Bài toán vận dụng cao chủ đề 5 KHỐI đa DIỆN có lời giải file word image marked

PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) Chủ đề KHỐI ĐA DIỆN Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB = a, AD = a Tính khoảng cách hai đường thẳng BB AC a a a B a C D A Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: AC = BH = ( AB) + ( BC) 2 D = 2a Kẻ BH ⊥ AC A AB.BC  a.a a = = BC  2a C B Vì BB// ( ACCA) nên d ( BB, AC) = d ( BB, ( ACCA) ) D' C' H d ( BB, ( ACC A ) ) = BH = Nên d ( BB, AC  ) = Câu 2: a B' A' a (SGD VĨNH PHÚC) Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , tam giác ABC vuông cân B , AC = 2a SA = a Gọi M trung điểm cạnh SB Tính thể tích khối chóp S.AMC a3 a3 a3 a3 A B D C 12 Hướng dẫn giải Chọn A Xét tam giác vuông cân ABC có: AB = BC = S ABC = AC =a 2 AB.BC = a 2 1 a3 VS ABC = SA.S ABC = a.a = 3 Áp dụng định lí Sim-Son ta có: VSAMC SA SM SC = = VS ABC SA SB SC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word S a M A 2a B C a3  VS AMC = VS ABC = Câu 3: (SGD VĨNH PHÚC) Cho hình lăng trụ đứng ABC A1B1C1 có AB = a , AC = 2a , AA1 = 2a BAC = 120 Gọi K , I trung điểm cạnh CC1 , BB1 Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng ( A1BK ) A a B a 15 C a D a 15 Hướng dẫn giải Chọn C C1 A1 Ta có IK = B1C1 = BC = AB + AC − AB AC.cos1200 = a Kẻ AH ⊥ B1C1 AH đường cao tứ diện A1 BIK Vì A1 H B1C1 = A1 B1 A1C1.sin1200  A1H = S IKB = a 21 H B1 K I C A 1 IK KB = a 35  VA1 IBK = a 15(dvtt ) 2 B Mặt khác áp dụng định lý Pitago cơng thức Hê-rơng ta tính đc SA1BK = 3a ( dvdt ) Do d ( I , ( A1BK ) ) = Câu 4: 3VA1IBK SA1BK = a (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật Tam giác SAB vuông cân A nằm mặt phẳng vng góc với đáy SB = Gọi M trung điểm cạnh SD Tính khoảng cách l từ điểm M đến mặt phẳng ( SBC ) A l = B l = 2 C l = Hướng dẫn giải D l = 2 S K H M N D A B C ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) , ( SAB )  ( ABCD ) = AB Theo giả thiết, ta có   SA ⊥ ( ABCD )  SA ⊥ AB Gọi N , H , K trung điểm cạnh SA, SB đoạn SH  BC ⊥ SA  BC ⊥ ( SAB )  BC ⊥ AH Ta có   BC ⊥ AB Mà AH ⊥ SB ( ABC cân A có AH trung tuyến) Suy AH ⊥ ( SBC ) , KN ⊥ ( SBC ) (vì KN || AH , đường trung bình) Mặt khác MN || BC  MN || ( SBC ) Nên d ( M , ( SBC ) ) = d ( N , ( SBC ) ) = NK = AH = 2 Đáp án: B Câu 5: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho tứ diện ABCD có cạnh Gọi M , N trung điểm cạnh AD, BD Lấy điểm không đổi P cạnh AB (khác A, B ) Thể tích khối chóp PMNC A 16 B 3 C 3 D 27 12 Hướng dẫn giải A Chọn A Do AB ( CMN ) nên d ( P, (CMN )) = d ( A, (CMN )) = d ( D, (CMN )) M P Vậy VPCMN = VDPMN = VMCND = VABCD N B (Do diện tích đáy chiều cao nửa) C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word D Mặt khác VABCD Câu 6: a2 a3 27 27  a  nên VMCND = = = a − = =  12 16 12 12  3 (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho tứ diện ABCD có AD = 14, BC = Gọi M , N trung điểm cạnh AC , BD MN = Gọi  góc hai đường thẳng BC MN Tính sin  2 A B C D Hướng dẫn giải Gọi P trung điểm A cạnh CD , ta có  = ( MN , BC ) = ( MN , NP ) 14 Trong tam cos MNP = MNP , ta có MN + PN − MP = Suy MNP = 60 2MN NP D Suy sin  = Câu 7: giác M N B P C (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho lăng trụ tam giác ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC cạnh AB = 2a Biết AC ' = 8a tạo với mặt đáy góc 450 Thể tích khối đa diện ABCC ' B ' 16a D 16a 3 C 8a B 8a 3 A Hướng dẫn giải Gọi H hình chiếu A lên mp ( A ' B ' C ') B 2a A  HC ' A = 45 C  AHC ' vuông cân H  AH = 8a B' AC ' 8a = = 4a 2 A' H NX: VA.BCC ' B ' C' ( ) 2a 16a3 2 = VABC A' B 'C ' = AH S ABC = 4a = 3 Chọn D Gọi H hình chiếu A lên mp ( A ' B ' C ')  HC ' A = 450  AHC ' vuông cân H  AH = AC ' 8a = = 4a 2 NX: VA.BCC ' B ' Câu 8: ( ) 2a 16a3 2 = VABC A' B 'C ' = AH S ABC = 4a = 3 (T.T DIỆU HIỀN) Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng BC ' CD ' a a A a B C 2a D 3 Hướng dẫn giải Chọn B A' D' O B' C' H A D C B Gọi O = A ' C ' B ' D ' từ B ' kẽ B ' H ⊥ BO Ta có CD ' // ( BA ' C ') d ( BC '; CD ') = d ( D ';( BA ' C ')) = d ( B ';( BA ' C ')) = B ' H = Câu 9: nên BB '.B ' O a = BO (T.T DIỆU HIỀN) Một hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có ba kích thước 2cm , 3cm 6cm Thể tích khối tứ diện ACB D 3 A cm B 12 cm C cm3 D cm3 Hướng dẫn giải Chọn B A' D' Ta có : B' C' cm A D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word B cm cm C VABCD ABC D = VB ABC + VD ACD + VA.BAD + VC BC D + VA.CBD  VABCD ABC D = 4VB ABC + VA.CBD  VA.CBD = VABCD ABC D − 4VB ABC  VA.CBD = VABCD ABC D − VABCD ABC D 1  VA.CBD = VABCD ABC D = 2.3.6 = 12 cm3 3 Câu 10: (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho khối tứ diện ABCD cạnh 2cm Gọi M , N , P trọng tâm ba tam giác ABC , ABD, ACD Tính thể tích V khối chóp AMNP A V = cm3 162 B V = 2 cm 81 C V = cm 81 D V = cm3 144 Hướng dẫn giải Chọn C A Tam giác BCD  DE =  DH = AH = AD − DH = SEFK 3 N M 1 1 = d( E , FK ) FK = d( D,BC) BC = 2 2 B K P D  VSKFE = Mà 1 AH SEFK = = 3 F AM AN AP = = = AE AK AF Lại có: H E C VAMNP AM AN AP 8 = =  VAMNP = VAEKF = VAEKF AE AK AF 27 27 81 hình hộp có ABCD.ABCD BCD = 60, AC = a 7, BD = a 3, AB  AD ,đường chéo BD  hợp với mặt phẳng ( ADDA) góc 30 Tính thể tích V khối hộp ABCD.ABCD 39 a A 39a3 B C 3a3 D 3a3 Câu 11: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Cho Hướng dẫn giải Chọn D D' C' 30° A' B' x D y O A C B ( x  y) • Đặt x = CD; y = BC • Áp dụng định lý hàm cos phân giác tam giác BCD 3a2 = x2 + y − xy x2 + y = 5a2  x = 2a; y=a • Với x = y = 2a C = 60 → BD ⊥ AD → BD ';(ADD'A') = 30 → DD ' = 3a • S ABCD = xy.sin 60 = a • Vậy V hình hộp = a 3 Gọ i M là trung điể m củ a cạ nh SD Nế u SB ⊥ SD thì khoả ng cá ch từ B đế n mặt phẳng ( MAC ) bà ng: A B C D Câu 12: (NGÔ GIA TỰ - VP) Cho hình chó p tứ giá c đề u S.ABCD có thể tích V = Hướng dẫn giải Chọn A S M D A O B C Giả sử hình chóp có đáy ABCD hình vng cạnh a Khi đó, BD = a Tam giác SBD vuông cân S nên SD = SB = a SO = BD a = 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Suy tam giác SCD, SAD tam giác cạnh a SD ⊥ ( MAC ) M a3 Thể tích khối chóp V = SO.S ABCD = Mà a3 2 =  a =1 6 Vì O trung điểm BD nên d ( B, ( MAC ) ) = d ( D, ( MAC ) ) = DM = Câu 13: (THTT – 477) Một hình lăng trụ có đáy tam giác cạnh a , cạnh bên b tạo với mặt phẳng đáy góc  Thể tích khối chóp có đáy đáy lăng trụ đỉnh điểm đáy lại 3 3 a b sin  a b sin  a b cos  a b cos  A B C D 12 12 Hướng dẫn giải Chọn A A' C' S B' A C H' H B Gọi H hình chiếu A ( ABC ) Khi  = AAH Ta có AH = AA.sin  = b sin  nên thể tích khối lăng trụ a b sin  Lại có chiều cao chóp theo yêu cầu đề chiều cao lăng trụ AH VABC ABC  = AH S ABC = a 2b sin  nên thể tích khối chóp VS ABC = VABC ABC  = 12 Câu 14: (THTT – 477) Các đường chéo mặt hình hộp chữ nhật a, b, c Thể tích khối hộp A V = (b (b B V = + c − a )( c + a − b )( a + b − c ) + c − a )( c + a − b )( a + b − c ) C V = abc D V = a + b + c Hướng dẫn giải B C x a A D y b c z B' C' A' D' Chọn A Giả sử hình hộp chữ nhật có ba kích thước: x, y, z  x2 + y = a2  y = a2 − x2  y = a2 − x2    Theo yêu cầu tốn ta có  y + z = c   y + z = c  a − x + b − x = c  x2 + z = b2  z = b2 − x2  z = b2 − x2     a − b2 + c2 y =  a + b2 − c2    x2 = V =   b2 + c2 − a z =  (a + c − b )( a + b − c )( b + c − a ) Câu 15: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hình lăng trụ A BCA B C  có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A  lên mặt phẳng A BC trùng với trọng tâm tam giác A BC Biết khoảng ( ) cách hai đường thẳng A A  BC A BCA B C  A V = a3 24 B V = a3 12 a Tính thể tích V khối lăng trụ C V = a3 D V = a3 Hướng dẫn giải Chọn B A' ( ) M trung điểm BC BC ⊥ A A M C' H B' Gọi MH đường cao tam giác A A M MH ⊥ A A HM ⊥ BC nên HM khoảng cách C A G B http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word M A A  BC Ta có A A.HM = A G.AM  a a a2 A A = A A −  a2  4a 4a 2a  A A =  A A −   3A A =  A A =  A A =   3   Đường cao lăng trụ A G = Thể tích V LT = 4a 3a a − = 9 a 3a a 3 = 12 Câu 16: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hình chóp S.ABC có ASB = CSB = 600 , ASC = 900 , SA = SB = SC = a Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) A d = 2a B d = a C d = a D d = 2a Hướng dẫn giải Chọn B S B A H C + Ta có: SAB , SBC cạnh a nên AB = BC = a + Ta có: SAC vng cân S nên AC = a + Ta có: AC = AB + BC nên ABC vng B có S ABC = a2 + Gọi H trung điểm AC Ta có: HA = HB = HC SA = SB = SC nên SH ⊥ ( ABC ) SH = AC a = 2 Tương tự  b, c  Ta lại có V = a 9 − a ( − a )  Khảo sát hàm số tìm GTLN V Câu 26: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a SA = SB = SC = a , Cạnh SD thay đổi Thể tích lớn khối chóp S.ABCD là: 3a3 a3 a3 a3 A B C D 8 Hướng dẫn giải Chọn D Khi SD thay đổi thi AC thay đổi Đặt AC = x Gọi O = AC  BD Vì SA = SB = SC nên chân đường cao SH trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  H  BO S 4a − x 4a − x  x = Ta có OB = a −   = 2 1 a − x x 4a − x S ABC = OB AC = x = 2 a.a.x a x a2 HB = R = = = 4S ABC x 4a − x 4a − x 4 A x B O a H C D a4 a 3a − x SH = SB − BH = a − 2 = 4a − x 4a − x 2 2 a 3a − x x 4a − x VS ABCD = 2VS ABC = SH S ABC = 3 4a − x 2 1  x + 3a − x  a = a x 3a − x  a  = 3   ( ) Câu 27: (THTT – 477) Cho khối đa diện n mặt tích V diện tích mặt S Khi đó, tổng khoảng cách từ điểm bên khối đa diện đến mặt nV V A B nS S 3V V C D 3S S Hướng dẫn giải Chọn C Xét trường hợp khối tứ diện Các trường hợp khác hoàn toàn tương tự 1 1 VH ABC = h1.S ; VH SBC = h2 S ; VH SAB = h3 S ; VH SAC = h4 S 3 3 S C A H http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word B 3V 3V1 3V 3V ; h2 = ; h3 = ; h4 = S S S S (V1 + V2 + V3 + V4 ) 3V  h1 + h2 + h3 + h4 = = S S h1 = Câu 28: (LƯƠNG ĐẮC BẰNG) Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh a , mặt phẳng ( ) cắt cạnh AA , BB , CC , DD M , N , P , Q Biết AM = a , CP = a Thể tích khối đa diện ABCD.MNPQ là: 11 11 2a a3 a a A B C D 30 15 3 HD: Tứ giác MNPQ hình bình hành có tâm I B C O thuộc đoạn OO’ A AM + CP 11 a Ta có: OI = = a 30 D N M I Gọi O1 điểm đối xứng O qua I : OO1=2OI= P Q 11 a < a Vậy O1 nằm đoạn OO’ 15 Vẽ mặt phẳng qua O1 song song với (ABCD) cắt cạnh AA’; BB’;CC’; DD’ O1 B' C' O' D' A' A1, B1,C1, D1 Khi I tâm hình hộp ABCD.A B1C1D1 Vậy V(ABCD MNPQ)=V( MNPQ.A1 B1C1D1) 2 = V ( ABCD A1B1C1D1 ) = a 2OO1 = 11 a 30 (CHUYÊN VĨNH PHÚC) Người ta gọ t mọ t khó i lạ p phương gõ để lá y khó i tá m mạ t đề u nọ i tiế p nó (tức là khó i có cá c đỉnh là cá c tâm củ a cá c mạ t khó i lạ p phương) Biế t cá c cạ nh củ a khó i lạ p phương bà ng a Hã y tính thể tích củ a khó i tá m mạ t đề u đó : a3 a3 a3 a3 A B C D 12 Câu 29: Đáp án B C Dựng được hình hình bên + Thá y được thể tích khó i cà n tính bà ng là n thể tích củ a hình chó p S.ABCD + Nhiệ m vụ bây giờ tìm thể tích củ a S.ABCD D B A S + ABCD là hình vuông có tâm O đò ng thời chính là hình chiế u củ a S lên mạ t đá y SO = a a ; BD = cạ nh củ a hình lạ p phương = a Suy cá c cạ nh củ a hình vuông ABCD = 2 1    a a3 VS.ABCD = Sh =  a = V khối đa diện = 2.VS.ABCD =    3   12   Câu 30: Cho tứ diện ABCD tích 12 G trọng tâm tam giác BCD Tính thể tích V khối chóp AGBC A V = B V = C V = D V = Chọn B • Cách 1: Phân tích: tứ diện ABCD khối chóp AGBC có đường cao khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( BCD ) Do G trọng tâm tam giác BCD SBGC = SBGD = SCGD  SBCD = 3SBGC (xem minh) nên ta có phần chứng Áp dụng cơng thức thể tích hình chóp ta có:  VABCD = h.SBCD  h.S  VABCD BCD SBCD = = =3  VA.GBC h.S SGBC  VA.GBC = h.SGBC GBC  1  VA.GBC = VABCD = 12 = 3 A D B G Chứng minh: Đặt DN = h; BC = a C Từ hình vẽ có: +) MF // ND  B MF CM 1 h = =  MF = DN  MF = DN CD 2 GE BG 2 h h = =  GE = MF = = +) GE // MF  MF BM 3 3 +) SBCD SGBC N G E M F C 1 DN BC =2 = =  SBCD = 3SGBC 1h GE.BC a 23 +) Chứng minh tương tự có SBCD = 3SGBD = 3SGCD D D G A C H  SBGC = SBGD = SCGD • Cách 2: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word H1 I B  d ( G; ( ABC ) ) d ( D; ( ABC ) ) = GI 1 =  d ( G; ( ABC ) ) = d ( D; ( ABC ) ) DI 3 1 Nên VG ABC = d ( G; ( ABC ) ) S ABC = VDABC = 3 Câu 31: Một hình trụ có diện tích xung quanh , diện tích đáy diện tích mặt cầu có bán kính Tính thể tích V khối trụ A V = B V = C V = D V = 10 Đáp án B B , D nhìn A C góc 90° SD = a 5; KD = Ta có: A D2 a2 a = = ; SC = SD a 5 SA + A C = a 1 2a + = Þ AK = (1) 2 SA AD AK S SC = SD + CD Þ tam giác SCD vng D Khi tam giác K DC vng D Þ KC = CD + KD = 2 E a H · Ta có: AK + KC = AC Vậy A KC = 90° Tương tự A·HC = 900 Vậy A C đường kính mặt cầu ngoại tiếp khối A BCDEHK A C = a Þ OA = a V = A D O B C 4 a3 pOA = p = pa 3 2 Câu 32: Ghép khối lập phương cạnh a để khối hộp chữ thập hình vẽ Tính diện tích toàn phần S khối chữ thập A S = 20a K B S = 30a C S = 12a D S = 22a Diện tích mặt khối lập phương: S = a Diện tích tồn phần khối lập phương: S = 6a Diện tích tồn phần khối chữ thập: S = 5S - 8S = 22a Câu 33: Cho hình chóp tứ giác S A BCD có cạnh đáy a , cạnh bên hợp với đáy góc 60° Gọi M điểm đối xứng với C qua D ; N trung điểm SC , mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp S A BCD thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần A B C D Đáp án D ìïV = V V SA BIKN Đặt ïí ® = ? ïïV = V NBCDIK V2 ỵ * V S A BCD = S a 6 a = a N 60° A * 1 SO NH S D BMC = S 3 D BMC 1a 6 = a.2a = a 12 V N BMC = I V M DIK V M CBN = D MK = MN MD MI MK 1 = = MC MB MN 2 ® V = V M CBN - V M DIK = a O H M * Nhận thấy K trọng tâm tam giác SMC ® * B K 5 6 V M CBN = a = a 6 12 72 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word a C ® V = V S A BCD a V1 6 7 - V2 = a a = a ® = 72 = 72 72 V2 5 a 72 Câu 34: Cho hình chó p tứ giác S.ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , ABCD hình thang vng A B biết AB = 2a , AD = 3BC = 3a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a , biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD ) a A 6a3 B 6a3 C 3a3 D 3a3 Hướng dẫn giải Dựng AM ⊥ CD M Dựng AH ⊥ SM H S a AD + BC = AB = 4a 2 Ta có: AH = S ABCD CD = ( AD − BC ) K + AB2 = 2a AB.BC = a 2 = S ABCD − S ABC = 3a S ACD D A S ABC = M S ACD = 2S AM CD  AM = ACD = a CD Ta có: 1 = +  AS = 2 AH AM AS AH AM AM − AH B = C a VS ABCD = SA.S ABCD = 6a 3 Câu 35: Cho lăng trụ tam giá c ABC.A ' B ' C ' có BB ' = a , gó c giữa đường thả ng BB ' và ( ABC ) bà ng 60 , tam giá c ABC vuông tạ i C và gó c BAC = 60 Hình chiế u vuông gó c củ a điể m B ' lên ( ABC ) trù ng với trọ ng tâm củ a ABC Thể tích củ a khó i tứ diệ n A '.ABC theo a 7a3 9a 13a 15a A B C D 106 208 108 108 Hướng dẫn giải Gọ i M , N là trung điể m củ a AB, AC G là trọ ng tâm củ a ABC ( B' C' ) B ' G ⊥ ( ABC )  BB ', ( ABC ) = B ' BG = 600 VA ' ABC A' 1 = SABC B ' G = AC.BC.B ' G Xét B ' BG vuông tạ i G , có B ' BG = 600 60° B a (nửa tam giá c đề u)  B 'G = C G M 60° N A Đạ t AB = x Trong ABC vuông tạ i C có BAC = 600 AB = x, BC = x  tam giác ABC là nữa tam giá c đề u  AC = 3a Do G là trọ ng tâm ABC  BN = BG = Trong BNC vuông tạ i C : BN = NC + BC 3a  AC =  13 9a x 9a 3a   = + 3x  x = x=  16 52 13  BC = 3a  13 3a 3a a 9a3 = Vậy, VA ' ABC = 13 13 208 Câu 36: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' , biết đáy ABC tam giác cạnh a Khoảng cách a từ tâm O tam giác ABC đến mặt phẳng ( A ' BC ) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' 3a 3a 3a 3a A B C D 16 28 Hướng dẫn giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Gọ i M là trung điể m củ a BC , ta có ( A ' AM ) ⊥ ( A ' BC ) theo giao A' C' tuyến A ' M Trong ( A ' AM ) kẻ B' OH ⊥ A ' M ( H  A ' M )  OH ⊥ ( A ' BC ) Suy ra: d ( O, ( A ' BC ) ) = OH = S ABC = a a A C H Xét hai tam giác vuông A ' AM O M B OHM có góc M chung nên chúng đồng dạng a OH OM =  = Suy ra: A' A A'M A' A  A' A = a  = A' A A ' A2 + AM a 3 A ' A2 +     a a 3a a = Thể tích: VABC A ' B 'C ' = SABC A ' A = 4 16 Câu 37: Cho hình chóp tứ giác S A BCD có cạnh đáy a Biết thể tích khối chóp a3 Tính khoảng cách h hai đường thẳng BC SA A a B a C 2a D 6 a Hướng dẫn giải Gọi O tâm SO ^ (A BCD ) Đặt V S A BCD = hình SO = x vng S A BCD , suy S Ta có 1 a3 a S A BCD SO = a x = Û x= 3 K Ta có BC P A D nên BC P (SA D ) Do C é ù= d éB , (SA D )ù= 2d éO , (SA D )ù d éêëBC , SA ù ú êë ú êë ú û= d êëBC , (SA D )ú û û û B Kẻ OK ^ SE Khi d éêO, (SA D )ù = OK = ú ë û SO OE SO + OE = a D E O A Vậy d éêëBC , SA ù ú û= 2OK = 2a Chọn C Câu 38: (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Cho hình chóp tứ giác S A BCD có đáy hình vng cạnh a Tam giác (SA D ) cân S mặt bên (SA D ) vng góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S A BCD A h = a B h = a Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng (SCD ) a C h = a D h = a Hướng dẫn giải Gọi H trung điểm A D S Suy SH ^ A D Þ SH ^ (A BCD ) Đặt SH = x Ta có V = x a ( ) = 43 a Þ x = 2a A B K = d éêA, (SCD )ù Ta có d éêB , (SCD )ù ú ú ë û ë û H C D 4a Chọn B = 2d éêH , (SCD )ù = 2HK = ú ë û Câu 39: Cho hình chóp S A BCD có đáy A BCD hình vng tâm O , cạnh a Cạnh bên SA · = 600 Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A B SO vng góc với đáy, góc SBD A a B a C a D a Hướng dẫn giải S Ta có D SA B = D SA D (c - g - c ) , suy SB = SD · = 600 , suy Lại có SBD D SB D cạnh SB = SD = BD = a K Trong tam giác vuông SA B , ta có E A SA = 2 SB - AB = a O Gọi E trung điểm A D , suy OE P A B A E ^ OE B Do é ù= d éA, (SOE )ù d éêëA B , SO ù ú êë ú û= d êëA B , (SOE )ú û û http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word C D Kẻ A K ^ SE Khi d éêA, (SOE )ù = AK = ú ë û SA.A E = SA + A E a Chọn D Câu 40: Cho hình hộp chữ nhật A BCD A ' B 'C ' D ' có đáy A BCD hình vng cạnh a , A A ' = 2a Tính khoảng cách hai đường thẳng BD CD ' A a B 2a C 2a D a Hướng dẫn giải Gọi I điểm đối xứng A qua D , suy B CID hình bình hành nên BD P CI é ù= d éD, (CD ' I )ù Do d éêëBD,CD 'ù ú êë ú û= d êëBD, (CD ' I )ú û û = DK Kẻ DE ^ CI E , kẻ DK ^ D ' E Khi d éêD, (CD ' I )ù ú ë û D' A' C' B' K D A I E B C Xét tam giác IA C , ta có DE P A C (do vng góc với CI ) có D trung điểm A I nên suy DE đường trung bình tam giác Suy DE = Tam giác vuông D ' DE , có DK = D ' D.DE = D ' D + DE A C = a 2a Chọn C Câu 41: Cho khối chóp tứ giác S A BCD Mặt phẳng (a ) qua A , B trung điểm M SC Tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng là: A B D 5 C Hướng dẫn giải Kẻ MN PCD (N S Ỵ CD ) , suy hình thang A BMN thiết diện khối chóp Ta có V S ABMN = V S ABM + V S AMN N M D C A B Mà V S A BM V S A BC = SM = SC Suy V S A BM = Và V S A MN V S A CD = 1 V S A BC = V S A BCD SM SN 1 = Þ V S A MN = V S A BCD SC SD Suy V S A BMN = 1 V S A BCD + V S A BCD = V S A BCD 8 Từ suy V A BMNDC = V V S A BCD nên S A BMN = V A BMNDC Chọn D · = 1200 Góc Câu 42: Cho lăng trụ đứng ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy hình thoi cạnh , BAD đường thẳng AC ' mặt phẳng (ADD ' A ') 300 Tính thể tích khối lăng trụ A V = B V = C V = D V = Hướng dẫn giải · · = 1200 , suy ADC = 60 Hình thoi ABCD có BAD A' Do tam giác ABC ADC tam giác Vì N trung điểm A ' D ' nên C ' N ^ A' D ' D' C' C ' N = · · ', AN = C·' AN Suy 300 = AC ',(ADD ' A ') = AC Tam giác C ' AN , có AN = B' N A C 'N = · tan C ' AN B C D Tam giác AA ' N , có AA ' = AN - A ' N = · Diện tích hình thoi S ABCD = AB sin BAD = Vậy VABCD A ' B 'C ' D ' = S ABCD AA ' = (đvtt) Chọn C Câu 43: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , tam giác SAD nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BD A a 21 14 B a C a 21 Hướng dẫn giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word D a Gọi trung điểm SI ^ AD Þ SI ^ (ABCD) I Kẻ nên AD suy S Ax P BD Do é ù é ù d [BD, SA ]= d éëBD, (SAx )ù û= d ëD, (SAx )û= 2d ëI , (SAx )û Kẻ IE ^ Ax , kẻ IK ^ SE Khi d éëI ,(SAx )ùû= IK Gọi F hình chiếu I BD , D ta có AO a IE = IF = = SI IE SI + IE = C F O I E Tam giác vuông SIE , có IK = Vậy d [BD, SA]= 2IK = K x A B a 21 14 a 21 Chọn C Câu 44: ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3) Cho hình lăng trụ có tất cạnh a , đáy lục giác đều, góc tạo cạnh bên mặt đáy 60 Tính thể tích khối lăng trụ 27 3 a a A V = B V = C V = a D a Hướng dẫn giải Chọ n D Ta có ABCDEF lục giác nên góc đỉnh 120 ABC tam giác cân B , DEF tam giác cân E a2 S ABC = S DEF = a.a.sin120 = A' F' B' AC = AB2 + BC − 2.AB.BC.cos B E' C' D'  1 = a + a − 2.a.a  −  = a  2 A S ACDF = AC.AF = a 3.a = a2 a2 a 3a S ABCDEF = S ABC + S ACDF + S DEF = +a 3+ = 4 a B ' BH = 60  B ' H = BB '.sin 60 = Suy V = BH '.SABCDEF = a F 60° B H C E D 3a2 = a 4 Câu 45: (NGUYỄN TRÃI – HD) Một cốc nước có dạng hình trụ đựng nước chiều cao 12cm , đường kính đáy 4cm , lượng nước cốc cao 8cm Thả vào cốc nước viên bi có đường kính 2cm Hỏi nước dâng cao cách mép cốc xăng-ti-mét? (làm tròn sau dấu phẩy chữ số thập phân, bỏ qua độ dày cốc) A 2, 67cm B 2, 75cm C 2, 25cm D 2,33cm Hướng dẫn giải Chọn A Lượng nước dâng lên tổng thể tích viên bi thả vào Vb =  rb 3 16 = cm3 Dễ thấy phần nước dâng lên hình trụ có đáy với đáy cốc nước thể tích 16 cm 16 =  r hd nên hd = cm Chiều cao phần nước dâng lên hd thỏa mãn: 3 Vậy nước dâng cao cách mép cốc 12 − − =  2, 67 cm 3 Câu 46: (CHUYÊN BẮC GIANG) Cho tứ diện cạnh a điểm I nằm tứ diện Tính tổng khoảng cách từ I đến mặt tứ diện A a a B C a D a 34 Hướng dẫn giải Chọn B S AH = 2 a a AM = = 3 a2 a SH = SA − AH = a − = 3 2 A a a a3 = 12 Ta có VSABC = S ABC SH = Mặt khác, C I H M VSABC = VISAB + VIABC + VISAC + VISBC B = S ABC  d ( I ; ( SAB ) ) + d ( I ; ( ABC ) ) + d ( I ; ( SAC ) ) + d ( I ; ( SBC ) )   d ( I ; ( SAB ) ) + d ( I ; ( ABC ) ) + d ( I ; ( SAC ) ) + d ( I ; ( SBC ) ) = 3VSABC S ABC a3 a = 12 = a (CHUYÊN KHTN L4) Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân, AB = AC = a , SC ⊥ ( ABC ) SC = a Mặt phẳng qua C , vng góc với SB cắt SA, SB lần Câu 47: lượt E F Tính thể tích khối chóp S.CEF A VSCEF = 2a 36 B VSCEF = a3 18 C VSCEF = a3 36 Hướng dẫn giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word D VSCEF = 2a 12 Chọn đáp án C Từ C hạ CF ⊥ SB, ( F  SB ) , CE ⊥ SA, ( E  SA)  AB ⊥ AC  AB ⊥ ( SAC )  AB ⊥ CE  CE ⊥ ( SAB )  CE ⊥ SB  AB ⊥ SC Ta có  Vậy mặt phẳng qua C vng góc SB mặt ( CEF ) Ta có Tam S VSCEF SE SF = VSCAB SA SB giác vng F SAC vng C ta a có: SA = SC + AC = a E B SE SC a2 SE = =  = SA SA SA 2a Tam giác vng SBC C a vng C ta có: a A SB = SC + BC = a SF SC a2 SF = =  = 2 SB SB SC 3a Do VSCEF 1 1 1 = =  VSCEF = VSABC = SA.S ABC = a3 VSCAB 6 36 Câu 48: (CHUYÊN VINH – L2) Cho hình lăng trụ ABC.ABC tích V Các điểm M , N , P AM BN CP = , = = Thể tích khối đa diện thuộc cạnh AA , BB , CC cho AA BB CC  ABC.MNP 11 20 V V A V B C D V 16 18 27 Hướng dẫn giải Cho ̣n D A' Đặt V1 = VM NPCB = d ( M , ( CC BB ) ) S NPCB 2 = d ( M , ( CC BB ) ) SCC BB = V 3 V2 = VM ABC = d ( M , ( ABC ) ) S ABC 1 = d ( A, ( ABC ) ) S ABC = V 11 Vậy VABC MNP = V1 + V2 = V + V = V B' C' N M P B A C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... 477) Cho khối đa diện n mặt tích V diện tích mặt S Khi đó, tổng khoảng cách từ điểm bên khối đa diện đến mặt nV V A B nS S 3V V C D 3S S Hướng dẫn giải Chọn C Xét trường hợp khối tứ diện Các... hình trụ có diện tích xung quanh , diện tích đáy diện tích mặt cầu có bán kính Tính thể tích V khối trụ A V = B V = C V = D V = 10 Đáp án B B , D nhìn A C góc 90° SD = a 5; KD = Ta có: A D2... D S = 22a Diện tích mặt khối lập phương: S = a Diện tích tồn phần khối lập phương: S = 6a Diện tích tồn phần khối chữ thập: S = 5S - 8S = 22a Câu 33: Cho hình chóp tứ giác S A BCD có cạnh đáy