Tính khoảng cách trong hình học không gian bằng phương pháp thể tích

Tính khoảng cách trong hình học không gian bằng phương pháp thể tíchTính khoảng cách trong hình học không gian bằng phương pháp thể tíchTính khoảng cách trong hình học không gian bằng phương pháp thể tíchTính khoảng cách trong hình học không gian bằng phương pháp thể tíchTính khoảng cách trong hình học không gian bằng phương pháp thể tíchTính khoảng cách trong hình học không gian bằng phương pháp thể tíchTính khoảng cách trong hình học không gian bằng phương pháp thể tíchTính khoảng cách trong hình học không gian bằng phương pháp thể tíchTính khoảng cách trong hình học không gian bằng phương pháp thể tíchTính khoảng cách trong hình học không gian bằng phương pháp thể tíchTính khoảng cách trong hình học không gian bằng phương pháp thể tíchTính khoảng cách trong hình học không gian bằng phương pháp thể tíchTính khoảng cách trong hình học không gian bằng phương pháp thể tíchTính khoảng cách trong hình học không gian bằng phương pháp thể tích

Câu khoảng cách đề thi THPTQG Câu khoảng cách hình học khơng gian (thuần túy) đề thi THPTQG dù khơng câu khó để nhìn chân đường cao đoạn vng góc chung học sinh trung bình yếu khơng phải dễ Bài viết mong muốn giúp em tự tin với câu này, dù điểm 8, 9, 10 khó lấy, điểm với em hồn tồn (Bài viết có tham khảo nhiều nguồn khác nên khó lòng trích dẫn nguồn xin chân thành cảm ơn tác giả, nguồn tài liệu tham khảo để viết này) I) Ý tưởng: Ta có hình chóp: S.ABC việc tính thể tích khối chóp thực dễ dàng (đường cao hạ từ S xuống mặt đáy  ABC  ), ta cần tính khoảng cách từ C đến  SAB  tức tìm chiều cao CE Vì thể tích hình chóp khơng thay đổi dù ta có xem điểm (S, A, B, C) đỉnh ta biết diện tích SAB 3V khoảng cách cần tìm CE  Có thể gọi SSAB dùng thể tích lần  Chú ý: Khi áp dụng phương pháp ta cần nhớ cơng thức tính diện tích tam giác: SABC  p  p  a  p  b  p  c  với p nửa chu vi a, b, c kích thước cạnh II) Ví dụ minh họa: VD1: (A-2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, · ABC  30 ; SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vuông góc với mặt đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ C đến  SAB  Lời giải  Gọi E trung điểm BC SE   ABC  SE  a Ta có BC  a  AB  a a ; AC  thể tích 2 khối chóp là: 3a a a a3 VS ABC   2 2 16  Để tính khoảng cách từ C đến  SAB  ta cần tính diện tích SAB  a   a 2 a 2 Ta có: AB  ; SB  a; SA  SE  EA       , Áp dụng công thức Heron ta được:   2 SSAB   a  a  a    39 a p  p  SA p  SB  p  AB  ; p    16     Vậy d  C ,  SAB    3VS ABC a 39  SSAB 13  Nhận xét: Với cách tính khâu tính diện tích ta dùng máy tính hầu hết đẹp So với cách tính tọa độ hóa cách tính đơn giản nhiều tính tốn trình bày khó khâu tính diện tích (nhưng máy tính đảm nhận), so với cách lùi E để tính (đương nhiên phải kẻ thêm đường phụ) với học sinh trung bình yếu nói lựa chọn tốt VD2: (B-2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ A đến  SCD  Lời giải  Gọi E trung điểm AB SE   ABC  , SE  chóp khối VS ABCD  a Vì thể tích cần tính a a3  a  Ta cần tính khoảng cách từ A đến  SCD  , ta quan sát khối chóp S ACD tích a a3 a  để tính 2 12 khoảng cách ta cần có diện tích SCD VS ACD  Ta có CD  a; SD  SC  SE  DE  SE  DA2  AE  a , Áp dụng công thức Heron ta được: SSCD   aa a  p  p  CD  p  SD  p  SC  ;  p  a     Vì d  a,  SCD    3VS ACD 21  a SSCD VD3: (A-2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SD  3a , hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng  ABCD  trùng với trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ A tới mặt phẳng  SBD  Lời giải  Gọi E trung điểm AB SE   ABC  , dùng định lý Pitago ta tính SE  a Từ VS ABCD  a3  Ta cần tính khoảng cách từ A đến  SBD  ta quan sát hình chóp S.ADB tích 1 a a  a3 nên ta tìm diện tích tam giác SBD toán giải 3a ; SB  a Áp dụng 2 công thức Heron ta được: Ta có BD  a 2; SD  SSBD   3a  a 2  a  2   a2 p  p  SB  p  SD  p  BD  ;  p        a 3V  2a Vậy d  S ,  SBD    S ABD  SSDB 3a Đăng ký mua file word trọn chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 VD4: (B-2014) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A ' lên  ABC  trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng A ' C mặt đáy 60 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách từ B đến  ACC ' A ' Lời giải  Gọi E trung điểm AB, A ' E   ABC  ,60   A ' C,  ABC    · A ' CE Ta có CE  a (đường cao tam giác đều) A ' E  tan 60CE   3a 3a a a3 3  VABC A ' B 'C '   2 Ta cần tính khoảng cách từ B đến  ACC ' A ' tức từ B đến  AA ' C  , ta quan sát khối chóp A ' ABC 3a a a3 tích VA ' ABC  ta cần tìm diện tích A ' AC (để dùng thể tích lần)  2 a 10 CE a 3  Ta có AC  a; AA '      a   ; A'C   a Áp dụng công thức Heron ta được: cos 60 2 2  SA ' AC    a 10 a a 3  39 2  p  p  A ' A  p  A ' C  p  AC  ;  p  a       Vậy d  B,  ACC ' A '   d  B,  A ' AC    3VA ' ABC 13  a SA ' AC 13  Qua bốn VD ta thấy việc áp dụng Thể tích lần tỏ hiệu khơng cần suy nghĩ q nhiều (vì người viết khơng khuyến khích bạn giỏi làm theo cách trừ bí) Trước ta xét mức độ áp dụng phương pháp với đề thi thử năm (2015) đề thi cũ, ta mở rộng cách làm phục vụ cho yêu cầu tính khoảng cách hai đường chéo mà đoạn vng góc chung khó tìm III) Các ví dụ khác áp dụng cách tính Thể tích lần: VD1: (A-2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng  ABC  điểm H thuộc AB cho HA  2HB Góc đường SC mặt phẳng  ABC  60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA BC Lời giải  · · Ta có 60   SC,  ABC    SCH mà 2 a a a 3 CH        6   nên ta SH  tan 60.CH  a 21 Do thể tích khối chóp là: a a 21 a3 VS ABC   12  Dựng hình bình hành ABCD (điều tự nhiên cách tìm khoảng cách hai đường chéo nhau, d  SA, BC   d  B,  SAD   Ta quan sát khối chóp S.ABD khối chóp tích với thể tích khối chóp S.ABC tức VS ABD  a3 để tính d  B,  SAD   ta cần tính diện tích 12 SAD 5a 19a 2 10a 2 Ta có AD  a; SA  SH  AH  , DH  AD  AH  AD AH cos120  SD  2 Áp dụng công thức Heron ta được: SSAD  Vậy d  B,  SAD     10a 5a  a    3   a2 p  p  SA  p  SD  p  AD  ;  p        3VS ABD a 42  SSAD  VD2: (D-2008) Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác vuông, AB  BC  a , cạnh bên AA '  a Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách AM B ' C Lời giải  Theo giả thiết ABC vng cân B thể tích khối lăng trụ là: VABC A ' B 'C '  a a  a 2  Gọi D trung điểm BB ' d  AM , B ' C   d  B ' C,  ADM    d  C,  ADM    d  B,  ADM   Ta quan sát khối chóp D.ABM khối chóp tích a a a3 VD ABM  a  nên 2 2 24 để tính khoảng cách từ B đến  ADM  ta cần tính diện tích ADM 2 a 2  a   a 2 a a a a 2 Ta có: AD   ; DM   ; AM  a       a       2 2     2 Do diện tích SAMD   a a a    2 p  p  AM  p  MD  p  AD  ;  p       14  a    Vậy d  AM , B 'C   d B , ADM   3VD ABM a  SADM   Nhận xét: Nếu biết cách linh hoạt phương pháp tốn khoảng cách trở nên dễ có nhiều lời giải hay! VD3: (THTT-452) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng đáy I thuộc AB cho BI  AI Góc mặt bên  SCD  mặt đáy 60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách AD SC Lời giải  Gọi E  CD : CE  2ED , chứng minh dàng dễ · 60  ·  SCD  ,  ABCD    SEI từ ta tính SI  tan 60.EI  a Vì a3 thể tích VS ABCD  a 3.a  3  Ta thấy AD / / BC d  AD, SC   d  AD,  SBC    d  D,  SBC   , ta quan sát khối chóp S.BCD tích a a3 để tìm VS BCD  a  khoảng cách d  D,  SBC   ta cần tìm diện tích SBC   2a  Ta có: BC  a; SB     a   Do diện tích SSBC    a 31 10a ; SC  SI  CB  BI  3  a 31 10a  a    3   31 a p  p  SB  p  SC  p  BC  ;  p        Vậy d  AD, SC   d  D,  SBC    3VS BCD 93  a SSBC 31 IV) Vận dụng phương pháp vào đề thi thử 2015: Chúng ta cần hốt triệt tư tưởng sau: Khi tính diện tích tam giác (phục vụ cho cách tính thể tích lần) viết cố gắng dùng công thức Heron với mục tiêu giảm nhẹ kiến thức cần nhớ (điều cần thiết với em trung bình yếu) Vì có cách tính nhanh tam giác đặc biệt (vng, cần, đều….) Bạn đọc tính theo nhiều hướng khác đích đến cuối tròn điểm câu hình này!  Bài tập 1: (Chuyên Nguyễn Quang Chiêu – Đồng Tháp) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng ·  30 A, AB  3a, BC  5a ; mặt phẳng  SAC  vng góc với mặt phẳng  ABC  Biết SA  3a SAC Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBC  Lời giải  Gọi E chân đường vng góc kẻ từ S xuống BC, dễ thấy SE   ABC  Do SE  SA.sin 30  a 1 AC  BC  AB2  4a Vậy thể tích VS ABC  a 3a.4a  3a3  Để tính khoảng cách từ A đến  SBC  ta cần tính diện tích SBC Ta có: BC  5a; SB  SE  BE  SE  BA2  AE  21a SC  SE  EC  2a , diện tích SBC là: SSBC  p  p  SB  p  SC  p  BC  ;  5a  21a  2a   p    21a   Vậy d  A,  SBC    3VS ABC  a SSBC Bài tập 2: (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có AC  a 3; BC  3a; · ACB  30 Cạnh bên hợp với mặt đáy góc 60° Mặt phẳng  A ' BC    ABC  Điểm H  BC : BC  3BH mặt phẳng  A ' AH    ABC  Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách từ B đến  A ' AC  Lời giải   Ta có  A ' AH    ABC    A ' H   ABC   A ' BC    ABC    A ' AH    A ' BC   A ' H góc cạnh bên A ' A mặt đáy A ' AH  60 A ' AH tức ·  ABC  · Ta lại có: AH  CH  CA2  2C.CA.cos30  a A ' H  AH tan 60  a Thể tích khối lăng trụ là: VABC A' B 'C ' 1  9a  a  3a 3a.sin 30   2  Đăng ký mua file word trọn chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 3a3 Ta quan sát khối chóp A ' ABC khối chóp tích là: VA ' ABC  VABC A ' B ' C '  nên để tính  khoảng cách từ B đến  A ' AC  ta cần tìm diện tích A ' AC Ta có: AC  a 3; A ' A  SA ' AC  AH ; A'C  cos 60  2a    a   a , diện tích A ' AC là:  a  2a  a  p  p  A ' A p  A ' C  p  AC   p    a   Vậy d  B,  A ' AC    3VA ' ABC 3  a SA ' AC  Bài tập 3: (Chuyển ĐH Vinh lần 3) Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình thoi cạnh a, 7a · Hình chiếu vng góc A ' lên mặt phẳng  ABCD  trùng với giao điểm AC BCD  120; A ' A  BD Tính theo a thể tích khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' khoảng cách từ D ' đến mặt phẳng  ABB ' A ' Lời giải Gọi E  AC  BD ; ta có A ' E   ABCD  A ' E  A ' A2  AE  3a Do thể tích khối hộp là:  1 VABCD A ' B 'C ' D '  A ' E AC.BD  3a .a 3a  3a3 2  Ta có d  D ',  ABB ' A '   d  C,  ABB ' A '  , ta quan sát khối chóp A ' ABC , khối chóp tích là: VA ' ABC a3  VABCD A ' B 'C ' D '  ta cần tính diện tích A ' AB Ta có: AB  a; A ' A  SA ' AB  7a a 51 , diện tích A ' AB là: ; A ' B  A ' E  BE  2  7a a 51  a    2   a 195 p  p  A ' A  p  A ' B  p  AB  ;  p        Vậy d  D ',  ABB ' A '   d  C ,  ABB ' A '   3VA ' ABC 195a  SA ' AB 65  Bài tập 4: (Chun Lam Sơn) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật tâm I, có AB  a; BC  a Gọi H trung điểm AI Biết SH   ABCD  , tam giác SAC vng S Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ C đến  SBD  Lời giải   a 1a a3 a Ta có SE  AC  a SH  a     , thể tích S ABCD VS ABCD  a.a  2 2 2 a3 Ta quan sát khối chóp S.BCD khối chóp tích VS BCD  VS ABCD  nên ta cần tính diện tích SBD 2 a 3 a 3 a Ta có: BD  2a; SB  HB  SH   ;      2     2 2 a 7 a 3 a 10 SD  HD  SH            2 diện tích SBD là: SSBD  Vậy d  C ,  SBD     a a 10  2a     2   a 15 p  p  SB  p  SD  p  BD  ;  p        3VS BCD a 15  SSBD 15 Đăng ký mua file word trọn chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851  Bài tốn 5: (THTT-455) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc A ' lên mặt đáy  ABC  trùng với tâm O ABC , góc  ABB ' A ' mặt đáy 60 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách hai đường thẳng AB CC ' Lời giải  · ·' DO Gọi D, E trung điểm AB, BC Dễ thấy 60    ABB ' A ' ,  ABC    A A ' O  tan 60.DO  VABC A ' B 'C '  a nên thể tích lăng trụ ABC A ' B ' C ' là: a a a3   Ta có: d  AB, CC '  d  CC ',  A ' AB    d  C,  A ' AB   , ta quan sát khối chóp A ' ABC khối chóp có a3 thể tích là: VA ' ABC  VABC A ' B 'C '  nên nhiệm vụ cuối ta tính diện tích A ' AB 24 Ta có: AB  a; A ' A  A ' B  A ' O  AO  SA ' AB  a 21 nên diện tích A ' AB là:  a 21 a 21  a    a2 6  p  p  A ' A  p  A ' B  p  AB  ;  p        Vậy d  AB, CC '  d  C ,  A ' AB    3VA ' ABC 3a  SA ' AB  Bài toán 6: (Chun Võ Ngun Giáp) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang cân ( BC / / AD) Biết đường cao SH  a với H trung điểm AD, AB  BC  CD  a; AD  2a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SB AD Lời giải  1 3 3 a  a Thể tích khối chóp S.ABCD là: VS ABCD  SH S ABCD  a 3 2  Ta có d  SB, AD   d  AD,  SBC    d  A,  SBC   , ta quan sát khối chóp S.ABC khối chóp tích 1 a a3 a  là: VS ABC  SH SABC  a 3 2 12 (đường cao hạ từ A xuống BC a ), nên ta cần tính diện tích tam giác SBC Ta có: BC  a; SC  SB  BH  SH  a , diện tích SBC là: SSBC   a  a  a  a2 p  p  SB  p  SC  p  BC  ;  p      Vậy d  SB, AD   d  A,  SBC    3VS ABC a 21  SSBC  Kết luận: Còn rất nhiều đề thi thử thức giải phương pháp này, thiết nghĩ có giải 1000 tốn (cùng loại) khơng giải 10 mà nắm vững phương pháp Người viết mong bạn đọc sử dụng phương pháp đến mức điêu luyện để bí q (khơng nhìn chân đường cao hay đường phụ cần vẽ) sử dụng Phương pháp có nhược điểm tính tốn nhiều (nhưng nhiệm vụ máy tính ) dễ xảy sai số ảnh hưởng kết quả, lời khuyên cho phương pháp là: Luyện tập phương pháp với khoảng 10 bài, tính tốn thật tập trung kiểm tra lại phép toán lần trước chấm bút hết V) Bài tập đề nghị: · 1) (Chuyên Vĩnh Phúc) Cho hình chóp S.ABC có AB  AC; BC  a 3; BAC  120 Gọi I trung điểm cạnh AB, hình chiếu S lên mặt đáy trung điểm H CI, góc SA mặt phẳng đáy 60° Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ A đến  SBC  ĐS: VS ABC  a3 3 37a ;d  16 37 2) (Đề minh họa BGD & ĐT) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, AC  2a ; · ACB  30 Hình chiếu vng góc H đỉnh S xuống mặt  ABC  trùng với trung điểm AC ; SH  a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm C đến  SAB  ĐS: VS ABC  a3 66 ;d  a 11 3) (Chuyên Hà Tĩnh) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a; tam giác SAC vuông S nằm mặt phẳng vng góc với đáy, SC  a Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách từ B đến  SAD  ĐS: VS ABCD  a3 21 ;d  a 4) (Chuyên Nguyễn Quang Chiêu – Đồng Tháp lần 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a ; · BAD  120 cạnh bên SA   ABCD  Biết số đo góc hai mặt phẳng  SBC   ABCD  60° Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách BD SC ĐS: VS ABCD  3 3 a ;d  a 14 · 5) (Chuyên Hưng Yên) Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cân, AB  AC  a , BAC  120 Mặt phẳng  AB ' C ' tạo với đáy góc 60° Tính theo a thể tích lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng  AB ' C ' ĐS: VABC A' B 'C ' 3a3 a  ;d  6) (Chuyên Lê Hồng Phong) Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cân C, cạnh ABC  30 Góc mặt phẳng  C ' AB  mặt đáy 60° Tính theo a thể tích lăng trụ AB  6a góc · ABC A ' B ' C ' khoảng cách hai đường thẳng B ' C AB ĐS: VABC A ' B 'C '  3a3 ; d  3a 7) (k2pi.net.vn lần 11) Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông cân B, A ' C  a 6; AC  2a Gọi M trung điểm A ' C ' I tâm mặt bên ABB ' A ' Tính theo a thể tích lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách hai đường thẳng IM A ' C 8) (B-2011) Cho hình lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình chữ nhật, BA  a; AD  a Hình chiếu A ' lên mặt phẳng  ABCD  trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng  ADD ' A '  ABCD  60° Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ điểm B ' đến mặt phẳng  A ' BD  ĐS: VABCD A' B 'C ' D '  3a3 a ;d  2 9) (A-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân, AB  BC  2a Hai mặt phẳng  SAB   SAC  vuông với mặt đáy  ABC  ; M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N Góc  SBC   ABC  60° Tính theo a thể tích S.BCNM khoảng cách AB SN ĐS: VS BCNM  a3 3; d  39 a 13 · 10) (Chuyên KHTN-ĐHKHTN) Cho lăng trụ đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình thoi cạnh a BAD  45 , AA '  a 2 ; O, O ' tâm ABCD A ' B ' C ' D ' Tính theo a a) Thể tích khối lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' b) Khoảng cách từ C đến  A ' BD  khoảng cách hai đường thẳng AO ' B ' O ĐS: VABCD A ' B 'C ' D ' a3  a a 2  ; d  C ,  A ' BD    ; d  AO '; B ' O   52 Cần cù bù thông minh Đăng ký mua file word trọn chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 ... Với cách tính khâu tính diện tích ta dùng máy tính hầu hết đẹp So với cách tính tọa độ hóa cách tính đơn giản nhiều tính tốn trình bày khó khâu tính diện tích (nhưng máy tính đảm nhận), so với cách. .. đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ A đến  SCD  Lời giải  Gọi E trung điểm AB SE   ABC  , SE  chóp khối VS ABCD  a Vì thể tích cần tính a a3  a  Ta cần tính khoảng. .. sử dụng Phương pháp có nhược điểm tính tốn nhiều (nhưng nhiệm vụ máy tính ) dễ xảy sai số ảnh hưởng kết quả, lời khuyên cho phương pháp là: Luyện tập phương pháp với khoảng 10 bài, tính tốn