Chuyên đề phương trình bậc 2 và định lý vi ét (2)

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ĐỊNH LÝ VI-ET I ĐỊNH LÍ VIÉT DẠNG CÁC NGHIỆM THỎA MÃN MỘT BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG ax + bx + c = ( a ≠ ) Bài toán thường gặp Tìm m để phương trình biệt) x1 , x x1 , x thỏa mãn biểu thức đối xứng Bước Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) • • ax + bx + c = ( a ≠ ) có hai nghiệm ax + bx + c = ( a ≠ ) Bước Biến đổi biểu thức đối xứng b a x1 + x = − Bước Sử dụng định lý Viet, ta có x1 + x x1 x ' x1 , x  ⇔ ∆ > x1 , x x1 , x ( ∆ ≥ 0) x1 , x  ⇔ ∆ ≥ có hai nghiệm phân biệt tổng x1 x = , c a ( ∆ > 0) x1 + x ' tích m ( x1 + • x13 + x = Hoặc x13 + x 23 = • x14 + x = • x15 + x 25 (x ) ( x1 + (x ) x16 + x = • x17 + x 27 • x1 – x + tính • x16 + x = Hoặc x ) ( x + x 2 – x1 x ) = ( x1 + tính 2 + 2x12 x 2 – 2x12 x 2 = x12 + x 2 x13 + x 23 ( ) + x 22 + (x = (x ) 2 x1 – x = = ( x1 – (x xét tích + x 22 (x )( (x + x 23 ) x2 ) = ( x1 + – 2x12 x 2 ) – 2x13 x 23 xét tích ) + x 2 ) ( x13 + x 23 ) + x 2 x14 + x – x12 x 2 x13 + x 23 x14 + x xét x ) ( x1 + x ) – 3x1x    2 x ) – 3x1x ( x1 + x ) (x ) (x ) x ) – 2x1x ( x1 + (x + x 23 ) ( x14 + x ) x ) – 4x1x x1.x thay vào biểu thức chứa tổng tích Giải , đối chiếu điều kiện bước Một số phép biến đổi thường gặp • x12 + x 2 = x12 + x 2 + 2x1x – 2x1x = có hai nghiệm (phân • x1 + x xét (x + | x | ) = x1 + x + x1 x 2 ( x1 +  = x + x + x1x = 2 Chú ý : (A ± B ) , A B = A.B x − ( m + 3) x + m + = Ví dụ Cho phương trình phân biệt Tìm m để phương trình có hai nghiệm ( x1 − 1) ( x2 − 1) = thỏa mãn Lời giải ∆′ =  − ( m + 3)  − ( m + ) = ( m + ) − m − = 6m + Có x ) – 2x1x + x1x A = A2 , A ± B = x1 , x2 2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ∆′ > ⇔ 6m + > ⇔ m > −1 ∆′ > ⇔ 6m + > ⇔ m > −1 Có ( x1 − 1) ( x2 − 1) = ⇔ x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = x1 + x2 = − Theo định lý Viét, ta có b a = ( m + 3) (*) x1 x2 = , ( m + 3) − ( m + 3) + = ⇔ ( 2m − 1) = 2 Thay vào (*) ta ⇔ 2m − = ±3 ⇔ m = −1 Vậy m=2 (loại), giá trị cần tìm Ví dụ Cho phương trình phân biệt x1 , x2 m=2 (thỏa mãn) x − ( m − 3) x + ( m − 1) = cho biểu thức Tìm m để phương trình có hai nghiệm T = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Lời giải ∆′ =  − ( m − 3)  −  −2 ( m − 1)  = ( m − 3) + 2m − = m − 4m + = ( m − ) + > ∀m Có c a = m2 + 2 Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt T = x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 x1 , x2 Có x1 + x2 = − Theo định lý Viét, ta có Thay vào T b a = ( m − 3) x1 x2 = , ta c a = −2 ( m − 1) T =  −2 ( m − 3)  −  −2 ( m − 1)  = 4m − 20m + 32 = ( 2m − ) + ≥ m= ⇒ MinT = m= Vậy 2 giá trị cần tìm x − ( m + 1) x + 4m − m = Ví dụ Cho phương trình x1 , x2 phân biệt cho biểu thức để phương trình có hai nghiệm A = x1 − x2 đạt giá trị nhỏ Lời giải Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt A2 = x1 − x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 Có m ∆′ =  − ( m + 1)  − ( 4m − m ) = ( m + 1) − 4m + m = 2m − 2m + > ∀m Có Tìm x1 + x2 = − Theo định lý Viét, ta có A = x1 − x2 Thay vào A = x1 − x2 Vậy ta ) 1  = 8m − 8m + =  m − ÷ + ≥ 2  m= giá trị cần tìm Ví dụ Cho phương trình x1 , x2 , c a = 4m − m 2 ⇒ A ≥ ⇒ Min A = 2 x1 x2 = = ( x1 + x2 ) − x1 x2 A = ( m + 1) − ( 4m − m m= b a = ( m + 1) 2 x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = x + mx − = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Lời giải Có ac = −3 < ∀m phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 + x2 = − Theo định lý Viét, ta có b c x1 x2 = a = −m a = −3 , x1 , x2 (x Xét + x2 ) = x12 + x22 + x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 + x1 x2 = m − ( −3) + −3 = m + 12 x1 + x2 = ⇔ m + 12 = 16 ⇒ m = ±2 Do Vậy m = ±2 giá trị cần tìm Ví dụ Cho phương trình x1 , x2 biệt thỏa mãn x + mx + 2m − = x1 + x2 = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân Lời giải ∆ = ( − m ) − ( 2m − ) = m − 8m + 16 = ( m − ) Có Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 + x2 = − Theo định lý Viét, ta có Xét (x + x2 ) x1 , x2 ∆′ > ⇔ m ≠ b c x1 x2 = a =m a = 2m − , = x12 + x22 + x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 + x1 x2 = m − ( 2m − ) + 2m − = m − 4m + + m − = ( m − ) + m − + x1 + x2 = ⇒ ( m − ) + m − + = Nên ( m − 2) Vậy + m − − = ⇒ m − = ⇒ m = 1, m = m = 1, m = (thảo mãn) giá trị cần tìm DẠNG 2: KẾT HỢP ĐỊNH LÝ VIÉT ĐỂ GIẢI CÁC NGHIỆM Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) ax + bx + c = ( a ≠ ) ax + bx + c = ( a ≠ ) có hai nghiệm x1 , x2 ⇔ ∆ ≥ ( ∆′ ≥ ) có hai nghiệm phân biệt x1 + x2 = − Bước 2: Sử dụng định lý Vi ét, ta có x1 + x2 = − Bước 3: Giải hệ b a x1 , x2 x1 , x2 ⇔ ∆ > ( ∆′ > ) b a x1 x2 = , biểu thức cho để tìm c a (*) x1 , x2 theo m Bước 4:Thay x1 , x2 x1 x2 = vừa tìm vào x − 4x − m −1 = Ví dụ Cho phương trình x1 , x2 biệt phân biệt thỏa mãn Có x2 = −5 x1 m để giải Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân Lời giải ∆′ = ( −2 ) − ( − m − 1) = m + > ∀m c a x1 , x2 Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 + x2 = − Theo định lý Viét, ta có Giải hệ Thay Vậy x1 x2 = , c a = −m2 −  x2 = −5 x1 ⇒ −5 x1 + x1 = ⇒ x1 = −1 ⇒ x2 =   x1 + x2 = x1 = −1 x2 = m = ±2 , x1 , x2 c a = −m2 − x1 x2 = vào , ta m = ⇔ m = ±2 giá trị cần tìm Ví dụ Cho phương trình biệt b a =4 x − ( k − 1) x − 4k = phân biệt thỏa mãn x1 − x2 = Tìm k để phương trình có hai nghiệm phân Lời giải ∆′ =  − ( k − 1)  − ( −4k ) = ( k − 1) + 4k = ( k + 1) Có 2 Do phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 + x2 = − Theo định lý Viét, ta có Giải hệ b c x1 x2 = = −4k a = 2k − a , 3x1 − x2 = k 3k − ⇒ x1 = 2k ⇒ x1 = ⇒ x2 =  2  x1 + x2 = 2k − x1 = Thay k 3k − ⇒ x2 = 2 x1 x2 = vào c a = −4k k 3k − × = −4k ⇔ 3k + 12k = ⇔ k = 0, k = −4 2 Vậy x1 , x2 k = 0, k = −4 , ta (thỏa mãn) giá trị cần tìm k ≠ −1 Ví dụ Cho phương trình x1 , x2 biệt x2 − x + m + = phân biệt thỏa mãn x2 = x12 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân Lời giải ∆′ = ( −3) − ( m + 3) = − m Có x1 , x2 Do phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 + x2 = − Theo định lý Viét, ta có b a =6 x1 x2 = , ∆′ > ⇔ − m > ⇔ m < c a = m+3  x2 = x ⇒ x12 + x1 − = ⇒ x1 = −3 ⇒ x1 =   x1 + x2 = Giải hệ • Với • Với x1 = −3 ⇒ x2 = x1 = ⇒ x2 = Vậy m = −30; m = x1 x2 = m + ⇒ m = thay vào (thỏa mãn) (thỏa mãn) giá trị cần tìm x − 3x − m + = Ví dụ Cho phương trình phân biệt thỏa mãn x1 x2 = m + ⇒ m = −30 thay vào Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 + x2 = Lời giải ∆ = ( −3) − ( − m + 1) = 4m + > 2 ∀m Có Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt Theo định lý Viét, ta có: Trường hợp 1: Xét Kết hợp x1 + x2 = x1 + x2 = 3, x1 x2 = − m + x1 ≥ 0, x2 ≥ x1 x2 = −m + Trường hợp 2: Xét Kết hợp x1 + x2 = Kết hợp x1 + x2 = (thỏa mãn x1 ≥ 0, x2 ≥ ) = −m + ⇔ m = ±1 x1 ≤ 0, x2 ≤ Trường hợp 3: Xét x2 = 0, x1 = Thay vào x1 + x2 = ⇔ x1 + x2 = x1 + x2 = ⇔ − x1 − x2 = −3 x2 = −6, x1 = x1 > 0, x2 < thì x2 = 0, x1 = (khơng thỏa mãn x1 ≤ 0, x2 ≤ x1 + x2 = ⇔ x1 − x2 = (không thỏa mãn x1 > 0, x2 < ) ) x1 , x2 Trường hợp 4: Xét Kết hợp Vậy x1 + x2 = m = ±1 x1 < 0, x2 > x2 = 2, x1 = x1 + x2 = ⇔ − x1 + x2 = (không thỏa mãn x1 < 0, x2 > ) giá trị cần tìm Ví dụ Cho phương trình số nguyên x − ( m − 3) x − = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 Lời giải ∆ =  − ( m − 3)  − ( −5 ) = ( m − 3) + 20 > 2 ∀m Có Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt Cách 1: (Theo định lý Viét) x1 + x2 = − Theo định lý Viét, ta có: Từ  x = −1  x1 = −5  x1 = x = x1 x2 = −5, x1 , x2 ∈ ¢ ⇒  ;  ;  ;   x2 =  x2 =  x2 = −5  x2 = −1 Thay vào Vậy x1 x2 = m − ⇒ m = 7; m = −1 m = 7; m = −1 Cách 2: (Sử dụng Từ b c = m − 3, x1 x2 = = −5 a a ∆ giá trị cần tìm phải số phương) x1 + x2 = m − ∈ ¢ Do để x1 , x2 ∈ ¢ ∆ = ( m − 3) + 20 trước hết phải số phương ⇒ ( m − 3) + 20 = n , n ∈ ¥ ⇒ ( m − − n ) ( m − + n ) = −20 Mà m −3−n < m −3+ n ( m − − n ) ( m − + n ) = −20 * * * chẵn nên  m − − n = −2 m = ⇔  m − − n = 10 n = Vậy ( m − − n ) + ( m − + n ) = 2m − m − − n; m − + n thử lại thỏa mãn m − − n = −10 m = −1 ⇔  m − − n = n = m = 7, m = −1 tổng thử lại thỏa mãn giá trị cần tìm phải chẵn, đó: chẵn tích Ví dụ Cho phương trình số nguyên tố x − 20 x + m + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 Lời giải ∆ ' = ( −10 ) − 1( m + ) = 95 − m Có Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 + x2 = − Theo định lý Viét, ta có: Từ x1 + x2 = 20 x1 , x2 x1 , x2 ∆ ' > ⇔ 95 − m > ⇔ m < 95 b c = 20, x1 x2 = = m + a a số nguyên tố, suy ra:  x1 =  x1 = 17  x1 =  x1 = 13 ;  ;  ;    x2 = 17  x2 =  x2 = 13  x2 = Thay vào Vậy x1 x2 = m + ⇒ m = 46, m = 86 m = 46, m = 86 (thỏa mãn) giá trị cần tìm DẠNG 3: GIẢI CÁC NGHIỆM DỰA VÀO ∆ Khi tính ∆' ∆, ∆ ' LÀ BÌNH PHƯƠNG mà bình phương biểu thức ta giải theo cách tìm hai x1 , x2 nghiệm Giải theo cách cần ý phải xét hai trường hợp x1 = −b + ∆ −b − ∆ ; x2 = 2a 2a x1 = −b − ∆ −b + ∆ ; x2 = 2a 2a Trường hợp 1: Xét Trường hợp 2: Xét Ví dụ Cho phương trình biệt x1 , x2 thỏa mãn x − ( m + 1) x + 4m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân x1 = −3 x2 Lời giải ∆ ' =  − ( m + 1)  − 1.4m = ( m + 1) − 4m = m − 2m + = ( m − 1) Có Phương trình có hai nghiệm phân biệt Vì ∆ ' = ( m − 1) x1 , x2 ∆ ' > ⇔ ( m − 1) > ⇔ m ≠ nên hai nghiệm phương trình x = ( m + 1) ± ( m − 1) ⇔ x = 2, x = 2m Trường hợp 1: Xét = −3.2m ⇔ m = − m = −3, m = − Vậy thay vào (thỏa mãn) Trường hợp 2: Xét 2m = −3.2 ⇔ m = −3 x1 = 2, x2 = 2m x1 = 2m, x2 = thay vào x1 = −3 x2 x1 = −3 x2 ta ta (thỏa mãn) giá trị cần tìm Chú ý: Bài ta giải theo cách kết hợp định lý Viét để giải dạng x + x + 4a − a = Ví dụ Cho phương trình x1 = x22 − phân biệt thỏa mãn ∆ ' = − ( 4a − a Có ) =a Lời giải − 4a + = ( a − ) ∆ ' = ( a − 2) x1 , x2 ∆ ' > ⇔ ( a − 1) > ⇔ a ≠ 2 nên hai nghiệm phương trình x = −2 ± ( a − ) ⇔ x = a − 4, x = −a Trường hợp 1: Xét x1 = a − 4, x2 = −a thay vào x1 = x22 − ta a − = ( − a ) − ⇔ = a − a − ⇔ a + a − 2a − = 2 ⇔ ( a − ) ( a + 1) = ⇔ a = Trường hợp 2: Xét (loại), a = −1 x1 = −a, x2 = a − (thỏa mãn) thay vào x1 = x22 − − a = ( a − ) − ⇔ = a − a + 10 ⇔ a − 2a − 5a + 10 = 2 ⇔ ( a − ) ( a − 5) = ⇔ a = Vậy a = −1, a = (loại), a =5 (thỏa mãn) giá trị cần tìm để phương trình có hai nghiệm Phương trình có hai nghiệm phân biệt Vì Tìm a x1 , x2 ta x1 , x2 Chú ý: Bài ta giải theo cách kết hợp định lý Viét để giải dạng Ví dụ Cho phương trình x1 , x2 phân biệt thỏa mãn x − (2m + 5) x − 2m − = x1 + x2 = m Tìm x1 , x2 để phương trình có hai nghiệm Lời giải ∆ =  − ( 2m + )  − 4.1.(−2m − 6) = ( 2m + ) + 8m + 24 = ( 2m + ) Có 2 ∆ > ⇔ ( 2m + ) > ⇔ m ≠ − Phương trình có hai nghiệm phân biệt Phương trình có hai nghiệm Trường hợp 1: Xét 2m + ± ( 2m + ) ⇔ x = 2m + 6, x = −1 x= x1 = 2m + 6, x2 = −1 x1 , x2 x1 + x2 = thay vào ta 2m + + −1 = ⇔ 2m + = ⇔ 2m + = ±6 ⇔ m = 0, m = −6 (thỏa mãn) Trường hợp 2: Xét x1 = −1, x2 = 2m + −1 + 2m + = ⇔ m = 0, m = −6 x1 + x2 = thay vào ta (thỏa mãn) Chú ý • Ta lập luận: “ Từ tổng quát, ta giả sử x1 + x2 = ta thấy x1 = −1, x2 = 2m + • Ta giải theo cách xét x1 , x2 ” (x + x2 ) có vai trị nên khơng tính = ( x1 + x2 ) − x1 x2 + x1 x2 sử dụng định lý Viét Ví dụ Cho phương trình phân biệt x1, x2 thỏa mãn x − 2mx + m − = + =1 x1 x2 Tìm Lời giải ∆ ' = (− m) − ( m − 4) = m − m + = > ∀m Có 2 10 m phương trình có hai nghiệm x + ( km/ h) vận tốc xi dịng; x − ( km/ h) t1 = Thời gian tàu thủy chạy xi dịng khúc sơng là: vận tốc ngược dòng 125 ( h) x+ 84 ( h) x− t2 = Thời gian tàu thủy chạy ngược dòng khúc sơng Ta có phương trình ⇔ 125 84 + =9 x+ x− 125 ( x − ) + 84 ( x + ) ( x − 2) ( x + 2) =9 ( ⇔ 125x − 250 + 84x + 168 = x2 − ) ⇔ 209x − 82 = 9x2 − 36 ⇔ 9x2 − 209x + 46 =  x = 23 ⇔ x =  Do x vận tốc riêng tàu thủy tàu thủy ngược dòng nên x> Từ x = 23 ( km/ h) Hai địa điểm A B cách 120 km Một ô tô khởi hành từ A đến B với vận tốc không đổi Trên quãng đường từ B A vận tốc ô tô tăng thêm 20km/h nên thời gian rút ngắn thời gian 18 phút Hỏi vận tốc lúc từ A đến B ô tô bao nhiêu? Lời giải 1) Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình Đổi 18 phút = Gọi vận tốc lúc từ A đến B tơ Khi vận tốc lúc ô tô x x> ( x + 20 km/ h ( 10 , đơn vị: ) 57 (giờ) km/ h ) Thời gian ô tô lúc Thời gian ô tô lúc 120 x (giờ) 120 x + 20 Theo ta có phương trình: (giờ) 120 120 − = x x + 20 10 ⇔ x2 + 20x − 8000 =  x = 80 ⇔  x = −100 Đối chiếu điều kiện ta có x = 80 thỏa mãn Vậy vận tốc lúc từ A đến B ô tô 80 km/ h Đạp xe hình thức tập thể dục đơn giản, tốt cho sức khỏe thân thiện với môi trường Sáng sớm, Mai dự định đạp xe từ nhà Hồ Gươm lại đạp xe để tập thể dục Khi đến Hồ Gươm, bạn dừng lại nghỉ phút Do để nhà giờ, bạn phải tăng tốc thêm km/h Tính vận tốc dự định thời gian xe đạp bạn Mai Biết quãng đường lúc lúc km Lời giải Gọi vận tốc dự định bạn Mai x (km/h), điều kiện x>0 Thời gian dự kiến bạn Mai đạp xe từ nhà Hồ Gươm quay nhà Thời gian Mai đạp xe từ nhà Hồ Gươm x (giờ) Vận tốc bạn Mai đạp xe từ Hồ Gươm nhà Thời gian Mai đạp xe từ Hồ Gươm nhà Đổi = phút 20 x+ 58 x+ (giờ) (km/h) x (giờ) Vì bạn Mai nhà nên ta có phương trình 3 + + = x x + 20 x ⇔ 3  = − + ÷ 20 x  x x +  ⇔ 3 = − 20 x x + ⇔ 1 = − 60 x x + ⇔ x+ x = − 60 x ×( x + ) x ×( x + ) ⇔ x+ − x = 60 x ×( x + ) ⇔ = 60 x ×( x + ) ⇔ x ×( x + ) = ×60 ⇔ x2 + 2x − 120 = ⇔ x2 − 10x + 12x − 120 = ⇔ x( x − 10 ) + 12 ( x − 10 ) = ⇔ ( x + 12 ) ( x − 10 ) =  x + 12 = ⇔  x − 10 =  x = −12 ⇔  x = 10 59 So với điều kiện, x = 10 thỏa mãn Thời gian xe đạp bạn Mai Vậy vận tốc dự định Mai Một khách du lịch tàu hỏa 10 3 11 + = 10 10 + 20 (giờ) = 33 (phút) km/h thời gian xe đạp Mai giờ, sau tiếp tơ tốc tàu hỏa ô tô biết vận tốc tàu hỏa lớn vận tốc ô tô 33 phút quảng đường dài 640 km Tính vận km/h Lời giải Gọi x (km/h); y (km/h) vận tốc tàu hỏa vận tốc tơ Vì vận tốc tàu hỏa lớn vaanh tốc ô tô Quãng đường người khách tàu hỏa Quãng đường người khách ô tô Theo ta có phương trình Từ ( 1) ( 2) 7x 4y ( x > 5,y > ) km/h nên ta có phương trình x − y = ( 1) km/h km/h x + 4y = 640 ( ) ta có hệ phương trình x − y = 4x − 4y = 20 11x = 660 x = 60 x = 60 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  7 x + 4y = 640 7x + 4y = 640 x − y = 60 − y = y = 55 (tmdk) Vậy vận tốc tàu hỏa Trên quãng đường A B AB 60 km.h, vận tốc ô tô 55 km/h , hai ô tô chở bác sĩ chống dịch COVID – 19 khởi hành lúc từ hai bến ngược chiều Hai xe gặp khu cách ly quãng đường gặp nhau, xe tiếp tục hết quãng đường lại Xe khởi hành từ B đến A 30 1) Gọi thời gian xe từ phút Hỏi xe quãng đường Lời giải A đến B hết quãng đường 60 AB AB A đến B AB sau Nếu sau muộn xe khởi hành từ hết thời gian? x( x > 3) Gọi thời gian xe từ B Trong xe từ Trong xe từ đến A B A đến đến hết quãng đường B A được Do hai xe ngược chiều gặp sau x y AB (quãng đường ( quãng đường y( y > 3) AB AB ) ) nên ta có phương trình : 1 + = x y ( 1) Do xe khời hành từ A đến B muộn xe khởi hành từ x − y = 2,5 ( ) Từ ( 1) ( 2) ta có hệ phương trình : 1 1  x + y =        ( 1)  x − y = 2,5     ( )  Thế ( 2) vào ( 1) ta phương trình : 1 + = y + 2,5 y ⇒ 3y + ( y + 2,5 ) = y( y + 2,5) ⇔ 3y + 3y + 7,5 = 2,5y + y2 ⇔ y2 − 3,5y − 7,5 = ⇔ ( y − ) ( y + 1,5 ) = 61 B đến A 30 phút nên:  x = 7,5 y = ⇔ ⇔  x = ( loaïi )  y = −1,5 A Hai thành phố khởi hành từ máy đến B B đến B cách A 150 với vận tốc lớn vận tốc xe máy Vì tơ khởi hành từ ⇒ A Thời gian xe máy từ x + 10 10 A đến B , lúc tơ km/h Ơ tơ đến A 30 phút xe Tính vận tốc xe Gọi vận tốc xe máy khởi hành từ ⇒ km Một xe máy khởi hành từ B đến A đến B A là: B đến 150 x Lời giải x (km/h) ( x>0 ) (giờ) với vận tốc lớn vận tốc xe máy 10 km/h nên vận tốc ô tô là: (km/h) Thời gian ô tô từ Ơ tơ đến A 30 B đến = phút A 150 x + 10 là: (giờ) xe máy đến B , theo ta có phương trình: 150 150 − = x x + 10 ⇔ x2 + 10x − 3000 = ⇔ x2 + 60x − 50x − 3000 = ⇔ ( x + 60 ) ( x − 50 ) =  x = −60 ( khơng thỏ a mã n) ⇔  x = 50 ( thỏ a mã n) Vậy vận tốc xe máy 50 km/h, vận tốc ô tô Quãng đường Thanh Hóa - Hà Nội dài 15 150 phút, trở Hà Nội, hết tất vận tốc lúc 10 50 + 10 = 60 km/h km Một ô tô từ Hà Nội vào Thanh Hóa, nghỉ Thanh Hóa 10 Tính vận tốc tơ lúc về, biết vận tốc lúc lớn km/h Lời giải 62 Đổi: 15 = phút 13 x Gọi vận tốc lúc ô tô (đi từ Thanh Hóa Hà Nội) là: x + 10 Vận tốc ô tô lúc từ Hà Nội đến Thanh Hóa là: Thời gian tơ từ Hà Nội đến Thanh Hóa là: Thời gian tơ từ Thanh Hóa Hà Nội là: 150 x + 10 150 x 10 nên ta có phương trình: x>0 ) (km/h) (giờ) (giờ) Vì tơ từ Hà Nội vào Thanh Hóa, nghỉ Thanh Hóa tất (km/h) (Điều kiện: 15 phút hay 13 trở Hà Nội, hết 150 150 13 + + = 10 ⇒ 600x + 600 x + 10 = 27 x x + 10 ( ) ( ) x + 10 x ⇔ 27 x2 − 930x − 6000 = ⇔ 9x2 − 310x − 2000 = ∆′ = ( −155) − 9.( −2000 ) = 42025 = 2052 > ⇒ x1 = phương trình có hai nghiệm phân biệt: 155 + 205 = 40 155 − 205 −50 = 9 x2 = Vậy vận tốc lúc tơ từ Thanh Hóa Hà Nội Một người xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B 40 (loại) (km/h) cách đường khác dễ dài đường cũ 3km/h (thỏa mãn); 6km 30km Khi từ 63 A người chọn Vì với vận tốc lớn vận tốc lúc nên thời gian thời gian 20 phút Tính vận tốc lúc Lời giải B Một người xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B cách đường khác dễ dài đường cũ 3km/h Vận tốc lúc xe đạp là: x( km/h) x > Thời gian lúc từ Thời gian lúc từ = A đến B B A , 30 + = 36 ( km) là: là: 30 ( h) x 36 ( h) x+ Vì thời gian lúc thời gian lúc 20 phút nên ta có phương trình: 30 36 − = x x+ 3 ⇔ 30.3.( x + 3) 3x( x + 3) − x( x + 3) 36.3.x = 3x( x + 3) 3x( x + 3) ⇒ 90x + 270 − 108x = x2 + 3x ⇔ x2 + 21x − 270 = ⇔ x2 + 30x − 9x − 270 = ⇔ x( x + 30 ) − ( x + 30 ) = ⇔ ( x + 30 ) ( x − ) = 64 B A người chọn Vì với vận tốc lớn vận tốc lúc x + ( km/h) Chiều dài đường lúc là: phút Khi từ nên thời gian thời gian 20 phút Tính vận tốc lúc Gọi vận tốc lúc xe đạp 20 6km 30km  x + 30 =  x = −30(loại) ⇔ ⇔ a mã n) x − =  x = 9(thoû Vậy vận tốc lúc xe đạp Lúc 30 phút sáng, ca nơ xi dịng sơng từ sau ngược dịng từ nước 9km/h B A lúc 10 36 A đến B dài 48 km Khi đến B , ca nô nghỉ 30 phút phút ngày Tìm vận tốc riêng ca nơ biết vận tốc dòng km/h Lời giải 1) Gọi x (km/h) vận tốc riêng ca nô Vận tốc xuôi dịng ca nơ là: x+ B Thời gian ca nơ xi dịng từ đến Thời gian ca nơ ngược dịng từ Thời gian ca nơ từ A nên ta có phương trình: ⇔ 40 ( x − 3) ( x + 3) ( x − 3) + đến B B (km/h) x− Vận tốc ngược dịng ca nơ là: ( x > 3) (km/h) là: A từ 48 x+ là: B (giờ) 48 x− trở (giờ) A , không tính thời gian nghỉ 48 48 18 8 + = ⇔ + = x+ x− x+ x− 40 ( x + 3) ( x + 3) ( x − 3) ( ⇒ 40x − 120 + 40x + 120 = x2 − = ( x + 3) ( x − ) ( x + 3) ( x − 3) ) ⇔ 3x − 80x − 27 = ∆′ = ( −40 ) − 3.( −27 ) = 412 > 65 36 phút hay 18 ⇒ x1 = Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x2 = Vậy vận tốc riêng ca nô 27 40 + 41 = 27 (thỏa mãn); 40 − 41 =− 3 (loại) km/h Hai ô tô khởi hành từ A đến B với vận tốc xe khơng đổi tồn qng đường km Do vận tốc ô tô thứ lớn vận tốc ô tô thứ hai ô tô thứ hai 30 10 phút Tính vận tốc tơ Gọi vân tốc ô tô thứ hai : Vận tốc ô tô thứ : Thời gian ô tô thứ hai là: Thời gian ô tô thứ là: x(x > 0)(km/ h) x + 10 (km/ h) 150 x (giờ) 150 x + 10 (giờ) = Do ô tô thứ đến sớm ô tô thứ hai 30 phút 150 150 − = x x + 10 ⇔ 1500 = x + 10x 2 ⇔ x2 + 10x − 3000 = ⇔ x2 − 50x + 60x − 3000 = ⇔ ( x − 50 ) ( x + 60 ) = 66 dài 150 km/h nên ô tô thứ đến sớm Lời giải a AB nên ta có pt:  x = 50 (TM) ⇔  x = −60 ( KTM ) 50 km/ h Vậy vận tốc ô tô thứ hai Hai tỉnh A,B gặp 180 cách C Từ C đến tốc xe biết đường a) Gọi x( km/h) y( km/h) B km, lúc ô tô từ ô tô hết AB Quãng đường từ giờ, từ C A A đến B , xe máy từ xe máy hết hai xe chạy với vận tốc không đổi Lời giải vận tốc ôtô (x > 0;y > 0) vận tốc xe máy Quãng đường từ 60 km/ h ; vận tốc ô tô thứ A C Thời gian ôtô từ C đến đến A Thời gian xe máy từ B đến B dài dài C đến y 2x (km) (km) 9y y:x = 2x C 2x y (giờ) (giờ) Theo ta có hệ phương trình  y 2x  2x = y 9y2 = 4x2   ⇔ ( 1)  9  2x + y = 180 x + y = 180    Vì x > 0;y > nên ta có  2x − 3y = 2x − 3y = 2x − 3.24 =  x = 36   ( 1) ⇔ 2x + y = 180 ⇔  15 y = 180 ⇔  y = 24 ⇔ y = 24       67 (thỏa mãn) B 30 A Hai xe phút Tính vận 36 Vậy vận tốc ô tô Một ô tô từ A đến B 10 km/h xe đến 45 B km/h Vận tốc xe máy 24 km/h với vận tốc xác định thời gian xác định Nếu vận tốc ô tô tăng thêm trước 30 10 km/h phút, cịn vận tốc tơ giảm xe đến B chậm phút Tính vận tốc thời gian dự định ô tố Lời giải + Gọi vận tốc thời gian dự định ô tô từ Điều kiện: A đến B là: x( km/h) ; y( h) x > 10 y > 0,5 ; + Trong lần giả sử thứ nhất, vận tốc ô tô Do quãng đường AB     x + 10 ( km/h) , thời gian ô tô đến B y− là: ( h) không đổi nên ta có phương trình: ( x + 10 )  y − 12 ÷ = xy ⇔ xy − x + 10y − = xy ⇔ − x + 10y = ( 1) + Trong lần giả sử thứ hai, vận tốc ô tô Do quãng đường  AB x − 10 ( km/h) khơng đổi nên ta có phương trình:  ( x − 10 )  y + 34 ÷ = xy   15 ⇔ xy + x − 10y − = xy 15 ⇔ x − 10y = ( 2) 68 , thời gian ô tô đến B y+ là: ( h) + Từ ( 1) ( 2) ta có hệ phương trình:    − x + 10y =  − x + 10y =  − x + 10y = x = 50 ⇔ ⇔ ⇔  y =  x − 10y = 15  x − x = 15 +  x = 25   2  50 ( km/h) ( h) (thỏa mãn điều kiện) Vậy vận tốc dự định ô tô thời gian dự định tơ Qng đường Thanh Hóa – Hà Nội dài 150 km Một ôtô từ Hà Nội vào Thanh Hóa, nghỉ lại Thanh Hóa 15 phút, trở Hà Nội, hết tất 10 Tính vận tốc ơtơ lúc về, biết vận tốc lúc lớn vận tốc lúc 10 km/h h15 ' = a Đổi Lời giải: 13 h Gọi vận tốc lúc ôtô Vận tốc ôtô lúc x( km/h) (x > 0) x + 10 ( km/h) Thời gian ôtô từ HN-TH Thời gian ôtô từ TH-HN 150 ( h) x + 10 150 ( h) x Do tổng thời gian đi, về, nghỉ 10 h nên ta có pt: 150 150 13 + + = 10 x + 10 x Giải phương trình: Quy đồng khử mẫu Đưa phương trình: x1 = − Tìm 50 (loại), Vậy vận tốc lúc ôtô 9x2 − 310x − 2000 = x2 = 40 (TM) 40 ( km/h) 69 Một người dự định từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc thời gian định Nếu người từ A với vận tốc lớn vận tốc dự định km/h đến B sớm dự định 24 phút Nếu người từ B với vận tốc nhỏ vận tốc dự định km/h đến B muộn dự định 30 phút Hỏi quãng đường AB dài km? Lời giải 24 phút = h, 30 Gọi vận tốc dự định phút = x Thì quãng đường AB h (km/h) thời gian dự định xy Nếu với vận tốc lớn Nếu với vận tốc nhỏ     (km)    (km/h) thời gian (h)  2 ⇒ ( x + )  y − ÷ = xy(1) 5  km/h vận tốc  y− x+ km/h vận tốc ( x − 5)  y + 12 ÷ Quãng đường AB (h) ( ) (km) ( x + 5)  y − 52 ÷ Quãng đường AB y (x > 5,y > ) (x > 0,y > 0) x−     y+ (km/h) thời gian (h) ( x − 5)  y + 12 ÷ = xy ( ) (km) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình :   2 (x + 5)(y − ) = xy xy − x + 5y − = xy x = 45 ⇔ ⇔  (x − 5)(y + ) = xy xy + x − 5y − = xy y =   2 (nhận)   2 (x + 5)(y − ) = xy xy − x + 5y − = xy −2x + 25y = 10 −2x + 25y = 10 ⇔ ⇔ ⇔  2x − 20y = 10 (x − 5)(y + ) = xy xy + x − 5y − = xy x − 10y =   2 −2x + 25y = 10 x = 45(t/ m) ⇔ ⇔ 5y = 20 y = 4(t/ m) Vậy quãng đường AB 45.4 = 180 (km) 70 71 ... y=x2 nên y1=x 12 ,y2 =x 22 Do ® ã y1+y2 +2x1 +2x2 = 22 ⇔ x21 +x 22 + 2x1 +2x2 = 22 ⇔ ( x1+x2 ) − 2x1x2 + 2( x1+x2 ) = 22 Thay x1+x2 = 2m, x1x2 = m2 -m-1 Ta đợ c ( 2m) ( ) − m2 -m-1 + 2. 2m = 22 ⇔ m2... x2 = − = 2m − 2; x1 x2 = = 2m − a a Theo định lý Vi? ?t, ta có: A = x 12 + x 22 + x1 x2 − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 Có Thay x1 + x2 = 2m − 2; x1 x2 = 2m − vào A ta được: A = ( 2m − ) − ( 2m − ) =... (P): y =x2 nên y1=x 12 ,y2 =x 22 Do đ ó T =x21+x 22 x1x2 = ( x1+x2 ) − 3x1x2 Thay x1+x2 = 2m + 1, x1x2 = 2m vµo T ta ®ỵ c 3 T=(2m+ 1 )2 − 3.2m = 4m2 − 2m+ = (2m− )2 + ≥ 4 VËy MinT = 1 2m - = ⇔ m