Ứng dụng số phức trong việc nghiên cứu Toán sơ cấp

ọ rờ ọ ọ ễ ữ ứ ự số ứ tr ệ ứ t s P P số ĩ ọ ọ P ỉ S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn trì ợ t t rờ ọ ọ ọ P ệ P ệ ợ ệ trớ ộ ọ t rờ ọ ọ ọ t ó tể tì ể t ệ ọ S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ụ ụ ố ứ ệ số ứ í ó số ủ trờ C trì tứ ụ số ứ tr số ố ọ ợ P tí tứ t tí í ết ủ ột tứ ệt ể t tr Z t t tr C ụ số ứ tr ợ ụ số ứ tr ì ọ ụ số ứ é q t tr t ứ S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn trờ số ứ C ột trờ ó số ị ý ủ rt ss ọ tứ tr C[x] ề ó ệ ụ ết q ữ t q ế ột tứ tộ R[x], tí ợ ệ tr R, t tờ ét ữ t ó tr C ề t ì ọ t ó tể ỗ số ứ ột ét ể ệ ể ễ ột số ế tố ữ ệ sử ụ số ứ tr ố ọ số ì ọ ợ tỏ r ó rt ề t ợ tr trì t ổ t P số ứ trì í ì ữ ý t tr trì ữ ết q ề số ứ q ế s rì ữ ệ tí t ủ số ứ ết q í ệ ứ ị ý ủ số tệ ệ ụ số ứ tr số ố ọ ợ r ú t tệ ụ ủ số ứ ụ ể tí tứ t tí tử t q ụ tí ết ủ ột tứ ệt ụ tr ệ ể t tr Z t t tr C ụ tr ợ rì ệ ụ số ứ ể ể ễ é q trì t tr ó ứ ột số t ì ọ ị ý s ị ý é t s ợ t ỉ t tì ủ P ỉ ọ P ộ ề tờ t ủ t tr sốt q trì tỏ ò ết s s ế tớ t ò t rờ ọ ọ ọ ù t t ó ọ s s ề ỗ tr S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn tờ q tờ t tể ọ rờ ọ ọ ộ ú ỡ t tr q trì ọ t tớ ộ ụ ụ t ệ tổ trờ P số t ề ệ ú ỡ ể t t ó ọ ể ết ủ t ổ tờ r tr q trì ứ tr ỏ ữ tế sót t rt ợ ỉ ó ó ý ế ủ qí t ộ q t tớ ễ ữ S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ố ứ trì ữ ệ tí t ề số ứ ệt ệ ứ ị ý ủ số t t ệ ệ số ứ ột ệ ét í srts T = R ì R = {(a, b)|a, b R} ị ĩ é t (a, b) = (c, d) ỉ a = c, b = d (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) ể ết (a, b).(c, d) q (a, b)(c, d) ị ĩ ủ é i = (0, 1) T ó i2 = i.i = (0, 1)(0, 1) = (1, 0) (a, b)(1, 0) = (1, 0)(a, b) = (a, b) (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1), (a, b) T A : R T, a (a, 0), ột (a + a ) = (a) + (a ), (aa ) = (a)(a ) ọ a, a R ổ ề tỏ t (a, 0) T a R ó ó tể ết (a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi i2 = (1, 0) = S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ý ệ C t T ù é t r tr C = {a + bi|a, b R, i2 = 1} t ó a + bi = c + di ỉ a = c, b = d a + bi + c + di = a + c + (b + d)i (a + bi)(c + di) = ac bd + (ad + bc)i ỗ tử z = a + bi C ợ ọ ột số ứ tự a, ý ệ Re z, b, ý ệ Im z; ò i ợ ọ ị ố ứ a bi ợ ọ số ứ ợ ủ z = a + bi ợ ý ệ q 2 z = a + bi ễ ể tr zz = (a + bi)(a bi) = a + b , z1 z2 = z1 z2 ọ |z| = zz ủ z ố ố ủ z = c + di z = c di ệ z z = (a + bi) (c + di) = a c + (b d)i ét t tọ ộ (Oxy) ỗ số ứ z = a + bi t t ứ ể M (a; b) ứ ột s C RìR, z = a+bi M (a; b) t C (Oxy) q ệ t z M, tì t tọ ộ ể ễ số ứ tế ợ ọ t ứ t ss ệ ề ể ssờ t r ể ễ C ột trờ ứ trờ R ột trờ C ột ị sử z = a + bi = ó a + b2 > sử z = x + yi C tỏ ax by = a b zz = ệ ợ x = ,y = a +b a + b2 bx + ay = a b z = i ị ủ z ó C ột trờ a + b2 a2 + b2 ì t a R a + 0i C ó tể R trờ ủ C ứ ễ ể tr ú ý r ị ủ ị ĩ z = z = số ứ z zz z = z z = |z|2 z |z|2 z = sử M ể tr t ứ ể ễ số ứ z ố r ủ ỗ ó ợ t Ox t ố OM ợ ọ ột rt ủ z ợ ý ệ q arg(z) ó xOM ợ ọ rt ủ z ợ ý ệ Arg z rt ủ số ứ ị ĩ S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ú ý r ế ột rt ủ z tì ọ rt ủ z ề ó + k.2 k Z z = 0, ý ệ + k.2 rt ủ z ý ệ r = zz ó số ứ z = a + bi ó a = r cos , b = r sin z = tì ó tể ể ễ z = r cos + i sin ể ễ ợ ọ ợ ủ z ệ ề r1 , r2 ế z1 = r1 cos + i sin , z2 = r2 cos + i sin tì |z1 z2 | = |z1 ||z2 | | z1 |z1 | |= z2 |z2 | z1 z2 = r1 r2 cos + + i sin + z1 r1 cos + i sin = z2 r2 ứ r > ể ú ý r số ứ z1 z2 t ó z1 = z2 arg(z1 z2 ) z1 arg( ) z2 arg(z1 z2 ) z1 arg( ) z2 í ụ |z1 | = |z2 |, arg z1 = arg z2 + 2k, k Z = arg(z1 ) + arg(z2 ) + 2k, k Z = arg(z1 ) arg(z2 ) + 2k, k Z = arg(z1 ) + arg(z2 ) = arg(z1 ) arg(z2 ) a + bi = x + iy a + bi = x + iy n 2 a + b = x + y2 n n ó s r n a2 + b = x + y n a bi = x iy t ó tứ r tứ r z = r(cos + i sin ) cos n + i sin n ệ ề r n n ó z = r ứ t n ế tì ỗ số ễ ứ tứ q n S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ệ q n n trị zk = r1/n k = 1, 2, , n t ợ ứ z = r cos + i sin = + 2k + 2k cos + i sin n n ủ ột số ứ ể z = r(cos + i sin ) ò ợ ể ễ t z = rei ệt r = tì z = ei r = 1, = tì e0 = ố ứ ổ ề ý ệ tr t ó ei ei = ei(+) ei = ei() i e ei ei = (cos + i sin )(cos + i sin ) = cos( + ) + ei cos + i sin i i i(+) i sin( + ) s r e e = e = i = e cos + i sin ei cos( ) + i sin( ) i = ei() e ei + ei cos = ei = cos + i sin i ợ s r i e e ei = cos i sin sin = 2i ứ ei + ei ei ei ệ ề r ó cos = sin = 2i n n + i tan n n +i sin = í ụ ó 1+i = 2n/2 cos 4 i tan + i tan n = , n = i tan n n n tứ r ó + i = 2n/2 cos + sin = 4 n cos + i sin n + i tan n n +i sin ũ ó 2n/2 cos = n = 4 i tan cos i sin cos n + i sin n + i tan n = cos n i sin n) i tan n 1 z = z + = cos tì z n + n = cos n ọ z z số tự n í ụ ế S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn z 2z cos + = ó ệ z = z1 = cos + 1 i sin , = z2 = cos i sin ó z n = z1n = cos n + i sin n, n = z z n n z2 = cos n i sin n z + n = cos n ọ số tự z n ó í ó số ủ trờ C ụ ỉ r r ọ tứ tộ tr C[x] ề ó ệ C ó í ộ ị ý ủ số t ứ ị ý t ọ ss t ụ ệ trờ ó số K ợ ọ ột trờ ó số ế ọ tứ tộ K[x] ề ó ệ tr K ị ĩ tr rờ K[x] ọ tứ ề tí ợ t tí tử tế tí ổ ề tộ ỗ tứ tộ R[x] ề ó t ột ệ tự R f (x) = a0 x2s+1 + a1 x2s + ã ã ã + a2s x + a2s+1 R[x] a0 = ễ t r a0 f (x) tế r + x + a0 f (x) tế r x s r tồ t ủ số tự > < tỏ a0 f () > 0, a0 f () < a20 f ()f () < f ()f () < ì tứ f (x) ị tụ tr R tỏ f ()f () < t ị ý rstrss tứ f (x) ó t ột ệ tự tộ (, ) ứ ổ ề sử ỗ tứ tộ C[x] ề ó ệ tộ C z ề ó số ứ = = z t sử z = a+bi = sử z1 = x+yi x2 y = a a, b, x, y R ể z1 = z 2xy = b ứ z1 , z2 ể z12 rớ t t ỉ r ỗ số ứ z, z22 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... số ì ọ ợ tỏ r ó rt ề t ợ tr trì t ổ t P số ứ trì í ì ữ ý t tr trì ữ ết q ề số ứ q ế s rì ữ ệ tí t ủ số ứ ết q í ệ ứ ị ý ủ số tệ ệ ụ số ứ tr số. .. trờ số ứ C ột trờ ó số ị ý ủ rt ss ọ tứ tr C[x] ề ó ệ ụ ết q ữ t q ế ột tứ tộ R[x], tí ợ ệ tr R, t tờ ét ữ t ó tr C ề t ì ọ t ó tể ỗ số ứ ột ét ể ệ ể ễ ột số ế tố ữ ệ sử ụ số. .. n z + n = cos n ọ số tự z n ó í ó số ủ trờ C ụ ỉ r r ọ tứ tộ tr C[x] ề ó ệ C ó í ộ ị ý ủ số t ứ ị ý t ọ ss t ụ ệ trờ ó số K ợ ọ ột trờ ó số ế ọ tứ tộ K[x]