +1 2 (d: cơng sai) với k ≥ 2 ĐT : 0976.580.880 ( - 15 -) Lý thuyết Tốn 11 4 Tổng n số hạng đầu tiên: Sn = u1 + u2 + + un = n(u1 + un ) 2 = n 2u1 + (n − 1)d 2 §4 CẤP SỐ NHÂN A LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa:... ( b ) xlim →b− 2 Một số định lý về hàm số liên tục: o Định lý 1: f(x) và g(x) liên tục tại x0 thì: f ( x) f ( x ) ± g ( x ) , f ( x ) g ( x ) , ( g ( x ) ≠ 0 ) cũng liên tục tại x0 g( x) o Đinh lý 2: Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 ( - 19 -) Lý thuyết Tốn 11 o Định lý 3: f(x) liên tục trên đoạn [a;b]... tập chính) I - PHÉP TỊNH TIẾN 1) tóm tắt lí thuyết uuur r a) Tvr ( A ) = A ' ⇔ AA ' = v r uuuuuur Tvr ( M ) = M ' uuuu ⇒ MN = M ' N ' Tvr ( N ) = N ' b) x ' = x + x0 y ' = y + y0 r c) Biểu thức thọa độ: Với v = ( x0 ; y0 ) , M = ( x; y ) , Tvr ( M ) = M ' ( x '; y ') thì 2) Dạng bài tập GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 ( - 25 -) Lý thuyết Tốn 11 a) dạng 1: Cho điểm A ( x; y )... 0976.580.880 ( - 13 -) Lý thuyết Tốn 11 • Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A) P(B) 1 Biến ngẫu nhiên rời rạc • X = {x1, x2, …,xn} • P(X=xk) = pk p1 + p2 + … + pn = 1 2 Kì vọng (giá trò trung bình) • µ = E(X) = n ∑ xi pi i =1 3 Phương sai và độ lệch chuẩn • V(X) = n n i =1 i =1 ∑ ( xi − µ )2 pi = ∑ xi2 pi − µ 2 • σ(X) = V ( X ) CHƯƠNG III §1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC A LÝ THUYẾT Để chứng minh... TRỤC (Xét đx trục Ox, đx trục Oy tương tự) 1) tóm tắt lí thuyết a) D d ( M ) = M ' ⇔ d lµ trung trùc cđa MM' ® d ( M ) = M ' ⇒ M ' N ' = MN ® N = N ' ( ) d b) c) Biểu thức tọa độ của phép đx trục Ox x ' = x y' = −y d) Biểu thức thọa độ của phép đx trục Oy x ' = −x y' = y GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 ( - 26 -) Lý thuyết Tốn 11 2) Bài tập a) dạng 1: Cho điểm A ( x; y ) tìm... TÂM 1) tóm tắt lí thuyết uuur uuuu r a) ® I ( M ) = M ⇔ IM = − IM ' uuuuuur uuuu r ® I ( M ) = M ⇒ M ' N ' = − MN ⇒ M ' N ' = MN b) ® N = N ' ( ) I x ' = −x , c) Biểu thức tọa độ của phép đx tâm O(0 ;0) y' = −y 2) Bài tập a) dạng 1: Cho điểm A ( x; y ) tìm ảnh A ' ( x '; y ') là ảnh của A qua phép ®O CÁCH GIẢI : GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 ( - 27 -) Lý thuyết Tốn 11 x ' =... x0 ) ( x − x0 ) + y0 ( 1) Vì tiếp tuyến đi qua A ( x1 ; y1 ) ⇒ y1 = f ' ( x0 ) ( x1 − x0 ) + f ( x0 ) ( *) Giải phương trình(*) tìm x0 thế vào (1) suy ra phương trình tiếp tuyến ĐẠO HÀM 1 .Tóm tắt lý thuyết Đạo hàm của f (x) tại x0 , kí hiệu f ' ( x0 ) hay y ' ( x0 ) f ' ( x0 ) = lim ∆x →0 f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) f ( x) − f ( x0 ) = lim x → x0 ∆x x − x0 dạng y − y 0 = f ' ( x 0 )( x − x... 0976.580.880 ( - 24 -) Lý thuyết Tốn 11 Bài tốn 6: Giải bất phương trình Phương pháp giải: Để giải bất phương trình ta làm các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số f (x) và g (x) (nếu có) Bước 2: Xác định điều kiện bất phương trình rời thay f ' ( x) và g ' ( x) (nếu có) vào điều kiện tìm nghiệm x0 Bước 3: Lập bảng xét dấu rời kết luận tập nghiệm của bất phương trình CHƯƠNG 1 HÌNH HỌC 11 (các dạng... Lý thuyết Tốn 11 b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn là a hay (un) dần tới a khi n dần tới vơ cực ( n → +∞ ), nếu lim ( un − a ) = 0 Kí hiệu: lim ( un ) = a hay u n → a khi n → +∞ n →+∞ ( un ) = lim ( un ) Chú ý: nlim →+∞ n →+∞ 2 Một vài giới hạn đặc biệt 1 1 * a) lim = 0 , lim k = 0 , n ∈ ¢ + n n n b) lim q = 0 với q < 1 c) Lim(un)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c 3 Một số định lý. .. → −∞ khi n → +∞ c) Định lý: 1 * o Nếu : lim ( un ) = 0 ( u n ≠ 0 ,∀n ∈ ¥ ) thì lim = ∞ un 1 o Nếu : lim ( un ) = ∞ thì lim = 0 un B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN P ( n) 1 Giới hạn của dãy số (un) với un = với P,Q là các đa thức: Q ( n) o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 ( - 17 -) Lý thuyết Tốn 11 a0 b0 Nếu bậc P nhỏ hơn