PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ĐỊNH LÝ VI-ET I ĐỊNH LÍ VIÉT DẠNG CÁC NGHIỆM THỎA MÃN MỘT BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG ax + bx + c = ( a ≠ ) Bài toán thường gặp Tìm m để phương trình biệt) x1 , x có hai nghiệm (phân x1 , x thỏa mãn biểu thức đối xứng x1 , x Bước Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) x1 , x ⇔ ∆ ≥ ( ∆ ' ≥ ) ax + bx + c = ( a ≠ ) • có hai nghiệm x1 , x ⇔ ∆ > ( ∆ ' > ) ax + bx + c = ( a ≠ ) • có hai nghiệm phân biệt Bước Biến đổi biểu thức đối xứng b x1 + x = − a Bước Sử dụng định lý Viet, ta có x1 + x x1 x x1 , x tổng x1 + x c x1 x = a , tích thay vào biểu thức chứa tổng m tích Giải , đối chiếu điều kiện bước Một số phép biến đổi thường gặp ( x1 + • x12 + x 2 = x12 + x 2 + 2x1x – 2x1x = • x13 + x 23 = Hoặc x13 + x 23 = • x14 + x = • x15 + x 25 Hoặc (x ) ( x1 + (x ) x16 + x = • x17 + x 27 • x1 – x + tính • x + x2 = x ) ( x 12 + x 2 – x x ) = ( x1 + tính (x ) 2 + + 2x12 x 2 – 2x12 x 2 = (x = (x ) 2 + x2 = (x x1 – x = ( x1 – (x xét tích )(x x13 + x 23 x14 + x xét 2 x ) ( x1 + x ) – 3x1x (x ) (x ) x ) – 3x1x ( x1 + x ) x12 + x 2 x13 + x 23 + x ) – 2x1x ( x1 + ) 2 ( x1 + ) – 2x12 x 2 + x 22 )(x ) + x 23 ) – 2x13 x 23 xét tích (x + x – x12 x 2 + x 23 x2 ) = + x 22 (x 1 ) + x 23 x14 + x x ) – 4x1x )( x1.x • x1 + x xét (x + | x | ) = x + x + x1 x 2 ( x1 + = x12 + x12 + x1x = Chú ý : (A Ví dụ Cho phương trình phân biệt thỏa mãn ± B ) , A B = A.B x − ( m + 3) x + m + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm ( x1 − 1) ( x2 − 1) = Lời giải ∆′ = − ( m + 3) − ( m + ) = ( m + ) − m2 − = m + Có x ) – 2x1x + x1x A = A2 , A ± B = x1 , x2 2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ∆′ > ⇔ 6m + > ⇔ m > −1 ∆′ > ⇔ m + > ⇔ m > −1 Có ( x1 − 1) ( x2 − 1) = ⇔ x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = x1 + x2 = − Theo định lý Viét, ta có b a = ( m + 3) (*) x1 x2 = , ( m + 3) − ( m + 3) + = ⇔ ( 2m − 1) = 2 Thay vào (*) ta ⇔ 2m − = ±3 ⇔ m = −1 Vậy m=2 (loại), giá trị cần tìm Ví dụ Cho phương trình phân biệt x1 , x2 m=2 (thỏa mãn) x − ( m − 3) x + ( m − 1) = cho biểu thức Tìm m để phương trình có hai nghiệm T = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Lời giải ∆′ = − ( m − 3) − −2 ( m − 1) = ( m − 3) + 2m − = m − 4m + = ( m − ) + > ∀m Có c a = m2 + 2 Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt T = x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 x1 , x2 Có x1 + x2 = − Theo định lý Viét, ta có Thay vào T b a = ( m − 3) x1 x2 = , ta c a = −2 ( m − 1) T = −2 ( m − 3) − −2 ( m − 1) = 4m − 20m + 32 = ( 2m − ) + ≥ m= ⇒ MinT = m= Vậy 2 giá trị cần tìm Ví dụ Cho phương trình x1 , x2 phân biệt x − ( m + 1) x + 4m − m = cho biểu thức để phương trình có hai nghiệm A = x1 − x2 đạt giá trị nhỏ Lời giải Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt A2 = x1 − x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 Có m ∆′ = − ( m + 1) − ( 4m − m ) = ( m + 1) − 4m + m = m2 − m + > ∀m Có Tìm x1 + x2 = − Theo định lý Viét, ta có A = x1 − x2 Thay vào A = x1 − x2 2 x1 , x2 b a = ( m + 1) x1 x2 = , c a = 4m − m ta = ( x1 + x2 ) − x1 x2 2 1 A2 = ( m + 1) − ( 4m − m ) = 8m2 − 8m + = m − ÷ + ≥ 2 ⇒ A ≥ ⇒ Min A = Vậy m= m= giá trị cần tìm Ví dụ Cho phương trình x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = x + mx − = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Lời giải Có ac = −3 < ∀m phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 + x2 = − Theo định lý Viét, ta có b c x1 x2 = a = −m a = −3 , x1 , x2 (x Xét + x2 ) = x12 + x22 + x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 + x1 x2 = m − ( −3) + −3 = m + 12 x1 + x2 = ⇔ m + 12 = 16 ⇒ m = ±2 Do Vậy m = ±2 giá trị cần tìm Ví dụ Cho phương trình x1 , x2 biệt thỏa mãn x + mx + 2m − = x1 + x2 = m Tìm để phương trình có hai nghiệm phân Lời giải ∆ = ( − m ) − ( 2m − ) = m − 8m + 16 = ( m − ) Có Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 + x2 = − Theo định lý Viét, ta có Xét (x + x2 ) x1 , x2 ∆′ > ⇔ m ≠ b c x1 x2 = a =m a = 2m − , = x + x + x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 + x1 x2 2 2 = m − ( 2m − ) + 2m − = m − 4m + + m − = ( m − ) + m − + x1 + x2 = ⇒ ( m − ) + m − + = Nên ( m − 2) Vậy + m − − = ⇒ m − = ⇒ m = 1, m = m = 1, m = (thảo mãn) giá trị cần tìm DẠNG 2: KẾT HỢP ĐỊNH LÝ VIÉT ĐỂ GIẢI CÁC NGHIỆM Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) ax + bx + c = ( a ≠ ) x1 , x2 ⇔ ∆ ≥ ( ∆′ ≥ ) có hai nghiệm ax + bx + c = ( a ≠ ) x1 , x2 ⇔ ∆ > ( ∆′ > ) có hai nghiệm phân biệt x1 + x2 = − Bước 2: Sử dụng định lý Vi ét, ta có x1 + x2 = − Bước 3: Giải hệ b a b a x1 x2 = , biểu thức cho để tìm c a x1 , x2 (*) x1 , x2 theo m Bước 4:Thay x1 , x2 vừa tìm vào x − 4x − m −1 = Ví dụ Cho phương trình x1 , x2 biệt phân biệt thỏa mãn Có x2 = −5 x1 m để giải m Tìm để phương trình có hai nghiệm phân Lời giải ∆′ = ( −2 ) − ( − m − 1) = m + > ∀m c a x1 x2 = x1 , x2 Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 + x2 = − Theo định lý Viét, ta có Giải hệ Thay Vậy x1 x2 = , c a = −m − x2 = −5 x1 ⇒ −5 x1 + x1 = ⇒ x1 = −1 ⇒ x2 = x1 + x2 = x1 = −1 x2 = m = ±2 , x1 x2 = vào phân biệt c a = −m − , ta m = ⇔ m = ±2 giá trị cần tìm Ví dụ Cho phương trình x1 , x2 x − ( k − 1) x − 4k = phân biệt thỏa mãn Tìm Do phương trình cho có hai nghiệm phân biệt Theo định lý Viét, ta có Giải hệ Thay b c x1 x2 = = −4k a = 2k − a , k 3k − ⇒ x2 = 2 x1 x2 = vào c a = −4k k 3k − × = −4k ⇔ 3k + 12k = ⇔ k = 0, k = −4 2 Vậy x1 , x2 3x1 − x2 = k 3k − ⇒ x1 = 2k ⇒ x1 = ⇒ x2 = 2 x1 + x2 = 2k − x1 = k = 0, k = −4 để phương trình có hai nghiệm Lời giải x1 + x2 = − k x1 − x2 = ∆′ = − ( k − 1) − ( −4k ) = ( k − 1) + 4k = ( k + 1) Có b a =4 , ta (thỏa mãn) giá trị cần tìm k ≠ −1 Ví dụ Cho phương trình x1 , x2 biệt x2 − x + m + = phân biệt thỏa mãn x2 = x12 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân Lời giải ∆′ = ( −3) − ( m + 3) = − m Có x1 , x2 Do phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 + x2 = − Theo định lý Viét, ta có b a =6 ∆′ > ⇔ − m > ⇔ m < c a = m+3 x1 x2 = , x2 = x ⇒ x12 + x1 − = ⇒ x1 = −3 ⇒ x1 = x + x = 2 Giải hệ • • x1 = −3 ⇒ x2 = Với x1 = ⇒ x2 = Với Vậy m = −30; m = thay vào x1 x2 = m + ⇒ m = thay vào (thỏa mãn) (thỏa mãn) giá trị cần tìm x − 3x − m2 + = Ví dụ Cho phương trình phân biệt thỏa mãn x1 x2 = m + ⇒ m = −30 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 + x2 = Lời giải ∆ = ( −3) − ( − m + 1) = 4m + > 2 ∀m Có Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt Theo định lý Viét, ta có: Trường hợp 1: Xét Kết hợp x1 + x2 = x1 + x2 = 3, x1 x2 = − m2 + x1 ≥ 0, x2 ≥ x1 x2 = − m + x2 = 0, x1 = Thay vào Trường hợp 2: Xét Kết hợp x1 + x2 = Trường hợp 3: Xét Kết hợp x1 + x2 = x1 ≥ 0, x2 ≥ ) x1 + x2 = ⇔ − x1 − x2 = −3 x2 = −6, x1 = x1 > 0, x2 < (thỏa mãn = −m2 + ⇔ m = ±1 x1 ≤ 0, x2 ≤ x1 + x2 = ⇔ x1 + x2 = x2 = 0, x1 = (không thỏa mãn x1 ≤ 0, x2 ≤ x1 + x2 = ⇔ x1 − x2 = (không thỏa mãn x1 > 0, x2 < ) ) x1 , x2 Trường hợp 4: Xét Kết hợp Vậy x1 + x2 = m = ±1 x1 < 0, x2 > x2 = 2, x1 = x1 + x2 = ⇔ − x1 + x2 = (khơng thỏa mãn giá trị cần tìm x − ( m − 3) x − = Ví dụ Cho phương trình Tìm số nguyên Lời giải ∆ = − ( m − 3) − ( −5 ) = ( m − 3) + 20 > 2 m x1 < 0, x2 > ) để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 ∀m Có Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt Cách 1: (Theo định lý Viét) x1 + x2 = − Theo định lý Viét, ta có: Từ x = −1 x1 = −5 x1 = x = x1 x2 = −5, x1 , x2 ∈ ¢ ⇒ ; ; ; x2 = x2 = x2 = −5 x2 = −1 Thay vào Vậy x1 x2 = m − ⇒ m = 7; m = −1 m = 7; m = −1 Cách 2: (Sử dụng Từ b c = m − 3, x1 x2 = = −5 a a ∆ giá trị cần tìm phải số phương) x1 + x2 = m − ∈ ¢ Do để x1 , x2 ∈ ¢ ∆ = ( m − 3) + 20 trước hết phải số phương ⇒ ( m − 3) + 20 = n , n ∈ ¥ ⇒ ( m − − n ) ( m − + n ) = −20 2 * m −3− n < m −3+ n Mà ( m − − n ) ( m − + n ) = −20 * * chẵn nên m − − n = −2 m = ⇔ m − − n = 10 n = m = 7, m = −1 m − − n; m − + n thử lại thỏa mãn m − − n = −10 m = −1 ⇔ m − − n = n = Vậy tổng ( m − − n ) + ( m − + n ) = 2m − thử lại thỏa mãn giá trị cần tìm phải chẵn, đó: chẵn tích Ví dụ Cho phương trình số nguyên tố x − 20 x + m + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 Lời giải ∆ ' = ( −10 ) − 1( m + ) = 95 − m Có Phương trình có hai nghiệm phân biệt Theo định lý Viét, ta có: Từ x1 + x2 = 20 x1 , x2 x1 , x2 ∆ ' > ⇔ 95 − m > ⇔ m < 95 b c x1 + x2 = − = 20, x1 x2 = = m + a a số nguyên tố, suy ra: x1 = x1 = 17 x1 = x1 = 13 ; ; ; x2 = 17 x2 = x2 = 13 x2 = Thay vào Vậy x1 x2 = m + ⇒ m = 46, m = 86 m = 46, m = 86 (thỏa mãn) giá trị cần tìm DẠNG 3: GIẢI CÁC NGHIỆM DỰA VÀO ∆ Khi tính ∆' ∆, ∆ ' LÀ BÌNH PHƯƠNG mà bình phương biểu thức ta giải theo cách tìm hai x1 , x2 nghiệm Giải theo cách cần ý phải xét hai trường hợp x1 = −b + ∆ −b − ∆ ; x2 = 2a 2a x1 = −b − ∆ −b + ∆ ; x2 = 2a 2a Trường hợp 1: Xét Trường hợp 2: Xét Ví dụ Cho phương trình biệt x1 , x2 thỏa mãn x − ( m + 1) x + 4m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân x1 = −3 x2 Lời giải ∆ ' = − ( m + 1) − 1.4m = ( m + 1) − 4m = m − 2m + = ( m − 1) Có Phương trình có hai nghiệm phân biệt Vì ∆ ' = ( m − 1) x1 , x2 ∆ ' > ⇔ ( m − 1) > ⇔ m ≠ nên hai nghiệm phương trình x = ( m + 1) ± ( m − 1) ⇔ x = 2, x = 2m Trường hợp 1: Xét = −3.2m ⇔ m = − m = −3, m = − Vậy thay vào (thỏa mãn) Trường hợp 2: Xét 2m = −3.2 ⇔ m = −3 x1 = 2, x2 = 2m x1 = 2m, x2 = thay vào x1 = −3 x2 x1 = −3 x2 ta ta (thỏa mãn) giá trị cần tìm Chú ý: Bài ta giải theo cách kết hợp định lý Viét để giải dạng x + x + 4a − a = Ví dụ Cho phương trình x1 = x22 − phân biệt thỏa mãn ∆ ' = − ( 4a − a Có ) =a ∆ ' = ( a − 2) a Lời giải − 4a + = ( a − ) x1 , x2 ∆ ' > ⇔ ( a − 1) > ⇔ a ≠ 2 nên hai nghiệm phương trình x = −2 ± ( a − ) ⇔ x = a − 4, x = − a Trường hợp 1: Xét x1 = a − 4, x2 = −a thay vào x1 = x22 − a − = ( −a ) − ⇔ = a − a − ⇔ a + a − a − = 2 ⇔ ( a − ) ( a + 1) = ⇔ a = Trường hợp 2: Xét a = −1 x1 = −a, x2 = a − (thỏa mãn) thay vào x1 = x22 − − a = ( a − ) − ⇔ = a − 7a + 10 ⇔ a − 2a − 5a + 10 = 2 ⇔ ( a − ) ( a − 5) = ⇔ a = Vậy a = −1, a = ta (loại), (loại), a=5 (thỏa mãn) giá trị cần tìm để phương trình có hai nghiệm Phương trình có hai nghiệm phân biệt Vì Tìm x1 , x2 ta x1 , x2 Chú ý: Bài ta giải theo cách kết hợp định lý Viét để giải dạng Ví dụ Cho phương trình x1 , x2 phân biệt thỏa mãn x − (2m + 5) x − 2m − = x1 + x2 = m Tìm x1 , x2 để phương trình có hai nghiệm Lời giải ∆ = − ( 2m + ) − 4.1.( −2m − 6) = ( m + ) + 8m + 24 = ( m + ) Có 2 ∆ > ⇔ ( 2m + ) > ⇔ m ≠ − Phương trình có hai nghiệm phân biệt Phương trình có hai nghiệm Trường hợp 1: Xét 2m + ± ( 2m + ) ⇔ x = 2m + 6, x = −1 x= x1 = 2m + 6, x2 = −1 x1 , x2 x1 + x2 = thay vào ta 2m + + −1 = ⇔ 2m + = ⇔ 2m + = ±6 ⇔ m = 0, m = −6 (thỏa mãn) Trường hợp 2: Xét x1 = −1, x2 = 2m + −1 + 2m + = ⇔ m = 0, m = −6 x1 + x2 = thay vào ta (thỏa mãn) Chú ý • Ta lập luận: “ Từ tổng quát, ta giả sử x1 + x2 = ta thấy x1 = −1, x2 = 2m + • Ta giải theo cách xét x1 , x2 ” (x + x2 ) có vai trị nên khơng tính = ( x1 + x2 ) − x1 x2 + x1 x2 sử dụng định lý Viét Ví dụ Cho phương trình phân biệt x1, x2 thỏa mãn x − 2mx + m − = + =1 x1 x2 Tìm Lời giải ∆ ' = (− m) − (m − 4) = m − m + = > ∀m Có 2 10 m phương trình có hai nghiệm Ví dụ 4: Cho parabol (P): y=x2 đường thẳng d: y = (2m-1)x -m2 +m Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P): x = ( 2m − 1) x − m + m ⇔ x − ( 2m − 1) x + m − m = x1 = x2 (*) 2 ∆ = − ( 2m − 1) − 4.1( m − m ) = ( 2m − 1) − 4m + 4m = > ∀m 2 Có Do (*) ln có hai nghiệm phân biệt nên d cắt (P) hai điểm phân biệt Có ∆ =1 x= nên hai nghiệm (*) Để tồn x1 , x2 ta cần có 2m − ± ⇔ x = m, x = m − m ≥ x1 ≥ 0, x2 ≥ ⇔ ⇔ m ≥1 m − ≥ x1 = x2 ⇔ x1 = x2 Khi Trường hợp 1: Xét x1 = m, x2 =m -1 thay vào x1 =2x2 ta m= 2(m-1) ⇔ m =2 (thỏa mãn) Trường hợp 2: Xét x1 = m-1, x2 =m thay vào x1 =2x2 ta m -1 = 2m ⇔ m = -1 (loại ) Vậy m = giá trị cần tìm Chú ý: Bài ta cần lưu ý điều kiện m ≥ trình giải VD5 Cho parabol (P): y = x2 đường thẳng d: y = ( m− 3) x − m+ x1, x2 Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ độ dài hai cạnh tam giác vuông cân Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P): x2 = (m− 3)x − m+ ⇔ x2 − (m− 3)x + m− = (*) Cã ∆ = [ −(m− 3)] − 4.1.(m− 4) = (m− 3)2 − 4m+ 16 = (m− 5)2 d c¾t (P) hai điểm phâ n biệt Ph ơng trì nh (*) cã hai nghiƯm ph© n biƯt ⇔ ∆ >0 ⇔ (m - 5)2 > ⇔ m ≠ Theo đ ịnh lý Viét, ta có x1 + x2 = − b c = m− 3, x1x2 = = m− a a 37 x1, x2 Do độ dài hai cạnh tam giác nên x1>0, x2 > x +x > m− > ⇔ ⇔ ⇔ m > x x > m − > Vì ∆ =(m − 5)2 x= nên hai nghiệm phương trình (*) m− 3± (m − 5) ⇔ x = 1,x = m − Do x1 ≠ x2 nªn x1,x2 vng tam giác vng cân Giả sử theo định lí Pytago ta có Trường hợp 1: độ dài cạnh huyền, x2 độ dài cạnh góc vng x21=x22 +x22 ⇔ x1= x2 XÐt x1=1,x2 = m − 4, Thay vào x1= x2 ta đợ c 1= 2(m 4) ⇔ m = Trường hợp 2: x1 độ dài hai cạnh góc + (tháa m· n) XÐt x1=m - 4, x2 = 1, thay vào x1= 2x2 ta đợ c m - = 2.1 ⇔ m = 2(m− 4) (tháa m· n) VËy m = + ,m = 2(m− 4) giá trịcần tì m Chỳ ý: Ta cú thể nhận xét a+ b + c = để hai nghiệm phương trình (*) x = 1, x = m− 38 DẠNG 4: TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG CẮT PARAPOL TẠI HAI ĐIỂM PHÂN BIỆT A, B LIÊN QUAN ĐẾN TUNG ĐỘ A, B Dạng ta cần tính yA xA theo tính yB theo Cách 2: Tính theo theo hai cách: (P): VìA,B (P): y =ax nên yA =ax ,yB =axB2 Cách 1: Tính theo xB A d: VìA,B d: y = mx + n nên yA = mxA + n, yB = mxB + n Ví dụ 1: Cho paraboara hai điểm phân biệt (P) : y =x2 đường thẳng A(x1:y1), B(x2 ;y2 ) d: y=2mx - m2 + m + Tìm m để d cắt (P) y1+y2 +2x1+2x2 =22 thỏa mãn Lời giải: d Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P): x =2mx - m2 +m +1 ⇔ x2 - 2mx +m2 - m - 1=0 (*) Cã ∆ ' =(-m)2 − 1.(m2 - m - 1) = m + d cắt (P) hai điểm phân biệt nh (*) cã hai nghiƯm ph© n biƯt Ph ơng trì ' > m + > m > Theo định lý ViÐt, ta cã x1+x2 = - b c = 2m, x1x2 = = m2 -m-1 a a V×A, B (P): y=x2 nên y1=x12 ,y2 =x22 Do đ ó y1+y2 +2x1+2x2 = 22 ⇔ x21 +x22 + 2x1+2x2 = 22 ⇔ ( x1+x2 ) − 2x1x2 + 2( x1+x2 ) = 22 Thay x1+x2 = 2m, x1x2 = m2 -m-1 Ta đợ c ( 2m) ( ) − m2 -m-1 + 2.2m = 22 ⇔ m2 +3m-10=0 ⇔ (m-5)(m-2)=0 ⇔ m=-5 (lo¹i), m=2 (tháa m· n) Vậy m=2 giá trịcần tì m Vớ d Cho parabol (P): hai điểm phân biệt y=x2 đường thẳng A ( x1 , y1 ) ; b ( x2 , y2 ) d: y = ( 2m + 1) x − 2m Tìm m để d cắt (P) T = y1 + y2 − x1 x2 Sao cho biểu thức Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P): 39 đạt giá trị nhỏ x = (2m + 1) x − 2m ⇔ x − (2m + 1) x + 2m = (*) ∆ = [ −(2m + 1) ] − 4.1.2 m = (2m + 1) − 8m = (2 m − 1) 2 Có ⇔ d cắt (P) hai điểm phân biệt ⇔ ∆>0 ⇔ (2m − 1)2 > ⇔ m ≠ Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1+x2 =- Theo định lí Vi-et ta có b c = 2m+ 1, x1x2 = = 2m a a VìA,B (P): y =x2 nên y1=x12 ,y2 =x22 Do ® ã T =x21+x22 − x1x2 = ( x1 +x2 ) − 3x1x2 Thay x1+x2 = 2m+ 1, x1x2 = 2m vào T ta đợ c 3 T=(2m+ 1)2 − 3.2m = 4m2 − 2m+ = (2m− )2 + ≥ 4 VËy MinT = 1 2m - = ⇔ m = (tháa m· n) 4 Ví dụ 3: Cho parabol điểm phân biệt (P) : y =x2 A(x1:y1), B(x2 ;y2 ) d: y=2mx - m2 + đường thẳng thỏa mãn Tìm m để d cắt (P) hai y1- y2 >4 Lời giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm d (P): x2 =2mx - m2 +1 ⇔ x2 - 2mx +m2 - =0 (*) ∆ ' = ( -m) − 1.(m2 − 1) = > ∀m Có ,do Phương trình (*) ln có hai nghiệm nên d ln cắt (P) hai điểm phân biệt Do ∆' = nên hai nghiệm (*) nª n y1- y2 >4 ⇔ XÐt x1=m - 1, x2 =m +1 ⇒ y1=( m - 1) , y2 =( m+1) ( m+1) 2 điểm phân biệt − ( m-1) > ⇒ m > VËy m >1 hoặ c m ∀m Có Do d ln cắt ( P) hai điểm phân biệt x A + xB = − Theo định lý Viét, ta có Vì x A xB = −2 < ⇒ x A , xB d Vậy cắt b) Có ( P) nên (*) ln có hai nghiệm phân biệt , b c = m x A x B = = −2 < a a , trái dấu nên hai điểm A B A B A B , , thuộc hai phía thuộc hai phía MN = xA − xB ⇒ MN = x A − xB = ( x A − xB ) − x A xB 2 = m + ⇒ MN = m + Vậy MN = m + 43 Oy Oy ∆OAM Do , ∆OBN S ∆OAM = 1 AM OM = xA3 2 S∆OAM = S∆OBN Do Vậy ⇔ x A = xB m=0 c) Có ( x A − xB ) Gọi H 1 BN ON = xB3 2 (loại), (thỏa mãn) B HK = m ( x A + xB ) − x A xB = m ( m + ) ( xA − xB ) e) Gọi nên HK = y A − yB = x − x = ( xA + xB ) ( x A − xB ) = m ( x A − xB ) m2 + Vậy d) Có = ; N x A = − xB ⇔ x A + xB = ⇔ m = A HK = m AB = S ∆OBN = , 1 ⇔ x3A = xB3 ⇔ x3A = xB3 ⇔ x A = xB 2 S∆OAM = S∆OBN M vuông I , (m + ( y A − yB ) = 2 + 1) = (m ( xA − xB ) + ) ( m2 + 1) ≥ giao điểm K d + ( mxA + − mxB − ) (m + 8) Oy ⇒ I ( 0; ) ⇒ OI = yI = hình chiếu vng góc AH = x A , BK = xB 44 A B , trục tung nên S ∆OAB = S ∆OAI + S∆OBI = ( OI AH + OI BK ) = xA + xB = m − ( −2 ) + 2 = m + ⇒ x A + xb = m + Vậy Có S∆OAB = m + 2m + > ⇔ m > − S ∆OAB = 2m + ⇔ m + = 2m + (điều kiện ) ⇔ m + = 4m + 4m + ⇔ 3m + 4m − = ⇔ 3m − 3m + m − = 2 2 ⇔ 3m ( m − 1) + ( m − 1) ⇔ ( m − 1) ( 3m + ) = ⇔m=− Vậy m =1 (loại), m =1 S∆OAB = 2m + (thỏa mãn) (đvdt) m>− Chú ý Câu ta cần lưu ý đến điều kiện OA = x + y f) Ta có A A OB = x + y , B B trình giải AB = ( x A − xB ) + ( y A − yB ) = x A2 + xB2 − x A xB + y A2 + yB2 − y A y B 2 OA + OB − AB = x A xB + y A yB = ( x A xB + x x Xét Do 2 2 A B ) = x A xB ( x A xB + 1) = ( −2 ) ( −2 + 1) = ≠ OA2 + OB ≠ AB Bài 2: Cho Parabol nên ∆OAB ( P) : y = x vuông đường thẳng a) Tìm tọa độ giao điểm A, B d (P) với O (đpcm) d : y = −2 x + xA > vẽ d, (P) b) Tìm tọa độ điểm C thuộc cung AB (P) cho diện tích c) Tìm tọa độ điểm d) Cho điểm E ( 3; ) M ∈ Oy để S MAB = Tìm tọa độ điểm F ∈( P) cho độ dài Lời giải d x = −2 x + ⇔ x + x − = ⇔ x + x + − = lớn (đvdt) a) Xét phương trình hoành độ giao điểm ∆ABC 45 ( P) : EF ngắn x = ⇒ y = 12 ⇔ ( x + 1) = ⇔ x + = ±2 ⇔ x = −3 ⇒ y = ( −3) = Vậy * A ( 1;1) , B ( −3;9 ) d : y = −2 x + x y ( P ) : y = x2 * x −2 −1 y 1 b) Có A(1; 1) , B(-3; 9) cố định nên độ dài đoạn AB khơng đổi, SABC lớn khoàng cách từ C đến đường thẳng d lớn nhất, C tiếp điểm đường thẳng d 1//d2 d1 tiếp xúc với (P) Gọi phương trình d1: y = ax + b Do d1//d2 nên ta có: ad1 = ad bd1 = bd ⇒ d1 : y = −2 x + b (b ≠ 3) 46 Xét phương trình hồnh độ giao điểm d1 (P): x2 = – 2x + b ⇔ x2 + 2x – b = (*) d1 tiếp xúc với (P) ⇔ (*) có nghiệm kép ⇔ ∆’ = + b = ⇔ b = – (thỏa mãn) Khi xc nghiệm kép (*): xc = – ⇒ yc = (– 1)2 = Vậy C(1; –1) điểm cần tìm c) Gọi N giao điểm d Oy ⇒ N(0; 3) Do M ∈ Oy ⇒ xM = ⇒ M(0; yM), yM ≠ (do M ≠ N) ⇒ MN = yM – yN = yM – Kẻ AH ⊥ Oy H, BK ⊥ Oy K thì: AH = xA = 1 = 1, BK = xB = –3 = Vì A B thuộc hai phía Oy nên: S MAB = S MAN + S MBN = 1 MN AH + MN BK = yM − 2 (đvdt) Do SAMB = ⇒ yM – = ⇒ yM – = ± ⇒ yM = 5, yM = (thỏa mãn) Vậy M(0; 1) M(0; 5) d) Do F ∈ ( P ) ⇒ yF = xF2 ⇒ F ( xF ; xF2 ) EF = ( xE − xF ) + ( yE − y F ) = ( − xF ) + ( − xF2 ) = xF4 + xF2 − xF + Có : 2 = xF4 − xF2 + + xF2 − xF + = ( xF2 − 1) + ( xF − 1) + ≥ ⇒ EF ≥ Vậy MinEF = ⇔ xF = hay F (1;1) HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ I ĐỊNH LÍ VIÉT Bài Cho phương trình x2 – 2(m + 3)x + m2 +3 = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: (2x1 - 1)( 2x2 - 1) = Bài Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – (m – 1) = Tìm m để phương trình có hai T = x12 + x22 nghiệm phân biệt thỏa mãn cho biểu thức đạt giá trị nhỏ 2 Bài Cho phương trình x – 2(m + 1)x + 4m – m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 cho biểu thức A = x1 – x2 đạt giá trị nhỏ Bài Cho phương trình x2 + mx – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1 + x2 = Bài Cho phương trình x2 – mx + 2m – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = Bài Cho phương trình: x2 – 4x – m2 – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1, x2 phân biệt thỏa mãn x2 = 5x1 Bài Cho phương trình: x2 – 2(k – 1)x – 4k = Tìm k để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 3x1 – x2 = 47 Bài Cho phương trình: x2 – 6x + m + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân x2 = x12 biệt x1, x2 thỏa mãn Bài Cho phương trình x2 – 3x – m2 + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = Bài 10 Cho phương trình: x2 – (m – 3)x – = Tìm k để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 số nguyên Bài 11 Cho phương trình: x2 – 20x + m + = Tìm k để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 số nguyên tố Bài 12 Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + 4m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 = – 3x2 Bài 13 Cho phương trình: x2 + 4x + 4a – a2 = Tìm a để phương trình có hai nghiệm x 1, x1 = x22 − x2 phân biệt thỏa mãn Bài 14 Cho phương trình x2 – (2m + 5)x – 2m – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = Bài 15 Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân + =1 x1 x2 biệt x1, x2 thỏa mãn Bài 16 Cho phương trình x2 – mx – = Chứng minh với m, phương trình ln H= x12 + x1 − 16 x22 + x2 − 16 − x1 x2 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 giá trị biểu thức không phụ thuộc vào m Bài 17 Cho phương trình x2 – 2x + m – = Tìm m để phương trình cho có hai x1 x + 2 = x + x1 + x1 + x2 + 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn Bài 18 Cho phương trình x2 + 2mx – 2m – = Tìm m để phương trình cho có hai P= nghiệm phân biệt x1, x2 cho x1 x2 + x − 2mx2 + − 2m đạt giá trị nhỏ II HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ VIET Bài Cho phương trình x2 – 2mx + m – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = 48 Bài Cho phương trình x2 – (2m + 5)x + 2m + = Tìm m để phương trình có hai M= x1 − x2 nghiệm phân biệt x1, x2 mà biểu thức đạt giá trị nhỏ Bài Cho phương trình x – 5x + m – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân 2x1 = x2 biệt x1, x2 cho Bài Cho phương trình x2 – (m + 5)x + 3m + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 : + Là độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền + Là độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng cân Bài Cho phương trình x2 + (m + 2)x – m – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 < ≤ x2 Bài Cho phương trình x2 + (m – 2)x + m – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 ≤ < x2 Bài Cho phương trình x2 + 2mx + 4m – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 x2 d: y = mx − m + Tìm m để (d) (P) cắt hai điểm x1 + x2 = x1 , x phân biệt có hồnh độ thỏa mãn ( P) : y = x y = 2(m − 1) x + − 2m Bài Cho (d): Tim m để d cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x 10 độ dài hai cạnh hình chữ nhật có độ dài đường chéo ( P ) : y = x2 y = mx + m + Bài Cho parabol đường thẳng (d): Tìm m để d cắt (P) hai x1 − x2 = x1 , x điểm phân biệt có hồnh độ thỏa mãn ( P) : y = x y = 2(m + 1) x + Bài Cho parabol đường thẳng (d): Tìm m để (d) cắt (P) x1 , x 2 x1 + x2 = x1 , x x2 = x13 + x12 hai điểm phân biệt có hồnh độ thỏa mãn: ( P) : y = x y = −4 x + m − Bài Cho parabol đường thẳng (d): Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ thỏa mãn: ( P) : y = x y = (2m − 1) x − m + m Bài 10 Cho parabol đường thẳng (d): Tìm m để (d) cắt (P) x1 = 2.x2 x1 , x hai điểm phân biệt có hồnh độ thỏa mãn: ( P) : y = x y = (m− 3) x − m+ Bài 11 Cho parabol đường thẳng (d): Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x độ dài hai cạnh tam giác vuông cân 50 Bài 12 Cho parabol hai điểm phân biệt ( P ) : y = x2 A( x1; y1 ), B ( x2 ; y2 ) Bài 13 Cho parabol hai điểm phân biệt ( P ) : y = −x ( P) : y = −x ( P) : y = x Tìm m để (d) cắt (P) T = y1 + y2 − x1.x2 cho biểu thức : y = 2mx − m + đạt giá trị nhỏ đường thẳng (d): thỏa mãn: đường thẳng (d): mà Tìm m để (d) cắt (P) y1 − y2 > A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) Bài 16 Cho parabol y = (2m + 1) x − 2m đường thẳng (d): A( x1; y1 ), B ( x2 ; y2 ) Bài 15 Cho parabol điểm phân biệt ( P) : y = x thỏa mãn: Tìm m để (d) cắt (P) y1 + y2 + x1 + x2 = 22 A( x1; y1 ), B ( x2 ; y2 ) Bài 14 Cho parabol hai điểm phân biệt đường thẳng (d): y = 2mx − m + m + y = 2x + m −1 Tìm m để (d) cắt (P) hai x1 y1 + x2 y2 − x1.x2 = −4 đường thẳng (d): y = mx + a) Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B thuộc hai phía Oy b) Gọi M, N hình chiếu vng góc A, B trục hồnh Tính độ dài S ∆OAM = S∆OBM đoạn MN theo m tìm m để c) Gọi H, K hình chiếu vng góc A, B trục tung Tính độ dài đoạn HK theo m d) Tính độ dài đoạn thẳng AB theo e) Tính diện tích ∆OAB theo f) Chứng minh với Bài 17 Cho parabol m ( P ) : y = x2 , m m chứng minh m tìm để ∆OAB AB ≥ m + S ∆OAB = 2m + đường thẳng (d): (đvdt) y = −2 x + xA > , vẽ (d) (P) hệ trục tọa độ b) Tìm tọa độ điểm C thuộc cung AB (P) cho diện tích M ∈ Oy để khơng thể vng O a) Tìm tọa độ giao điểm A, B (d) (P) với c) Tìm tọa độ điểm ∀m S∆MAB = ∆ABC lớn (đvdt) F ∈( P) E (3;0) EF d) Cho điểm Tìm tọa độ điểm cho độ dài ngắn 51 ... y=x2 nên y1=x 12 ,y2 =x 22 Do ® ã y1+y2 +2x1+2x2 = 22 ⇔ x21 +x 22 + 2x1+2x2 = 22 ⇔ ( x1+x2 ) − 2x1x2 + 2( x1+x2 ) = 22 Thay x1+x2 = 2m, x1x2 = m2 -m-1 Ta đợ c ( 2m) ( ) − m2 -m-1 + 2. 2m = 22 ⇔ m2... (P): y =x2 nên y1=x 12 ,y2 =x 22 Do ® ã T =x21+x 22 − x1x2 = ( x1 +x2 ) − 3x1x2 Thay x1+x2 = 2m+ 1, x1x2 = 2m vào T ta đợ c 3 T=(2m+ 1 )2 − 3.2m = 4m2 − 2m+ = (2m− )2 + ≥ 4 VËy MinT = 1 2m - = ⇔... − 2m − = x 12 + 2mx1 − 2m − = ⇒ x 12 = −2mx1 + 2m + 13 nên P= Thay vào P, ta x1 x2 + x1 x2 + = −2mx1 + 2m + − 2mx2 + − 2m −2m ( x1 + x2 ) + x1 + x2 = − Theo định lý Viet, ta có b c = −2m, x1.x2