chuyên đề phương trình bậc hai chứa tham số ôn thi lớp 10 gồm có các dạng bài tập cách giải và bài tập tự luyện
1 Chuyên đề : Phơng trình bậc hai chứa tham số Bài toán : Giải phơng trình bậc hai có chứa tham số Phơng pháp : Xét trêng hỵp cđa hƯ sè a : - NÕu a = tìm nghiệm phơng trình bậc - Nếu a tiến hành bớc sau: + TÝnh biÖt sè ∆(∆' ) + XÐt trờng hợp (' ) ( Nếu (' ) chứa tham số ) + Tìm nghiệm phơng trình theo tham số Bài : Giải phơng trình bậc hai ( m lµ tham sè ) sau : a) x2 - 2(3m - 1)x + 9m2 - 6m - = b) x2 - 3mx + 2m2 - m - = c) 3x2 - mx + m2 = d) x2 - 2(m - 1)x + m - = HDÉn : a/ ∆' = ; x = 3m + , x = 3m - b/ ∆ = (m + 2)2 : + m ≠ -2 : x = 2m + , x = m - + m =-2 : x = -3 ( nghiÖm kÐp) c/ ∆ = -11m2 : + m = : x = ( nghiÖm kÐp) + m ≠ : PT v« nghiƯm d/ ∆' = m2 - 3m + = (m - ) + > :+ x = m - + 3 m − + 2 + x2 = m - - m − + Bài : Giải phơng trình (m tham sè) : (m - 1)x2 - 2mx + m + = HDÉn : * m =1 : x= *m ≠1 +m>2 +m=2 +m Bài 10 : Cho phơng tr×nh : mx2 + 6(m - 2)x + 4m - = Tìm giá trị m để phơng trình : a) Có nghiệm kép b) Có nghiệm phân biệt c) Vô nghiệm HDẫn : m = m ≠ a/ ⇔ m = ∆' = m > m ≠ b/ ⇔ m < , m ≠ ∆' > c/ + m = +m ≠0 : Cã nghiÖm : ∆' < ⇔ ⇒ cã biƯt sè kh«ng âm Bài 31 : Cho hai phơng trình bậc hai : ax2 + bx + c = (1) vµ ax2 + bx - c = (2) CMR với a, b, c phơng trình cã nghiÖm HDÉn : ∆ + ∆ = b ≥ ⇒ cã biÖt số không âm Bài 32 : Cho hai phơng tr×nh : x2 + (m - 1)x + m2 = (1) vµ x2 + 2mx - m = (2) CMR víi mäi m, Ýt nhÊt phơng trình có nghiệm HDẫn : + ∆ = (m + 1)2 ≥ có biệt số không âm Chuyên đề PTB2 chøa tham sè *7* Bµi 33 : Cho hai phơng trình : x2 - 3x - a - = (1) vµ x2 + ax + = (2) CMR với a phơng trình có phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt HDÉn : ∆ + ∆ = (a +2)2+ > ⇒ cã biÖt số lớn Bài 34 : Cho hai phơng trình : x2 + (m - 2)x + m =0 (1) vµ 4x2 - 4(m - 3)x + 2m2 - 11m + 13 = (2) CMR víi m, phơng trình cã nghiÖm HDÉn : ∆ = (m − 1)(m − 4) ; ∆ = 16(1 − m)(m − 4) ∆ ∆ = −16(m − 1) (m − 4) ≤ ⇒ cã biệt số không âm Bài 35 : Cho b, c số thoả mÃn : 1 + = Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét hai phơng b c trình sau có nghiệm : x2 + 2bx + c = vµ x2 + 2cx + b = HDÉn : ∆'1 + ∆' = b − (b + c) + c = (b − c) ≥ ⇒ cã biệt số không âm Bài 36 : Cho hai phơng trình bậc hai : x2 + ax + b = (1) vµ x2 + cx + d = (2) ac Chøng minh r»ng Ýt hai phơng trình có nghiệm HDÉn : ∆ + ∆ = (a - c)2 ≥ ⇒ cã biƯt sè kh«ng ©m BiÕt b + d = Bµi 37: Cho hai phơng trình bậc hai : x2 + a1 x + b1 = vµ x2 + a x + b2 = có hệ số thoả mÃn ®iỊu kiƯn : a1 a ≥ 2(b1 + b2 ) Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét hai phơng trình có nghiệm HDẫn : Giả sử phơng trình vô nghiệm : + = a1 + a 2 − 4(b1 + b2 ) < ⇔ a1 + a 2 < 4(b1 + b2 ) ⇔ (a1 − a ) < 4(b1 + b2 ) − 2a1 a ⇔ ≤ (a1 − a ) < 4(b1 + b2 ) − 2a1 a ⇔ a1 a < 2(b1 + b2 ) ( mâu thuẫn với giả thiết) toán 6:Tìm giá trị tham số để phơng trình có nghiệm chung Phơng pháp : * Cách : - Giả sử x0 nghiệm chung, lập hệ phơng trình ( ẩn x tham số ) - Giải hệ phơng trình tìm x0 , tìm tham số - Thử lại : Thay giá trị tham số vào phơng trình, giải phơng tr×nh, t×m nghiƯm chung - Rót kÕt ln * Cách : - Rút tham số từ phơng trình đà cho Chuyên đề PTB2 chứa tham số *8* - Thế giá trị tham số vào phơng trình lại tìm x - Thay giá trị x tìm m - Rút kết luận Bài 38 : Với giá trị k hai phơng trình sau có nghiệm chung : x2 - (k + 4)x + k + = x2 - (k + 2)x + k +1 = HDÉn : x = ; k = Bài 39 : Tìm giá trị m để hai phơng trình sau có nghiÖm chung x2 + 2x + m = x2 + mx + = HDÉn : (m -2)x = m - : + m =2 : hai phơng trình có dạng : x2 + 2x +2 = ( v« nghiƯm) + m ≠ : x = ; m = -3 Bµi 40 : Tìm giá trị m để hai phơng trình sau có nghiệm chung x2 + (m - 2)x + = 2x2 + mx + (m + 2) = HDÉn : (m - 4)x = m - : + m = : hai phơng trình có dạng : x2 + 2x +3 = ( v« nghiƯm) + m ≠ : x = ; m = -2 Bài 41 : Tìm giá trị m để hai phơng trình sau có nghiệm chung 2x2 + (3m - 5)x - = (1) 6x2 + (7m - 15)x - 19 = (2) HDÉn : * C¸ch : m x = : + m = : hai phơng trình kh«ng cã nghiƯm chung + m ≠ : x0= ; m = hc m = m * C¸ch : (1) ⇔ m = − x + x (x ≠ 0) thay vµo (2) : 3x 4x2 - 10x + = ta cã x = ; x = x1 = x2 = 3 ⇒ m = ( nghiÖm chung lµ 1) ⇒ m = ( nghiƯm chung ) Bài 42 : Với giá trị m phơng trình sau có Ýt nhÊt nghiÖm chung 2x2 - (3m + 2)x + 12 = (1) 4x2 - (9m - 2)x + 36 = (2) HDÉn : (1) ⇔ m = x − x + 12 (x 0) thay vào (2) : 3x Chuyên đề PTB2 chøa tham sè *9* x - 4x = ta cã x = (lo¹i) ; x = x = ⇒ m = ( nghiệm chung 4) Bài 43 : Tìm giá trị m để phơng trình : x2 + x + m - = x + (m - 2)x + = (1) (2) cã nghiÖm chung HDÉn : (2) ⇔ m = x − x − (x ≠ 0) thay vµo (1) : x x3 - = ⇔ x = ⇒ m = - (nghiƯm chung lµ 2) Bài 44: Tìm giá trị nguyên a để phơng trình sau có nghiệm chung 2x2 + (3a - 1)x - = (1) 6x2 - (2a - 3)x - = (2) hai phơng trình vô nghiệm 11 +a ≠ ®ã : ⇒ x0 = 11 11a − HDÉn : (11a - 6)x = : +a= (1) ⇔ 99a − 164a − 68 = ta cã : a = ; a = a = nghiÖm chung 34 (loại) 99 Bài toán : Khi phơng trình bậc hai có nghiệm , hÃy tìm hệ thức liên hệ nghiệm x x không phụ thuộc vào tham số m Phơng pháp : a - Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm : - Tính tổng S, tÝch P cđa hai nghiƯm x vµ x TÝnh m theo S, P Khư m t×m hƯ thøc chØ cßn S, P Thay S = x + x , P = x x ( ) ' ∆ ∆ ≥ Bài 45: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình : x2 - (m + 3)x + 2m - = mà hệ thức không phơ thc vµo m HDÉn : ∆ = (m -1)2+ 28 ≥ m = S - vµ m = P+5 ta cã hƯ thøc : 2(x + x ) − x1 x = 11 Bài 46: Cho phơng trình : x2 - 2(m + 1)x + m - = Không giải phơng trình, hÃy tìm biểu thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m HDÉn : ∆ = (m - ) + 19 >0 *10* m= Chuyên đề PTB2 chứa tham sè S −2 vµ m = P + ta cã hÖ thøc : x + x − x1 x − 10 = Bài 47 : Cho phơng trình : x2 - 2(m + 1)x + 2m + = Khi phơng trình có nghiệm, hÃy tìm hệ thức x x không phụ thuộc vào m m ≤ − HDÉn : ∆' = m − ≥ ⇔ m ≥ S −2 P−3 m= vµ m = ta cã hÖ thøc : x1 x − ( x1 + x ) − = 2 Bµi 48 : Cho phơng trình : (m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = Khi phơng trình có nghiệm, hÃy tìm hệ thức x x không phụ thuộc vào m HDÉn : ∆' = −m + 10m ≥ ⇔ ≤ m ≤ 10 vµ m ≠ m= 2P − 2S + vµ m = ta cã hÖ thøc : x1 x − ( x1 + x ) − = p2 S Bài 49 : Cho phơng tr×nh : (2m - 1)x2 - 2(m + 4)x + 5m + = Khi phơng trình có nghiệm, 10 hÃy tìm hệ thức x x không phụ thuộc vào tham số m HDÉn : − ≤ m ≤ ∆' = −9m + 9m + 18 ≥ ⇔ 2 m − ≠ m ≠ S +8 p+2 m= vµ m = ta cã hÖ thøc : ( x + x2 ) − x1 x + = 2S 2P Bài 50 : Trong phơng trình sau, giả sử chúng có nghiệm x x HÃy tìm hệ thức liên hệ nghiệm phơng trình không phụ thuéc vµo tham sè k a) (k - 1)x2 - 2kx + k - = (k ≠ 1) b) (k + 3)x2 - 3(k + 4)x - k + = (k ≠ -3) c) kx2 - 2(k + 1)x + (k - 4) = (k ≠ 0) HDÉn : P−4 vµ k = P −1 a/ ∆' = 5k − ≥ ⇔ k ≥ k= S S −2 ta cã hÖ thøc : ( x + x ) + x1 x − = 30 − ≠ k ≤ − 13 b/ ∆ = 13k + 56k + 60 ≥ ⇔ k ≥ −2 12 − 3S − 3P k= vµ k = ta cã hƯ thøc : 10 (x + x2 ) − 3x1 x − 33 = S −3 P +1 *11* Chuyên đề PTB2 chứa tham số c/ ∆' = 6k + ≥ ⇔ ≠ k ≥ − k= vµ k = ta cã hÖ thøc : x1 x + 2( x1 + x ) − = S P Bài 51 : Cho phơng trình : (m + 1)x2 - (2m - 3)x + m + = Khi phơng trình có hai nghiệm x1 , x h·y tÝnh nghiƯm nµy theo nghiƯm HDÉn : m ≠ −1 m + ≠ + ⇔ ∆ ≥ m ≤ 24 + x1 x + x1 + x2 − = ⇔ x = Bài 52 : Cho phơng trình : x1 x1 + (hoặc ngợc lại) 1 = m Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiƯm + x −1 x − h·y biĨu diƠn nghiƯm nµy theo nghiƯm HDÉn : mx2- (4m + 2)x + 3m + = m ≠ (x ≠ ; x ≠ ) + ∆ = m + > + x1 + x − x1 x2 − = ⇔ x = − x1 x1 Bài toán : Tìm giá trị tham số để phơng trình bậc hai có nghiệm x1 , x thoả mÃn 11 đẳng thức liên hệ nghiệm Phơng pháp : a - Tìm điều kiện để phơng trình có nghiƯm : - TÝnh tỉng S, tÝch P cđa hai nghiệm x x Kết hợp đẳng thức giả thiết lập hệ phơng trình gồm phơng trình Giải hệ phơng trình tìm tham số Đối chiếu điều kiện, thử lại, rút kết luận ( ) ' ∆ ∆ ≥ Bµi 53 : Cho phơng trình : 3x2 - 4x + m = Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm x1 , x thoả mÃn : x1 = 3x HDÉn : * ∆' = − 3m ≥ ⇔ m ≤ *m = (t/m) Bài 54 : Xác định giá trị tham sè k cho hai nghiÖm x1 , x phơng trình x2 - 6x + k = thoả mÃn điều kiện : x1 + x = 20 HDÉn : * ∆' = − k ≥ ⇔ k ≤ *k = -16 (t/m) Bài 55 : Cho phơng trình : x2 - (m + 5)x - m + = Xác định m để hai nghiệm x1 , x ta *12* Chuyên đề PTB2 chứa tham số có hÖ thøc : x1 + x = 13 HDÉn : m ≤ −7 − * ∆ = m + 14m + ≥ ⇔ m ≥ −7 + m = * m = (t/m) Bµi 56 : Cho phơng trình : x2 + 2x + 3k = Gäi x1 , x lµ hai nghiệm phơng trình, không giải phơng trình hÃy tìm giá trị k để : x1 x = 14 HDÉn : * ∆' = − 3k ≥ ⇔ k ≤ *k = -16 (t/m) Bài 57 : Cho phơng trình : 3x2 - mx + = Xác định m để gi÷a hai nghiƯm x1 , x ta cã hƯ thøc : x1 x = x1 − HDÉn : m ≤ −2 * ∆ = m − 24 ≥ ⇔ m ≥ * m = (t/m) Bµi 58 : Cho phơng trình : (m + 3)x2 - 3mx + 2m = Xác định m để hai nghiÖm x1 , x ta cã hÖ thøc : x1 − x = HDÉn : m ≠ m + ≠ * ⇔ m ≤ ∆ = m − 24m ≥ m ≥ 24 * m = -1 (t/m) Bµi 59 : Gäi x1 vµ x lµ nghiệm phơng trình : 3x2 - (3k - 2)x - (3k + 1) = (1) Tìm giá trị k để nghiệm phơng trình (1) tho¶ m·n : x1 − x = 12 HDÉn : k = * k = − 32 15 * ∆ = (3k + 4) ≥ ⇔ k ≠ − (t/m) Bài 60 : Cho phơng trình : x2 - (2m + 1)x + m2 + = X¸c định m để hai nghiệm x1 , x ta cã hÖ thøc : x1 x − 5( x1 + x ) + = HDÉn : m = * m = * ∆ = 4m − ≥ m loại m = Bài 61 : Cho phơng trình : x2 + (2 - 3m)x + m2 = Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm x1 , x tho¶ m·n : x1 + x = x1 x *13* HDẫn : Chuyên đề PTB2 chứa tham sè m ≤ * ∆ = 5m − 12m + ≥ ⇔ m ≥ m = m = 2 * lo¹i m = Bài 62 : Cho phơng trình bậc hai : (k + 1)x2 - 2(k + 2)x + k - = Xác định k để hai nghiÖm x1 , x ta cã hÖ thøc : (4 x1 + 1).(4 x2 + 1) = 18 HDÉn : * ∆ ' = 6k + ≥ ⇔ k ≥ − * k = (t/m) Bài 63 : Cho phơng trình : x2 - 2x + m = T×m m cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x tho¶ m·n : HDÉn : x1 x 10 + =− x x1 * ∆ =1− m > ⇔ m 2 m = m = −2 * x1 (1 − x ) + x (1 − x1 ) = m ⇔ x1 + x − x1 x = m ⇔ m( m + ) = ⇔ Bài 81: Cho phơng trình x 2( m − 3) x + 2m − = (1) Gọi hai nghiệm phơng trình (1) x1, x2 hÃy tìm m để HDẫn : 1 + =m x1 + x + * ∆ = ( m − 4) ≥ 1 + = m ⇔ 2m − 7m + = ⇔ m = ± 33 x1 + x + * Bµi 82: Giải phơng trình x mx + = BiÕt r»ng hai nghiƯm x1 vµ x tho¶ m·n hƯ thøc: 3 x1 x + x1 + x1 x + x = 1029 (*) HDÉn : m ≤ −2 x1 + x = m x1 x = * ∆ = m2 - ≥ ⇔ m ≥ (*) * [ ] ⇔ x1 x ( x1 + x ) + ( x1 + x ) − x1 x ( x1 + x ) = 1029 ⇔ ( x1 + x ) = 343 ⇔ x1 + x = ⇔ m = 7(t / m) Phơng trình: x2 - 7x + = có x1= 1; x2= Bài 83: Cho phơng tr×nh x2 - ( 2m + 1)x + m2 + m = Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm thoả mÃn: - 2 −2 ⇔ ⇔ −2 < m < m < x2 < Do ®ã: Bài 84: Tìm giá trị tham số a cho phơng trình: x2 + 2ax + = (1) cã c¸c 2 x x nghiệm x1, x2 thoả mÃn điều kiện + ≥ x x 2 1 HDÉn : a ≤ −2 * ∆' = a2 - ≥ ⇔ a ≥ ( x + x ) − x1 x2 * x1 + x2 = x1 + x2 − ≥ ⇔ ≥5 x x x x1 x2 x1 ⇔ 4a − ≥ a ≤ ( nên 4a2 - > ) a≥2 16 ⇔ a ≥ + ⇔ a ≥ + (t / m ) Bài 85: Tìm tất giá trị tham số a để nghiệm x1, x2 phơng trình: x x + ax + = tho¶ m·n x 2 HDÉn : 2 x2 + > x 1 a ≤ −2 * ∆' = a2 - ≥ ⇔ a ≥ ( x1 + x ) − x1 x x2 x1 x + = + −2 > ⇔ > ⇔ a2 − x x x1 x1 x 1 a ≤ −2 nªn a2 - > ) ⇔ a − > = ( v× a≥2 x * x 2 2 ( ) >9 ⇔ a > ⇔ a > (t / m) Bài 86: a) Cho hai phơng trình a2x2 + bx + c = (1) vµ cx2 + bx + a2 = (2) (Víi a>c>0) Gi¶ sử phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2; phơng tr×nh (2) cã hai nghiƯm x1' , x ' Chøng minh r»ng: x1x2 + x1 ' x ' b) Cho phơng trình ax2 + bx + c = ( a ≠ ) (1) vµ cx2 + dx + a = ( c ) (2) Biết phơng trình (1) có nghiệm m n, phơng trình (2) có nghiệm p q Chứng minh m2 + n2 + p2 + q2 ≥ HDÉn : a) Điều kiện để phơng trình có nghiệm: b2- 4a2c ≥ - Ta cã x1x2 + x1 ' x ' ≥ c a2 =2 a2 c c a ; p + q ≥ pq = a c c a ⇒ m + n + p + q ≥ 2 + ≥ 2.2 = a c b) m + n ≥ mn = Bài 87: Cho phơng trình ax + bx + c = (1) cã nghiệm dơng x1, x2 a) Chứng minh phơng trình cx + bx + a = (2) còng cã nghiƯm d¬ng x3 , x b) Chøng minh r»ng S = x1 + x2 + x3 + x HDẫn : a)Phơng trình (2) có nghiệm dơng khi: c ∆ = b − 4ac ≥ b b − 4ac ≥ x3 + x = − > ⇔ c bc < a ac > x3 x = c > - Vì phơng trình (1) có nghiệm dơng nên: (I) 17 c ≠ c ≠ ∆ = b − 4ac ≥ b b − 4ac ≥ b − 4ac ≥ ⇔ (II) x1 + x = − > ⇔ a ab < bc < c ac > ac > x1 x = a > - Tõ (I) vµ (II) ⇒ kÕt luËn ? b) C¸ch 1: NÕu α nghiệm (1) a + b + c = 1 1 Thay x = vµo (2) ta cã: c + b + a = c + bα + aα = α α α ⇒ lµ nghiƯm cđa (2) Do x1, x2 nghiệm (1) 1 x3 = , x = lµ nghiƯm cđa (2) x1 x2 1 + x + ≥ + = ( Bất đẳng thức Côsi) x1 x2 C¸ch 2: ( x1 + x ) + ( x3 + x ) ≥ x1 x + x3 x = VËy S = x1 + ( c a ≥ 2.2 2 + a c ) c a = 2.2.1 = a c Bài toán : So sánh nghiệm phơng trình bậc hai với số Phơng pháp : Phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a ≠ ) 1)PTB2 cã nghiƯm tr¸i dÊu ⇔ P< ⇔ ac < - Đặc biệt PTB2 có nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm ( ) ∆ ∆' > P < hc S < S < d¬ng ⇔ ( ) ∆ ∆' ≥ 2) PTB2 cã nghiÖm cïng dÊu ⇔ P > ∆ ∆' ≥ a- PTB2 cã nghiƯm cïng ©m ⇔ P > S < ( ) ( ) ∆ ∆' ≥ b- PTB2 cã nghiƯm cïng d¬ng ⇔ P > S > ( ) ∆ ∆' > P = 3) P TB2 cã nghiƯm lµ số nghịch đảo 4) P TB2 có nghiệm số đối ( 2nghiệm trái dấu giá trị tuyệt ( ) ' > S =0 đối) ⇔ P < S = Bµi 88: Tìm giá trị m để phơng trình: a) x2 - 2x + m = cã nghiƯm tr¸i dÊu b) x2 - 2mx + (m - 1)2 = cã nghiƯm d¬ng ( m < 0) ( < m ≠ 1) 18 m + > m > không xảy m < −1 c) 2x2 - 2(m + 1)x + m = cã nghiƯm ©m Bài 89: Tìm giá trị m để phơng tr×nh: a) x2 - 2(m + 1)x + m - = cã nghiƯm tr¸i dÊu b) x2 - 2(m + 1)x + m2 = cã nghiệm phân biệt dơng c) x2 - 2x + m = có nghiệm phân biệt số dơng Bài 90: Xác định điều kiện k để phơng trình: a) ( k 2) x − 6kx + 2( k − 5) = cã nghiƯm tr¸i dÊu b) ( k − 1) x − 2( k − 1) x + k = cã nghiƯm d¬ng c) ( k − 2) x − 2( k + 3) x + k = có nghiệm âm Bài 91: Xác định điều kiện m để phơng trình: a) ( m − 5) x − 4mx + m − = cã nghiƯm tr¸i dÊu b) ( 2m − 1) x − ( 3m + 4) x + m + = cã nghiƯm tr¸i dÊu ( m < 4) (- < m ≠ ) ( 0 2 x + x = m = 6; m = Bài 98: Số đo hai cạnh góc vuông tam giác vuông nghiệm phơng trình bậc hai ( m 2) x − 2( m − 1) x + m = HÃy xác định giá trị m để số đo đờng cao ứng với cạnh huyền m ≠ ∆' ≥ * ⇔ P > S > m < m > * x1 + x2 = 5 ⇔ m = 4(t / m) ®ã x1 = 1; x2 = Bài 99: Tìm giá trị m để phơng trình x mx + m m − = (m>0) cã hai nghiÖm x1, x2 tơng ứng độ dài hai cạnh AB, AC ABC vuông A BC = Bài toán 10 : Tìm giá trị tham số để hai phơng trình bậc hai đà cho tơng đơng với ( Trong trờng hợp phơng trình có nghiệm phân biệt) Phơng pháp : - Chỉ phơng trình có nghiệm phân biệt x1 + x = x3 + x x1 x = x3 x - LËp hÖ phơng trình - Giải hệ phơng trình tìm giá trị tham số - Thử lại, rút kết luận Bài 100: Cho phơng trình bậc hai x − ( m + n ) x − ( m + n ) = (1) T×m m n để phơng trình (1) tơng đơng với phơng tr×nh x − x − = (2) *Phơng trình (2) có ac = - 5 2 * P = 2m − + 15 ≥ 15 ⇒ Pmin = 15 ⇔ m = 2 4 4 Bài 113: Cho phơng trình x mx + m = Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa A = x 21 + x 2 x1 x giá trị t¬ng øng cđa m * ∆ = ( m − 2) ≥ * A = ( m − ) − ≥ −8 ⇒ Amin = m = Bài 114: 1) Cho phơng tr×nh x − mx + m − = Gọi x1 , x nghiệm, tìm giá trị nhỏ A = x 21 + x 2 2) Cho phơng trình x + 2(m + 3) x + m + = Xác định giá trị m để x 21 + x 2 đạt giá trị nhá nhÊt 1) a + b + c = − m + m − = ⇒ ph¬ng trình có nghiệm A = + ( m − 1) ≥ ⇒ Amin = ⇔ m = 2) ∆' = ( m − 2) + > 2 x 21 + x 2 = ( m − ) + ≥ ⇒ ( x + x ) = ⇔ m = Bµi 115: Cho phơng trình x 2mx + 2m − = T×m m cho A = 2( x 21 + x 2 ) − x1 x đạt giá trị nhỏ * ∆' = ( m − 1) ≥ * A = 8m − 18m + = 2 2m − − ≥ − ⇒ Amin = − ⇔ m = 4 8 8 Bµi 116: Cho phơng trình x 2(m 2) x 6m = (1) Gäi x1 , x lµ nghiệm phơng trình (1) Tìm giá trị nhá nhÊt cña x 21 + x 2 * ∆' = ( m + 1) + > * x 21 + x 2 = ( 2m − 1) + 15 ≥ 15 ⇒ ( x 21 + x 2 ) = 15 ⇔ m = 23 Bµi 117: Cho phơng trình x 2(m 1) x + 5m = Tìm giá trị m nghiệm x1 , x phơng trình cho tổng x 21 + x 2 có giá trị nhỏ * Giả sử phơng trình có nghiệm ta có: x1 + x2 = 2m − ≥ −2 ⇒ ( x1 + x2 ) = −2 ⇔m=0 * m = : x + x − = ⇒ x1, = −1 ± Bµi 118: Cho phơng trình ax ( b a + 1) x = m + (1) a) Víi a = 1; b = Chøng minh r»ng phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x với giá trị m b) Tìm m x 21 + x 2 đạt giá trị nhỏ tính nghiệm trờng hợp a) x − x − m − = cã ∆' = m + > 0∀m ∈ R b) * x 21 + x 2 = 2m + ≥ ⇒ ( x 21 + x 2 ) = ⇔ m = * m = : x − x − = ⇒ x1, = Bài 119: Cho phơng tr×nh x + (2m − 1) x + m = Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc A = x 21 + x 2 − x1 x * ∆ = ( 2m − 3) ≥ 5 2m − * 3 2 A= + ≥ ⇒ Amin = ⇔m= 16 16 16 Bµi 120: Gäi x1 , x lµ nghiƯm phơng trình sau, tìm giá trị m để x 21 + x 2 có giá trị nhỏ nhÊt 1) x − ( 2m − 1) x + m − = 2) x − 2( m + 1) x + ( m − 1) = 1) ∆ = 4( m − 1) + > 11 11 2 x + x = 4m − 6m + = 2m − + ≥ ⇒ ( x + x ) = 2 2) ∆ = 4m + > 2 4 11 ⇔m= 4 2 ( 1 5 2 x + x = 4m + 2m + = 2m + + ≥ ⇒ x + x 2 4 2 ) = ⇔m=− 4 Bµi 121: Gọi x1 , x nghiệm phơng trình sau, tìm giá trị m để x 21 + x 2 có giá trị nhỏ 1) x + 2( m − ) x − ( 2m − ) = 2) x + 2( m − ) x − 3m + 10 = m ≤ −1 m ≥ 1) ∆' = m − 2m − ≥ ⇔ x 21 + x 2 = 4m − 12m + = ( 2m − 3) − + m ≥ ⇒ A ≥ ( 2.3 − 3) − = + m ≤ −1 ⇒ A ≥ [ 2.( − 1) − 3] − = 18 24 Suy Amin = ⇔ m = m ≤ −2 m ≥ 2) ∆' = m − m − ≥ ⇔ 5 41 x + x = 4m − 10m − = 2m − − 2 2 2 + m ≥ ⇒ A ≥ 2.3 − − 41 = 2 + m ≤ −2 ⇒ A ≥ 2.( − ) − − 41 = 32 2 Suy Amin = ⇔ m = Bµi 122: Gọi x1 , x nghiệm phơng trình sau, tìm giá trị m để x1 x2 có giá trị nhỏ 1) x ( m − 1) x − ( m + 1) = 2) x − 4mx + ( m + 1) = 1) ∆ = ( m + 1) + > ( x1 − x ) = ( m + 1) + ⇒ ( x1 − x2 ) ⇒ x1 − x = ⇒ ( x1 − x ) m ≤ − ; 2) ∆ = 3m − 2m − ≥ ⇔ m ≥ 1 * m ≤ − ⇒ x1 − x2 ≥ * m ≥ ⇒ x1 − x ≥ ' Suy (x − x2 ) ( m + 1) + ( m + 1) + ≥ = = ⇔ m = −1 x1 − x = 12m − 8m − m = − =0⇔ m = Bài 123: Cho phơng trình x 2(m + 1) x + m + 4m − = Xác định m để hiệu tổng Hai nghiệm tích hai nghiệm phơng trình đạt giá trị lớn * ' = 2m ≥ ⇔ m ≤ * ( x1 + x ) − x1 x = −m − 2m + = −( m + 1) + ≤ ⇒ [ ( x1 + x ) − x1 x ] max = m = (t/m) Bài 124: Cho phơng tr×nh x + (m + 1) x + m = (1) Gäi x1 , x lµ nghiƯm phơng trình (1) Tìm giá trị m để biÓu thøc B = x 21 x + x1 x 2 đạt giá trị lớn * = ( m − 1) ≥ 2 * B = x1 x ( x1 + x ) = − m − m = − m + + ≤ ⇒ Bmax = ⇔ m = − 2 4 25 Bài 125: Cho phơng trình mx − 2mx + 3m − = Tìm giá trị m để nghiệm x1 , x phơng trình có tích x1 x lín nhÊt m ≠ * ⇔0 2 * Q = 2007( x1 + x ) − 4014 x1 x = 2007( 2m + ) − 4014( m 3) = 16056 Bài toán 14 : Lập phơng trình bậc hai biết hai nghiệm x1 , x2 thoả mÃn điều kiện giả thiết Phơng pháp : - Tính tổng (S), tích (P) hai nghiệm - áp dụng định lý đảo định lý Viét lập phơng trình X2 SX + P=0 Bài 132: Cho phơng trình x + px + q = cã hai nghiƯm x1 , x2 vµ x Lập phơng trình Bậc hai có nghiệm *S= x1 x x2 x1 p 2q ;P=1 q * Phơng trình: qx − ( p − 2q ) x + q = Bài 133: Cho phơng trình ax + bx + c = ( a ≠ 0, c ) với nghiệm HÃy lập 27 phơng trình bậc hai có nghiệm ( 0, β ≠ 0) α β α + β ( α + β ) − 2αβ b − 2ac α β = ; + = = = β α β α αβ αβ ac * Phơng trình : x b 2ac x + = ⇔ acx − ( b − 2ac ) x + ac = ac * Bài 134: Lập phơng trình bậc hai mà nghiệm tổng tích nghiệm phơng trình ax + bx + c = ( a ≠ 0) b c ; y = x1 x = a a c−b bc * y1 + y = ; y1 y = − a a c−b bc * Ph¬ng tr×nh : y − y − = ⇔ a y + a ( b − c ) y − bc = a a * y1 = x1 + x = − Bµi 135: Gọi x1 x hai nghiệm phơng tr×nh bËc hai ax + bx + c = ( a ≠ 0) H·y lËp mét ph¬ng trình bậc hai có nghiệm x 21 x 2 * x 21 + x 2 = ( x1 + x ) − x1 x2 = b − 22ac ; a x 21 x 2 = ( x1 x ) = c a * Ph¬ng tr×nh : x − b − 22ac x + c = ⇔ a x − ( b − 2ac ) x + c = 2 a a Bài 136: Cho phơng trình x − 5mx + = (1) cã hai nghiệm x1 , x2 Lập phơng trình bậc hai có nghiệm y1 , y thoả mÃn: a) Là số đối nghiệm phơng trình (1) b) Là nghịch đảo nghiệm phơng trình (1) a/ y1 + y = −( x1 + x ) = 5m ; y1.2=x1( 2)=x121 Phơng trình: y + 5my + = b/ y1 + y = 1 x + x2 1 =1 + = = 5m ; y1 y = = x1 x x1 x x1 x x1 x Phơng trình: y − 5my + = Bµi 137: Cho phơng trình bậc hai ax + bx + c = (1) ( a ≠ 0) , cã hai nghiệm khác Tìm phơng trình bậc hai mà c¸c nghiƯm cđa nã : a) Kh¸c dÊu víi nghiƯm phơng trình (1) b) Bằng nghịch đảo nghiệm phơng trình (1) c) Lớn nghiệm phơng trình (1) lợng n d) Gấp k lần nghiệm phơng trình (1) a/ ax − bx + c = b/ cx + bx + a = c/ ax + ( b − 2an ) x + an − bn + c = d/ ax + kbx + k c = Bài 138: Cho phơng trình x + 3ax − 3( b + 1) = , ( a b số nguyên) Gọi nghiệm phơng trình x1 x HÃy lập phơng trình bậc hai có nghiệm lµ x 31 vµ x * x 31 + x = ( x1 + x ) − x1 x2 ( x1 + x ) = ( − 3a ) − 3.[ − 3( b + 1) ]( − 3a ) = − 27 a − 27 ab − 27 a = − 27( a + ab + a ) 28 [ ( + 27( a )] x 31 x = ( x1 x ) = − b + * Phơng trình : x 3 ( ) = −27 b + ) ( ) + ab + a x − 27 b + = Bài toán 15 : Tìm giá trị tham số để phơng trình bậc hai có nghiệm nguyên a Phơng pháp : - Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm : - TÝnh - TÝnh - Khư m Bµi 139: ( ) ' ∆ ∆ ≥ ... P Thay S = x + x , P = x x ( ) '' Bài 45: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình : x2 - (m + 3)x + 2m - = mà hệ thức không phụ thuộc vào m HDÉn : ∆ = (m -1)2+ 28 ≥ m = S - vµ m = P+5... phơng trình bậc hai có nghiệm x1 , x thoả mÃn 11 đẳng thức liên hệ nghiệm Phơng pháp : a - Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm : - TÝnh tỉng S, tÝch P cđa hai nghiƯm x x Kết hợp đẳng thức. .. x hai nghiệm phơng trình bậc hai ax + bx + c = ( a 0) HÃy lập phơng trình bậc hai có nghiệm x 21 x 2 * x 21 + x 2 = ( x1 + x ) − x1 x2 = b − 22ac ; a x 21 x 2 = ( x1 x ) = c a * Phơng trình