sáng kiến kinh nghiệm toán 7 - giải bài toán hình bằng phương pháp phân tích ngược

hướng dẫn học sinh giải bài toán hình bằng phương pháp phân tích ngược

ĐỀ TÀI:

HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TOÁN

CHỨNG MINH BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NGƯỢC

TRONG MÔN HÌNH HỌC LỚP 7

I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn chuyên đề:

Trong chương trình hình học THCS các bài tập yêu cầu chứng minh chiếm tỉ

lệ lớn nên yêu cầu giáo viên giảng dạy cần hướng dẫn học sinh tìm cách chứng minh bài toán chứ không đơn thuần là giúp học sinh có được lời giải bài toán Thông qua việc hướng dẫn của giáo viên giúp học sinh tự đúc kết được phương pháp chứng minh, tiến tới có được phương pháp học tập bộ môn hình học

Với chương trình hình học 6, học sinh mới chỉ làm quen với các khái niệm mở đầu về hình học Học sinh được tiếp cận kiến thức bằng con đường quy nạp không hoàn toàn, từ quan sát, thử nghiệm, đo đạc, vẽ hình để đi dần đến kiến thức mới Học sinh nhận thức các hình và mối liên hệ giữa chúng bằng mô tả trực quan với sự hỗ trợ của trực giác, của tưởng tượng là chủ yếu Lên lớp 7 học sinh bước đầu làm quen với các mối quan hệ vuông góc, song song, bằng nhau… Với yêu cầu về kĩ năng từ thấp đến cao đòi hỏi phải có sự suy luận lôgíc hợp lý, khả năng sử dụng ngôn ngữ chính xác thông qua các bài tập chứng minh Việc làm quen và tiếp cận với bài toán chứng minh đối với học sinh lớp 7 còn mới mẻ nên đại đa số học sinh chưa biết chứng minh như thế nào và bắt đầu từ đâu

Nếu vấn đề này không được khắc phục ngay từ lớp 7 thì HS sẽ không thể tiếp thu được kiến thức hình học ở các lớp trên Do vậy vai trò của giáo viên giảng dạy lúc này rất quan trọng Giáo viên là người hướng dẫn, phân tích giúp học sinh tìm ra cách chứng minh bài toán hình học từ đó hình thành kĩ năng phân tích, tổng hợp kiến thức và kĩ năng trình bày lời giải Từ đó hình thành phương pháp học toán cho HS

Với các lý do trên nên tôi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh tìm lời giải

cho bài toán chứng minh bằng phương pháp phân tích ngược trong môn hình học lớp 7”.

2 Cơ sở lí luận của đề tài:

Trong trường THCS môn toán được coi là môn khoa học luôn được chú trọng nhất và cũng là môn có nhiều khái niệm trừu tượng Đặc biệt phải khẳng định là phân môn hình học có nhiều khỏi niệm trừu tượng nhất, kiến thức trong bài tập lại phong phú, rất nhiều so với nội dung lý thuyết mới học Bên cạnh đó yêu cầu bài tập lại cao, nhiều bài toán ở dạng chứng minh đòi hỏi phải suy diễn chặt chẽ

lô gíc và có trình tự

SGK hình học 7, các kiến thức được trình bày theo con đường kết hợp trực quan và suy diễn, lập luận Bằng đo dạc, vẽ hình, gấp hình, quan sát …học sinh

dự đoán các kết luận hình học và tiếp cận các định lý Nhờ đó giúp HS có hứng thú học tập, chịu khó tìm tòi khám phá kiến thức

Sách giáo khoa hình học 7 tiếp tục bổ sung kiến thức mở đầu của hình học phẳng lớp 6 làm quen với các khái niệm mới: Hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng song song, quan hệ bằng nhau của hai tam giác, tam giác cân, tam giác đều, định lí Pitago, quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác, các đường đồng quy trong tam giác Chương trình hình học 7 là bước chuyển tiếp quan trọng về

tư duy để giúp HS học tốt được chương trình hình học 8 và 9

Hệ thống các bài tập đa dạng phong phú được thể hiện dưới nhiều hình thức, phần lớn là các bài tập chứng minh, từ đó đòi hỏi HS phải có phương pháp phân tích hợp lí để tìm được lời giải cho bài toán Vì vậy việc hướng dẫn học sinh cách phân tích tìm lời giải cho bài toán là hết sức quan trọng để khơi dậy hứng thú học tập, giúp học sinh học toán nhẹ nhàng hào hứng, đạt kết quả tốt hơn

3 Cơ sở thực tiễn của chuyên đề

a)Đối với giáo viên:

Cơ bản là có tinh thần tự bồi dưỡng thường xuyên, liên tục để nâng cao trỡnh

độ chuyên môn nghệp vụ Có trách nhiệm đối với học sinh, đối với trường lớp Phương pháp giảng dạy đó có sự đổi mới hơn theo hướng tích cực hóa hoạt động của người học, từng bước áp dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy Tuy nhiên một bộ phận không nhỏ giáo viên còn lúng túng trong việc phân tích, hướng dẫn cho HS tìm ra lời giải cho bài toán GV thường phân tích xuôi chiều từ giả thiết đến kết luận, khiến HS không hiểu tại sao và nguyên nhân nào đưa đến lời giải của bài toán vì thế không vận dụng được vào giải các bài toán khác, do đó HS không biết cách học toán, cụ thể là cách suy nghĩ để tìm lời giải

cho một bài toán Đặc biệt là các bài toán chứng minh trong môn hình học, khiến

HS tiếp thu một cách thụ động, thiếu tự nhiên, thiếu tính sáng tạo, dẫn đến kết quả học tập thấp

b)Đối với học sinh:

Một bộ phận học sinh, khoảng 20% rất tích cực học tập, rèn luyện, có động

cơ học tập đúng đắn nên đó c kết quả học tập tốt

Một bộ phận lớn học sinh, khoảng 35% cú kết quả học tập trung bình, trong số này có khoảng 15% nếu có phương pháp học phù hợp thì sẽ đạt mức khá

Số còn lại (45%) học yếu, trên lớp hầu như không tiếp thu được bài học, trong đó phần lớn là do các em không có phương pháp học toán phù hợp, không

có kĩ năng phân tích, tìm lời giải cho bài toán

Qua tìm hiểu tôi thấy nguyên nhân do trong quá trình dạy học thầy cô giáo chưa hướng dẫn học sinh phương pháp học tập đúng đắn, các hình thức tổ chức các hoạt động dạy học trong giờ học chưa phong phú nên chưa kích thích được học sinh hứng thú học tập

II Mục tiêu, phạm vi và đối tượng của chuyên đề:

1.Mục tiêu

Thông qua chuyên đề tôi muốn trao đổi thêm về phương pháp giảng dạy hình học 7 để có hiệu quả giảng dạy cao nhất

Giúp cho học sinh có hướng suy nghĩ tìm tòi lời giải cho một bài toán chứng minh hình học, nhằm dần hình thành kĩ năng phân tích, tổng hợp kiến thức, Giúp phát triển tư duy và rèn khả năng tự học cho HS, đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục

2.Phạm vi

Có rất nhiều con đường, nhiều phương pháp để tìm lời giải cho một bài toán hình học, nhưng vì điều kiện thời gian chuyên đề chỉ đề cập đến một phương pháp quan trọng và phổ biến trong việc tìm cách chứng minh bài toán hình học:

Phương pháp phân tích ngược trong môn hình học 7.

3 Đối tượng

HS khối 7, môn hình học 7

III.NỘI DUNG

1 Các bài toán chứng minh trong hình học 7 thường gồm:

- Chứng minh bằng nhau: Đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, tam giác bằng nhau…ứng dụng để: So sánh góc, đoạn thẳng, CM trung điểm của đoạn thẳng, tia phân giác của góc…

- Chứng minh song song:

- Chứng minh vuông góc

- Chứng minh thẳng hàng

- Chứng minh các đường thẳng đồng quy

- Chứng minh các yếu tố cố định,

2 Phương pháp chung để tìm lời giải bài toán

a) Tìm hiểu nội dung bài toán

+ Giả thiết là gì? Kết luận là gì? Hình vẽ minh họa ra sao? Sử dụng kí hiệu như thế nào?

+ Phát biểu bài toán dưới những dạng khác nhau để hiểu rõ bài toán

+ Dạng toán nào?

+ Kiến thức cơ bản cần có là gì?

b) Xây dựng chương trình giải: Chỉ rõ các bước giải theo một trình tự

thích hợp

c) Thực hiện chương trình giải: Trình bày bài làm theo các bước đã được

chỉ ra Chú ý các sai lầm thường gặp trong tính toán, biến đổi

d) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

+ Xem xét có sai lầm không, có phải biện luận kết quả không

+ Nghiên cứu bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn để,

3 Phương pháp chứng minh bài toán hình học theo hướng phân tích

đi lên

* Ngoài việc tuân thủ theo bốn bước chung, ta đi sâu vào hai bước: Tìm hiểu

và xây dựng chương trình giải

- Bài toán yêu cầu phải chứng minh điều gì? ( Kết luận A)

- Đề chứng được kết luận A ta phải chứng minh được điều gì? ( Kết Luận X)

- Để chứng minh được kết luận X ta dựa vào dấu hiệu nào, chứng minh điều gì? ( Kết luân Y)…

-Quá trình phân tích trên dừng lại khi đã sử dụng được giả thiết của bài toán và các kiến thức đã học trước đó

Sơ đồ phân tích bài toán như sau:

Để chứng minh A Phải cm X Phải cm Y Phải cm Phải cm Z (CM được từ GT)

Lưu ý: Khi trình bày lời giải, học sinh phải tiến hành theo hướng ngược lại

4 Kết quả đạt được sau khi thực hiện chuyên đề

minh bài toán hình học, kết quả là:

Số lượng học sinh được kiểm

tra

Tỉ lệ học sinh biết chứng minh (mức độ chuẩn KTKN)

67 35 HS chiếm 52,2%

Sau khi thực hiện chuyên đề kết quả đạt được như sau:

Số lượng học sinh được kiểm

tra

Tỉ lệ học sinh biết chứng minh (mức độ chuẩn KTKN)

67 47 HS chiếm 70,1%

5 Các ví dụ cụ thể:

Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA Chứng minh rằng

a) AB = CE

b) AC // BE

Hướng dẫn tìm lời giải:

Sau khi hướng dẫn học sinh vẽ hình và ghi gt, kl

giáo viên yêu cầu học sinh trả lời các câu hỏi sau:

a) Để chứng minh AB = CE ta phải chứng minh điều gì? ( GV gợi ý: Dựa vào các tam giác bằng nhau có chứa hai cạnh là hai đoạn thẳng trên)

( ABM ECM)

- Từ GT ta đã CM được hai tam giác trên bằng nhau chưa? tại sao?

(ABM ECM (c – g – c))

- Sau đó giáo viên cho học sinh trình bày theo hướng ngược lại

b) Để chứng minh hai đường thẳng song song ta dựa vào các dấu hiệu nào? ( Học sinh nêu các dấu hiệu – giáo viên hướng cho học sinh nên sử dụng cặp góc so le trong bằng nhau)

Để chứng minh AC//BE Ta chứng minh cặp góc nào bằng nhau? ( góc CAE bằng góc BEA hoặc góc ACB bằng góc CBE)

- Muốn chứng minh góc ACB bằng góc CBE ta chứng minh hai tam giác nào bằng nhau?( AMCEMB)

- Từ GT ta đã CM được hai tam giác trên bằng nhau chưa ? Tại sao? (

  (c – g - c))

Sau đó học sinh trình bày cách chứng minh theo hướng ngược lại

Sơ đồ phân tích: AC // BE  c/m góc ACB bằng góc CBEc/m

 

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, K là trung điểm của BC Trên nửa mặt phẳng bờ AC

không chứa điểm B kẻ Ax vuông góc với AC và lấy M  Ax sao cho AM = AC Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB không chứa điểm C kẻ Ay vuông góc với AB và lấy N thuộc Ay sao cho AN = AB Lấy P trên tia đối của tia KA sao cho AK = KP CMR:

a) AC//BP

b) AMNBPA

c) AK MN

Hướng dẫn tìm lời giải.

Giáo viên cho học sinh vẽ hình ghi GT, KL

a) Hướng dẫn như VD 1:

b) GV: Hai tam giác đã có những yếu tố nào

bằng nhau? (c-c)

Ta sẽ CM hai tam giác bằng nhau theo trường hợp

nào? Khi đó cần CM thêm điều kiện gì? ( MAN ABP )

- Góc MAN và góc BAC có quan hệ gì với nhau? (bù nhau)

Vậy để CM: MAN ABP ta phải CM đều gì?

(Góc ABP và góc BAC bù nhau)

- Ta CM được góc ABP và góc BAC bù nhau dựa vào yếu tố nào? (AC//BP)

- Sơ đồ phân tích:

Để CM MAN=BPA

ta cm MAP ABP ta cm MAN BAC ABP BAC

c) Giáo viên hướng dân học sinh chứng minh bằng hệ thống câu hỏi như sau:

- Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta dựa vào các dấu hiệu nào ( Học sinh nhớ lại các dấu hiệu đã học )

- Giáo viên hướng cho học sinh sử dụng dấu hiệu hai đường thẳng cắt nhau tạo thành một góc vuông)

-Nếu gọi H là giao điểm của AK và MN thì để chứng minh AK MN ta phải chỉ

ra điều gì?

( AHM 90 0 hoặc AHN 90 0)

- Hãy chỉ ra các cách chứng minh AHN 90 0 (HS nêu: AHM  AHN hoăc

A HNA )

– Giáo viên hướng cho học sinh chứng minh   0

A HNA

- Tính  

A A ( = 900)

A N  ta phải chỉ ra được góc N và góc A2 cos quan

hệ gí với nhau? ( bằng nhau) CM được vì: AMN BPA

- Sơ đồ phân tích:

được vì AMN BPA)

- Sau đó giáo viên hướng dẫn học sinh trình bày lời giải bài toán trên theo hướng ngược lại

4 3 2 1

F

E

O

D

C

B A

2 1 M C B

A

F E

D

C B

A

Ví dụ 3 Cho tam giác ABC, các điểm D, E lần lượt là

trung điểm của các cạnh AB, AC Trên đường thẳng DE

lấy điểm F sao cho E là trung điểm của DF CMR:

a) BD=CF

b) DE//BC

Sơ đồ phân tích

a) Để CM BD=CF cm CF AD  cm ADE CFE (CM được từ GT) b) Cách1: Để CM DE//BC cm CDF BCD   cm BDCFCD cm BDC DCF  

(CM được từ GT và phần a.)

Ví dụ 4: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn.

Trên các cạnh AC và BD lần lượt lấy các điểm E, F sao cho AE=BF CMR các điểm E, O, F thẳng hàng

Sơ đồ phân tích:

CM: E, O, F thẳng hàng

ta cm O O O ta cm O O ta cm AOE BOF

(CM được vì GT)

Ví dụ 5:

Tam giác ABC cân tại A Phân giác của góc A cắt

cạnh BC tại D M là một điểm nằm giữa A, D

CMR: BMD = CMD

Sơ đồ phân tích:

Để CM BMD=CMD  ta cm MB MC M ,  1M 2   ta cm ABM ACM

( CM từ GT)

1 K

H

E D

C B

A

2 1

E D

C B

A

Ví dụ 6 Cho Tam giác ABC, đường cao AH Vẽ ra phía ngoài của

tam giác các tam giác vuông cân ABD, ACE (ABD ACE   90 0) Qua điểm C vã đường thẳng vuông góc với BE, cắt đường thẳng

HA tại K CMR các đường thẳng AH, BE, CD đồng quy

Sơ đồ phân tích

Để CM: AH, BE, CD đồng quy taCM:

CD chứa đường cao của BKC

0

1

Ví dụ 7 Tam giác ABC có góc A bằng 900 và AB=AC

Qua A kẻ đường thẳng xy sao cho xy không cắt đoạn

Thẳng BC Kẻ BD và CE vuông góc với xy

CMR: DE=BD+CE

Sơ đồ phân tích

Để CM: DE=BD+CE Ta CM:

DA BD AE EC    ABDCAE  A ACE  ACE A A  A

(CM được từ GT)

Bằng cách làm tương tự giáo viên có thể hướng dẫn học sinh chứng minh nhiều bài tập chứng minh khác bằng cách phân tích ngược như trên Các ví dụ cụ thể được minh hoa trong tiết dạy như sau:

TIẾT 33: LUYỆN TẬP

VỀ BA TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC

D C B

A

Nội dung bài dạy được thể hiện như sau:

Dạng1 : Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau

Bài1.Cho ABC có AB=AC Chứng minh rằng góc B bằng góc C

Giáo viên cho học sinh vẽ hình ghi GT,KL và tìm hướng chứng

minh của bài toán

Theo hệ thống câu hỏi

- Góc B và Góc C trong cùng 1 tam gíac, lại chưa biết số đo

Vậy muốn c/m B C   ta nên làm thế nào?

( HS Tạo ra hai tam giác chứa hai góc đó bằng cách kẻ thêm đường phụ)

- GV: Yêu cầu học sinh chứng minh hai tam giác đó bằng nhau theo nhóm

Bài 2 Cho góc xOy khác góc bẹt Ot là tia phân giác của góc xOy, trên tia Ot

lấy điểm H Kẻ đường thẳng vuông góc với Ot tại

H,

đường thẳng này cắt tia Ox, Oy lần lựt tại A và B

a) CMR: 0A=0B

b) Trên tia Ot lấy điểm C Chứmg minh Ot là

đường phângiác của góc ACB

GV: cho học sinh ghi GT; KL

và chứng minh phân phần a)

b) GV: Hướng dẫn bằng hệ thống câu hỏi:

- Để C/m Ot là đường phân giác của góc ACB ta phải chứng điều gì?

( HS : góc ACH bằng góc BCH) -Muốn chỉ ra góc ACH bằng góc BCH

Ta làm như thế nào?

HS: AOCBOC hoặc AHCBHC

Hai tam giác trên bằng nhau chưa? tai sao?

GV: Trình chiếu lời giải chi tiết của bài toán

Giáo viên chốt lại sơ đồ tìm hướng chứng minh phần b) như sau:

Ot là phân giác của góc ACB - ACO BCO  AOCBOC hoặc

 

2 1

t H

y

x

B A

 Dạng2 : Chứng minh quan hệ vuông góc, song song của hai đường thẳng.

Bài 3 Cho hình vẽ,

Biết AB=CD, BC=AD

Chứng minh rằng AB//CD

Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm cách chứng minh

tương tự như ví du 1: của chuyên đề

Bài 4 Cho ABC nhọn có AB=AC, D là trung điểm của BC

a) CMR: ADBC

b) Kẻ BMAC, CNAB (MAC, NAB)

Chứng minh

b1) AN=AM

b2) MN//BC

c)BM cắt CN tại H, chứng minh ba điểm A, H, D

cùng thuộc một đườngthẳng

- GV: Đưa hình vẽ lên màn hình

- HS: Ghi GT, KL trên bảng

Hướng dẫn học sinh chứng minh phần a, b

a) GV: Nếu ADBC, khi đó hãy so sánh

hai góc ADB và ADC

- HS: Hai góc ADB và ADC bằng nhau

- GV: Khi đó Hai tam giác ADB và ADC có quan hệ với nhau ntn?

- HS: hai tam giác bằng nhau (c-g-c)

- GV cho một HS trình bày trên bảng theo hướng ngược lại

b) GV: AM=AN Khi nào

- HS: Khi BN=CM

- GV: BN=CM khi nào?

- HS: Hai tam giác BNC và CMB bằng nhau

- GV: Hai tam giác BNC và CMB bằng nhau theo trường hợp nào?