BAI TOAN CUC TRI HINH HOC

Lôøi giaûi tham khaûo Caùch1:Phöông phaùp hình hoïc (Ñaùp aùn cuûa Boä).. Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân (P) vaø K laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân (d).[r]

(CÁC BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG KHƠNG GIAN TOẠ ĐỘ) Bài Tốn Minh Hoạ: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng d: x+21=y+1=z −3 mặt

phẳng

(P):x+2y-z+5=0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ

Lời giải tham khảo Cách 1: Phương pháp hình học:

Gọi d’= (P) (Q) A=d (P) A d’.Lấy K d,kẻ KH (P) HI d’thì : KIH❑ =(P ,Q)=α Trong tam giác vuông KIH : tanα=KHHI , KH không đổi nên:

tan α nhỏ ⇔ HI lớn ⇔ I A (do HI HA)

Khi d’ vng góc với d Vậyd’đi qua A vng góc với d nằm (P) Mặt phẳng (Q) cần tìm mặt phẳng chứa d d’

VTCP d u⃗❑

=(2;1;1) ; VTPT (P) n

⃗ ❑

P(1;2; −1) suy VTCP d’

u '❑⃗=[u

⃗ ❑

, n❑⃗P]=(−3;3;3)hayu '

⃗ ❑

=(1;−1;−1) Do VTPT mặt phẳng (Q) là:

n⃗❑

Q=[u

⃗ ❑

,u '⃗❑]=(0;3; −3)hayn

⃗ ❑

Q=(0;1; −1)

Điểm M(-1;-1;3) d ⇒ M (Q)

Mặt phẳng (Q) cần tìm có phương trình: 0(x+1)+1(y+1)-1(z-3) = y-z+4 = Cách 2: Phương pháp giải tích

Đặt phưong trình mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz +D = (A2+B2+C2≠0)

M(-1;-1;3) d ; N(1;0;4) d ⇒ M;N (Q) Ta được:

¿

C=−2A − B

D=7A+4B

¿{

¿

Do (Q): Ax+By+(−2A − B)z+7A+4B=0 VTPT (Q)

n ⃗ ❑

Q=(A ; B ;−2A − B)

Ta coù VTPT mặt phẳng (P) : n⃗❑

P=(1;2; −1) Gọi α góc (P) (Q) thì:

cosα=|n

⃗ ❑

P.n

⃗ ❑

Q|

|n ⃗ ❑

P|.|n

⃗ ❑

Q|

=

√6

|A+B|

√5A2

+2B2+4 AB

Ta xeùt hai trường hợp A

Trường hợp 1: A=0 Ta cos α =

√6

|B|

√2B2=√ Trường hợp 2: A Ta có cosα=

√6

|1+B

A| √5+2( B

A)

+4(B

A) Xeùt hàm số: f(x) =

6

x2+2x+1

2x2+4x+5(x=

B

A;f(x)=cos 2α

f '(x)=9

6

6x+6

(2x2

+4x+5)2 f’(x) = ⇔ x= -1

Vaäy cos2 α <

4 ⇒cosα<√

2 ⇒α> π

6 ( Do hàm cosin x nghịch biến đọan [0;π

2] )

Trường hợp (1) (2) ⇒minα=π

6

Khi A=0 , ta chọn B=1 ⇒ C= =1 D= Phương trình mặt phẳng (Q) : y-z+4 =

Hết Ghi Chú:

1/ Có thể xét hai trường hợp B=0 ; B ( Hoặc xét hai trưòng hợp A+B=0 ; A+B

sách Bài tập nâng cao lớp 12 trang 240 )

2/ Bài toán 6: Cho hai điểm A;B đường thẳng d Trong đường thẳng qua A

cắt d, viết phương trình đường thẳng có khoảng cách đến B : a) Lớn b) Nhỏ

BÀI TỐN (CỰC TRỊ TRONG KHƠNG GIAN TOẠ ĐỘ)

Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;4) đường thẳng

(d):x −1

−1 = y+2

1 = z

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) cho khoảng cách từ A đến (P) lớn (Tương tự đề thi Đại Học Khối A năm 2008)

Lời giải tham khảo Cách1:Phương pháp hình học (Đáp án Bộ)

Gọi H hình chiếu vuông góc A (P) K hình chiếu vuông góc A (d)

Ta có theo tính chất đoạn vng góc đoạn xiên : MH≤MK , nên MH lớn

H ≡ K

Vậy mặt phẳng (P) cần tìm mặt phẳng vng góc với AK K. Giải: Ta có K(1−t ;−2+t ;2t)∈(d)⇒AK⃗❑

=(−t ;t −6;2t −2)

(d) có véctơ phương a⃗❑

=(−1;1;2)

AK⃗❑ ⊥❑a⃗⇔t=5

3 Do AK ⃗ ❑

=(−5

3;− 13

3 ;

3) Chọn véctơ pháp tuyến mặt

phẳng (P) n⃗❑

=(5;13; −4) Chọn điểm M0(1;−2;0)∈(d)⇒M0∈(P)

x - +

1 f’

( x )

f ( x )

0

- +

0

4

4

Phương trình mặt phẳng (P): 5(x-1)+13(y+2)-4(z-0)=0 5x+13y-4z+21 = Cách 2: Phương pháp giải tích

Đặt (P): Ax+By+Cz +D = ( A2

+B2+C2≠0¿

Chọn M(1;-2;0) N(0;-1;2) thuộc (d) suy M,N thuoäc (P)

Ta :

¿

A −2B+D=0

− B+2C+D=0

⇔

¿D=− A+2B

C=A − B

2

¿{

¿

Do (P): Ax+By+A − B

2 z− A+2B=0 Ta coù d= d(A ; P)= 2|A+5B|

√5A2+5B2−2 AB

Ta xét trường hợp:

Trường hợp 1: A=0 Ta : d=2|5B|

√5B2=2√5 Trường hợp 2: A ≠0 Ta :

d=

2|1+5B

A | √5+5(B

A)

−2(B A)

= 2|1+5x|

√5+5x2−2x

(x=B

A) Ta coù d2

=4(25x

2

+10x+1)

5x2−2x+5 Hàm số f(x)=

25x2+10x+1

5x2−2x

+5 đạt

GTLN laø :

356 khix=13

5 Vậy maxd2=4(356 )⇒madd=√703 khix=BA=135 ( Chọn trường hợp √70

3 >2√5 )

Chọn A=5; B=13 C=-4 ; D= 21

Phương trình mặt phẳng (P): 5x+13y-4z+21=0 Hết

Vình Long, ngày tháng naêm 2009

GV Nguyễn Ngọc Ấn, Trường PTTH Bán Công Vĩnh Long, TP Vĩnh Long Ghi chú:

1/ Có thể xét B=0 , B ≠0 (Tương tự xét A)

2/ Bài toán : Cho hai đường thẳng d d’ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d

BÀI TỐN (CÁC BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ)

Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

(d):

x=1−t

y=−2+t

z=2t

¿{ {

Vieát phương trình mặt p

phẳng (P) chứa (d) tạo với trục Oy góc lớn Lời giải tham khảo

Cách 1: Phương pháp hình học

Qua điểm A d dựng đường thẳng d’ song song với Oy Lấy điểm M d’ ; gọi K hình

chiếu M d ta có : MAK❑ =α=(d ,Oy) Gọi H hình chiếu vuông góc M

trên

(P) MAH❑ =β=(d',P)=(Oy, P) Như : sinα=MKAM;sinβ=MHAM Trong tam

giác

vuông MHK MH≤MK⇒sinβ ≤sinα⇒maxβ=αkhiH ≡ K Vậy mặt phẳng (P)

cần tìm

vng góc với MK K

Giải: A(1;-2;0) thuộc d Đường thẳng Oy có véctơ phương ⃗❑j

=(0;1;0) ; nên

d’ qua A

song song với Oy d’ có phương trình

¿

x=1

y=−2+t

z=0

¿{ {

¿

Lấy M(1;-1;0) thuộc d’ hình

chiếu vuông góc M d laø

6 −1

6;− 6;

2

¿

K(5

6;− 11

6 ;

3)⇒MK ⃗ ❑

=¿

) Chọn véctơ pháp tuyến (P) n⃗❑

=(1;5;−2)

Phưong trình mặt phẳng (P): 1(x −5

6)+5(y+ 11

6 )−2(z − 3)=0 Keát quả: (P): x+5y-2z+9= Cách 2: Phương pháp giải tích

Lấy M(1;-2;0) d ; N(0;-1;2) d Đặt (P): Ax+By+Cz+D=0

(A2

+B2+C2≠0)

Do M N thuộc (P) neân:

¿

D=− A+2B

C=A − B

2

¿{

¿

⇒(P):Ax+By+A − B

2 z+2B − A=0

Ta coù VTPT (P) n⃗❑=(A ; B ; A − B

2 ) VTCP Oy j ⃗ ❑

Goïi α=(P ,Oy)

❑

sinα=|n ⃗ ❑

.❑⃗j| |n⃗❑

|.|j ⃗ ❑

|=

|B|

√A2+B2+(A − B

2 ) 2=

2|B|

√5A2+5B2−2 AB

+Nếu B=0 sin α = ⇒ α = 00.

+Nếu B sinα=

2 √5(A

B)

+5−2(A

B)

=

√5x2−2x +5

(x=A

B)

Xét hàm số f(x)=sin2α=

5x2−2x+5

5x2−2x +5¿2 ¿ ¿

f '(x)=4(−10x+2)

¿

Ta Maxf(x)= 56 x=1

5 Vậy α lớn AB=1

5 Chọn A=1 B=5 C=-2 , D= Phương trình mặt phẳng (P): x+5y-2z+9=0

Vónh Long, ngày 10 tháng năm 2009 GV Nguyễn Ngọc Ấn

************************************************************************ ****

Chú ý:

1/ Có thể viết sinα=

2 √5(x2−2

5x+ 25)+

24

=

√5(x −1 5)

2 +24

5 ≤

√245 Do max(sin α ) = 2√5

√24 x=

2/ Bài toán 5: Cho mặt phẳng (P) đường thăng d Viết phương trình mặt phẳng (Q)