Chuyên đề bất đẳng thức hình học phẳng

Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng Các bài toán bất đắng thức trong hình học phẳng thường được giải theo các phương pháp sau : 1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết, vận dụng các tính chất của bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. 2. BÀI TẬP ÁP DỤNG: • Bài 1 (lớp 8) Cho M là điểm nằm trong tam giác ABC. Chứng minh rằng : MB + MC < AB + AC Từ đó suy ra MA + MB +MC < AB + AC + BC. LỜI GIẢI: BM cắt cạnh AC tại D BD < AB + AD ⇒ MB + MD < AB + AD (1) Xét MDC∆ có : MC < MD + DC (2) Từ (1) và (2) suy ra : MB + MC + MD < AB + AD + DC + MD ⇒ MB + MC < AB + AC Chứng minh tương tự ta có : MA + MC < AB + BC và : MA + MB < AC + BC Do đó : 2(MA + MB + MC) < 2(AB + AC + BC) ⇒ MA + MB + MC < AB + AC + BC Chú ý: Từ lời giải bài toán ta cũng có điều sau: M là điểm nằm trong tam giác ABC thì MB + MC ≤ AB + AC. 1 Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng • Bài 2 (lớp 8) Cho tam giác ABC có B C∠ > ∠ ; AM là trung tuyến. D là điểm trên đoạn thẳng AM. Chứng minh rằng DB < DC. LỜI GIẢI Xét ABC∆ có B C∠ > ∠ ⇒ AC > AB Xét ABM ∆ và ACM∆ có : BM = MC (gt) ; AM ( cạnh chung) ; AB < AC Suy ra AMB AMC∠ > ∠ . Xét DBM∆ và DCM∆ có : BM = MC (gt) ; DM (cạnh chung) ; DMB DMC∠ > ∠ Suy ra DB < DC • Bài 3 (lớp 8) a) Cho tam giác ABC. M là điểm thuộc AC. Chứng minh rằng S ABC 1 AB.AC 2 ≤ ; S ABC 1 BM.AC 2 ≤ b) Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng S ABCD AC.BD 2 ≤ LỜI GIẢI a) Gọi BH là đường cao của ABC∆ . Ta có BH AB≤ . S ABC 1 1 BH.AC AB.AC 2 2 = ≤ . M là điểm thuộc BH BM⇒ ≤ . Do đó : 2 Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng S ABC 1 1 BH.AC BM.AC 2 2 = ≤ b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD; BH và DK là hai đường cao của ABC∆ và DAC∆ . BH AC BH BO⊥ ⇒ ≤ và DK AC DK OD⊥ ⇒ ≤ Suy ra BH + DK ≤ BO + OD = BD Do đó : S ABCD = S ABC + S DAC = BH.AC DK.AC 2 2 + = AC AC.BD (BH DK) 2 2 + ≤ • Bài 4 (lớp 9) Cho tam giác ABC có BD và CE là hai đường cao. Chứng minh rằng DE < BC. LỜI GIẢI o BEC BDC 90 (gt)∠ = ∠ = ⇒ bốn điểm B, E , D , C cùng thuộc đường tròn đường kính BC. DE là dây cung khác đường kính của đường tròn đường kính BC (đường kính là đây cung lớn nhất của đường tròn) ⇒ DE < BC • Bài 5 (lớp 9) Cho đường tròn (O), hai dây cung AB và CD ( AB > CD). Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M. Gọi H và K lần lượt là hai hình chiếu vuông góc của O trên hai đường thẳng AB và CD. Chứng minh rằng: MH > MK. LỜI GIẢI Cách 1 : AB > CD ⇒ OH < OK (định lí dây cung và khoảng cách đến tâm) 3 Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng HOM∆ có o H 90∠ = theo định lí Pitago ta có OH 2 + MH 2 = OM 2 KOM∆ có o K 90∠ = theo định lí Pitago ta có OK 2 + MK 2 = OK 2 Do đó OH 2 + MH 2 = OK 2 + MK 2 OH < OK nên OH 2 < OK 2 Suy ra MH 2 > MK 2 Suy ra MH > MK Cách 2 : Vẽ đường tròn (O;OM). Các tia MA; MC lần lượt cắt (O;OM) tại E; F. ( E,F M≠ ) Xét (O;OA) có AB > CD ⇒ OH < OK ( định lí dây cung và khoảng cách đến tâm) Xét (O;OM) có OH < OK ⇒ ME > MF. ( định lí dây cung và khoảng cách đến tâm) Xét (O;OM) có OH ME⊥ và OK MF⊥ Suy ra ME MF MH ;MK 2 2 = = (định lí đường kính và dây cung) Từ đó suy ra MH > MK. Cách 3 : Vẽ đường tròn đường kính OM. Tâm I là trung điểm OM. Vẽ IE MA ⊥ , IF MD ⊥ ( E MA,F MD∈ ∈ ) IE MA ⊥ , OH MA⊥ (gt) ⇒ IE // OH Mà I là trung điểm OM. Do đó IE là đường trung bình của HOM∆ ⇒ 1 IE OH 2 = 4 Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng Tương tự 1 IF OK 2 = Xét (O;OA) có AB > CD ⇒ OH < OK (định lí dây cung và khoảng cách đến tâm) do đó IE < IF. Xét (I;IM) có IE < IF ⇒ MH > MK (định lí dây cung và khoảng cách đến tâm). PHƯƠNG PHÁP GIẢI Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, từ đó lập luận để dẫn đến điều vô lí ( vô lí có thể là trái với giả thiết hoặc dẫn đến điều mâu thuẫn hoặc trái với kiến thức đã học). Vậy điều giả sử sai. Kết luận bất đẳng thức chứng minh là đúng. 1. BÀI TẬP ÁP DỤNG • Bài 1 (lớp 8) Cho tam giác ABC có BD và CE là hai đường cao. Chứng minh DE < BC. LỜI GIẢI Giả sử DE BC≥ . Gọi M là trung điểm BC; BDC∆ vuông tại D có DM là trung tuyến. ⇒ 1 DM BC 2 = . Chứng minh tương tự ta có: 1 ME BC 2 = Ta có DM + ME = BC Như vậy DE DM ME≥ + . Vô lí ! Do đó DE BC≥ là sai ⇒ DE < BC. • Bài 2 (lớp 8) Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến. Chứng minh rằng: 5 Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng AB + AC > 2.AM LỜI GIẢI Giả sử AB + AC ≤ 2.AM Gọi D là điểm đối xứng của A qua M. M là trung điểm chung của hai đoạn thẳng BC và AD ⇒ ABCD là hình bình hành. ⇒ AB = DC AD = 2.AM Do đó ADC∆ có DC + AC ≤ AD Điều này vô lí ! Vậy AB + AC ≤ 2.AM là sai. ⇒ AB + AC > 2.AM • Bài 3 (lớp 8) Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến. Chứng minh rằng : a) Nếu AM BC 2 ≤ thì o BAC 90∠ ≥ b) Nếu o BAC 90∠ ≥ thì AM BC 2 ≤ LỜI GIẢI a) Giả sử o BAC 90∠ < Gọi D là điểm đối xứng của A qua M, ta có AD = 2AM. M là trung điểm chung của hai đoạn thẳng BC và AD ⇒ ABCD là hình bình hành ⇒ AB = DC và AB // DC. AB // DC ⇒ o BAC ACD 180∠ + ∠ = mà o BAC 90∠ < . 6 Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng Do đó o ACD 90∠ < suy ra BAC ACD∠ < ∠ . Xét ABC∆ và CDB∆ có AB = DC (cạnh chung), BAC ACD∠ < ∠ . Do đó BC < AD ⇒ AM BC 2 > . Trái với giả thiết BC 2 ≤ Vậy o BAC 90∠ < là sai. Do vậy o BAC 90∠ ≥ (đpcm). b) Giả sử AM BC 2 > ⇒ BC < 2AM Gọi D là điểm đối xứng của A qua M, ta có AD = 2AM. Suy ra BC < AD. Chứng minh tương tự câu a) ta có AB = DC, o BAC ACD 180∠ + ∠ = . Xét ABC∆ và CDB∆ có AB = DC, BC (cạnh chung), BC < AD. Do đó BAC ACD∠ < ∠ ⇒ BAC BAC BAC ACD∠ + ∠ < ∠ + ∠ ⇒ o 2. BAC 180∠ < ⇒ BAC∠ < 90 o Trái với giả thiết o BAC 90∠ ≥ . Vậy AM BC 2 > là sai. Do vậy AM BC 2 ≤ (đpcm). • Bài 4 (lớp 9) Cho đường tròn (O), M là điểm bên trong (O) ( M khác O). Qua M vẽ hai dây AB, CD của (O), AB vuông góc với OM và CD không vuông góc với OM. Chứng minh rằng AB < CD. LỜI GIẢI Giả sử AB ≥ CD (1) Vẽ OH CD⊥ ( H CD∈ ) rõ ràng M ≠ H ⇒ OH < OM ⇒ CD > AB (2) (định lí dây cung và khoảng cách đến tâm) 7 Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng (1) và (2) mâu thuẫn ! Vậy AB ≥ CD là sai. Do đó AB < CD. • Bài 5 (lớp 9) Cho tứ giác ABCD có A∠ và C∠ tù. Chứng minh rằng AC < BD. LỜI GIẢI Giả sử AB ≥ CD Vẽ đường tròn đường kính BD. Vì o A 90∠ > , o C 90∠ > Do đó A và C ở bên trong đường tròn đường kính BD. Do vậy AB ≥ CD là vô lí vì đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn. Ta có : AB ≥ CD là sai. Vậy AC < BD. Chú ý : 1. Phần lớn các bài toán về bất đẳng thức hình học đều có thể giải bằng cả hai phương pháp nêu trên. 2. Thông thường khi giải bài toán bất đẳng thức hình học người ta thường dùng phương pháp kéo theo. 8 . bài toán về bất đẳng thức hình học đều có thể giải bằng cả hai phương pháp nêu trên. 2. Thông thường khi giải bài toán bất đẳng thức hình học người ta. Các bài toán bất đắng thức trong hình học phẳng thường được giải theo các phương pháp sau : 1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết,