SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Tóm tắt thực trạng của vấn đề: Trong thực tế dạy học trên lớp hiện nay việc lĩnh hội các kiến thức hình học của đa số học sinh là rất khó khăn, trong đó việc chứng minh hai tam giác đồng

Tên đề tài: MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY HỌC CHỨNG MINH

HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

PHẦN A: MỞ ĐẦU

2.1 Tầm quan trọng của vấn đề được nghiên cứu:

Việc nâng cao chất lượng đào tạo là vấn đề được đảng, nhà nước và phụ huynh rất quan tâm Trong chỉ thị nhiệm vụ năm học hằng năm của trường cũng như của tổ chuyên môn luôn chú trọng đến vấn đề này.Trong đó việc nâng cao chất lượng theo chương trình chuẩn kiến thức kỹ năng cho học sinh (HS) là điều cấp bách hiện nay

Bản thân được phân công dạy toán lớp 8 nhiều năm nhận thấy rằng chương trình hình học lớp 8 là rất cơ bản, trong đó việc dạy HS chứng minh là mục tiêu của chương trình

2.2 Tóm tắt thực trạng của vấn đề:

Trong thực tế dạy học trên lớp hiện nay việc lĩnh hội các kiến thức hình học của đa số học sinh là rất khó khăn, trong đó việc chứng minh hai tam giác đồng dạng là còn nhiều mới mẻ đối với đa số các em Có em học đến lớp 9 vẫn

mơ hồ, lập luận thiếu chính xác

Tồn tại chủ yếu của HS là:

1 Về kiến thức: Nắm các trường hợp đồng của hai tam giác chậm

2 Về kỹ năng:

− Đọc đề, vẽ hình, ghi ký hiệu trên hình còn nhiều thiếu sót

− Sai sót về phương pháp suy luận

− Sai sót trong việc ghi lời giải

3 Về thái độ: HS thường biểu hiện học mới quên cũ, nên các em rất e ngại, thậm chí rất sợ chứng minh

Chất lượng học tập rất khó đánh giá vì tính không bền vững trong kiến thức của học sinh Hôm nay các em có thể làm đúng, nhưng hôm sau có thể quên đi và làm sai Các em thuộc lòng khi phát biểu tính chất, nhưng có lỗi trong trường hợp vận dụng cụ thể

2.3 Lý do chọn đề tài:

Cần phải có biện pháp để HS học tốt nội dung chứng minh hai tam giác đồng dạng, tránh tình trạng mơ hồ trong quá trình học tập, biết lập luận có căn

cứ, nhằm nâng cao chất lượng đào tạo, tạo niềm tin cho các em khi học môn hình học, bản thân nghiên cứu đề tài:

“MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG”

Đây là vấn đề có tính cấp thiết, được mọi người quan tâm

2.4 Giới hạn nghiên cứu của đề tài:

− Đề tài nghiên cứu về các trường hợp đồng dạng của hai tam giác

− Minh họa đề tài: một số bài tập

2.5 Đối tượng sử dụng

− Đối tượng HS lớp 8

− GV tham gia giảng dạy bộ môn toán PTCS

3 Cơ sở lý luận:

3.1 Về luật Giáo dục, Điều 28.2 ghi: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

3.2 Các nội dung và phương pháp phải đảm bảo yêu cầu chuẩn kiến thức,

kĩ năng môn toán trung học cơ sở Nội dung không quá tải và không quá lệ thuộc vào sách giáo khoa

3.3 Sử dụng các phương pháp và hình thức tổ chức dạy học một cách hợp

lí, hiệu quả, limh hoạt, phù hợp với đặc trưng của cấp học, môn học, bài học

3.4 Học sinh trung học cơ sở bắt đầu làm quen với việc suy luận chứng minh, tâm lý của học sinh bắt đầu hình thành và phát triển Sự nhận thức của học sinh còn nhiều non nớt Sự tưởng tượng, phân tích của học sinh còn nhiều hạn chế

3.5 Vấn đề nhận thức của học sinh bao giờ cũng theo quy luật “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, rồi trở lại phục vụ thực tiễn.” Dựa vào sự nhận thức của học sinh mà trong dạy toán, đặc biệt là dạy hình học người giáo viên phải đưa ra các bài toán cơ bản có liên quan gần gũi với khả năng nhận biết của các em Học sinh được trực tiếp quan sát nắm bắt các dữ kiện của bài toán Dưới sự hướng dẫn của giáo viên, học sinh phân tích và chứng minh được các bài toán Từ đó học sinh cúng cố được kiến thức, tự mình có kinh nghiệm rút ra được phương pháp giải Khi nắm được phương pháp giải chung của một dạng toán, học sinh lại được vận dụng các cách giải đó để giải quyết các bài tập có

liên quan Bằng sự thực hành giải toán, học sinh được củng cố, khắc sâu được kiến thức đã học và hình thành kĩ năng kĩ xảo trong giải toán

4 Cơ sở thực tiễn:

4.1 Những thuận lợi:

− Hiện nay các trường PTCS cơ sở vật chất tương đối ổn định, lớp học từng bước đi vào nề nếp Nhà trường và phụ huynh có quan tâm HS có nhiều em tích cực trong học tập và biết nghe lời Thầy, Cô giáo

− Tài liệu và phương tiện dạy học có nhiều, GV và HS có điều kiện để tham khảo

4.2 Những khó khăn:

− HS thiếu quan tâm đến phương tiện và dụng cụ học tập, khi học toán hình thường lung túng, gây mất trật tự và thời gian

− HS không có thói quen tự học, tự nghiên cứu, chưa coi trọng việc vẽ hình, chủ yếu vẽ theo hình vẽ có sẵn Có thói quen học thuộc lòng

− Chưa hiểu vấn đề suy luận chứng minh, không coi trọng việc phân tích giả thiết kết luận của bài toán

− Đối tượng học sinh yếu vẫn còn số đông

− GV có khó khăn trong việc biên soạn tài liệu và phương pháp dạy học vì thiếu thời gian và chưa có nhiều kinh nghiệm

5 Kết quả điều tra khảo sát

Khảo sát hai lớp 8 ở năm học trước, căn cứ vào bài kiểm tra chương III với nội dung tam giác đồng dạng kết quả như sau:

Qua bài làm:

+ Học sinh còn rất lúng túng về việc tìm ra hai tam giác đồng dạng, quá trình giải chưa chặt chẽ, có học sinh làm máy móc chứng minh hai tam giác đồng dạng không phục vụ yêu cầu của bài toán

+ Kết quả thấp là do học sinh thiếu bước phân tích để tìm ra hai tam giác đồng dạng cần chứng minh

PHẦN B: BIỆN PHÁP

1 Biện pháp ôn tập kiến thức cơ bản thông qua bài tập trắc nghiệm điền khuyết

1.1 Giáo viên hường dẫn việc ôn tập với các nội dung:

1 1.1 Định nghĩa hai tam giác đồng dạng:

+ Bằng lời: Tam giác A’B’C đồng dạng với tam giác ABC nếu: …

+ Bằng kí hiệu:

A ' A;B' B;C' C A'B' A'C' B'C'









1.1.2 Định lí dựng tam giác đồng dạng:

+ Bằng lời: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì ………

+ Bằng hình vẽ

+ Bằng kí hiệu:

ABC

M AB.N AC

MN / /BC











∆

Tương tự cho các nội dung sau:

1.1.3 Định lí các trường hợp đồng dạng của hai tam giác thường:

−Trường hợp đồng dạng thứ nhất (cạnh − cạnh − cạnh)

+ Bằng lời: Nếu ba cạnh của tam giác này … ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng

+ Bằng hình vẽ:

+ Bằng kí hiệu:

− Trường hợp đồng dạng thứ hai (cạnh − góc − cạnh)

+ Bằng lời: Nếu hai cạnh của tam giác này ……… hai cạnh của tam giác kia

và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó … thì hai tam giác đồng dạng

+ Bằng hình vẽ:

N

M

A

A

A N

B

M

C

ΔA’B’C’ ΔABC ⇔…

cCcChứng minh

Δ… Δ…

cCcChứng minh

+ Bằng kí hiệu:

− Trường hợp đồng dạng thứ ba (góc − góc)

+ Bằng lời: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng … của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng

+ Hình vẽ:

+ Kí hiệu:

1.1.4 Định lí các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông:

Đối với tam giác vuông, ngoài các trường hợp đồng dạng như của tam giác thường, còn có trường hợp đồng dạng đặc biệt:

+ Bằng lời: “Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ

lệ với … của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng”

+ Bằng hình vẽ:

+ Bằng kí hiệu:

1.1.5 Biện pháp chung:

Với mỗi nội dung , giáo viên yêu cầu học sinh soạn trên phiếu học tập và kiểm tra ở mỗi tiết học

Biện pháp này giúp cho học sinh có cách học lí thuyết một cách khoa học, tránh được việc học toán theo kiểu thuộc lòng, nâng cao việc tự học

Giáo viên có thể dùng biện pháp này có thể kiểm tra miệng, hoặc kiểm tra viết phần lí thuyết

2 Biện pháp rèn kĩ năng chứng minh

Từ định nghĩa, định lí về tam giác đồng dạng hướng dẫn học sinh phân chia từng dạng bài, phát triển từ dạng cơ bản sang các dạng khác, từ phương pháp giải

dạng cơ bản, tìm tòi các phương pháp giải khác đối với mỗi dạng bài, loại bài Biện pháp cụ thể như sau:

2.1 Dạng vận dụng định nghĩa:

Bài toán 1:

Một đường thẳng cắt hai cạnh AB và AC của tam giác ABC lần lượt tại hai điểm M và N sao cho

Chứng minh MN // AB

a) Hướng dẫn: Vẽ hình và ghi giả thiết kết luận

M∈AB, N∈AC

GT

KL MN // BC

b) Hướng dẫn phân tích:

Câu hỏi 1: Để chứng minh MN // BC ta cần chứng minh điều gì?

+ HS thảo luận ôn lại dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song là tìm ra các cặp góc so le trong, đồng vị bằng nhau …

Câu hỏi 2: Từ giả thiết Ta suy ra được gì?

+ Hướng dẫn học sinh chỉ ra các cặp góc tương ứng bằng nhau dựa trên kí hiệu đồng dạng: BAC MAN 1· = · ( )

ABC AMN 2 = → đồng vị ACB MNA 3 · = · ( ) → đồng vị

c) Hướng dẫn viết lời giải

Ta có:

Nên ABC AMN · = · (hai góc tương ứng)

Mà hai góc AMN và ABC là hai góc đồng vị

Do đó MN // BC

d) Giải tương tự cho các trường hợp sau:

Bài toán 2

N M

A

ΔAMN ΔABC

cCcChứng minh

ΔAMN ΔABC

cCcChứng minh

ΔAMN ΔABC

ta cCcChứng minh

ΔAMN ΔABC

t ta

cCcChứng minh

A

A N

B M

C

Một đường thẳng đi qua đỉnh A của tam giác ABC cắt cạnh BC tại D tạo nên hai tam giác đồng dạng là Chứng minh rằng tam giác ABC cân

a) Hướng dẫn: Vẽ hình và ghi giả thiết kết luận

D∈BC

GT

KL ΔABC cân

b) Hướng dẫn phân tích:

Câu hỏi 1: Để chứng minh ΔABC cân ta cần chứng minh điều gì?

+ Học sinh thảo luận: 1) ABD ACD · = · ( hai góc bằng nhau)

2) AD ⊥ BC và AD là tia phân giác của góc BAC (đường phân giác cũng là đường cao)

Câu hỏi 2: Từ giả thiết Ta suy ra được gì?

+ Các cặp góc tương ứng bằng nhau:

CAD BAD 1 = → AD là tia phân giác của BAC ACD ABD · = · (2) → 2 góc đáy

ADC ADB 3 · =· ( ) → = 900 → AD ⊥ BC

c) Hướng dẫn viết lời giải

Có hai cách chứng minh, học sinh chọn cách chứng minh ngắn gọn nhất

Bài tập 3*: Một đường thẳng đi qua đỉnh A của tam giác ABC cắt cạnh BC tại

D tạo nên hai tam giác đồng dạng Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân hoặc tam giác vuông

+ Đây là bài toán khó hơn so với bài toán 2, việc phân tích cần tiến hành như sau:

− Giả sử đường thẳng đi qua A cắt BC tại D tạo thành hai tam giác đồng dạng (hình a) (chưa biết sự tương ứng)

Khi đó góc D1 bằng một góc của tam giác ADC ( đó là góc nào?)

ΔABD ΔACD

cCcChứng minh

ΔABD ΔACD

cCcChứng minh

ΔABD ΔACD

t ta cCcChứng minh

A

− Nhận xét: D >A và D >C (dựa vào tính chất góc ngoài của tam giác) nênµ1 µ1 µ1 µ

1 2

D =D = 90

− Có hai trường hợp:

* Nếu B C µ =µ thì tam giác ABC cân tại A khí đó (hình b)

B A thì A A 90 = + = tam giác ABC vuông tại A,

2.2 Dạng vận dụng định lí:

2.2.1 Trường hợp đồng dạng thứ nhất (c − c − c)

Bài toán 1: Cho hai tam giác ABC có AB = 2cm, AC = 3cm, BC = 4cm và

DEF có DE = 4 cm, EF = 8 cm, DF = 6cm

a) Tính các tỉ số: AB BC AC; ;

DE EF FD

b) Chứng minh rằng hai tam giác ABC và DEF đồng dạng

Hướng dẫn:

a) Ta có AB = 2cm, DE = 4cm (gt), suy ra AB 2 1DE 4 2= =

Tương tự: BC 4 1EF = =8 2; AC 3 1FD 6 2= =

b) xét hai tam giác ABC và DEF có 1

2

DE = EF = FD = (theo a) Nên (c − c − c)

Bài toán 2:

Cho tứ giác ABCD có AB = 2cm, AD = 3cm , BD = 4cm; BC = 6 cm, CD =

8 cm

a) Chứng minh

b) Tứ giác ABCD là một hình thang

ΔABC ΔDEF

t ta

cCcChứng minh

ΔABD ΔBDC

t ta cCcChứng minh

ΔABD ΔACD

t ta cCcChứng minh

ΔABD ΔCAD

ta cCcChứng minh

1

1 2 2

c)

1

1 2 2

b) a)

2 2 1

1

C

C B

A

C B

a) Hướng dẫn: Vẽ hình và ghi giả thiết kết luận

Tứ giác ABCD

GT AB = 2cm, AD = 3cm ,

BD = 4cm ; BC = 6 cm , CD = 8 cm

KL ABCD là một hình thang

b) Hướng dẫn phân tích:

Câu hỏi 1:

a) + Từ kết luận suy ra các cạnh nào tương ứng?

AB ↔ BD

AD ↔ BC BD↔ DC + Lập tỉ số các cạnh tương ứng: ABBD= ADBC = BD 1DC 2=

+ Kết luận:

Câu hỏi 2:

+ Để chứng minh tứ giác là hình thang ta cần phải chứng minh gì?

+ Với kết quả ở câu a ta suy ra được cặp góc tương ứng nào bằng nhau?

Hướng dẫn viết lời giải

a) Cách giải như bài 1

Nên: ABD BDC · = ·

Mà ABD và BDC là hai góc so le trong· ·

Suy ra AB // CD

Vậy tứ giác ABCD là một hình thang

2.2.2 Trường hợp đồng dạng thứ hai (c − g − c)

Bài toán 1:

Cho hình thang vuông ABCD có Aµ = Dµ = 900 , AB = 1cm; BD = 2cm, CD = 4cm

a) Chứng minh

b) Chứng minh tam giác BDC là tam giác vuông

ΔABD

ΔBDC t

ta cCcChứng minh

ΔABD ΔBDC

cCcChứng minh

8

2

3

B A

ΔABD ΔBDC

cCcChứng minh

ΔBDC ΔABD

t ta cCcChứng minh

c) Tính độ dài cạnh BC

+ Hướng dẫn: Vẽ hình và ghi giả thiết kết luận

Hình thang vuông ABCD,

A = D = 900

GT AB = 1cm, BD = 2cm , CD = 4 cm

KL a) b) BDC là tam giác vuông c) Tính BC

+ Hướng dẫn phân tích:

a) + Từ kết luận suy ra các cạnh tương ứng?

AB = 1cm ↔ BD = 2cm

AD ↔ BC

BD = 2cm ↔ DC = 4cm + Lập tỉ số các cạnh tương ứng: AB BD 1

BD= DC 2= + Đọc theo cột dọc ABBD và BDDC, đọc theo hàng ngang ABBD và BĐC Bỏ bớt chữ B và D ta có Góc ABD và BDC phải bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng theo trường hợp 2 (c−g − c) Theo giả thiết AB// CD nên góc ABD = góc BDC (so le trong)

b) Từ kết quả

Suy ra DBC BAD · = · = 900 ( hai góc tương ứng, BAD = 90· 0)

Nên tam giác BDC là tam giác vuông tại B

c) Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông BDC tính được BC = 12 cm

+ Hướng dẫn viết lời giải

Dựa trên quá trình phân tích học sinh tự viết lời giải

Bài toán 1*

a) Cho hình thang vuông ABCD có A D µ = µ = 900 và đường chéo BD vuông góc với cạnh bên BC Chứng minh BD2 = AB.CD

b) Cho hình thang vuông ABCD có A D µ = µ = 900 và BD2 = AB.CD Chứng minh đường chéo BD vuông góc với cạnh bên BC

ΔABD ΔBDC

t ta cCcChứng minh

ΔABD ΔBDC

cCcChứng minh

4

1

2

ΔABD ΔBDC

t ta cCcChứng minh

Bài toán 2: Cho đoạn thẳng BC = 13cm, Goi H là điển thuộc đoan BC sao

cho HC = 9cm Dựng tia Hx vuông góc với BC Trên tia Hx lấy điểm A sao cho

AH = 6cm

a) Chứng minh rằng:

b) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông

+ Hướng dẫn: Vẽ hình ( HS tự ghi GT và KL )

+ Hướng dẫn phân tích:

a) + Từ kết luận Ta suy ra các cạnh nào tương ứng?

HA = 6cm↔ HC = 9cm

AB ↔ CA?

HB = 4cm ↔ HA = 6cm + Lập tỉ số các cạnh tương ứng: HA 6 2 HB 4 2; HA HB

HC 9 3 HA 6 3= = = = ⇒ HC HA= + Đọc theo cột dọc AHC và BHA (bỏ bớt chữ H); đọc theo hang ngang ta có AHB và CHA Cả hai cách đều chỉ ra hai góc phải chứng minh bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng theo c−g −c Ta có AHB· = CHA· = 900 (AH ⊥ BC) b) Từ kết quả

Suy ra DBC· = BAD· = 900 (hai góc tương ứng, ·BAD = 900)

Nên tam giác BDC là tam giác vuông tại B

Bài toán 3:

Cho đoạn thẳng AB = 7 cm và điểm O thuộc đoạn AB sao cho OA = 1cm; trên nửa mặt phẳng bờ là AB vẽ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB Trên Ax lấy điểm C sao cho AC = 3cm, trên tia By lấy điểm D sao cho BD = 2cm Chứng minh hai tam giác CAO và OBD đồng dạng

a) Hướng dẫn: Vẽ hình (HS tự ghi GT và KL)

ΔHAB ΔHCA

t ta cCcChứng minh

9

6

4

A

H

ΔHAB ΔHCA

t ta cCcChứng minh

ΔHAB ΔHCA

t ta cCcChứng minh

+ Hướng dẫn phân tích: Tương tự bài 2

OA AC 1

DB OB 2= = và OAC DBO · = · = 900 ⇒ (c−g−c)

2.2.3 Trường hợp đồng dạng thứ ba (g − g)

Bài toán 1:

Cho hình vuông ABCD Qua điểm A vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở

E và đường thẳng DC ở F Chứng minh

a) AB.AF = AE.FD

b) AB2 = BE.FD

+ Hình vẽ:

+ Hướng dẫn phân tích

Từ hệ thức AB.AF = AE.FD, ta có thể viết:

AB FDAE AF=

− Nếu đọc các chữ cái của tỉ lệ thức theo hàng ngang, ta có: ABFDAEAF; ABFD là một tứ giác còn AEF là một đường thẳng, như vậy không có tam giác đồng dạng

− Nếu đọc các chữ cái của tỉ lệ thức theo cột dọc, ta có: ABAEFDAF , ta bỏ bớt chữ A

chữ F chung ta được ABEFDA đó là hai tam giác ABE và FDA

− Để chứng minh hai tam giác ABE và FDA đồng dạng ta phân tích các yếu tố

để tìm điều kiện

Phân tích góc tương ứng bằng nhau:

BAE· = DFA· (AB//CD, 2góc so le trong)

ABE = FDA (= 900)

E A

D

B

ΔOAC ΔDBO

t ta cCcChứng minh

1

3

2

y x

6

C

D

O