ỨNG DỤNG đạo hàm TIẾP TUYẾN của đồ THỊ hàm số (lý thuyết + bài tập vận dụng có lời giải) file word image marked

TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN A Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị ( C ) ; M ( x0 ; y0 )  (C )  Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm M ( x0 ; y0 ) (C): y = f(x) d : y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + y0  Trong đó: o M ( x0 ; y0 ) gọi tọa độ tiếp điểm o k = f ' ( x0 ) hệ số góc tiếp tuyến M ( x0 ; y0 )  (C ) Ghi nhớ:  Đường thẳng d: y = a x + b (a  0) có hệ số góc k = a  Cho đường thẳng d : y = ax + b ( a  0) ; d ' : y = a ' x + b ' ( a '  0) Khi đó: o  k = kd ' a = a ' d / /d '   d  b  b ' b  b '   o d ⊥ d '  kd kd ' = −1  a.a ' = −1  Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b ( a  0) hệ số góc tiếp tuyến k = a (nhớ thử lại)  Nếu tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = ax + b ( a  0) hệ số góc tiếp tuyến k = − a  Trục hoành (trục Ox ): y =  Trục tung (trục Oy ): x = B KỸ NĂNG CƠ BẢN Bài tốn 1: Các dạng phương trình tiếp tuyến thường gặp Cho hàm số y = f ( x ) , gọi đồ thị hàm số ( C ) Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) M ( xo ; yo ) Phương pháp o Bước Tính đạo hàm y = f  ( x ) hệ số góc tiếp tuyến k = y ( x0 ) o Bước Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm M ( x0 ; y0 ) có dạng: d : y = y ( x0 )( x − x0 ) + y0 Chú ý: http://dethithpt.com o Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x0 ta tìm y0 cách vào hàm số ban đầu, tức y0 = f ( x0 ) Nếu đề cho y0 ta thay vào hàm số để giải x0 o Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến giao điểm đồ thị (C ) : y = f ( x ) đường thẳng d : y = ax + b Khi hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình hoành độ giao điểm d ( C )  Sử dụng máy tính: Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng d : y = ax + b o Bước 1: Tìm hệ số góc tiếp tuyến k = y ( x0 ) Nhập nhấn SHIFT o  d ( f ( x) ) x = x0 dx cách sau nhấn = ta a Bước 2: Sau nhân với − X tiếp tục nhấn phím + f ( x) CALC X = xo nhấn phím = ta b Ví dụ minh họa: Ví dụ Cho hàm số ( C ) : y = x3 + 3x2 Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm M (1; ) là: A y = x − B y = x + C y = −9 x − D y = −9 x + Hướng dẫn giải Ta có: y' = 3x + 6x  k = y (1) = Phương trình tiếp tuyến M (1; ) là: d : y = y ' ( x0 )( x − xo ) + yo  y = ( x −1) +  y = 9x −  Sử dụng máy tính: d ( X + 3X ) x = dx o Nhập o Sau nhân với nhấn dấu = ta ( − X ) nhấn dấu + X + X CALC X = nhấn dấu = ta −5 Vậy phương trình tiếp tuyến M là: y = x − Ví dụ Cho hàm số y = −2 x3 + x − Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm M thuộc ( C ) có hồnh độ A y = −18 x + 49 B y = −18 x − 49 C y = 18 x + 49 Hướng dẫn giải Ta có: y = −6 x2 + 12 x x0 =  y0 = −5  M (3; −5)  k = y (3) = −18 Phương trình tiếp tuyến M là: y = −18 ( x − 3) −  y = −18x + 49 http://dethithpt.com D y = 18 x − 49  Sử dụng máy tính: d −2 X + X − ) ( x =3 dx o Nhập o Sau nhân với nhấn dấu = ta −18 ( − X ) nhấn dấu + −2 X + X − CALC X = nhấn dấu = ta 49 Vậy phương trình tiếp tuyến M là: y = −18 x + 49 x − x Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm M có hồnh độ x0  0, biết y ( xo ) = −1 là: Ví dụ Cho hàm số ( C ) : y = A y = −3 x + B y = −3x + 1 D y = −3 x + C y = −3x − Hướng dẫn giải Ta có: y = x3 − x , y = 3x2 − Mà y ( xo ) = −1  3x0 − = −1  x0 =  x0 = (vì x0  )  y0 = −  k = y (1) = −3 Phương trình tiếp tuyến M là: d : y = −3 ( x − 1) −  y = −3x +   Sử dụng máy tính: d 1 2 nhấn dấu = ta −3  X − 2X  dx  x=1 o Nhập o Sau nhân với ( −X ) nhấn dấu + X − 2X CALC X = nhấn dấu = ta Vậy phương trình tiếp tuyến d : y = −3x +  Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) có hệ số góc k cho trước Phương pháp o Bước Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tính y = f  ( x ) o Bước Hệ số góc tiếp tuyến k = f ' ( x0 ) Giải phương trình tìm x0 , thay vào hàm số y0 o Bước Với tiếp điểm ta tìm tiếp tuyến tương ứng d : y = y ( x0 )( x − x0 ) + y0 http://dethithpt.com Chú ý: Đề thường cho hệ số góc tiếp tuyến dạng sau: • Tiếp tuyến d //  : y = ax + b  hệ số góc tiếp tuyến k = a • Tiếp tuyến d ⊥  : y = ax + b  hệ số góc tiếp tuyến k = −  a • Tiếp tuyến tạo với trục hồnh góc  hệ số góc tiếp tuyến d k =  tan   Sử dụng máy tính: Nhập: k ( − X ) + f ( x ) CALC X = x0 nhấn dấu = ta b Phương trình tiếp tuyến d : y = kx + b Ví dụ minh họa: Ví dụ Cho hàm số ( C ) : y = x3 − 3x + Phương trình tiếp tuyến ( C ) biết hệ số góc tiếp tuyến là:  y = x − 14 A   y = x + 18  y = x + 15 B   y = x − 11  y = 9x − C   y = 9x +  y = 9x + D   y = 9x + Hướng dẫn giải Ta có y = 3x − , k = y ( x0 ) =  3x0 − =  x0 =  x0 =  + Với x0 =  y0 = ta có tiếp điểm M ( 2;4) Phương trình tiếp tuyến M là: y = ( x − 2) +  y = x −14 + Với x0 = −2  y0 = ta có tiếp điểm N ( −2;0 ) Phương trình tiếp tuyến N là: y = ( x + 2) +  y = x + 18 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm y = x − 14 y = x + 18  Sử dụng máy tính: + Với x0 = ta nhập ( − X ) + X − X + CALC X = nhấn dấu = ta −14  y = x − 14 + Với x0 = −2 ta nhập ( − X ) + X − X + CALC X = −2 nhấn dấu = ta 18  y = x + 18 2x +1  Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến song x+2 song với đường thẳng có phương trình  : 3x − y + = Ví dụ Cho hàm số ( C ) : y = A y = 3x + 14 Hướng dẫn giải http://dethithpt.com B y = 3x − C y = 3x + D y = 3x − Ta có y ' = nên k = + ( x + )2 ( x0 + ) ,  : 3x − y + =  y = x + Do tiếp tuyến song song với đường thẳng   x0 + =  x0 = −1 =  ( x0 + ) =     x0 + = −1  x0 = −3 Với x0 = −1 nhập ( − X ) + 2X +1 X +2 CALC X = −1 nhấn dấu = ta  d1 : y = 3x + ( loại trùng với  ) + Với x0 = −3 CALC X = −3 nhấn dấu = ta 14  d : y = 3x + 14 Vậy phương trình tiếp tuyến d : y = 3x + 14 Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) biết tiếp tuyến qua A ( xA ; y A ) Phương pháp Cách o Bước 1: Phương trình tiếp tuyến qua A ( xA ; yA ) hệ số góc k có dạng: d : y = k ( x − xA ) + yA () o Bước 2: d tiếp tuyến ( C ) hệ sau có nghiệm:   f ( x ) = k ( x − xA ) + y A    f ( x) = k o Bước 3: Giải hệ tìm x suy k vào phương trình () , ta tiếp tuyến cần tìm Cách o Bước Gọi M ( x0 ; f ( x0 ) ) tiếp điểm tính hệ số góc tiếp tuyến k = y ( x0 ) = f  ( x0 ) theo x0 o Bước Phương trình tiếp tuyến có dạng: d : y = y ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 () Do điểm A ( xA ; yA )  d nên yA = y ( x0 ) ( xA − x0 ) + y0 giải phương trình tìm x0 o Bước Thế x0 vào () ta tiếp tuyến cần tìm Chú ý: Đối với dạng viết phương trình tiếp tuyến qua điểm việc tính tốn tương đối thời gian Ta sử dụng máy tính thay đáp án: Cho f ( x ) kết đáp án Vào MODE → → nhập hệ số phương trình Thơng thường máy tính cho số nghiệm thực nhỏ số bậc phương trình ta chọn đáp án http://dethithpt.com Ví dụ minh họa: Ví dụ Cho hàm số ( C ) : y = −4 x3 + 3x + Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến qua điểm A ( −1;2 )  y = −9 x − A  y =  y = 4x + B   y = x +1 y = x −7 C   y = 3x −  y = −x − D   y = 2x − Hướng dẫn giải Ta có: y' = −12 x + + Gọi d phương trình tiếp tuyến ( C ) qua A ( −1; ) với hệ số góc k có phương trình là: d : y = k ( x + 1) + + d tiếp tuyến ( C ) hệ sau có nghiệm:  −4 x + 3x + = k ( x + 1) +   −12 x + = k (1) ( 2) Thay k từ ( 2) vào (1) ta −4 x3 + 3x + = ( −12 x + 3) ( x + 1) +  x = −1 1   x + 12 x − =   x −  ( x + 1) =   x = 2   + Với x = −1  k = −9 Phương trình tiếp tuyến là: y = −9 x + + Với x =  k = Phương trình tiếp tuyến là: y = 2 Dạng Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị hàm số ( C1 ) : y = f ( x ) (C2 ) : y = g ( x ) Phương pháp o Bước Gọi d tiếp tuyến chung ( C1 ) , ( C2 ) x0 hoành độ tiếp điểm d ( C1 ) phương trình d có dạng: y = f  ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ) (***) o Bước Dùng điều kiện tiếp xúc d ( C2 ) , tìm x0 o Bước Thế x0 vào (***) ta tiếp tuyến cần tìm Ví dụ minh họa: Ví dụ Cho hai hàm số: ( C1 ) : y = f ( x ) = x , x  ( C2 ) : y = g ( x ) = Phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị hàm số là: http://dethithpt.com − x , −  x  A y = x + 2 B y = x − C y = x + D y = x − Hướng dẫn giải + Gọi d phương trình tiếp tuyến chung ( C1 ) , ( C2 ) x0 hoành độ tiếp điểm d với ( C1 ) phương trình d là: y = f  ( x )( x − x0 ) + y0 = + d tiếp xúc với ( C2 ) ( x − x0 ) + x0 x0 x 1  − x = x + x0 hệ sau có nghiệm:   −x = 2 8− x x0  (1) ( 2) Thay ( 2) vào (1) ta phương trình hồnh độ tiếp điểm d ( C2 ) −  x  −  x  2   x − x  − x2 = − −  x   x   x = −2 x − x2   2 x − 2x − =  x ( − x ) = − x − ( − x ) Thay x = −2 vào ( 2) ta 1 =  x0 = x0 Vậy phương trình tiếp tuyến chung cần tìm là: y = http://dethithpt.com x+2 Bài toán 2: Một số cơng thức nhanh tính chất cần biết ax + b cx + d d   c  0, x  −  có đồ thị ( C ) Phương trình tiếp tuyến c   M thuộc ( C ) I giao điểm đường tiệm cận Ta ln có: Bài tốn 2.1: Cho hàm số y = (I) Nếu  ⊥ IM tồn điểm M thuộc nhánh đồ thị ( C ) đối xứng qua I xM = (II)  ad − bc − d c M trung điểm AB (với A, B giao điểm  với tiệm cận) bc − ad c2 (III) Diện tích tam giác IAB không đổi với điểm M SIAB = (IV) Nếu E , F thuộc nhánh đồ thị ( C ) E , F đối xứng qua I tiếp tuyến E , F song song với (suy đường thẳng d qua E , F qua tâm I ) Chứng minh: ad − bc  d a ; I  − ;  giao điểm tiệm cận  c c • Ta có: y = •  a x +b  d  Gọi M  xM ; M   (C )  xM  −  Phương trình tiếp tuyến M có dạng: cxM + d  c   : y = ( cx + d ) ax + b ad − bc ( x − xM ) + M (c xM + d ) cxM + d Chứng minh (I): •   d bc − ad  ad − bc   ; u  1; IM  xM + ;      c c cx + d ( ) cx + d ( ) M   M   •  ⊥ IM  IM u  =  xM + ( cxM + d ) − ( ad − bc )  c ( cxM + d ) • Cách nhớ: cxM + d = mẫ u sốcủ a hà m soá d bc − ad ad − bc + =0 c c ( cxM + d ) ( cxM + d )2 =  xM =  ad − bc − d c ad − bc tửsốcủ a đạo hà m Chứng minh (II): • d a  Giao điểm  với tiệm cận ngang là: A  xM + ;  c c  •  d ac xM + 2bc − ad  Giao điểm  với tiệm cận đứng là: B  − ;  c ( c xM + d )   c http://dethithpt.com • d d   xA + xB = xM + c − c = xM Xét  axM + b a ac xM + 2bc − ad  y A + yB = + = = yM c c ( c xM + d ) cxM + d  • Vậy M ln trung điểm AB Chứng minh (III): •  ( bc − ad )   ( cxM + d )  IA  ; c  IB  0;  c    c ( c xM + d )  •  IAB vng I  SIAB = • bc − ad 1 ( cxM + d ) ( bc − ad ) IA IB = =2 = số 2 c c ( c xM + d ) c2 Vậy diện tích  IAB khơng đổi với điểm M Chứng minh (IV): •   2d a x +b  d 2a axE + b   Gọi E  xE ; E − xE ; −   (C )  xE  −   F  −  cxE + d  c c cxE + d     c ( E , F đối xứng qua I ) • Phương trình tiếp tuyến E có hệ số góc: k E = • Phương trình tiếp tuyến F có hệ số góc: kF = • ad − bc   2d    c  − c − xE  + d      = ad − bc ( −2d − cxE + d ) = ad − bc ( cxE + d ) ad − bc ( −d − cxE ) (1) = ad − bc ( cxE + d ) (2) Từ (1, 2) suy kE = kF ax + b có đồ thị ( C ) , ( c  0, ad − bc  0) Gọi điểm cx + d ( C ) , biết tiếp tuyến ( C ) điểm M cắt trục Ox, Oy Bài toán 2.2: Cho hàm số: y = M ( x ; y0 ) A, B cho OA = n.OB Khi x0 thoả: cx0 + d =  n ad − bc Hướng dẫn giải: • Xét hàm số y = http://dethithpt.com ad − bc ax + b , ( c  0, ad − bc  0) Ta có y ' = cx + d ( cx + d ) • •  ax + b  Gọi M  x ;   ( C ) điểm cần tìm Gọi  tiếp tuyến với ( C ) M ta có cx0 + d   ax + b ax + b ad − bc y= ( x − x0 ) + phương trình  : y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + cx0 + d cx0 + d ( cx0 + d )  acx02 + 2bcx0 + bd  Gọi A =   Ox  A  − ;0  ad − bc    acx + 2bcx + bd  0 B =   Oy  B  0;    cx + d ( )   • Ta có acx02 + 2bcx0 + bd acx02 + 2bcx0 + bd OA = = ad − bc ad − bc OB = acx02 + 2bcx0 + bd ( cx0 + d ) = acx02 + 2bcx0 + bd ( cx0 + d ) (vì A, B khơng trùng O nên acx02 + 2bcx0 + bd  ) • Ta có OA = n.OB   acx02 + 2bcx0 + bd ad − bc = n acx02 + 2bcx0 + bd ( cx0 + d ) 1 = n  ( cx0 + d ) = n ad − bc  cx0 + d =  n ad − bc ad − bc ( cx0 + d ) Các em bắt đầu theo dõi phần trắc nghiệm Bắt đầu làm từ dễ đến khó C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI I NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Câu Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − 3x + điểm A ( 3;1) A y = x − 26 B y = −9 x − 26 C y = −9 x − D y = x − Hướng dẫn giải: Tính y ' = 3x − x  y ' ( 3) =  pttt : y = x − 26 Câu Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − x + điểm B (1; −2 ) A y = −4 x + B y = x + C y = −4 x + D y = x + Hướng dẫn giải: Tính y ' = x3 − 8x  y ' (1) = −4  pttt : y = −4 x + http://dethithpt.com Hướng dẫn giải 2 1 5  Ta có y = 3x − x + = 3( x − x + ) + =  x −  +   y , = 3 3  x = x0 = , Câu 36 Cho hàm số y = 3x có đồ thị (C) Tiếp tuyến (C) tạo với trục hồnh góc 600 có x −1 phương trình  y = − 3x + A   y = − 3x  y = 3x − B   y = 3x  y = − 3x + C   y = 3x  y = − 3x − D   y = − 3x Hướng dẫn giải Ta có y , = −  0, x  Tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 )  (C ) tạo với Ox góc 600 ( x − 1)2 y 0  y , ( x0 ) =  tan 60 =  ⎯⎯⎯ → y , ( x0 ) = −  , − = −  ( x0 − 1) = ( x0 − 1)  y = − 3x +  x =  y0 =    x0 =  y0 =  y = − 3x Câu 37 Cho hàm số y = x − 3mx + 3(m + 1) x + (1) , m tham số Kí hiệu (Cm ) đồ thị hàm số (1) K điểm thuộc (Cm ) , có hồnh độ −1 Tìm tất giá trị tham số m để tiếp tuyến (Cm ) điểm K song song với đường thẳng d : x + y = B m = −1 A m  C m = −1 m = − D m = − Hướng dẫn giải Ta có y , = 3x − 6mx + 3(m + 1) Do K  (Cm ) có hồnh độ -1, suy K ( −1; −6m − 3) Khi tiếp tuyến K có phương trình:  : y = y, (−1)( x + 1) − 6m −   : y = (9m + 6) x + 3m + Đường thẳng  song song với đường thẳng d 9m + = −3 m = −1  3x + y =  y = −3x     m  3m +  m  −1 http://dethithpt.com mx + m − có đồ thị (C) Biết tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ -1 vng góc với đường thẳng có phương trình x − y + = Khi giá m Câu 38 Cho hàm số y = x + A m = −1 B m = C m = − 13 D m = − 11 Hướng dẫn giải Ta có: y ' = x + mx đường thẳng x − y + = viết thành y = 1 x+ 3 Theo ta có: y ' ( −1) = −3  −4 − m = −3  m = −1 Câu 39 Cho hàm số y = x + có đồ thị (C) Biết tiếp tuyến d đồ thị (C) vng góc với đường thẳng y = −3x + 2017 Hỏi hoành độ tiếp điểm d (C) ? A 4 C − B D - Hướng dẫn giải Ta có: y ' = Gọi x0 hoành độ tiếp điểm d (C) 2x + Theo ta có: y ' ( x0 ) = 1  =  x0 + =  x0 = x0 + Câu 40 Cho hàm số y = 3x − x có đồ thị (C) Từ điểm M (1;3) kẻ tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) ? A B C D Hướng dẫn giải Đường thẳng qua M (1;3) có hệ số góc k có dạng: y = k ( x −1) + (d ) Điều kiện để ( d ) tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm:  3x − x = k ( x − 1) + (1) Thay (2) vào (1) ta được:   3 − 12 x = k ( ) x = k = 3x − x = ( − 12 x ) ( x − 1) +  x − 12 x =   3 x = k = −24  Vậy có tiếp tuyến http://dethithpt.com Câu 41 Cho hàm số y = x + x + có đồ thị (C) Tiếp tuyến điểm N (1; ) (C) cắt đồ thị (C) điểm thứ hai M Khi tọa độ điểm M A M ( −2; −8) B M ( −1;0) C M ( 0;2 ) D M ( 2;12 ) Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Ta có y ' = 3x +  y ' (1) = , suy tiếp tuyến N (1; ) là:  : y = x Phương trình hồnh độ giao điểm  (C) là: x = x + x + = x  x − 3x + =    x = −2  y = −8 [Phương pháp trắc nghiệm] b xN + xM = − (Với y = ax + bx + cx + d hàm số ban đầu) a  + xM =  xM = −2  M ( −2; −8) Câu 42 Cho hàm số y = x − x + x + có đồ thị (C) Tiếp tuyến điểm N (C) cắt đồ thị (C) điểm thứ hai M ( −1; −2) Khi tọa độ điểm N B ( 2;5) A (1;2 ) C ( −1; −4 ) D ( 0;1) Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Đường thẳng  qua điểm M ( −1; −2) có hệ số góc k có dạng  : y = k ( x + 1) −  tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm:   x − x + x + = k ( x + 1) − (1) Thay (2) vào (1) ta được:  x − x + = k ( )    x = −1 x3 − x + x + = ( 3x − x + 1) ( x + 1) −  ( x + 1) ( x − 1) =   x = 1 y =  N (1;2) [Phương pháp trắc nghiệm] x N + xM = − http://dethithpt.com b (Với y = ax + bx + cx + d hàm số ban đầu) a  xN + (−1) =  xN =  N (1;2 ) Câu 43 Cho hàm số y = x3 + 3mx + ( m + 1) x + có đồ thị (C) Với giá trị m tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hồnh độ -1 qua A (1;3) ? 7 B m = C m = − D m = − 9 Hướng dẫn giải Ta có: y ' = 3x + 6mx + m + Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tiếp tuyến cần lập A m =   y ' ( −1) = − 5m Khi x0 = −1   suy phương trình tiếp tuyến là:   y0 = m −  : y = ( − 5m )( x + 1) + 2m − Do A (1; 3)    = ( − 5m )(1 + 1) + 2m −  m = x−m có đồ thị (C) Với giá trị m thi tiếp tuyến (C) x +1 điểm có hồnh độ song song với đường thẳng y = 3x + Câu 44 Cho hàm số y = A m = B m = C m = −2 Hướng dẫn giải Ta có: y ' = http://dethithpt.com 1+ m ( x + 1) y ' ( 0) =  + m =  m = D m = III CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO x có đồ thị (C) gốc tọa độ O Gọi  tiếp tuyến (C), biết x +1  cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân Phương trình  A y = x + B y = x + C y = x − D y = x Câu 45 Cho hàm số y = Hướng dẫn giải Ta có y ' = ( x + 1)  0, x  −1 Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tiếp tuyến cần lập Tam giác OAB cân O nên OA = OB, suy y '0 y ' ( x0 ) = 1 ⎯⎯⎯ → y ' ( x0 ) =  ( x0 + 1)  x0 = =1   x0 = −2 • Với x0 =  y0 = ( Loại M ( 0;0)  O ) • Với x0 = −2  y0 = , suy phương trình tiếp tuyến  : y = x + Câu 46 Cho hàm số y = − x − x + có đồ thị (C) Tiếp tuyến đồ thị (C) cắt trục Ox, Oy hai điểm A, B cho OB = 36OA có phương trình  y = −36 x + 58 A   y = 36 x + 58  x − 36 y − = C   x + 36 y − =  y = −36 x − 86 B   y = 36 x − 86  x − 36 y + 14 = D   x + 36 y + 14 = Hướng dẫn giải Do OB = 36  y , ( x0 ) = 36 OA • Với y , ( x0 ) = −36  −4 x3 − x0 = −36  x03 + x0 − 36 =  x0 =  y0 = y(2) = −14 Suy tiếp tuyến y = -36x + 58 • Với y , ( x0 ) = 36  −4 x3 − x0 = 36  x03 + x0 + 36 =  x0 = −2  y0 = y(−2) = −14 Suy tiếp tuyến y = 36x + 58 Câu 47 Cho hàm số y = x −1 có đồ thị ( C ) Gọi điểm M ( x0 ; y0 ) với x0  −1 điểm ( x + 1) thuộc ( C ) , biết tiếp tuyến ( C ) điểm M cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB có trọng tâm G nằm đường thẳng d : x + y = Hỏi giá trị x0 + y0 ? http://dethithpt.com A − B C D − Hướng dẫn giải  x −1  • Gọi M  x ;   ( C ) điểm cần tìm  ( x0 + 1)   • Gọi  tiếp tuyến ( C ) M ta có phương trình  : y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + x −1 x0 − 1 y= ( x − x0 ) + 2( x0 + 1) 2( x0 + 1) ( x0 + 1)  x − x0 −   x − x0 −  • Gọi A =   Ox  A  − ;0  B =   Oy  B  0;     2( x0 + 1)  • Khi  tạo với hai trục tọa độ  OAB có trọng tâm là:  x − x0 − x02 − x0 −  G− ;  6( x + 1)   • Do G  đường thẳng: x + y =  −4 4= ( x0 + 1) x02 − x0 − x02 − x0 − + =0 6( x0 + 1)2 (vì A, B không trùng O nên x02 − x0 −  ) 1    x0 + =  x0 = −   x + = − x = − 0 2   • Với x0 = − 1  M (− ; − ) 2 • Với x0 = − 3  M (− ; ) 2 Chọn M ( − ; − )  x + y0 = − 2 Câu 48 Cho hàm số y = x − 2mx + m (1) , m tham số thực Kí hiệu (C) đồ thị hàm số (1); d tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ Tìm m để khoảng cách 3  từ điểm B  ; 1 đến đường thẳng d đạt giá trị lớn 4  A m = http://dethithpt.com B m = −1 C m = D m = −2 Hướng dẫn giải • A  (Cm ) nên A (1;1 − m) y ' = x3 − 4mx  y ' (1) = − 4m • Phương trình tiếp tuyến ( Cm ) A: y − + m = y  (1) ( x − 1)  ( − 4m ) x − y − (1 − m ) = −1 • Khi d ( B;  ) = 16 (1 − m ) +  , Dấu ‘=’ xảy  m = • Do d ( B;  ) lớn m = 2x + có đồ thị ( C ) Có tiếp tuyến đồ thị ( C ) x +1 điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng d1 : 3x + y − = Câu 49 Cho hàm số y = A B.3 C D Hướng dẫn giải • Giả sử M ( x0 ; y0 )  (C )  y0 = • Ta x0 + x0 + d ( M , d1 ) =  có: 3x0 + y0 − 32 + 42 =  3x0 + y0 − 12 = 3x0 + y0 + =  x0 =  M ( 0;3)  x0 +   • Với 3x0 + y0 − 12 =  3x0 +   − 12 =    11  x =  M2  ;   x0 +   3  7    x0 = −5  M  −5;   x0 +  • Với 3x0 + y0 + =  3x0 +  +8 =   x + 4       x0 = −  M  − ; −1 Suy có tiếp tuyến Câu 50 Cho hàm số y = 2x − có đồ thị ( C ) Gọi I giao điểm hai tiệm cận ( C ) Tìm x −1 điểm M thuộc ( C ) có hồnh độ lớn cho tiếp tuyến ( C ) M vng góc với đường thẳng MI A M ( 2;3)  5 B M  3;   2 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận http://dethithpt.com  7 C M  4;   3 D M (5;3) 2a − , ( a  1) a −1 2a − • Phương trình tiếp tuyến ( C ) M y = − x − a) + ( (a − 1) a −1 • Giao điểm hai tiệm cận I (1; ) Gọi M ( a; b)  (C )  b = • Phương trình đường thẳng MI : y = ( x − 1) + (a − 1)2 • Tiếp tuyến M vng góc với MI nên ta có: − ( a − 1) ( a − 1) 2 a =  b = = −1   a =  b = Vậy điểm cần tìm M ( 2;3) [Phương pháp trắc nghiệm] Gọi M ( x0 ; y0 )  (C ) , điểm M thoả yêu cầu toán có hồnh độ tính sau:  x0 =  y0 = Vậy M ( 2;3) x0 − =  ( −1) − ( −1)  x0 − = 1    x0 = ( L) −x + có đồ thị ( C ) , đường thẳng d : y = x + m Với m ta 2x − ln có d cắt (C) điểm phân biệt A, B Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến Câu 51 Cho hàm số y = với ( C ) A, B Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn B m = −2 A m = −1 C m = D m = −5 Hướng dẫn giải • Phương trình hồnh độ giao điểm d (C):  −x + x  = x+m   2x −  g ( x ) = x + 2mx − m − = (*)  • Theo định lí Viet ta có: x1 + x2 = −m; x1 x2 = • Ta có y = −1 ( x − 1) −m − Giả sử: A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) • Tiếp tuyến ( C ) A B có hệ số góc là: k1 = −  k1 + k2 = k1 + k2 = − ( x1 − 1) ; k2 = − ( x2 − 1) 4( x12 + x22 ) − 4( x1 + x2 ) + 1 − = − (2 x1 − 1)2 (2 x2 − 1) 4 x1 x2 − 2( x1 + x2 ) + 1 = − ( 4m + 8m + ) = −4 ( m + 1) −  −2 http://dethithpt.com 2 • Dấu "=" xảy  m = −1 Vậy: k1 + k2 đạt GTLN −2 m = −1 x+2 (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) , biết 2x + tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O A y = − x − B y = − x C y = − x + D y = − x + Câu 52 Cho hàm số y = Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] • Gọi M ( x0 ; y0 ) toạ độ tiếp điểm  y ( x0 ) = −1 ( x0 + 3)  • OAB cân O nên tiếp tuyến  song song với đường thẳng y = − x (vì tiếp tuyến có hệ số góc âm) Nghĩa là: y ( x0 ) = −1 ( x0 + 3)  x0 = −1  y0 = = −1    x0 = −2  y0 = • Với x0 = −1; y0 =  : y − = − ( x + 1)  y = − x (loại) • Với x0 = −2; y0 =  : y − = − ( x + 2)  y = − x − (nhận) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = − x − [Phương pháp trắc nghiệm] • Tam giác OAB cân gốc tọa độ O nên ta có OA = OB  n = acx02 + 2bcx0 + bd   x02 + x0 +   x0  −1; x0  −3  x0 = −1 ( L ) cx0 + d =  n ad − bc  x0 + =  −1    x0 = −2 ( N ) • Với x0 = −2; y0 =  : y − = − ( x + 2)  y = − x − (nhận) 2x − , ( C ) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) cho tiếp x −1 tuyến cắt trục Ox, Oy điểm A B thoả mãn OA = 4OB Câu 53 Cho hàm số y =  y = − x + A  13 y = − x +  4 http://dethithpt.com  y = − x + B  13 y = − x +   y = − x + D  13 y = − x +  4  y = − x + C  13 y = − x +  Hướng dẫn giải • Giả sử tiếp tuyến d ( C ) M ( x0 ; y0 )  (C ) cắt Ox A , Oy B cho OA = 4OB • Do tam giác OAB vuông O nên tan A = OB =  Hệ số góc d OA − • Hệ số góc d y ( x0 ) = − ( x0 − 1) 0− ( x0 − 1) =−   x0 = −1  y0 =   x =  y =     y = − ( x + 1) + y = − x + • Khi có tiếp tuyến thoả mãn là:    y = − ( x − 3) +  y = − x + 13  4  Câu 54 Cho hàm số y = x có đồ thị ( C ) Gọi  tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 ) (với x −1 x0  ) thuộc đồ thị ( C ) Để khoảng cách từ tâm đối xứng I đồ thị ( C ) đến tiếp tuyến  lớn tung độ điểm M gần giá trị ? A  B 3 C 5 D 7 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] −1 • Ta có: y  = ; I (1;1) ( x − 1)  x  • Gọi M  x0 ;   ( C ) , ( x0  1) Phương trình tiếp tuyến M có dạng:  x0 −  : y = − http://dethithpt.com x ( x − x0 ) +  x + ( x0 − 1) y − x02 = ( x0 − 1) x0 − • d ( I , ) = x0 − 1 + ( x0 − 1) = ( x0 − 1)  + ( x0 − 1) 2 = 2 • Dấu " = " xảy khi: ( x0 − 1)  x0 =  y0 = ( N ) = ( x0 − 1)  x0 − =   x = L ( )  [Phương pháp trắc nghiệm]  x0 =  y0 = ( N ) Ta có IM ⊥   cx0 + d =  ad − bc  x0 − =  −1 −    x0 = ( L ) 2x −1 có đồ thị ( C ) Biết khoảng cách từ I ( −1; 2) đến tiếp tuyến x +1 ( C ) M lớn tung độ điểm M nằm góc phần tư thứ hai gần giá trị ? Câu 55 Cho hàm số y = A e C 3e B 2e D 4e Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] • Ta có: y  = ( x + 1)  2x −1  • Gọi M  x0 ;   ( C ) , ( x0  −1) Phương trình tiếp tuyến M là: x0 +   y= • d ( I , ) = 2x −1 ( x − x0 ) +  3x − ( x0 + 1) y + x02 − x0 − = ( x0 + 1) x0 + x0 + + ( x0 + 1) = + ( x0 + 1) 2 ( x0 + 1)  = • Dấu " = " xảy khi:  x0 = −1 +  y0 = − ( L ) 2  = ( x + 1)  x + =  ( ) 0 ( x0 + 1)  x0 = −1 −  y0 = + ( N ) [Phương pháp trắc nghiệm] Ta có IM ⊥   cx0 + d =  ad − bc  x0 + =  + http://dethithpt.com  x0 = −1 +  y = − ( L )   x0 = −1 −  y = + ( N ) Câu 56 Cho hàm số y = 2x − có đồ thị ( C ) Biết tiếp tuyến M ( C ) cắt hai tiệm cận x−2 ( C ) A , B cho AB ngắn Khi độ dài lớn vectơ OM gần giá trị ? A B C D Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận]  2x −  • Gọi M  x0 ;   ( C ) , ( x0  ) Phương trình tiếp tuyến M có dạng: x0 −   1 : y = − ( x − x0 ) + + ( x0 − 2) x0 −   • Giao điểm  với tiệm cận đứng là: A  2; +  x −   • Giao điểm  với tiệm cận ngang là: B ( x0 − 2;2)   1 2 • Ta có: AB = ( x0 − ) +  Dấu " = " xảy ( x0 − ) = 2 ( x0 − ) ( x0 − )    x0 =  y0 =  OM ( 3;3)  OM = ( N )   x =  y =  OM (1;1)  OM = ( L )  [Phương pháp trắc nghiệm] • AB ngắn suy khoảng cách từ I đến tiếp tuyến  M ngắn  xM =  yM =  IM ⊥   cxM + d =  ad − bc  xM − =  −4 +    xM =  yM =  OM = x−2 có đồ thị ( C ) Phương trình tiếp tuyến  đồ thị hàm số ( C ) x +1 tạo với hai đường tiệm cận tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn Khi Câu 57 Cho hàm số y = khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị ( C ) đến  ? A B C D Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận]  x −2 • Gọi M  x0 ;   ( C ) , ( x0  −1) , I ( −1;1) Phương trình tiếp tuyến M có x0 +   x −2 ( x − x0 ) + dạng:  : y = x0 + ( x0 + 1) http://dethithpt.com  x −5 • Giao điểm  với tiệm cận đứng là: A  −1;  x0 +   • Giao điểm  với tiệm cận ngang là: B ( 2x0 + 1;1) • Ta có: IA = , IB = x0 +  IA.IB = 12 Bán kính đường tròn ngoại tiếp x0 +  IAB là: S IAB = pr r= S IAB IA.IB IA.IB IA.IB = =  =2 3− 2 p IA + IB + IC IA + IB + IA + IB IA.IB + 2.IA.IB  x = −1 +  y0 = − • Suy rmax = −  IA = IB  x0 − =   M  xM = −1 −  y0 = + • IM ( ) 3; −  IM = [Phương pháp trắc nghiệm] • IA = IB   IAB vuông cân I  IM ⊥   x = −1 +  yM = − • cxM + d =  ad − bc  xM + =  +   M  xM = −1 −  yM = +  IM = Câu 58 Cho hàm số y = 2x +1 có đồ thị ( C ) Gọi I giao điểm hai tiệm cận Tiếp tuyến x −1  ( C ) cắt tiệm cận A B cho chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ Khoảng cách lớn từ gốc tọa độ đến tiếp tuyến  gần giá trị ? A.5 B C D Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận]   • Gọi M  ; +   ( C ) , ( x0  1) Phương trình tiếp tuyến M có dạng: x0 −   −3 : y = ( x − x0 ) + + x0 − ( x0 − 1)   • Giao điểm  với tiệm cận đứng là: A 1; +  x0 −   • Giao điểm  với tiệm cận ngang là: B ( x0 −1; 2) http://dethithpt.com • Ta có: SIAB = 1 IA.IB =   x0 − = 2.3 = 2 x0 − •  IAB vng I có diện tích khơng đổi  chu vi  IAB đạt giá trị nhỏ IA = IB   x0 = + = x0 −   x0 −  x0 = − • Với x0 = + phương trình tiếp tuyến  : y = − x + +  d ( O,  ) = 3+ (N ) • Với x0 = − phương trình tiếp tuyến  : y = − x + −  d ( O,  ) = −3 + ( L) [Phương pháp trắc nghiệm] x = 1+  y = + • IA = IB  cxM + d =  ad − bc  xM − =  −2 −   M  xM = −  y = − 3+ (N) 2x −1 Câu 59 Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận Tiếp x−2 tuyến  ( C ) M cắt đường tiệm cận A B cho đường tròn ngoại tiếp tam  d ( O,  ) = giác IAB có diện tích nhỏ Khi tiếp tuyến  ( C ) tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích lớn thuộc khoảng ? A ( 27; 28) B ( 28; 29) C ( 26; 27 ) D ( 29; 30) Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận]  2x −1  • Gọi M  x0 ;   ( C ) , ( x0  ) Phương trình tiếp tuyến M có dạng: x0 −   2x −1 : y = − ( x − x0 ) + ( x0 − 2) x0 −  2x +  • Giao điểm  với tiệm cận đứng là: A  2;  x0 −   • Giao điểm  với tiệm cận ngang là: B ( 2x0 − 2; 2)  xA + xB = + x0 − = x0   M trung điểm AB • Xét  x0 + 2 x0 − y + y = + = = y A B  x0 − x0 −  •  IAB vng I nên M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB http://dethithpt.com   x0 −      S =  R =  IM =  ( x0 − 2) +  −   =  ( x0 − 2)2 +  6 2 ( x0 − 2)    x0 −     x0 = +  y0 = 3+2 • Dấu " = " xảy ( x0 − 2)2 =   ( x0 − 2)  x0 = − +  y0 = − + 2 • Với x0 = ( +   : y = − x + + cắt trục tọa độ ) ( ) E 0; + , F + 4;  SOEF = OE.OF = 14 +  27,8564 • Với x0 =− +   : y = − x − + cắt trục tọa độ ( ) ( ) E 0; − + , F − + 4;  SOEF = OE.OF = 14 −  0,1435 [Phương pháp trắc nghiệm] • IM lớn  IM ⊥   cx0 + d =  ad − bc  x0 − =  −4 +  x0 = +  y0 = 3+2 Giải tương tự   x0 = − +  y0 = − + http://dethithpt.com ... C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI II CÂU HỎI VẬN DỤNG THẤP Câu 31 Cho hàm số y = x − 3x + x + có đồ thị (C) Trong tiếp tuyến (C), tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ có phương trình A y = 3x +. .. Cho hàm số y = x − x + x + có đồ thị (C) Trong tiếp tuyến (C), tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất, hệ số góc tiếp tuyến A http://dethithpt.com B C D Hướng dẫn giải 2 1 5  Ta có y = 3x − x +. .. nghiệm] b xN + xM = − (Với y = ax + bx + cx + d hàm số ban đầu) a  + xM =  xM = −2  M ( −2; −8) Câu 42 Cho hàm số y = x − x + x + có đồ thị (C) Tiếp tuyến điểm N (C) cắt đồ thị (C) điểm thứ