Thông tin tài liệu
TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN A Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị ( C ) ; M ( x0 ; y0 ) (C ) Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm M ( x0 ; y0 ) (C): y = f(x) d : y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + y0 Trong đó: o M ( x0 ; y0 ) gọi tọa độ tiếp điểm o k = f ' ( x0 ) hệ số góc tiếp tuyến M ( x0 ; y0 ) (C ) Ghi nhớ: Đường thẳng d: y = a x + b (a 0) có hệ số góc k = a Cho đường thẳng d : y = ax + b ( a 0) ; d ' : y = a ' x + b ' ( a ' 0) Khi đó: o k = kd ' a = a ' d / /d ' d b b ' b b ' o d ⊥ d ' kd kd ' = −1 a.a ' = −1 Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b ( a 0) hệ số góc tiếp tuyến k = a (nhớ thử lại) Nếu tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = ax + b ( a 0) hệ số góc tiếp tuyến k = − a Trục hoành (trục Ox ): y = Trục tung (trục Oy ): x = B KỸ NĂNG CƠ BẢN Bài tốn 1: Các dạng phương trình tiếp tuyến thường gặp Cho hàm số y = f ( x ) , gọi đồ thị hàm số ( C ) Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) M ( xo ; yo ) Phương pháp o Bước Tính đạo hàm y = f ( x ) hệ số góc tiếp tuyến k = y ( x0 ) o Bước Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm M ( x0 ; y0 ) có dạng: d : y = y ( x0 )( x − x0 ) + y0 Chú ý: http://dethithpt.com o Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x0 ta tìm y0 cách vào hàm số ban đầu, tức y0 = f ( x0 ) Nếu đề cho y0 ta thay vào hàm số để giải x0 o Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến giao điểm đồ thị (C ) : y = f ( x ) đường thẳng d : y = ax + b Khi hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình hoành độ giao điểm d ( C ) Sử dụng máy tính: Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng d : y = ax + b o Bước 1: Tìm hệ số góc tiếp tuyến k = y ( x0 ) Nhập nhấn SHIFT o d ( f ( x) ) x = x0 dx cách sau nhấn = ta a Bước 2: Sau nhân với − X tiếp tục nhấn phím + f ( x) CALC X = xo nhấn phím = ta b Ví dụ minh họa: Ví dụ Cho hàm số ( C ) : y = x3 + 3x2 Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm M (1; ) là: A y = x − B y = x + C y = −9 x − D y = −9 x + Hướng dẫn giải Ta có: y' = 3x + 6x k = y (1) = Phương trình tiếp tuyến M (1; ) là: d : y = y ' ( x0 )( x − xo ) + yo y = ( x −1) + y = 9x − Sử dụng máy tính: d ( X + 3X ) x = dx o Nhập o Sau nhân với nhấn dấu = ta ( − X ) nhấn dấu + X + X CALC X = nhấn dấu = ta −5 Vậy phương trình tiếp tuyến M là: y = x − Ví dụ Cho hàm số y = −2 x3 + x − Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm M thuộc ( C ) có hồnh độ A y = −18 x + 49 B y = −18 x − 49 C y = 18 x + 49 Hướng dẫn giải Ta có: y = −6 x2 + 12 x x0 = y0 = −5 M (3; −5) k = y (3) = −18 Phương trình tiếp tuyến M là: y = −18 ( x − 3) − y = −18x + 49 http://dethithpt.com D y = 18 x − 49 Sử dụng máy tính: d −2 X + X − ) ( x =3 dx o Nhập o Sau nhân với nhấn dấu = ta −18 ( − X ) nhấn dấu + −2 X + X − CALC X = nhấn dấu = ta 49 Vậy phương trình tiếp tuyến M là: y = −18 x + 49 x − x Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm M có hồnh độ x0 0, biết y ( xo ) = −1 là: Ví dụ Cho hàm số ( C ) : y = A y = −3 x + B y = −3x + 1 D y = −3 x + C y = −3x − Hướng dẫn giải Ta có: y = x3 − x , y = 3x2 − Mà y ( xo ) = −1 3x0 − = −1 x0 = x0 = (vì x0 ) y0 = − k = y (1) = −3 Phương trình tiếp tuyến M là: d : y = −3 ( x − 1) − y = −3x + Sử dụng máy tính: d 1 2 nhấn dấu = ta −3 X − 2X dx x=1 o Nhập o Sau nhân với ( −X ) nhấn dấu + X − 2X CALC X = nhấn dấu = ta Vậy phương trình tiếp tuyến d : y = −3x + Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) có hệ số góc k cho trước Phương pháp o Bước Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tính y = f ( x ) o Bước Hệ số góc tiếp tuyến k = f ' ( x0 ) Giải phương trình tìm x0 , thay vào hàm số y0 o Bước Với tiếp điểm ta tìm tiếp tuyến tương ứng d : y = y ( x0 )( x − x0 ) + y0 http://dethithpt.com Chú ý: Đề thường cho hệ số góc tiếp tuyến dạng sau: • Tiếp tuyến d // : y = ax + b hệ số góc tiếp tuyến k = a • Tiếp tuyến d ⊥ : y = ax + b hệ số góc tiếp tuyến k = − a • Tiếp tuyến tạo với trục hồnh góc hệ số góc tiếp tuyến d k = tan Sử dụng máy tính: Nhập: k ( − X ) + f ( x ) CALC X = x0 nhấn dấu = ta b Phương trình tiếp tuyến d : y = kx + b Ví dụ minh họa: Ví dụ Cho hàm số ( C ) : y = x3 − 3x + Phương trình tiếp tuyến ( C ) biết hệ số góc tiếp tuyến là: y = x − 14 A y = x + 18 y = x + 15 B y = x − 11 y = 9x − C y = 9x + y = 9x + D y = 9x + Hướng dẫn giải Ta có y = 3x − , k = y ( x0 ) = 3x0 − = x0 = x0 = + Với x0 = y0 = ta có tiếp điểm M ( 2;4) Phương trình tiếp tuyến M là: y = ( x − 2) + y = x −14 + Với x0 = −2 y0 = ta có tiếp điểm N ( −2;0 ) Phương trình tiếp tuyến N là: y = ( x + 2) + y = x + 18 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm y = x − 14 y = x + 18 Sử dụng máy tính: + Với x0 = ta nhập ( − X ) + X − X + CALC X = nhấn dấu = ta −14 y = x − 14 + Với x0 = −2 ta nhập ( − X ) + X − X + CALC X = −2 nhấn dấu = ta 18 y = x + 18 2x +1 Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến song x+2 song với đường thẳng có phương trình : 3x − y + = Ví dụ Cho hàm số ( C ) : y = A y = 3x + 14 Hướng dẫn giải http://dethithpt.com B y = 3x − C y = 3x + D y = 3x − Ta có y ' = nên k = + ( x + )2 ( x0 + ) , : 3x − y + = y = x + Do tiếp tuyến song song với đường thẳng x0 + = x0 = −1 = ( x0 + ) = x0 + = −1 x0 = −3 Với x0 = −1 nhập ( − X ) + 2X +1 X +2 CALC X = −1 nhấn dấu = ta d1 : y = 3x + ( loại trùng với ) + Với x0 = −3 CALC X = −3 nhấn dấu = ta 14 d : y = 3x + 14 Vậy phương trình tiếp tuyến d : y = 3x + 14 Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) biết tiếp tuyến qua A ( xA ; y A ) Phương pháp Cách o Bước 1: Phương trình tiếp tuyến qua A ( xA ; yA ) hệ số góc k có dạng: d : y = k ( x − xA ) + yA () o Bước 2: d tiếp tuyến ( C ) hệ sau có nghiệm: f ( x ) = k ( x − xA ) + y A f ( x) = k o Bước 3: Giải hệ tìm x suy k vào phương trình () , ta tiếp tuyến cần tìm Cách o Bước Gọi M ( x0 ; f ( x0 ) ) tiếp điểm tính hệ số góc tiếp tuyến k = y ( x0 ) = f ( x0 ) theo x0 o Bước Phương trình tiếp tuyến có dạng: d : y = y ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 () Do điểm A ( xA ; yA ) d nên yA = y ( x0 ) ( xA − x0 ) + y0 giải phương trình tìm x0 o Bước Thế x0 vào () ta tiếp tuyến cần tìm Chú ý: Đối với dạng viết phương trình tiếp tuyến qua điểm việc tính tốn tương đối thời gian Ta sử dụng máy tính thay đáp án: Cho f ( x ) kết đáp án Vào MODE → → nhập hệ số phương trình Thơng thường máy tính cho số nghiệm thực nhỏ số bậc phương trình ta chọn đáp án http://dethithpt.com Ví dụ minh họa: Ví dụ Cho hàm số ( C ) : y = −4 x3 + 3x + Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến qua điểm A ( −1;2 ) y = −9 x − A y = y = 4x + B y = x +1 y = x −7 C y = 3x − y = −x − D y = 2x − Hướng dẫn giải Ta có: y' = −12 x + + Gọi d phương trình tiếp tuyến ( C ) qua A ( −1; ) với hệ số góc k có phương trình là: d : y = k ( x + 1) + + d tiếp tuyến ( C ) hệ sau có nghiệm: −4 x + 3x + = k ( x + 1) + −12 x + = k (1) ( 2) Thay k từ ( 2) vào (1) ta −4 x3 + 3x + = ( −12 x + 3) ( x + 1) + x = −1 1 x + 12 x − = x − ( x + 1) = x = 2 + Với x = −1 k = −9 Phương trình tiếp tuyến là: y = −9 x + + Với x = k = Phương trình tiếp tuyến là: y = 2 Dạng Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị hàm số ( C1 ) : y = f ( x ) (C2 ) : y = g ( x ) Phương pháp o Bước Gọi d tiếp tuyến chung ( C1 ) , ( C2 ) x0 hoành độ tiếp điểm d ( C1 ) phương trình d có dạng: y = f ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ) (***) o Bước Dùng điều kiện tiếp xúc d ( C2 ) , tìm x0 o Bước Thế x0 vào (***) ta tiếp tuyến cần tìm Ví dụ minh họa: Ví dụ Cho hai hàm số: ( C1 ) : y = f ( x ) = x , x ( C2 ) : y = g ( x ) = Phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị hàm số là: http://dethithpt.com − x , − x A y = x + 2 B y = x − C y = x + D y = x − Hướng dẫn giải + Gọi d phương trình tiếp tuyến chung ( C1 ) , ( C2 ) x0 hoành độ tiếp điểm d với ( C1 ) phương trình d là: y = f ( x )( x − x0 ) + y0 = + d tiếp xúc với ( C2 ) ( x − x0 ) + x0 x0 x 1 − x = x + x0 hệ sau có nghiệm: −x = 2 8− x x0 (1) ( 2) Thay ( 2) vào (1) ta phương trình hồnh độ tiếp điểm d ( C2 ) − x − x 2 x − x − x2 = − − x x x = −2 x − x2 2 x − 2x − = x ( − x ) = − x − ( − x ) Thay x = −2 vào ( 2) ta 1 = x0 = x0 Vậy phương trình tiếp tuyến chung cần tìm là: y = http://dethithpt.com x+2 Bài toán 2: Một số cơng thức nhanh tính chất cần biết ax + b cx + d d c 0, x − có đồ thị ( C ) Phương trình tiếp tuyến c M thuộc ( C ) I giao điểm đường tiệm cận Ta ln có: Bài tốn 2.1: Cho hàm số y = (I) Nếu ⊥ IM tồn điểm M thuộc nhánh đồ thị ( C ) đối xứng qua I xM = (II) ad − bc − d c M trung điểm AB (với A, B giao điểm với tiệm cận) bc − ad c2 (III) Diện tích tam giác IAB không đổi với điểm M SIAB = (IV) Nếu E , F thuộc nhánh đồ thị ( C ) E , F đối xứng qua I tiếp tuyến E , F song song với (suy đường thẳng d qua E , F qua tâm I ) Chứng minh: ad − bc d a ; I − ; giao điểm tiệm cận c c • Ta có: y = • a x +b d Gọi M xM ; M (C ) xM − Phương trình tiếp tuyến M có dạng: cxM + d c : y = ( cx + d ) ax + b ad − bc ( x − xM ) + M (c xM + d ) cxM + d Chứng minh (I): • d bc − ad ad − bc ; u 1; IM xM + ; c c cx + d ( ) cx + d ( ) M M • ⊥ IM IM u = xM + ( cxM + d ) − ( ad − bc ) c ( cxM + d ) • Cách nhớ: cxM + d = mẫ u sốcủ a hà m soá d bc − ad ad − bc + =0 c c ( cxM + d ) ( cxM + d )2 = xM = ad − bc − d c ad − bc tửsốcủ a đạo hà m Chứng minh (II): • d a Giao điểm với tiệm cận ngang là: A xM + ; c c • d ac xM + 2bc − ad Giao điểm với tiệm cận đứng là: B − ; c ( c xM + d ) c http://dethithpt.com • d d xA + xB = xM + c − c = xM Xét axM + b a ac xM + 2bc − ad y A + yB = + = = yM c c ( c xM + d ) cxM + d • Vậy M ln trung điểm AB Chứng minh (III): • ( bc − ad ) ( cxM + d ) IA ; c IB 0; c c ( c xM + d ) • IAB vng I SIAB = • bc − ad 1 ( cxM + d ) ( bc − ad ) IA IB = =2 = số 2 c c ( c xM + d ) c2 Vậy diện tích IAB khơng đổi với điểm M Chứng minh (IV): • 2d a x +b d 2a axE + b Gọi E xE ; E − xE ; − (C ) xE − F − cxE + d c c cxE + d c ( E , F đối xứng qua I ) • Phương trình tiếp tuyến E có hệ số góc: k E = • Phương trình tiếp tuyến F có hệ số góc: kF = • ad − bc 2d c − c − xE + d = ad − bc ( −2d − cxE + d ) = ad − bc ( cxE + d ) ad − bc ( −d − cxE ) (1) = ad − bc ( cxE + d ) (2) Từ (1, 2) suy kE = kF ax + b có đồ thị ( C ) , ( c 0, ad − bc 0) Gọi điểm cx + d ( C ) , biết tiếp tuyến ( C ) điểm M cắt trục Ox, Oy Bài toán 2.2: Cho hàm số: y = M ( x ; y0 ) A, B cho OA = n.OB Khi x0 thoả: cx0 + d = n ad − bc Hướng dẫn giải: • Xét hàm số y = http://dethithpt.com ad − bc ax + b , ( c 0, ad − bc 0) Ta có y ' = cx + d ( cx + d ) • • ax + b Gọi M x ; ( C ) điểm cần tìm Gọi tiếp tuyến với ( C ) M ta có cx0 + d ax + b ax + b ad − bc y= ( x − x0 ) + phương trình : y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + cx0 + d cx0 + d ( cx0 + d ) acx02 + 2bcx0 + bd Gọi A = Ox A − ;0 ad − bc acx + 2bcx + bd 0 B = Oy B 0; cx + d ( ) • Ta có acx02 + 2bcx0 + bd acx02 + 2bcx0 + bd OA = = ad − bc ad − bc OB = acx02 + 2bcx0 + bd ( cx0 + d ) = acx02 + 2bcx0 + bd ( cx0 + d ) (vì A, B khơng trùng O nên acx02 + 2bcx0 + bd ) • Ta có OA = n.OB acx02 + 2bcx0 + bd ad − bc = n acx02 + 2bcx0 + bd ( cx0 + d ) 1 = n ( cx0 + d ) = n ad − bc cx0 + d = n ad − bc ad − bc ( cx0 + d ) Các em bắt đầu theo dõi phần trắc nghiệm Bắt đầu làm từ dễ đến khó C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI I NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Câu Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − 3x + điểm A ( 3;1) A y = x − 26 B y = −9 x − 26 C y = −9 x − D y = x − Hướng dẫn giải: Tính y ' = 3x − x y ' ( 3) = pttt : y = x − 26 Câu Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − x + điểm B (1; −2 ) A y = −4 x + B y = x + C y = −4 x + D y = x + Hướng dẫn giải: Tính y ' = x3 − 8x y ' (1) = −4 pttt : y = −4 x + http://dethithpt.com Hướng dẫn giải 2 1 5 Ta có y = 3x − x + = 3( x − x + ) + = x − + y , = 3 3 x = x0 = , Câu 36 Cho hàm số y = 3x có đồ thị (C) Tiếp tuyến (C) tạo với trục hồnh góc 600 có x −1 phương trình y = − 3x + A y = − 3x y = 3x − B y = 3x y = − 3x + C y = 3x y = − 3x − D y = − 3x Hướng dẫn giải Ta có y , = − 0, x Tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 ) (C ) tạo với Ox góc 600 ( x − 1)2 y 0 y , ( x0 ) = tan 60 = ⎯⎯⎯ → y , ( x0 ) = − , − = − ( x0 − 1) = ( x0 − 1) y = − 3x + x = y0 = x0 = y0 = y = − 3x Câu 37 Cho hàm số y = x − 3mx + 3(m + 1) x + (1) , m tham số Kí hiệu (Cm ) đồ thị hàm số (1) K điểm thuộc (Cm ) , có hồnh độ −1 Tìm tất giá trị tham số m để tiếp tuyến (Cm ) điểm K song song với đường thẳng d : x + y = B m = −1 A m C m = −1 m = − D m = − Hướng dẫn giải Ta có y , = 3x − 6mx + 3(m + 1) Do K (Cm ) có hồnh độ -1, suy K ( −1; −6m − 3) Khi tiếp tuyến K có phương trình: : y = y, (−1)( x + 1) − 6m − : y = (9m + 6) x + 3m + Đường thẳng song song với đường thẳng d 9m + = −3 m = −1 3x + y = y = −3x m 3m + m −1 http://dethithpt.com mx + m − có đồ thị (C) Biết tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ -1 vng góc với đường thẳng có phương trình x − y + = Khi giá m Câu 38 Cho hàm số y = x + A m = −1 B m = C m = − 13 D m = − 11 Hướng dẫn giải Ta có: y ' = x + mx đường thẳng x − y + = viết thành y = 1 x+ 3 Theo ta có: y ' ( −1) = −3 −4 − m = −3 m = −1 Câu 39 Cho hàm số y = x + có đồ thị (C) Biết tiếp tuyến d đồ thị (C) vng góc với đường thẳng y = −3x + 2017 Hỏi hoành độ tiếp điểm d (C) ? A 4 C − B D - Hướng dẫn giải Ta có: y ' = Gọi x0 hoành độ tiếp điểm d (C) 2x + Theo ta có: y ' ( x0 ) = 1 = x0 + = x0 = x0 + Câu 40 Cho hàm số y = 3x − x có đồ thị (C) Từ điểm M (1;3) kẻ tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) ? A B C D Hướng dẫn giải Đường thẳng qua M (1;3) có hệ số góc k có dạng: y = k ( x −1) + (d ) Điều kiện để ( d ) tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm: 3x − x = k ( x − 1) + (1) Thay (2) vào (1) ta được: 3 − 12 x = k ( ) x = k = 3x − x = ( − 12 x ) ( x − 1) + x − 12 x = 3 x = k = −24 Vậy có tiếp tuyến http://dethithpt.com Câu 41 Cho hàm số y = x + x + có đồ thị (C) Tiếp tuyến điểm N (1; ) (C) cắt đồ thị (C) điểm thứ hai M Khi tọa độ điểm M A M ( −2; −8) B M ( −1;0) C M ( 0;2 ) D M ( 2;12 ) Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Ta có y ' = 3x + y ' (1) = , suy tiếp tuyến N (1; ) là: : y = x Phương trình hồnh độ giao điểm (C) là: x = x + x + = x x − 3x + = x = −2 y = −8 [Phương pháp trắc nghiệm] b xN + xM = − (Với y = ax + bx + cx + d hàm số ban đầu) a + xM = xM = −2 M ( −2; −8) Câu 42 Cho hàm số y = x − x + x + có đồ thị (C) Tiếp tuyến điểm N (C) cắt đồ thị (C) điểm thứ hai M ( −1; −2) Khi tọa độ điểm N B ( 2;5) A (1;2 ) C ( −1; −4 ) D ( 0;1) Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Đường thẳng qua điểm M ( −1; −2) có hệ số góc k có dạng : y = k ( x + 1) − tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm: x − x + x + = k ( x + 1) − (1) Thay (2) vào (1) ta được: x − x + = k ( ) x = −1 x3 − x + x + = ( 3x − x + 1) ( x + 1) − ( x + 1) ( x − 1) = x = 1 y = N (1;2) [Phương pháp trắc nghiệm] x N + xM = − http://dethithpt.com b (Với y = ax + bx + cx + d hàm số ban đầu) a xN + (−1) = xN = N (1;2 ) Câu 43 Cho hàm số y = x3 + 3mx + ( m + 1) x + có đồ thị (C) Với giá trị m tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hồnh độ -1 qua A (1;3) ? 7 B m = C m = − D m = − 9 Hướng dẫn giải Ta có: y ' = 3x + 6mx + m + Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tiếp tuyến cần lập A m = y ' ( −1) = − 5m Khi x0 = −1 suy phương trình tiếp tuyến là: y0 = m − : y = ( − 5m )( x + 1) + 2m − Do A (1; 3) = ( − 5m )(1 + 1) + 2m − m = x−m có đồ thị (C) Với giá trị m thi tiếp tuyến (C) x +1 điểm có hồnh độ song song với đường thẳng y = 3x + Câu 44 Cho hàm số y = A m = B m = C m = −2 Hướng dẫn giải Ta có: y ' = http://dethithpt.com 1+ m ( x + 1) y ' ( 0) = + m = m = D m = III CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO x có đồ thị (C) gốc tọa độ O Gọi tiếp tuyến (C), biết x +1 cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân Phương trình A y = x + B y = x + C y = x − D y = x Câu 45 Cho hàm số y = Hướng dẫn giải Ta có y ' = ( x + 1) 0, x −1 Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tiếp tuyến cần lập Tam giác OAB cân O nên OA = OB, suy y '0 y ' ( x0 ) = 1 ⎯⎯⎯ → y ' ( x0 ) = ( x0 + 1) x0 = =1 x0 = −2 • Với x0 = y0 = ( Loại M ( 0;0) O ) • Với x0 = −2 y0 = , suy phương trình tiếp tuyến : y = x + Câu 46 Cho hàm số y = − x − x + có đồ thị (C) Tiếp tuyến đồ thị (C) cắt trục Ox, Oy hai điểm A, B cho OB = 36OA có phương trình y = −36 x + 58 A y = 36 x + 58 x − 36 y − = C x + 36 y − = y = −36 x − 86 B y = 36 x − 86 x − 36 y + 14 = D x + 36 y + 14 = Hướng dẫn giải Do OB = 36 y , ( x0 ) = 36 OA • Với y , ( x0 ) = −36 −4 x3 − x0 = −36 x03 + x0 − 36 = x0 = y0 = y(2) = −14 Suy tiếp tuyến y = -36x + 58 • Với y , ( x0 ) = 36 −4 x3 − x0 = 36 x03 + x0 + 36 = x0 = −2 y0 = y(−2) = −14 Suy tiếp tuyến y = 36x + 58 Câu 47 Cho hàm số y = x −1 có đồ thị ( C ) Gọi điểm M ( x0 ; y0 ) với x0 −1 điểm ( x + 1) thuộc ( C ) , biết tiếp tuyến ( C ) điểm M cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB có trọng tâm G nằm đường thẳng d : x + y = Hỏi giá trị x0 + y0 ? http://dethithpt.com A − B C D − Hướng dẫn giải x −1 • Gọi M x ; ( C ) điểm cần tìm ( x0 + 1) • Gọi tiếp tuyến ( C ) M ta có phương trình : y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + x −1 x0 − 1 y= ( x − x0 ) + 2( x0 + 1) 2( x0 + 1) ( x0 + 1) x − x0 − x − x0 − • Gọi A = Ox A − ;0 B = Oy B 0; 2( x0 + 1) • Khi tạo với hai trục tọa độ OAB có trọng tâm là: x − x0 − x02 − x0 − G− ; 6( x + 1) • Do G đường thẳng: x + y = −4 4= ( x0 + 1) x02 − x0 − x02 − x0 − + =0 6( x0 + 1)2 (vì A, B không trùng O nên x02 − x0 − ) 1 x0 + = x0 = − x + = − x = − 0 2 • Với x0 = − 1 M (− ; − ) 2 • Với x0 = − 3 M (− ; ) 2 Chọn M ( − ; − ) x + y0 = − 2 Câu 48 Cho hàm số y = x − 2mx + m (1) , m tham số thực Kí hiệu (C) đồ thị hàm số (1); d tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ Tìm m để khoảng cách 3 từ điểm B ; 1 đến đường thẳng d đạt giá trị lớn 4 A m = http://dethithpt.com B m = −1 C m = D m = −2 Hướng dẫn giải • A (Cm ) nên A (1;1 − m) y ' = x3 − 4mx y ' (1) = − 4m • Phương trình tiếp tuyến ( Cm ) A: y − + m = y (1) ( x − 1) ( − 4m ) x − y − (1 − m ) = −1 • Khi d ( B; ) = 16 (1 − m ) + , Dấu ‘=’ xảy m = • Do d ( B; ) lớn m = 2x + có đồ thị ( C ) Có tiếp tuyến đồ thị ( C ) x +1 điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng d1 : 3x + y − = Câu 49 Cho hàm số y = A B.3 C D Hướng dẫn giải • Giả sử M ( x0 ; y0 ) (C ) y0 = • Ta x0 + x0 + d ( M , d1 ) = có: 3x0 + y0 − 32 + 42 = 3x0 + y0 − 12 = 3x0 + y0 + = x0 = M ( 0;3) x0 + • Với 3x0 + y0 − 12 = 3x0 + − 12 = 11 x = M2 ; x0 + 3 7 x0 = −5 M −5; x0 + • Với 3x0 + y0 + = 3x0 + +8 = x + 4 x0 = − M − ; −1 Suy có tiếp tuyến Câu 50 Cho hàm số y = 2x − có đồ thị ( C ) Gọi I giao điểm hai tiệm cận ( C ) Tìm x −1 điểm M thuộc ( C ) có hồnh độ lớn cho tiếp tuyến ( C ) M vng góc với đường thẳng MI A M ( 2;3) 5 B M 3; 2 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận http://dethithpt.com 7 C M 4; 3 D M (5;3) 2a − , ( a 1) a −1 2a − • Phương trình tiếp tuyến ( C ) M y = − x − a) + ( (a − 1) a −1 • Giao điểm hai tiệm cận I (1; ) Gọi M ( a; b) (C ) b = • Phương trình đường thẳng MI : y = ( x − 1) + (a − 1)2 • Tiếp tuyến M vng góc với MI nên ta có: − ( a − 1) ( a − 1) 2 a = b = = −1 a = b = Vậy điểm cần tìm M ( 2;3) [Phương pháp trắc nghiệm] Gọi M ( x0 ; y0 ) (C ) , điểm M thoả yêu cầu toán có hồnh độ tính sau: x0 = y0 = Vậy M ( 2;3) x0 − = ( −1) − ( −1) x0 − = 1 x0 = ( L) −x + có đồ thị ( C ) , đường thẳng d : y = x + m Với m ta 2x − ln có d cắt (C) điểm phân biệt A, B Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến Câu 51 Cho hàm số y = với ( C ) A, B Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn B m = −2 A m = −1 C m = D m = −5 Hướng dẫn giải • Phương trình hồnh độ giao điểm d (C): −x + x = x+m 2x − g ( x ) = x + 2mx − m − = (*) • Theo định lí Viet ta có: x1 + x2 = −m; x1 x2 = • Ta có y = −1 ( x − 1) −m − Giả sử: A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) • Tiếp tuyến ( C ) A B có hệ số góc là: k1 = − k1 + k2 = k1 + k2 = − ( x1 − 1) ; k2 = − ( x2 − 1) 4( x12 + x22 ) − 4( x1 + x2 ) + 1 − = − (2 x1 − 1)2 (2 x2 − 1) 4 x1 x2 − 2( x1 + x2 ) + 1 = − ( 4m + 8m + ) = −4 ( m + 1) − −2 http://dethithpt.com 2 • Dấu "=" xảy m = −1 Vậy: k1 + k2 đạt GTLN −2 m = −1 x+2 (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) , biết 2x + tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O A y = − x − B y = − x C y = − x + D y = − x + Câu 52 Cho hàm số y = Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] • Gọi M ( x0 ; y0 ) toạ độ tiếp điểm y ( x0 ) = −1 ( x0 + 3) • OAB cân O nên tiếp tuyến song song với đường thẳng y = − x (vì tiếp tuyến có hệ số góc âm) Nghĩa là: y ( x0 ) = −1 ( x0 + 3) x0 = −1 y0 = = −1 x0 = −2 y0 = • Với x0 = −1; y0 = : y − = − ( x + 1) y = − x (loại) • Với x0 = −2; y0 = : y − = − ( x + 2) y = − x − (nhận) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = − x − [Phương pháp trắc nghiệm] • Tam giác OAB cân gốc tọa độ O nên ta có OA = OB n = acx02 + 2bcx0 + bd x02 + x0 + x0 −1; x0 −3 x0 = −1 ( L ) cx0 + d = n ad − bc x0 + = −1 x0 = −2 ( N ) • Với x0 = −2; y0 = : y − = − ( x + 2) y = − x − (nhận) 2x − , ( C ) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) cho tiếp x −1 tuyến cắt trục Ox, Oy điểm A B thoả mãn OA = 4OB Câu 53 Cho hàm số y = y = − x + A 13 y = − x + 4 http://dethithpt.com y = − x + B 13 y = − x + y = − x + D 13 y = − x + 4 y = − x + C 13 y = − x + Hướng dẫn giải • Giả sử tiếp tuyến d ( C ) M ( x0 ; y0 ) (C ) cắt Ox A , Oy B cho OA = 4OB • Do tam giác OAB vuông O nên tan A = OB = Hệ số góc d OA − • Hệ số góc d y ( x0 ) = − ( x0 − 1) 0− ( x0 − 1) =− x0 = −1 y0 = x = y = y = − ( x + 1) + y = − x + • Khi có tiếp tuyến thoả mãn là: y = − ( x − 3) + y = − x + 13 4 Câu 54 Cho hàm số y = x có đồ thị ( C ) Gọi tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 ) (với x −1 x0 ) thuộc đồ thị ( C ) Để khoảng cách từ tâm đối xứng I đồ thị ( C ) đến tiếp tuyến lớn tung độ điểm M gần giá trị ? A B 3 C 5 D 7 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] −1 • Ta có: y = ; I (1;1) ( x − 1) x • Gọi M x0 ; ( C ) , ( x0 1) Phương trình tiếp tuyến M có dạng: x0 − : y = − http://dethithpt.com x ( x − x0 ) + x + ( x0 − 1) y − x02 = ( x0 − 1) x0 − • d ( I , ) = x0 − 1 + ( x0 − 1) = ( x0 − 1) + ( x0 − 1) 2 = 2 • Dấu " = " xảy khi: ( x0 − 1) x0 = y0 = ( N ) = ( x0 − 1) x0 − = x = L ( ) [Phương pháp trắc nghiệm] x0 = y0 = ( N ) Ta có IM ⊥ cx0 + d = ad − bc x0 − = −1 − x0 = ( L ) 2x −1 có đồ thị ( C ) Biết khoảng cách từ I ( −1; 2) đến tiếp tuyến x +1 ( C ) M lớn tung độ điểm M nằm góc phần tư thứ hai gần giá trị ? Câu 55 Cho hàm số y = A e C 3e B 2e D 4e Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] • Ta có: y = ( x + 1) 2x −1 • Gọi M x0 ; ( C ) , ( x0 −1) Phương trình tiếp tuyến M là: x0 + y= • d ( I , ) = 2x −1 ( x − x0 ) + 3x − ( x0 + 1) y + x02 − x0 − = ( x0 + 1) x0 + x0 + + ( x0 + 1) = + ( x0 + 1) 2 ( x0 + 1) = • Dấu " = " xảy khi: x0 = −1 + y0 = − ( L ) 2 = ( x + 1) x + = ( ) 0 ( x0 + 1) x0 = −1 − y0 = + ( N ) [Phương pháp trắc nghiệm] Ta có IM ⊥ cx0 + d = ad − bc x0 + = + http://dethithpt.com x0 = −1 + y = − ( L ) x0 = −1 − y = + ( N ) Câu 56 Cho hàm số y = 2x − có đồ thị ( C ) Biết tiếp tuyến M ( C ) cắt hai tiệm cận x−2 ( C ) A , B cho AB ngắn Khi độ dài lớn vectơ OM gần giá trị ? A B C D Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 2x − • Gọi M x0 ; ( C ) , ( x0 ) Phương trình tiếp tuyến M có dạng: x0 − 1 : y = − ( x − x0 ) + + ( x0 − 2) x0 − • Giao điểm với tiệm cận đứng là: A 2; + x − • Giao điểm với tiệm cận ngang là: B ( x0 − 2;2) 1 2 • Ta có: AB = ( x0 − ) + Dấu " = " xảy ( x0 − ) = 2 ( x0 − ) ( x0 − ) x0 = y0 = OM ( 3;3) OM = ( N ) x = y = OM (1;1) OM = ( L ) [Phương pháp trắc nghiệm] • AB ngắn suy khoảng cách từ I đến tiếp tuyến M ngắn xM = yM = IM ⊥ cxM + d = ad − bc xM − = −4 + xM = yM = OM = x−2 có đồ thị ( C ) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ( C ) x +1 tạo với hai đường tiệm cận tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn Khi Câu 57 Cho hàm số y = khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị ( C ) đến ? A B C D Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] x −2 • Gọi M x0 ; ( C ) , ( x0 −1) , I ( −1;1) Phương trình tiếp tuyến M có x0 + x −2 ( x − x0 ) + dạng: : y = x0 + ( x0 + 1) http://dethithpt.com x −5 • Giao điểm với tiệm cận đứng là: A −1; x0 + • Giao điểm với tiệm cận ngang là: B ( 2x0 + 1;1) • Ta có: IA = , IB = x0 + IA.IB = 12 Bán kính đường tròn ngoại tiếp x0 + IAB là: S IAB = pr r= S IAB IA.IB IA.IB IA.IB = = =2 3− 2 p IA + IB + IC IA + IB + IA + IB IA.IB + 2.IA.IB x = −1 + y0 = − • Suy rmax = − IA = IB x0 − = M xM = −1 − y0 = + • IM ( ) 3; − IM = [Phương pháp trắc nghiệm] • IA = IB IAB vuông cân I IM ⊥ x = −1 + yM = − • cxM + d = ad − bc xM + = + M xM = −1 − yM = + IM = Câu 58 Cho hàm số y = 2x +1 có đồ thị ( C ) Gọi I giao điểm hai tiệm cận Tiếp tuyến x −1 ( C ) cắt tiệm cận A B cho chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ Khoảng cách lớn từ gốc tọa độ đến tiếp tuyến gần giá trị ? A.5 B C D Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] • Gọi M ; + ( C ) , ( x0 1) Phương trình tiếp tuyến M có dạng: x0 − −3 : y = ( x − x0 ) + + x0 − ( x0 − 1) • Giao điểm với tiệm cận đứng là: A 1; + x0 − • Giao điểm với tiệm cận ngang là: B ( x0 −1; 2) http://dethithpt.com • Ta có: SIAB = 1 IA.IB = x0 − = 2.3 = 2 x0 − • IAB vng I có diện tích khơng đổi chu vi IAB đạt giá trị nhỏ IA = IB x0 = + = x0 − x0 − x0 = − • Với x0 = + phương trình tiếp tuyến : y = − x + + d ( O, ) = 3+ (N ) • Với x0 = − phương trình tiếp tuyến : y = − x + − d ( O, ) = −3 + ( L) [Phương pháp trắc nghiệm] x = 1+ y = + • IA = IB cxM + d = ad − bc xM − = −2 − M xM = − y = − 3+ (N) 2x −1 Câu 59 Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận Tiếp x−2 tuyến ( C ) M cắt đường tiệm cận A B cho đường tròn ngoại tiếp tam d ( O, ) = giác IAB có diện tích nhỏ Khi tiếp tuyến ( C ) tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích lớn thuộc khoảng ? A ( 27; 28) B ( 28; 29) C ( 26; 27 ) D ( 29; 30) Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 2x −1 • Gọi M x0 ; ( C ) , ( x0 ) Phương trình tiếp tuyến M có dạng: x0 − 2x −1 : y = − ( x − x0 ) + ( x0 − 2) x0 − 2x + • Giao điểm với tiệm cận đứng là: A 2; x0 − • Giao điểm với tiệm cận ngang là: B ( 2x0 − 2; 2) xA + xB = + x0 − = x0 M trung điểm AB • Xét x0 + 2 x0 − y + y = + = = y A B x0 − x0 − • IAB vng I nên M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB http://dethithpt.com x0 − S = R = IM = ( x0 − 2) + − = ( x0 − 2)2 + 6 2 ( x0 − 2) x0 − x0 = + y0 = 3+2 • Dấu " = " xảy ( x0 − 2)2 = ( x0 − 2) x0 = − + y0 = − + 2 • Với x0 = ( + : y = − x + + cắt trục tọa độ ) ( ) E 0; + , F + 4; SOEF = OE.OF = 14 + 27,8564 • Với x0 =− + : y = − x − + cắt trục tọa độ ( ) ( ) E 0; − + , F − + 4; SOEF = OE.OF = 14 − 0,1435 [Phương pháp trắc nghiệm] • IM lớn IM ⊥ cx0 + d = ad − bc x0 − = −4 + x0 = + y0 = 3+2 Giải tương tự x0 = − + y0 = − + http://dethithpt.com ... C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI II CÂU HỎI VẬN DỤNG THẤP Câu 31 Cho hàm số y = x − 3x + x + có đồ thị (C) Trong tiếp tuyến (C), tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ có phương trình A y = 3x +. .. Cho hàm số y = x − x + x + có đồ thị (C) Trong tiếp tuyến (C), tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất, hệ số góc tiếp tuyến A http://dethithpt.com B C D Hướng dẫn giải 2 1 5 Ta có y = 3x − x +. .. nghiệm] b xN + xM = − (Với y = ax + bx + cx + d hàm số ban đầu) a + xM = xM = −2 M ( −2; −8) Câu 42 Cho hàm số y = x − x + x + có đồ thị (C) Tiếp tuyến điểm N (C) cắt đồ thị (C) điểm thứ
Ngày đăng: 14/06/2018, 15:41
Xem thêm: