Lôøi giaûi tham khaûo Caùch1:Phöông phaùp hình hoïc (Ñaùp aùn cuûa Boä).. Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân (P) vaø K laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân (d).[r]
(1)(CÁC BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG KHƠNG GIAN TOẠ ĐỘ) Bài Tốn Minh Hoạ: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng d: x+21=y+1=z −3 mặt
phẳng
(P):x+2y-z+5=0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ
Lời giải tham khảo Cách 1: Phương pháp hình học:
Gọi d’= (P) (Q) A=d (P) A d’.Lấy K d,kẻ KH (P) HI d’thì : KIH❑ =(P ,Q)=α Trong tam giác vuông KIH : tanα=KHHI , KH không đổi nên:
tan α nhỏ ⇔ HI lớn ⇔ I A (do HI HA)
Khi d’ vng góc với d Vậyd’đi qua A vng góc với d nằm (P) Mặt phẳng (Q) cần tìm mặt phẳng chứa d d’
VTCP d u⃗❑
=(2;1;1) ; VTPT (P) n
⃗ ❑
P(1;2; −1) suy VTCP d’
u '❑⃗=[u
⃗ ❑
, n❑⃗P]=(−3;3;3)hayu '
⃗ ❑
=(1;−1;−1) Do VTPT mặt phẳng (Q) là:
n⃗❑
Q=[u
⃗ ❑
,u '⃗❑]=(0;3; −3)hayn
⃗ ❑
Q=(0;1; −1)
Điểm M(-1;-1;3) d ⇒ M (Q)
Mặt phẳng (Q) cần tìm có phương trình: 0(x+1)+1(y+1)-1(z-3) = y-z+4 = Cách 2: Phương pháp giải tích
Đặt phưong trình mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz +D = (A2+B2+C2≠0)
M(-1;-1;3) d ; N(1;0;4) d ⇒ M;N (Q) Ta được:
¿
C=−2A − B
D=7A+4B
¿{
¿
Do (Q): Ax+By+(−2A − B)z+7A+4B=0 VTPT (Q)
n ⃗ ❑
Q=(A ; B ;−2A − B)
Ta coù VTPT mặt phẳng (P) : n⃗❑
P=(1;2; −1) Gọi α góc (P) (Q) thì:
cosα=|n
⃗ ❑
P.n
⃗ ❑
Q|
|n ⃗ ❑
P|.|n
⃗ ❑
Q|
=
√6
|A+B|
√5A2
+2B2+4 AB
Ta xeùt hai trường hợp A
Trường hợp 1: A=0 Ta cos α =
√6
|B|
√2B2=√ Trường hợp 2: A Ta có cosα=
√6
|1+B
A| √5+2( B
A)
+4(B
A) Xeùt hàm số: f(x) =
6
x2+2x+1
2x2+4x+5(x=
B
A;f(x)=cos 2α
(2)f '(x)=9
6
6x+6
(2x2
+4x+5)2 f’(x) = ⇔ x= -1
Vaäy cos2 α <
4 ⇒cosα<√
2 ⇒α> π
6 ( Do hàm cosin x nghịch biến đọan [0;π
2] )
Trường hợp (1) (2) ⇒minα=π
6
Khi A=0 , ta chọn B=1 ⇒ C= =1 D= Phương trình mặt phẳng (Q) : y-z+4 =
Hết Ghi Chú:
1/ Có thể xét hai trường hợp B=0 ; B ( Hoặc xét hai trưòng hợp A+B=0 ; A+B
sách Bài tập nâng cao lớp 12 trang 240 )
2/ Bài toán 6: Cho hai điểm A;B đường thẳng d Trong đường thẳng qua A
cắt d, viết phương trình đường thẳng có khoảng cách đến B : a) Lớn b) Nhỏ
BÀI TỐN (CỰC TRỊ TRONG KHƠNG GIAN TOẠ ĐỘ)
Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;4) đường thẳng
(d):x −1
−1 = y+2
1 = z
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) cho khoảng cách từ A đến (P) lớn (Tương tự đề thi Đại Học Khối A năm 2008)
Lời giải tham khảo Cách1:Phương pháp hình học (Đáp án Bộ)
Gọi H hình chiếu vuông góc A (P) K hình chiếu vuông góc A (d)
Ta có theo tính chất đoạn vng góc đoạn xiên : MH≤MK , nên MH lớn
H ≡ K
Vậy mặt phẳng (P) cần tìm mặt phẳng vng góc với AK K. Giải: Ta có K(1−t ;−2+t ;2t)∈(d)⇒AK⃗❑
=(−t ;t −6;2t −2)
(d) có véctơ phương a⃗❑
=(−1;1;2)
AK⃗❑ ⊥❑a⃗⇔t=5
3 Do AK ⃗ ❑
=(−5
3;− 13
3 ;
3) Chọn véctơ pháp tuyến mặt
phẳng (P) n⃗❑
=(5;13; −4) Chọn điểm M0(1;−2;0)∈(d)⇒M0∈(P)
x - +
1 f’
( x )
f ( x )
0
- +
0
4
4
(3)Phương trình mặt phẳng (P): 5(x-1)+13(y+2)-4(z-0)=0 5x+13y-4z+21 = Cách 2: Phương pháp giải tích
Đặt (P): Ax+By+Cz +D = ( A2
+B2+C2≠0¿
Chọn M(1;-2;0) N(0;-1;2) thuộc (d) suy M,N thuoäc (P)
Ta :
¿
A −2B+D=0
− B+2C+D=0
⇔
¿D=− A+2B
C=A − B
2
¿{
¿
Do (P): Ax+By+A − B
2 z− A+2B=0 Ta coù d= d(A ; P)= 2|A+5B|
√5A2+5B2−2 AB
Ta xét trường hợp:
Trường hợp 1: A=0 Ta : d=2|5B|
√5B2=2√5 Trường hợp 2: A ≠0 Ta :
d=
2|1+5B
A | √5+5(B
A)
−2(B A)
= 2|1+5x|
√5+5x2−2x
(x=B
A) Ta coù d2
=4(25x
2
+10x+1)
5x2−2x+5 Hàm số f(x)=
25x2+10x+1
5x2−2x
+5 đạt
GTLN laø :
356 khix=13
5 Vậy maxd2=4(356 )⇒madd=√703 khix=BA=135 ( Chọn trường hợp √70
3 >2√5 )
Chọn A=5; B=13 C=-4 ; D= 21
Phương trình mặt phẳng (P): 5x+13y-4z+21=0 Hết
Vình Long, ngày tháng naêm 2009
GV Nguyễn Ngọc Ấn, Trường PTTH Bán Công Vĩnh Long, TP Vĩnh Long Ghi chú:
1/ Có thể xét B=0 , B ≠0 (Tương tự xét A)
2/ Bài toán : Cho hai đường thẳng d d’ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d
(4)BÀI TỐN (CÁC BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ)
Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
(d):
x=1−t
y=−2+t
z=2t
¿{ {
Vieát phương trình mặt p
phẳng (P) chứa (d) tạo với trục Oy góc lớn Lời giải tham khảo
Cách 1: Phương pháp hình học
Qua điểm A d dựng đường thẳng d’ song song với Oy Lấy điểm M d’ ; gọi K hình
chiếu M d ta có : MAK❑ =α=(d ,Oy) Gọi H hình chiếu vuông góc M
trên
(P) MAH❑ =β=(d',P)=(Oy, P) Như : sinα=MKAM;sinβ=MHAM Trong tam
giác
vuông MHK MH≤MK⇒sinβ ≤sinα⇒maxβ=αkhiH ≡ K Vậy mặt phẳng (P)
cần tìm
vng góc với MK K
Giải: A(1;-2;0) thuộc d Đường thẳng Oy có véctơ phương ⃗❑j
=(0;1;0) ; nên
d’ qua A
song song với Oy d’ có phương trình
¿
x=1
y=−2+t
z=0
¿{ {
¿
Lấy M(1;-1;0) thuộc d’ hình
chiếu vuông góc M d laø
6 −1
6;− 6;
2
¿
K(5
6;− 11
6 ;
3)⇒MK ⃗ ❑
=¿
) Chọn véctơ pháp tuyến (P) n⃗❑
=(1;5;−2)
Phưong trình mặt phẳng (P): 1(x −5
6)+5(y+ 11
6 )−2(z − 3)=0 Keát quả: (P): x+5y-2z+9= Cách 2: Phương pháp giải tích
Lấy M(1;-2;0) d ; N(0;-1;2) d Đặt (P): Ax+By+Cz+D=0
(A2
+B2+C2≠0)
Do M N thuộc (P) neân:
¿
D=− A+2B
C=A − B
2
¿{
¿
⇒(P):Ax+By+A − B
2 z+2B − A=0
Ta coù VTPT (P) n⃗❑=(A ; B ; A − B
2 ) VTCP Oy j ⃗ ❑
(5)Goïi α=(P ,Oy)
❑
sinα=|n ⃗ ❑
.❑⃗j| |n⃗❑
|.|j ⃗ ❑
|=
|B|
√A2+B2+(A − B
2 ) 2=
2|B|
√5A2+5B2−2 AB
+Nếu B=0 sin α = ⇒ α = 00.
+Nếu B sinα=
2 √5(A
B)
+5−2(A
B)
=
√5x2−2x +5
(x=A
B)
Xét hàm số f(x)=sin2α=
5x2−2x+5
5x2−2x +5¿2 ¿ ¿
f '(x)=4(−10x+2)
¿
Ta Maxf(x)= 56 x=1
5 Vậy α lớn AB=1
5 Chọn A=1 B=5 C=-2 , D= Phương trình mặt phẳng (P): x+5y-2z+9=0
Vónh Long, ngày 10 tháng năm 2009 GV Nguyễn Ngọc Ấn
************************************************************************ ****
Chú ý:
1/ Có thể viết sinα=
2 √5(x2−2
5x+ 25)+
24
=
√5(x −1 5)
2 +24
5 ≤
√245 Do max(sin α ) = 2√5
√24 x=
2/ Bài toán 5: Cho mặt phẳng (P) đường thăng d Viết phương trình mặt phẳng (Q)