góp phần rèn luyện cho học sinh khá, giỏi khả năng dự đoán, suy luận có lý trong dạy học toán ở trường phổ thông

Họ đã chỉ ra vai trò của trực giác trong giảng dạyToán học: "Ở mức độ cao, trực giác toán học cho định hướng nghiên cứutrong các tình huống toán học mới không quen biết, dự đoán được kết

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1 Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hành Trung ương ĐảngCộng sản Việt Nam (Khóa IV, 1993) nêu rõ: "Mục tiêu giáo dục - đào tạophải hướng vào việc đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, cónăng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phần tích cựcthực hiện mục tiêu lớn của đất nước” (dẫn theo Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên

2005, tr 1)

Về phương pháp giáo dục đào tạo, Nghị quyết Hội nghị lần thứ II BanChấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa VIII, 1997) đã đề ra:Phải đổi mới phương pháp đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rènluyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học Từng bước áp dụng nhữngphương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảođiều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu …”

Điều 24, Luật Giáo dục (1998) quy định: “Phương pháp giáo dục phổthông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của họcsinh,…; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiếnthức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tậpcho học sinh”

Chương trình môn Toán thí điểm trường THPT (2002) chỉ rõ: "MônToán phải góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thànhkhả năng suy luận đặc trưng của Toán học cần thiết cho cuộc sống, …; pháttriển khả năng suy luận có lý, hợp lôgic trong những tình huống cụ thể …"

1.2 Sự phát triển của xã hội và công cuộc đổi mới đất nước đòi hỏi mộtcách cấp bách phải nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo Nền kinh tếnước ta đang chuyển từ cơ chế bao cấp sang cơ chế thị trường có sự quản lýcủa Nhà nước Công cuộc đổi mới này đòi hỏi phải có sự đổi mới về hệ thốnggiáo dục, bên cạnh sự thay đổi về nội dung vẫn cần có những đổi mới căn bản

về PPDH Tuy nhiên, cũng phải thừa nhận rằng, thực tiễn dạy học hiện nayvẫn đang còn nhiều tồn tại phổ biến, đó là:

- Thầy thuyết trình tràn lan;

- Tri thức được truyền thụ dưới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi phát hiện;

- Thầy áp đặt, trò thụ động;

- Thiên về dạy, yếu về học, thiếu hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạocủa người học;

- Không kiểm soát được việc học

Về thực trạng này, nhà Toán học Nguyễn Cảnh Toàn đã nhận định:

“Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đưa ra kiến thức (khái niệm, định lý) rồigiải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định

lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức định lý đểtính toán, chứng minh …” (Nguyễn Cảnh Toàn 1997, tr 4)

GS Hoàng Tụy phát biểu: “Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trínhớ, dạy mẹo vặt để giải các bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy đếnviệc phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi vàchán nản …" (dẫn theo Nguyễn Văn Thuận 2004, tr 25)

1.3 Xuất phát từ đặc điểm của tư duy toán học, đó là sự thống nhất giữasuy đoán và suy diễn: Nếu trình bày lại những kết quả toán học đã đạt đượcthì nó là một khoa học suy diễn và tính lôgic nổi bật lên Nhưng, nếu nhìnToán học trong quá trình hình thành và phát triển, thì trong phương pháp của

nó vẫn có tìm tòi, dự đoán, có thực nghiệm và quy nạp Vì vậy, trong dạy họcToán, phải chú ý tới cả hai phương diện, suy luận chứng minh và suy luận có

lý thì mới khai thác được đầy đủ các tiềm năng môn Toán để thực hiện mụctiêu giáo dục toàn diện - như G Polia phát biểu: "Nếu việc dạy Toán phản ánhmức độ nào đó việc hình thành Toán học như thế nào, thì trong việc giảng dạy

đó phải dành chỗ cho dự đoán, suy luận có lý" (G Polia 1995, tr 6)

1.4 Thực tế giải Toán cho thấy: có nhiều bài toán sẽ tìm được lời giảinếu đoán được kết quả của nó; ngược lại, sẽ bế tắc trong khâu định hướng nếu

không dự đoán được kết quả của bài toán đó Ví dụ như dạng toán tìm quỹtích, chúng ta thường phải dự đoán được kết quả quỹ tích trong phần thuận,sau đó kết hợp với phần đảo để chứng minh đó là quỹ tích cần tìm Hay trongmột số bài toán liên quan đến chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN,thường ta phải dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra làm cơ sở cho các phép biến đổidẫn đến kết quả của bài toán, …

1.5 Dự đoán, suy luận có lý có vai trò quan trọng trong quá trình pháttriển tư duy học sinh Nhưng trong thực tế, nó chưa được ưu tiên thích đángxứng với vị trí của nó Nguyên nhân dẫn đến tình trạng này phải chăng dogiáo viên chưa ý thức được tầm quan trọng của nó hoặc chưa xây dựng đượccác biện pháp sư phạm thích hợp nhằm phát triển năng lực dự đoán, suy luận

có lý cho học sinh?

Một trong những công trình nổi tiếng nghiên cứu về dự đoán, suy luận

có lý là tác phẩm Toán học và những suy luận có lý của G Polia Tuy nhiên,

các ví dụ trong tác phẩm của ông chủ yếu thiên về lịch sử Toán (hầu hết các

ví dụ mô tả lại con đường dẫn đến phát minh của các nhà khoa học), còn thiếucác ví dụ phù hợp với học sinh phổ thông

Ở Việt Nam, gần đây đã có một số công trình nghiên cứu ít nhiều liênquan đến dự đoán, suy luận có lý; chẳng hạn như Luận án Tiến sĩ của TrầnLuận (1996): "Vận dụng tư tưởng sư phạm của G Polia xây dựng nội dung vàphương pháp dạy học trên cơ sở các hệ thống bài tập theo chủ đề nhằm pháthuy năng lực sáng tạo của học sinh chuyên toán cấp II" Nhưng, có thể nói,cho đến nay vẫn chưa có một công trình nào nghiên cứu một cách đầy đủ vàsâu sắc việc rèn luyện cho học sinh khá, giỏi khả năng dự đoán, suy luận có lýtrong dạy học Toán ở trường phổ thông

Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Luận văn là:

"

Góp phần rèn luyện cho học sinh khá, giỏi khả năng dự đoán, suy luận có lý trong dạy học Toán ở trường phổ thông"

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu việc phát triển năng lực dự đoán, suy luận có lý của họcsinh trong việc dạy học Toán ở trường phổ thông

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:

3.1 Thế nào là dự đoán, suy luận có lý? Sự phân biệt giữa chúng với suy

luận diễn dịch là gì?

3.2 Vai trò của dự đoán và suy luận có lý trong dạy học Toán là như thế nào? 3.3 Những con đường thông dụng để tiến hành hoạt động dự đoán, suy

luận có lý là gì?

3.4 Thực trạng của việc rèn luyện khả năng dự đoán, suy luận có lý cho

học sinh trong dạy học Toán ở trường phổ thông là như thế nào?

3.5 Dạy dự đoán, suy luận có lý cho học sinh nên tuân theo những quan

điểm nào?

3.6 Phân tích vai trò của dự đoán, suy luận có lý bằng việc làm sáng tỏ ý

nghĩa của nó trong việc tìm kiếm lời giải của một số bài toán

3.7 Thực nghiệm sư phạm.

4 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu quan tâm đúng mức đến việc rèn luyện khả năng dự đoán, suy luận

có lý cho học sinh khá, giỏi trong dạy học Toán ở trường phổ thông, thì sẽ nângcao hiệu quả dạy học môn Toán, góp phần thực hiện tốt mục tiêu và nhiệm vụđổi mới PPDH Toán trong giai đoạn hiện nay

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

5.1 Nghiên cứu lý luận;

5.2 Điều tra, quan sát;

5.3 Thực nghiệm sư phạm.

6 ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN

6.1 Góp phần làm sáng rõ thêm vai trò của hoạt động dự đoán, suy luận

có lý bằng việc tổng hợp, phân tích các cơ sở lý luận của các nhà khoa học

6.2 Đề xuất được những quan điểm đối với việc rèn luyện cho học sinh

khả năng dự đoán, suy luận có lý

6.3 Hiện thực hóa được hoạt động dự đoán, suy luận có lý trong quá

trình tìm kiếm lời giải các bài toán

7 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

2 Mục đích nghiên cứu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

4 Giả thuyết khoa học

5 Phương pháp nghiên cứu

6 Đóng góp của luận văn

Chương 1 Một số vấn đề cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Bàn về mục tiêu đào tạo

1.2 Quan niệm về quá trình sáng tạo vai trò của trực giác trong quá

trình nhận thức và sáng tạo Toán học

1.3 Về các giai đoạn của tiến trình nhận thức khoa học

1.4 Quan niệm về dự đoán, suy luận có lý

1.5 Vai trò, ý nghĩa của dự đoán, suy luận có lý nhìn từ quan điểm

Khoa học luận

1.6 Đôi điều về sự thay đổi Chương trình và sách giáo khoa môn Toán

theo hướng tập cho học sinh dự đoán, suy luận có lý

1.7 Phân tích vai trò, ý nghĩa của dự đoán, suy luận có lý qua thực tiễn

giải Toán

1.8 Những hình thức dự đoán, suy luận có lý tương đối phổ biến trong

2.1 Bàn về định hướng đổi mới PPDH

2.2 Về một số phương pháp hoặc xu hướng dạy học đáp ứng yêu cầu

đổi mới PPDH

2.3 Hai mức độ thích hợp trong việc dạy cho học sinh dự đoán, suy

luận có lý

2.4 Những vấn đề nào thích hợp với dự đoán, suy luận có lý? Có phải

bao giờ cũng dùng dự đoán, suy luận có lý? Những bất cập của nó?

2.5 Những quan điểm chủ đạo trong việc tập luyện cho học sinh dự

đoán, suy luận có lý

2.6 Minh họa quá trình mò mẫm, dự đoán, suy luận có lý qua những ví

3.3 Nội dung thực nghiệm

3.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm

Kết luận

Tài liệu tham khảo

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Bàn về mục tiêu đào tạo

Về mục tiêu giáo dục, Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hànhTrung ương Đảng Cộng sản Việt Nam khóa VIII (1993) đã nêu rõ: "Mục tiêugiáo dục - đào tạo phải hướng vào đào tạo những con người lao động tự chủ,sáng tạo, có năng lực giải quyết vấn đề thường gặp, qua đó góp phần tích cựcthực hiện mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã hội côngbằng, dân chủ văn minh"

Chúng ta đang sống trong thời kỳ công nghiệp hóa, hiện đại hóa đấtnước, thời đại mà lượng thông tin phát triển mạnh như vũ bão Từ những năm

70 của thế kỷ XX, đã xuất hiện những lời nhận xét: "Khối lượng tri thức khoahọc tăng lên nhanh chóng một cách lạ thường, theo các nhà bác học, cứ 8 năm

nó lại tăng lên gấp đôi" (V A Cruchetxki, tr 112) Dòng thông tin khoa họcphát triển mạnh làm cho khoảng cách giữa tri thức khoa học nhân loại và bộphận tri thức được lĩnh hội trong nhà trường ngày một tăng thêm Do đó, thamvọng giáo dục sẽ truyền thụ cho học sinh tất cả tri thức đủ để đảm bảo cuộcsống sau này của học sinh là không tưởng V A Cruchetxki cũng từng nói:

"Không một trường học nào cung cấp cho con người đủ một phần tri thức dù

ít ỏi cần thiết" (V A Cruchetxki 1980, tr 113) Lượng tri thức đó phải là kếtquả của quá trình học tập lâu dài, “học nữa, học mãi”, học suốt đời chứ khôngphải chỉ khi còn ngồi trên ghế nhà trường Vì vậy, giáo dục không chỉ dạy trithức mà còn phải truyền thụ cho học sinh phương pháp tự học tích cực, độclập, sáng tạo, khả năng thích ứng tốt trong cuộc sống

Để đáp ứng được “đơn đặt hàng của xã hội”, nhà trường cần phải đổimới phương pháp dạy học: "Phải đổi mới phương pháp giáo dục - đào tạo,khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy sáng tạo của ngườihọc, từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào

quá trình dạy học" (Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban Chấp hành Trungương Đảng Cộng sản Việt Nam, Khóa VIII, 1997).

Về cách dạy, phương pháp mới quan tâm nhiều đến việc tạo ra niềmvui, hứng thú học tập cho học sinh Xem đó như là động lực để phát huy tính

tự giác, tích cực, chủ động trong quá trình học tập của học sinh, đặc biệt làniềm vui, hứng thú của một người tự mình tìm ra chân lý "Nếu học sinhđược độc lập quan sát, so sánh, phân tích, khái quát hóa các sự kiện, hiệntượng thì các em sẽ hiểu sâu sắc và hứng thú bộc lộ rõ rệt" Do đó trongphưong pháp giảng dạy, giáo viên cần phải “biết dẫn dắt học sinh luôn tìmthấy cái mới, có thể tự tìm lấy kiến thức, phải làm cho học sinh thấy mình mỗingày một trưởng thành” (Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên 2005, tr 2) Hơn nữa,thực hiện định hướng "hoạt động hóa người học", "học sinh cần được cuốnhút vào các hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó

tự lực khám phá những điều mình chưa biết, chứ không phải là thụ động tiếpthu tri thức đã được sắp sẵn Cần đặt học sinh vào những tình huống thực tế,trực tiếp quan sát làm thí nghiệm, thảo luận, giải quyết theo cách riêng củamình Qua đó học sinh vừa nắm được kiến thức mới, kỹ năng mới, vừa nắmđược phương pháp làm ra kiến thức, kỹ năng đó, không nhất thiết phải rậpkhuôn theo những mẫu sẵn có, được bộc lộ và phát huy tiềm năng sáng tạo"(Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên 2005, tr 3)

Như vậy, chức năng, vai trò của giáo dục ngày nay đã được "chuyểnsang vai trò nhà tổ chức giáo dục", PPDH mới đã chú trọng đến việc phát huytối đa tính tích cực, độc lập của học sinh, đề cao phương pháp tự học,

"chuyển quá trình giáo dục sang quá trình tự giáo dục" Xóa bỏ cách học cũtheo kiểu “thầy đọc, trò chép”, "học vẹt", "học tủ", "học thuộc lòng mà khônghiểu, không kích thích được học sinh suy nghĩ, tìm tòi, rèn luyện trí thôngminh", chuyển đổi chức năng từ thông báo, tái hiện sang tìm tòi "Để phát huy

tối đa tính tích cực học tập của học sinh, tốt nhất là tổ chức tốt những tìnhhuống có vấn đề, đòi hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa những ýkiến trái ngược" (Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên 2005, tr 4)

1.2 Quan niệm về quá trình sáng tạo và vai trò của trực giác trong quá trình nhận thức và sáng tạo Toán học

"Đối với một đất nước đi sau, lạc hậu như nước ta, dĩ nhiên đầu tiên làphải khiêm tốn học hỏi, cố gắng sử dụng, chuyển giao công nghệ để sớm cótrong tay các công nghệ cao Nhưng như vậy chưa đủ, vì công nghệ phát triểnnhư vũ bão Muốn cạnh tranh thì đất nước mình không chỉ lo đi học mà phảinghĩ đến sự sáng tạo ra những công nghệ mới Như vậy đứng ở góc độ giáodục - đào tạo, phải có biện pháp cụ thể giáo dục tư duy sáng tạo cho học sinh”(Nguyễn Cảnh Toàn 2002, tr 10)

Sáng tạo là một hoạt động đang rất được quan tâm trong giai đoạn hiệnnay Trong nghiên cứu khoa học, sáng tạo đóng vai trò quan trọng trong việc tìm

ra tri thức mới - như T Ribo đã nhận xét rằng, phần lớn các khoa học đều đượcxây dựng trên những quan sát, những giả thuyết và sự kiểm tra Các giả thuyết làkết quả của trí tưởng tượng sáng tạo, còn kiểm tra là thuộc về hoạt động suy lý

và tưởng tượng, cũng là quy về đấy (dẫn theo Đức Uy 1999, tr 81)

Khi nói đến hoạt động sáng tạo, người ta thường xuất phát từ địnhnghĩa được nhiều người công nhận là, một dạng hoạt động của con người màkết quả là sản phẩm mới có ý nghĩa, có giá trị xã hội, chẳng hạn: "Sáng tạo làhoạt động của con người nhằm biến đổi thế giới tự nhiên, xã hội phù hợp vớicác mục đích, nhu cầu của con người trên cơ sở các quy luật khách quan củathực tiễn Sáng tạo là hoạt động được đặc trưng bởi tính không lặp lại, độcđáo và duy nhất" (dẫn theo Trần Luận 1996, tr 175)

Theo Poăngcarê và Ađama, quá trình sáng tạo trải qua bốn giai đoạn:chuẩn bị, sự chín muồi (của ý tưởng), bừng sáng và kiểm chứng

Giai đoạn 1 Giai đoạn chuẩn bị cho công việc có ý thức Trong giai

đoạn này, nhà khoa học hình thành vấn đề đang giải quyết và thử giải quyếtvần đề đặt ra theo các cách khác nhau Vai trò của công việc có ý thức trongtrường hợp này là huy động các thông tin hữu ích còn tiềm ẩn mà việc sửdụng chúng có thể cho lời giải cần tìm Ở giai đoạn này, các yếu tố suy luận

và trực giác tìm kiếm lời giải cùng tồn tại và bổ sung cho nhau Tuy nhiên,yếu tố suy luận đóng vai trò chủ đạo

Giai đoạn 2 Giai đoạn ấp ủ Giai đoạn này được bắt đầu khi công việc

giải quyết vấn đề một cách có ý thức ngừng lại, công việc tiếp diễn lúc nàychính là hoạt động của các lực lượng tiềm thức Tuy nhiên, để “lôi cuốn” cáclực lượng tâm lý tiềm thức thì các cố gắng có ý thức ban đầu là điều kiện cầnthiết G Polia đã khẳng định: "Chỉ có những bài toán mà ta đã tập trung suynghĩ nhiều, thì khi trở lại mới được biến đổi sáng ra Những cố gắng có ý thức

và lao động trí óc là cần thiết để buộc tiềm thức làm việc …" (dẫn theo TrầnLuận 1996, tr 25)

Giai đoạn 3 Giai đoạn bừng sáng Giai đoạn 2 kéo dài cho đến sự

"bừng sáng" trực giác, một bước nhảy vọt về chất trong tiến trình nhận thức.Đây là giai đoạn quyết định của tiến trình kiếm tìm lời giải Sự "bừng sáng"của trực giác này thường xuất hiện đột nhiên, không thấy trước được Tuynhiên, đôi khi cũng có ngoại lệ Sự "bừng sáng" xuất hiện sau khi nhà Toánhọc đã có một sự dự cảm sẽ nhận được kết quả Có thể xem dự cảm là phương

án yếu của sự "bừng sáng" trực giác Cả hai phương án yếu (dự cảm) và mạnh(trực giác) cũng thường đánh lừa các nhà Toán học Theo V A Kapunin thìkhả năng xuất hiện sự "đánh lừa" càng lớn khi vấn đề đang giải quyết càng cơbản hoặc còn ít được nghiên cứu

Giai đoạn 4 Giai đoạn kiểm chứng Ở giai đoạn này, nhà Toán học

triển khai lập luận chứng lôgic và kiểm tra lời giải nhận được từ trực giác

Giai đoạn này là cần thiết vì tri thức nhận được bằng trực giác là chưa chắcchắn, có tính giả thuyết và như đã nói trên nó có thể "đánh lừa" các nhà Toánhọc Công việc của nhà Toán học trong giai đoạn này là hoàn toàn có ý thức

và rất tích cực

Trong bốn giai đoạn kể trên của quá trình sáng tạo, thì hai giai đoạnquan trọng nhất nhưng chưa được nghiên cứu đầy đủ và có nhiều quan điểmkhác nhau là giai đoạn ấp ủ và giai đoạn bừng sáng Và dường như các giaiđoạn này của quá trình sáng tạo đều ẩn chứa một vẻ đẹp toán học và phẩmchất thẩm mỹ của các nhà Toán học - như GS TS Nguyễn Cảnh Toàn đã

từng phát biểu trong cuốn Tập cho học sinh làm quen dần với nghiên cứu Toán học: "Ở những điểm "nút" có thể xuất hiện những khái niệm mới lạ, có

khi người làm Toán cần tư duy hình tượng, cần một trí tưởng tượng thật baybổng, thật táo bạo như là với một nhà văn viết chuyện viễn tưởng hay thầnthoại Để phát hiện ra vấn đề, nhiều khi người làm Toán cũng cần có óc thẩm

mỹ để thưởng thức cái đẹp trong Toán học, và từ chỗ thưởng thức cái đẹp đó

mà có ý muốn đi sâu vào cái thâm thúy bên trong" (Nguyễn Cảnh Toàn 1992,

tr 5)

* Vai trò của trực giác trong quá trình nhận thức và sáng tạo Toán học

Trong lịch sử Triết học, khái niệm trực giác đã được đề cập từ lâu và

đã có rất nhiều cách hiểu khác nhau

Theo Đại Bách khoa toàn thư Xôviết thì trực giác là năng lực nhận

thức được chân lý bằng xét đoán trực tiếp không có sự biện giải bằng chứngminh (dẫn theo Trần Luận 1996, tr 35)

Trực giác hiểu theo V A Cruchetxki: "Trong nhiều trường hợp, sựbừng sáng đột ngột của học sinh có năng lực có thể được giải thích bởi sự ảnhhưởng vô thức của kinh nghiệm quá khứ mà cơ sở của chúng là năng lực khái

quát hóa các đối tượng, các quan hệ, các phép toán Toán học và năng lực tưduy bằng các cấu trúc rút gọn".

Trong sơ đồ tâm lý nhận thức quá trình sáng tạo khoa học, kỹ thuật củaViện sĩ Xôviết B Kêđrôv, trực giác đóng vai trò là phương tiện chủ yếu đểthực hiện bước biến chuyển từ cái đặc thù (O) lên cái phổ biến và tính phổbiến (B) trong quá trình vận động đến chân lý của tư duy: E – O – B (E là kýhiệu của cái đơn nhất và tính đơn nhất)

Trực giác toán học được hiểu với nhiều nghĩa khác nhau và trên thực tếtồn tại nhiều dạng khác nhau Trực giác có thể coi là sự bừng sáng đột ngộtchưa nhận thức được, có thể là trực quan cảm tính "nhận thức trực tiếp khôngphải bằng suy luận của lý trí" (Từ điển Bách khoa toàn thư Việt Nam, tr 1369),

là sự "thấy trực tiếp" các khái niệm hoặc sự kiện trong các tình huống toán học(được hiểu theo nghĩa rộng bao gồm cả Toán học hình thức lẫn những tìnhhuống thực tiễn mang đặc trưng toán học) Cũng có khi, trực giác được xem làkết quả của sự vận động không có ý thức của cách thức hành động khái quát vàcấu trúc rút gọn Hiện tượng cuối cùng này về thực chất, theo B Kêđrôv chỉ làquá trình quy nạp và hoàn toàn có ý thức X L Rubinstêin khẳng định: Trongtiến trình dạy học, sự thay đổi các kết hợp được thực hiện liên tục theo hai hướngngược nhau: một mặt các mối liên hệ phức tạp lên (các mạch của kết hợp, các hệthống của chúng được hình thành các dạng thấp chuyển thành các dạng cao)",mặt khác, do quá trình lĩnh hội được tự động hóa nên xảy ra sự giản lược các kếthợp (các mối liên hệ trung gian mất đi, các dạng cao chuyển thành dạng thấp)(dẫn theo Trần Luận 1996)

Theo quan điểm của Iu M Kôliagin và đồng tác giả, thì trực giác làphương pháp đặc biệt của nhận thức được đặc trưng bởi cách hiểu trực tiếp về sựthật Thường được xếp vào lĩnh vực trực giác là những hiện tượng như đột nhiêntìm ra được một lời giải bài tập đã tìm nhiều nhưng chưa giải được, đột nhiên

tìm ra được phương pháp đúng đắn để tránh được sự nguy hiểm, giải ra một cáchnhanh chóng theo bản năng một vấn đề (Iu M Kôliagin 1980, tr 127) Gauss kểlại: "Việc giải bài toán mà tôi loay hoay trong vài năm không xong bỗng cuốicùng vụt đến cách đây hai hôm nhưng không phải nhờ những cố gắng vất vảcủa tôi mà nhờ sự phù hộ của Chúa … Cách giải quyết đã đến bất ngờ nhưmột tia chớp lóe sáng, tôi không thể nói được cái đã nối liền các kiến thứctrước kia của tôi với cái làm cho sự thành công của tôi có thể thực hiện được

là cái gì" (dẫn theo Đức Uy 1999, tr 82)

Việc "bất ngờ" có được cách giải quyết vấn đề mà tư tưởng đã phải vậtlộn lâu dài và vất vả đã được nhiều nhà khoa học nói tới Các nhà nghiên cứugọi đó là "trực giác", cái đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu khoa học

"Nếu ta ngẫm nghĩ các câu trả lời của các nhà bác học về câu hỏi: phát minhđược thực hiện như thế nào, những kiến thức khoa học mới về mặt nguyêntắc được hình thành như thế nào, ta thấy sợi chỉ đỏ xuyên qua tất cả các câutrả lời trên là quan niệm về vai trò quyết định của tưởng tượng và trực giác,rồi thành quả của họ sau này mới được sự xác nhận của cách chứng minhbằng lôgic và trở thành đối tượng của sự phát triển thêm nữa" (Đức Uy 1999,

tr 80)

Luiđơ Broilơ viết: "nhờ những bước nhảy vọt phi lý, ta có thể bẻ gãyđược cái vòng cứng nhắc, trong đó lối suy luận diễn dịch vẫn giam hãmchúng ta, phép quy nạp dựa trên tưởng tượng và trực giác cho phép ta thựchiện những chinh phục vĩ đại của tư duy; nó là cơ sở của tất cả những thànhtựu thực sự của khoa học …" (dẫn theo Đức Uy 1999)

Vai trò của trực giác trong sáng tạo khoa học còn ở chỗ nó có vị trí chủđạo trong những giai đoạn nhất định của sự sáng tạo khoa học, J Becnan đãnhấn mạnh như vậy Khi nêu đặc điểm về sách lược nghiên cứu khoa học vớitính cách nhất quán trong việc lựa chọn các vấn đề để giải quyết, ông đã chỉ ra

rằng tìm ra vấn đề thường khó khăn hơn nhiều so với việc giải quyết nó bởi vìviệc giải quyết có thể được nhờ có kinh nghiệm trong cách biện luận lôgic,còn phát hiện ra vấn đề thì chỉ có dựa vào trí tưởng tượng được thúc đẩy bởinhững khó khăn đã gặp phải (dẫn theo Đức Uy 1999, tr 84).

Lơsatơlie thì cho rằng, trực giác, cái mà ông gọi là trí xét đoán lànhmạnh, còn Pascal gọi là "óc tế nhị" là một trong ba đặc tính mà các nhà khoahọc đạt năng suất cao trong nghiên cứu khoa học thường có (năng khiếu quansát; sự liên tưởng ý niệm; trí xét đoán lành mạnh) Trong đó, trực giác đóngvai trò quyết định trong sự lựa chọn đối tượng nghiên cứu hay sự lựa chọn cácgiả thuyết làm chỗ dựa cho phần lớn các công trình nghiên cứu khoa học

Trong khoa học sư phạm, người ta đưa ra các đặc điểm của tư duy trựcgiác thông qua sự so sánh nó với tư duy phân tích Nhà tâm lý học Mỹ

J Bruner xem tư duy phân tích và tư duy trực giác như là những thành tố đốilập nhau của hoạt động sáng tạo J Bruner cho rằng tư duy phân tích tiêu biểu

ở chỗ từng giai đoạn của nó được biểu hiện khá rõ ràng và người suy nghĩ cóthể kể lại điều đó cho người khác Kiểu tư duy này thường được thực hiện vớimột chú ý tương đối đầy đủ về các thao tác hợp thành của nó Đối lập với tưduy phân tích, tư duy trực giác tiêu biểu ở chỗ không có những giai đoạn táchbạch cụ thể Nó có vẻ như là chỉ dựa trên cảm giác ngay toàn bộ vấn đề Conngười đạt được những đáp án có thể đúng hoặc sai, trong khi không nhận thứcđược nhờ quá trình nào mà anh ta nhận được đáp số Thông thường tư duytrực giác dựa trên sự quen biết những kiến thức cơ bản ở lĩnh vực đã cho vớicấu trúc của chúng Vì điều đó cho phép con người thực hiện được dưới dạngcác bước nhảy, sự chuyển tiếp nhanh chóng, sự bỏ qua các mắt xích riêngbiệt Những đặc tính này đòi hỏi sự kiểm tra các kết luận, bằng các phươngtiện phân tích, quy nạp hoặc suy diễn Ví dụ như trong vấn đề: Tìm diện tíchxung quanh của hình nón, một học sinh có tư duy trực giác đã suy nghĩ như

sau: Hình chóp được đặc trưng bởi các yếu tố bán kính của đường tròn đáy R,

độ dài đường sinh l, và h - độ dài đường cao (thực ra chỉ cần biết hai trong bayếu tố là đủ) Nhìn vào hình vẽ, ta tưởng tượng rằng với mỗi vị trí của S trêntrục đường tròn đáy ta được một hình nón Điều đó gợi cho ta xét vị trí đặcbiệt của S Khi S  0 (h  0), đường sinh l  R và mặt bên của hình nóntrùng với hình tròn đáy nên diện tích xung quanh (Sxq) = diện tích đáy = R2.Bây giờ chúng ta tăng dần chiều cao hình nón từ 0 cho tới h Lúc này ta

"thấy" rằng một bán kính đáy (đường sinh cũ) trở lại thành đường sinh, cònbán kính khác vẫn giữ nguyên (R1  l; R2 = R = const) Như nhận định banđầu Sxq của hình nón sẽ phụ thuộc vào 2 yếu tố l, R (vì h có thể tính qua R, l)

Mà trong trường hợp giới hạn Sxq = R2 = .R.R (*), sự thay đổi tình thế hìnhhọc dẫn tới vai trò của hai bán kính trong (*) khác nhau: một là bán kính thựccủa hình tròn đáy, còn một bán kính nữa là giới hạn của đường sinh Vậy S =

.R.R  .R.l hay Sxq = .R.l

Chắc rằng ai cũng nhận ra cách chứng minh trên đây là chưa chặt chẽ.Tuy nhiên, trực giác hình học của học sinh ấy rất đáng được trân trọng, dùrằng tư duy trực giác thực chất cũng chỉ đưa ra những kết luận mang tính chất

dự báo, dự đoán

Hiện nay, việc phát triển tư duy trực giác đang thu hút được sự chú ýcủa nhiều nhà sư phạm Họ đã chỉ ra vai trò của trực giác trong giảng dạyToán học: "Ở mức độ cao, trực giác toán học cho định hướng nghiên cứutrong các tình huống toán học mới không quen biết, dự đoán được kết quảnghiên cứu về đường lối tìm ra kết quả đó, phát hiện những sai lầm rõ ràng.Trực giác toán học là một nhân tố quan trọng trong quá trình nhận thức lôgic

0 R

Slh

các yếu tố toán học" (dẫn theo Đỗ Mạnh Hùng 1993, tr 25) Còn J Brunerđưa ra ý kiến rằng, trong dạy học trước hết cần phải hình thành cho học sinh

"sự hiểu biết cảm tính vật chất" và chỉ sau đó mới cho học sinh làm quen vớinhững phương pháp suy diễn thường dùng và hình thức hơn

1.3 Về các giai đoạn của tiến trình nhận thức khoa học

Sơ đồ ngắn gọn, rõ ràng và chung nhất của quá trình nhận thức đãđược V I Lênin nêu lên: "Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng rồi

từ tư duy trừu tượng trở về với thực tiễn Đó là con đường biện chứng củanhận thức chân lý, nhận thức thực tế khách quan" (Lênin toàn tập, tập 29, tr.153)

Chúng ta biết rằng, tri thức khoa học chỉ được xây dựng khi chủ thể(nhà khoa học) có động cơ giải quyết một vấn đề, tìm lời giải cho một câu hỏiđặt ra Việc giải đáp được câu hỏi này đòi hỏi xây dựng được cái mới chứkhông phải là sự lặp lại đơn thuần các kiến thức và cách thức hoạt động đãquen thuộc Cụ thể hơn, Razumovxki đưa ra những giai đoạn của phươngpháp nhận thức Đó là:

- Đặt vấn đề;

- Đề xuất giả thuyết;

-Suy ra hệ quả lôgic từ giả thuyết;

-Xác lập phương án kiểm tra giả thuyết; …

Về tiến trình nhận thức khoa học, có nhiều nhà bác học có uy tín như

A Enstein, M Plank, N Bohr, P I Kapitxa đưa ra những lời phát biểu tương

tự nhau Trên cơ sở những lời phát biểu đó, có thể nói rằng "tiến trình xâydựng tri thức khoa học là tiến trình đề xuất và giải quyết vấn đề Về bản chất

là tiến trình mô hình hóa, có mối liên hệ biện chứng giữa lý thuyết và thínghiệm, giữa suy diễn và quy nạp, giữa tư duy trực giác và tư duy lôgic"(Phạm Hữu Tòng 2001, tr 28)

Theo Phạm Hữu Tòng, việc tìm lời giải đáp cho một câu hỏi về mộttính chất hay một sự liên hệ phụ thuộc nào đó trong thực tế mà ta có thểphỏng đoán về sự tồn tại của chúng có thể được thực hiện theo con đườngxuất phát từ việc thiết kế phương án thí nghiệm khả thi cho phép thu lượmđược những thông tin cần thiết, thực thi thí nghiệm để thu lượm các dữ liệucảm tính trực tiếp, rồi nhờ kết hợp các hành động suy diễn và quy nạp để xâydựng nên kết luận xác nhận Nhưng trong quá trình phát triển của khoa học,trên cơ sở các kết quả nhận thức đã thu được, sẽ xuất hiện vấn đề đòi hỏi nhàkhoa học bằng trực giác xây dựng mô hình lý thuyết khái quát (xem như làmột hệ tiên đề) mà tùy đó có thể rút ra hệ quả lôgic cho phép giải thích cáckết quả nghiên cứu đã biết, và các hệ quả lôgic với tính cách là những môhình giả thuyết Những mô hình giả thuyết này cho phép tiên đoán những biến

cố thực nghiệm, mà việc thực thi thí nghiệm và phân tích các dữ liệu thu được

sẽ một mặt cho phép kiểm tra tính hợp thức hóa của chúng, đồng thời cả của

mô hình lý thuyết khái quát Đó là điều cần thiết cho sự xuất hiện tri thứckhoa học mới, và là cơ sở cho sự phát triển của các giả thuyết khoa học mộtkhi các thuyết cũ không còn phù hợp với thực nghiệm (Phạm Hữu Tòng 2001,

tr 29)

Trong khoa học Toán học, chúng ta không có khái niệm "thí nghiệm"như trong quy trình đã nêu, nhưng chúng ta có thể hiểu một cách tương tựrằng ở đây là kiến thức đã biết, những trường hợp đã được xác nhận, mà từđây, nhà khoa học thấy có thể tiếp tục hoàn thiện được, ví như là để xóa bỏmột sự hạn chế, có thể tổng quát được hay có thể đề xuất được một bài toántương tự … Cũng từ đây nhà khoa học đề xuất giả thuyết của mình Sau đó đểtăng thêm niềm tin vào giả thuyết, nhà nghiên cứu tìm cách rút ra hệ quả lôgiccho phép giải thích các kết quả đã biết Bước cuối cùng của quy trình nhận

thức khoa học là xác lập phương án kiểm tra giả thuyết Trong giai đoạn này,nhà khoa học tìm cách chứng minh hoặc bác bỏ giả thuyết đã đề ra.

Quy trình nhận thức khoa học trên cũng phù hợp với quá trình tư duy, cónảy sinh vấn đề, có diễn biến và kết thúc Quá trình tư duy bao gồm nhiều giaiđoạn kế tiếp nhau được minh họa bởi sơ đồ sau (do K K Plantônôv đưa ra):

(dẫn theo Nguyễn Văn Thuận 2004)

"Trong dạy học, nếu xét sự xây dựng một tri thức mới trong khuôn khổ

sự hình thành và phát triển của một học thuyết khoa học dựa trên cơ sở một môhình lý thuyết khái quát khởi đầu (có tính chất tiền đề) đã có, thì một vấn đềkhoa học có thể diễn đạt thành một bài toán Sự xây dựng tri thức khoa học mớichính là sự giải quyết bài toán khoa học này (Phạm Hữu Tòng 2001, tr 31)

Thông thường, khi giải một bài toán ở mức độ không tầm thường,nghĩa là không thể áp dụng ngay một thuật giải sẵn có nào đó ta thường phải

sử dụng một định lý, tính chất hay biến đổi biểu thức, … theo cách thích hợp.Một bài toán có thể giải được dễ dàng nếu phát hiện ra rằng sử dụng định lýnào là đúng hay biến đổi theo hướng nào là thích hợp Tuy nhiên, khi ra một

đề toán, người ta lại không chỉ dẫn sử dụng tính chất nào, biến đổi theo hướng

Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên tưởng

Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Khẳng định

Giải quyết vấn đề Hoạt động tư duy mới

nào, điều này phải do người giải tự nghĩ ra Muốn vậy, chúng ta phải bắt đầu

từ bước phân tích giả thiết và kết luận của bài toán, liên tưởng với tri thức đãhọc để dự đoán đưa ra phương án giải quyết Tuy nhiên, việc dự đoán ấykhông hẳn đã chính xác, nhiều lúc gặp thất bại vì không đi được đến kết quả.Cho nên trong số những dự đoán ấy, lại phải sàng lọc thêm để xem nghiêng

về bên nào Quyết định cuối cùng mà chúng ta áp dụng để giải là giả thuyếtcủa chúng ta về phương pháp giải đã được hình thành Bước tiếp đến là kiểmtra giả thuyết của mình Nếu khẳng định là đúng thì chính xác hóa lời giải bàitoán, còn nếu bác bỏ thì dẫn đến hoạt động tư duy mới (bắt đầu lại quá trình)

Ví dụ như đối với bài toán: "Tìm GTNN của biểu thức: S = a + 12

a với a 2", ta có lời giải:

Phân tích Lời giải Bài toán ta thấy rằng, các số xuất hiện trong biểuthức S đều là những số dương, hơn nữa Bài toán lại yêu cầu tìm GTNN nêngợi cho ta suy nghĩ sẽ đánh giá S theo chiều "" Gặp tổng các số hạng, yêucầu đánh giá theo chiều "", phải chăng bài toán sử dụng BĐT Cauchy đểgiải? Thế nhưng, khi xét tích của hai số này, đáng tiếc lại chưa phải là hằng

số Vì lý do đó mà cần biến đổi S để xuất hiện những số dương có tích khôngđổi Để có thêm cơ sở phân tích, ta xét một số trường hợp cụ thể của a:

a 2 3 4 5

4

289

6516

12625Nhìn vào bảng ta thấy: giá trị a càng lớn thì giá trị S càng tăng Do đó

8  8  8 và sử dụng BĐT Cauchy cho ba số: 2

a a 1, ,

Theo Phạm Văn Hoàn và đồng tác giả trong Giáo dục học môn Toán

thì: Phán đoán là một hình thức tư duy, trong đó khẳng định điều là một dấuhiệu thuộc hay không thuộc về một đối tượng Phán đoán có tính chất hoặcđúng hoặc sai và nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trường hợp đó mà thôi.Trong tư duy, phán đoán được hình thành bởi hai phương thức chủ yếu là trựctiếp và gián tiếp Trong trường hợp 1 (trực tiếp), phán đoán diễn đạt kết quảnghiên cứu của quá trình tri giác một đối tượng Trong trường hợp 2, phánđoán được hình thành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suy luận

Còn về dự đoán, trên thực tế chưa có một định nghĩa chính thức nàođược công bố, nhưng theo Đào Văn Trung mô tả: Dự đoán là một phươngpháp tư tưởng được ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu khoa học Đó là căn

cứ vào các nguyên lý và sự thật đã biết để nêu lên những hiện tượng và quyluật chưa biết Hay, dự đoán là sự nhảy vọt từ giả thuyết sang kết luận (ĐàoVăn Trung 2001, tr 242)

Không chỉ trong khoa học mà trong cuộc sống, dự đoán cũng được ứngdụng rất rộng rãi: đó là các kết luận quy nạp của các nhà Vật lý, những kếtluận gián tiếp của Luật gia, những dẫn chứng tài liệu của các nhà Sử học, cáckết luận thống kê của các nhà Kinh tế (cổ phiếu, … dự đoán để đầu tư) Nóichung, "để trở thành nhà Toán học giỏi hay người đánh bài cừ, hoặc mộtchuyên gia xuất sắc trong mọi lĩnh vực, bạn cần biết dự đoán tài" (G Polia

1995, tr 150)

Dự đoán có vai trò quan trọng như thế trong khoa học, trong cuộc sống,vậy liệu có cách nào học được dự đoán hay không? Theo G Polia thì trừnhững người được trời phú cho năng khiếu tự nhiên, còn lại chúng ta cần phảihọc tập để có được năng khiếu dự đoán đó Quá trình dự đoán có kết quả khiphán đoán mà chúng ta đưa ra gần với chân lý nhất, để làm được điều đó "cácbạn cần nghiên cứu dự đoán của mình, so sánh chúng với các sự kiện, đổidạng chúng đi nếu cần, và như vậy sẽ có kinh nghiệm phong phú (và sâu sắc)

về các dự đoán sai và các dự đoán đúng Với kinh nghiệm đó trong tiềm thức,các bạn sẽ có thể phán đoán một cách có cơ sở hơn, xem dự đoán nào đúng và

dự đoán nào sai" (G Polia 1995, tr 150,151)

1.4.2 Suy luận có lý

Suy luận là nhận thức hiện thực một cách gián tiếp, đó là quá trình tưduy xuất phát từ một hay nhiều điều đã biết, người ta đi đến những phán đoánmới (Phạm Văn Hoàn, 1981, tr 85)

Theo tác giả Hoàng Chúng trong Những vấn đề lôgic trong môn Toán ở trường THCS thì suy luận là rút ra mệnh đề mới từ một hay nhiều mệnh đề đã

có

Có hai loại suy luận: Suy luận chứng minh (hay còn gọi là suy diễn,suy luận diễn dịch) và suy luận có lý "Chúng ta củng cố các kiến thức Toánhọc của mình bằng các suy luận chứng minh, nhưng chúng ta hỗ trợ các giảthuyết của mình bằng các suy luận có lý Một chứng minh toán học là suyluận chứng minh còn các kết luận của các nhà Vật lý, những bằng chứng giántiếp của các Luật gia, những dẫn chứng tài liệu của các nhà Sử học, kết luậnthống kê của các nhà Kinh tế đều thuộc suy luận có lý" (G Polia 1995, tr 5).Vậy sự khác nhau giữa hai kiểu suy luận này là gì?

Suy luận chứng minh là suy luận theo những quy tắc (quy tắc suy diễn)xác định rằng, nếu tiền đề (các tiền đề) là đúng thì kết luận rút ra cũng đúng.Các quy tắc suy diễn nói đến ở đây là quy tắc suy diễn của Lôgic hình thức:

từ hai mệnh đề phức hợp A, B, nếu mệnh đề A  B là hằng đúng (bất kể cácmệnh đề thành phần P, Q của A, B lấy giá trị gì) thì ta nói đã có một phép suy

diễn với quy tắc suy diễn là A

B Trong suy luận, các quy tắc thường được sử

dung là Modus ponens, Modus tollens kết luận từ mệnh đề phổ biến, lựa chọnhội, bắc cầu của phép kéo theo … Muốn suy luận đúng nhất định phải tuântheo các quy tắc suy luận đó

Khác với suy luận chứng minh, suy luận có lý không tuân theo mộtquy tắc tổng quát nào để từ những tiền đề đã có, rút ra được một kết luận xácđịnh Nếu các tiền đề là đúng thì không thể nói rằng kết luận là đúng hay sai(Hoàng Chúng 1997, tr 60) "Suy luận chứng minh là suy luận đáng tin cậy,không chối cãi được và dứt khoát Suy luận có lý là suy luận bấp bênh, phảitranh cãi và có điều kiện" (G Polia 1995, tr 5)

Ví dụ:

Tiền đề 1: Số 212 chia hết cho 4

Tiền đề 2: Số 812 chia hết cho 4

Kết luận 1: Mọi số tận cùng bằng 2 đều chia hết cho 4

Kết luận 2: Mọi số tận cùng bằng 12 đều chia hết cho 4

Trong Ví dụ trên, từ hai tiền đề như nhau, ta đã rút ra hai kết luận khácnhau Kết luận 1 có được từ nhận xét hai số: 212 và 812 có những số tận cùng

là 2 Để rút ra kết luận 2 chúng ta lại xem hai số 212 và 812 có tận cùng là 12,các suy luận trên đều nghe có lý, nhưng rõ ràng các kết luận rút ra đều có tínhchất dự đoán, giả thuyết Trong Ví dụ trên, các tiền đề đều đúng nhưng Kếtluận 1 sai, Kết luận 2 đúng (tất nhiên tính đúng, sai của Kết luận không phải

có được từ hai tiền đề đã xét)

Thực ra, hiện nay vẫn chưa có một định nghĩa thống nhất nào về suyluận có lý Có thể tham khảo một vài định nghĩa Chẳng hạn trong Luận án,Tiến sĩ Đỗ Mạnh Hùng đã đưa ra khái niệm lý luận có lý qua sự so sánh nóvới suy luận hợp lý:

Suy luận có lý là suy luận bao hàm những khái niệm hoặc những khẳngđịnh không được xác định một cách thật chính xác và đơn trị, nhưng nếu ápdụng nó với độ chính xác thích hợp (trong hoàn cảnh mà nó được áp dụngvào) thì vẫn có khả năng dẫn đến kết quả "chấp nhận được"

Suy luận hợp lý là suy luận không chấp nhận được theo quan điểm củaToán học lý thuyết, nhưng nhờ các suy luận hợp lý mà ta có thể tìm tới đượccác kết luận đáng tin cậy Suy luận hợp lý là công cụ hữu hiệu để tìm tòi và

dự đoán Đồng thời, trong Toán học ứng dụng, sự có mặt của suy luận hợp lý

là tất yếu "Việc kết hợp giữa suy luận hợp lý và suy luận diễn dịch cho phépdẫn đến mục đích nghiên cứu đã định trước một cách trước nhất có thể được,

và mục đích đó không phải là xây dựng và phát triển cấu trúc lôgic mà là mộtphép giải chấp nhận được đối với vấn đề nằm ngoài Toán học"

Nội dung của suy luận hợp lý theo quan điểm được trình bày ở trên là

"gần gũi" với nội dung của suy luận có lý Sự gần gũi đó thể hiện ở nhữngkhía cạnh sau:

- Suy luận có lý và suy luận hợp lý là những suy luận không chấp nhậnđược theo quan điểm của Toán học lý thuyết;

- Suy luận có lý và suy luận hợp lý đều có khả năng dẫn đến kết quả

"đúng đắn" và đều là những công cụ đắc lực để tìm tòi, dự đoán

Luận án của Đỗ Mạnh Hùng nghiên cứu về lĩnh vực Toán học ứngdụng, do đó suy luận được nói đến trong đề tài là "suy luận hợp lý được phép

có mặt ở các chứng minh của Toán học ứng dụng", "có thể xem suy luận diễndịch là trường hợp đặc biệt, giới hạn của suy luận hợp lý" Đồng thời, trongToán học ứng dụng, những suy luận hợp lý có mức tin cậy đủ cao và suy luậndiễn dịch là có giá trị như nhau Thậm chí những suy luận diễn dịch mà "tốnkém" còn ít giá trị hơn những suy luận hợp lý có độ chính xác "thích hợp" và

"ít tốn kém hơn"

Nói như vậy thì suy luận hợp lý được phép có mặt ở các chứng minhcủa Toán học ứng dụng, miễn là suy luận hợp lý đảm bảo kết hợp được vớicác suy luận diễn dịch để đưa bài toán đến kết quả "thực tiễn chấp nhậnđược" Suy luận có lý không có đặc điểm này mà nó đơn thuần chỉ là những

dự đoán Đây là điểm khác nhau cơ bản giữa suy luận có lý và suy luận hợplý

Suy luận có lý là loại suy luận không chấp nhận được theo quan điểmcủa Toán học lý thuyết, điều này có thể giải thích bởi "Toán học là khoa họcsuy diễn … Toán học hoàn chỉnh được trình bày dưới hình thức hoàn chỉnhđược xem như chứng minh thuần túy (G Polia 1995, tr 4)

Trong Toán học, mọi thuộc tính của bất kỳ khái niệm nào cũng đều chỉđược suy từ định nghĩa hình thức của nó Do đó mỗi khẳng định chỉ được baohàm những khái niệm hoàn toàn xác định về mặt hình thức Các mối quan hệlôgic giữa các khái niệm này hoàn toàn xác định chính xác tính sai hay đúngcủa mỗi khẳng định đó Vì vậy chúng ta phải hiểu rộng ra rằng dự đoán, suyluận có lý chỉ hỗ trợ cho suy luận chứng minh trong quá trình phát hiện rachân lý.

Suy luận có lý có vai trò to lớn trong việc tìm tòi và dự đoán TheoBlekman và Mưxkit thì có thể đề xuất được một số dạng điển hình sau đâycủa suy luận có lý:

- Áp dụng những phát biểu có bao hàm các khái niệm không được địnhnghĩa một cách chính xác;

- Áp dụng những khẳng định đúng trong đại đa số các trường hợp củathực tiễn nhưng có thể sai trong những trường hợp riêng hiếm có;

- Những kết luận dựa vào tính tương tự hoặc dựa vào thực nghiệm;

- Những kết luận dựa trên cơ sở xem xét một số không đầy đủ cáctrường hợp riêng;

- Sử dụng các kết quả của phép giải gần đúng khi không có đánh giá cụthể, trong đó sai số được chứng minh một cách chặt chẽ (bằng suy diễn) Hiểurộng ra thì phương pháp suy luận này có thể bao hàm toàn bộ việc mô hìnhhóa toán học: Thay thế bài toán hiện thực bằng mô hình toán học của nó, cũngnhư tìm mọi cách giản ước bài toán sau khi đã phát biểu nó bằng ngôn ngữtoán học (dẫn theo Đỗ Mạnh Hùng 1993)

Trong Toán học, suy luận có lý thường thường thể hiện dưới các hìnhthức như: đặc biệt hóa, tương tự hóa, khái quát hóa, quy lạ về quen, …

1.5 Vai trò, ý nghĩa của dự đoán, suy luận có lý nhìn từ quan điểm khoa học luận

Trong chúng ta, chắc không ai phủ nhận vai trò của dự đoán, suy luận

có lý Như R Courant đã từng nói "Phương pháp suy diễn đúng là giúp chúng

ta bao quát nhanh một lĩnh vực rộng Song, phương pháp xây dựng đi từ cáiriêng đến cái chung sẽ dẫn dắt tới những tư duy độc lập, sáng tạo một cáchvững chắc hơn" (dẫn theo Hoàng Chúng 2000, tr 32) Hay như G Polia đã

phát biểu trong Toán học và những suy luận có lý: "Chúng ta củng cố các

kiến thức toán học của mình bằng các suy luận chứng minh, nhưng chúng ta

hỗ trợ các giả thuyết của mình bằng các suy luận có lý …"

"Bạn phải dự đoán về một định lý toán học trước khi bạn chứng minh

nó, bạn phải dự đoán về ý của chứng minh trước khi tiến hành chứng minhchi tiết Bạn phải đối chiếu các kết quả đã quan sát được và suy ra những điềutương tự; bạn phải thử đi thử lại Kết quả công tác sáng tạo của nhà Toán học

là suy luận chứng minh, là chứng minh; nhưng người ta tìm cách chứng minhnhờ suy luận có lý, nhờ dự đoán" (G Polia 1995, tr 6)

Chúng ta biết rằng, hoạt động nhận thức hay hẹp hơn, hoạt động tư duychỉ diễn ra trong tình huống có vấn đề, khái niệm mà ta thường dùng để chỉcác mâu thuẫn nảy sinh trong thực tiễn hay xét một cách nôm na, ta thườnggọi là bài toán Bài toán bao gồm hai hệ thống thông tin, hai bộ phận luônmâu thuẫn với nhau nhưng luôn có những liên hệ gắn bó với nhau: Thứ nhất

là "điều kiện" - bao gồm tất thảy những thông tin đã cho một cách hiển minhhoặc tiềm ẩn Nghĩa là sẽ biểu hiện sau những biến đổi nhất định cái điều kiện

có liên quan đến bài toán Còn bộ phận thứ hai là "yêu cầu" - gồm nhữngthông tin mà bài toán đòi hỏi phải tìm Giải bài toán là hoạt động trí óc gồmnhững thao tác đa dạng, phức tạp nhưng xét đến cùng thì luôn luôn là sự đốichiếu các điều kiện với các yêu cầu của bài toán; phân tích, lý giải các mốiliên hệ đã có để giải quyết những mâu thuẫn giữa điều kiện và yêu cầu Quátrình phân tích, lý giải này sẽ dẫn tư duy đến những mối liên hệ mới, phát

hiện những khía cạnh mới để lại làm nảy sinh mâu thuẫn mới với những liên

hệ mới Cứ như thế mà dần dần làm sáng rõ yêu cầu cần đạt của bài toán

Do thông tin cần cho việc giải toán còn ở dạng tiềm ẩn, cho nên, việc lýgiải thông qua con đường dự đoán, mối liên hệ giữa tập hợp các điều kiệnhiển minh, điều kiện tiềm ẩn với các yêu cầu của bài toán Sự khám phá dầncác điều kiện tiềm ẩn cũng chính là quá trình chứng minh, bổ sung hoàn chỉnhhoặc bác bỏ giả thuyết ban đầu, bởi vì nhờ làm sáng rõ các điều kiện tiềm ẩn

đó mà tư duy có thể nhìn thấy rõ hơn mối liên hệ thực giữa điều kiện và yêucầu Nó sẽ giúp ta thấy được dự đoán khả dĩ nào là đúng hướng và dẫn đượctới mục đích mà yêu cầu đặt ra

Quá trình lý giải, đối chiếu yêu cầu và điều kiện bài toán trong hoạtđộng tư duy của con người từng bước sẽ dẫn đến hai khả năng cơ bản:

Khả năng thứ nhất là sự lý giải dần của tư duy khi đi từ một bài toánmới lạ về một bài toán quen thuộc đã từng biết rõ cách giải quyết trước đó.Gặp khả năng này thì tư duy hướng vào việc sử dụng con đường giải quyếtbài toán quen thuộc để giải bài toán mới này (tái hiện)

Khả năng thứ hai là khi quá trình lý giải, đối chiếu không dẫn conngười đến bất kỳ một tình huống quen thuộc nào; lúc đó con người ta không

có cách nào khác là phải hoạt động tìm tòi, khám phá (trong đó sử dụngphương tiện chủ yếu là dự đoán, suy luận có lý) mà kết quả tư duy đi đến mộtgiải pháp hoàn toàn mới mẻ, một sự sáng tạo chưa từng có Con đường thứhai này rõ ràng là cực kỳ quan trọng, bởi vì nó đã đem đến cho loài ngườinhững thành tựu tuyệt vời là tạo ra cả thế giới khác hẳn những gì mà thiênnhiên cung cấp sẵn cho con người, làm phong phú hẳn gia tài văn hóa của xãhội Cũng chính con đường thứ hai này đã đưa quá trình học tập của học sinh

về gần hơn với quá trình tìm tòi, phát hiện, khám phá của chính các nhà khoahọc

Đối với quá trình dạy học; dự đoán, suy luận có lý nói riêng cũng thỏamãn cao nhất nhu cầu nhận thức vốn có, đem lại niềm vui, hứng thú nhậnthức không gì sánh bằng M Crugliăc đã nói: "Vai trò của sự tìm tòi trong họctập càng lớn bao nhiêu thì kết quả học tập càng cao bấy nhiêu, cả về mặt lĩnhhội tri thức lẫn về mặt phát triển trình độ tư duy" (M Crugliăc, … 1976, tr.84) Theo ông thì "Quá trình dạy học không phải chỉ bao gồm việc giáo viêntruyền thụ tri thức và học sinh ghi nhớ tri thức Tính hiệu quả của việc dạyhọc, đấy không chỉ là kết quả của thông tin mà học sinh thu nhận được từ bênngoài (từ lời nói của giáo viên, từ bài vở trong SGK) mà còn là sản phẩm củanhững hành động tìm tòi, của tư duy tích cực của bản thân các em" (M.Crugliăc, … 1976, tr 66).

Dạy học tìm tòi không gì tốt hơn là đưa học sinh vào chính cuộc tìm tòi

có hiệu quả của các nhà khoa học, tức là chuyển hóa sự tìm tòi thành phẩmchất cá thể học sinh, tựa như con đường mà loài người đã đi để khám phá, tìmkiếm và đã vật chất hóa thành các phát minh, phát kiến Trong khoa học, vấn

đề ấy tuy đã được giải quyết nhưng đối với bản thân học sinh, coi như các em

"khám phá lại" vấn đề "Lúc này sự chú ý và hứng thú của học sinh không chỉtập trung vào kết quả đạt được; vào kết luận đã có sẵn mà còn tập trung vàoquá trình, tức tiến trình của tư duy dẫn dắt ta đến một kết luận nào đó" (M.Crugliăc, … 1976, tr 65)

Rõ ràng niềm vui, hứng thú có tác động qua lại với tính tự giác, tíchcực chủ động trong học tập của học sinh; có ảnh hưởng rất lớn đến kết quảhọc tập của học sinh "Nếu tìm thấy niềm vui hứng thú trong một trạng tháitâm lý thoải mái thì học tập sẽ "vào" hơn" (Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên

2005, tr 2) Theo E P Bronnout thì một niềm hứng thú thực sự biểu hiện ở

sự bền bỉ, kiên trì và sáng tạo trong việc hoàn thành công việc dài hơi Nếuhọc sinh được độc lập quan sát, so sánh, phân tích khái quát các sự kiện, hiện

tượng thì các em sẽ hiểu sâu sắc và hứng thú bộc lộ rõ rệt Hứng thú ở đây làcảm giác ở người vừa tự mình khám phá ra cái mới, tự mình hoàn thành côngviệc (dẫn theo Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên 2005).

Trong quá trình khám phá, không phải lúc nào chúng ta cũng đi đúnghướng, cũng đưa ra được những phán đoán đúng Tính đúng, sai của các phánđoán còn cần phải được kiểm nghiệm bằng chứng minh rồi mới khẳng địnhđược Nhưng dù thế nào đi nữa thì dự đoán cũng có vai trò thúc đẩy sự pháttriển của Toán học Trong quá trình phát triển mấy ngàn năm của Toán học,các nhà Toán học đã không ngừng đưa ra những phán đoán và minh chứng

Có những phán đoán cho đến hàng trăm năm sau mới khẳng định được, chẳnghạn như Định lý Fermat lớn, … nhưng sự cố gắng để đi đến chân lý của cácnhà khoa học đã làm nảy sinh ra nhiều cái mới trong phương pháp, trong lĩnhvực lý thuyết

Tóm lại, dự đoán, suy luận có lý đóng vai trò quan trọng trong khoahọc Toán học Nó "không những đi đến phát hiện và sáng tạo mà còn dẫn đếnthành công" (Đào Văn Trung 2001, tr 243) Vậy phải làm thế nào để họcđược dự đoán suy luận có lý?

"Ai cũng biết rằng Toán học có khả năng tuyệt diệu dạy ta cách suyluận chứng minh, nhưng tôi cũng khẳng định rằng, trong các chương trình họctập thông thường của các trường học, không có môn học nào có khả năng nhưvậy để dạy chúng ta cách suy luận có lý" (G Polia 1995, tr 6)

Cũng theo G Polia thì không có một phương pháp bảo đảm tuyệt đốiviệc học thông thạo cách dự đoán Cho nên "áp dụng một cách có hiệu quảcác suy luận có lý là một kỹ năng thực hành, và kỹ năng đó cũng như mọi kỹnăng thực hành khác đều học được bằng con đường bắt chước và thực hành"(G.Polia 1995, tr 7) Vì không nêu thành phương pháp áp dụng cho đại đa sốcác bài toán, nên trong quá trình dạy học, giáo viên rèn luyện cho học sinh kỹ

năng dự đoán, suy luận có lý thông qua thực hành giải Toán Chẳng hạn, rènluyện kỹ năng đặc biệt hóa qua dạng bài tập tìm quỹ tích, hay để rèn luyệnnăng lực quy nạp, thay vì đưa ra bài toán ở dạng: chứng minh đẳng thức

12 + 22 + 32 + … + n2 = n.(n 1).(2n 1)

6

,chúng ta dấu đi một vế của đẳng thức cần chứng minh để cho học sinh thựchành dự đoán, tính tổng S = 12 + 22 + … + n2

1.6 Đôi điều về sự thay đổi chương trình và SGK môn Toán theo hướng tập cho học sinh dự đoán, suy luận có lý

Trong những năm 70 của thế kỷ này, với xu hướng toàn cầu "hiện đạihóa ở trường phổ thông", người ta coi trọng tính hệ thống, tính khoa học hiện đạicủa môn Toán Lúc đó, người ta rất chú trọng suy luận diễn dịch Xem "Hìnhhọc như là một hệ thống lôgic trong đó mọi điều đều được chứng minh, là rấtquan trọng để giáo dục thế giới quan khoa học, luôn đòi hỏi sự chứng minh chứkhông phải tuân theo uy quyền" (dẫn theo Hoàng Chúng 2000, tr 8) Thế nhưng

xu hướng "hiện đại hóa" này thất bại, đến mức có thể coi là "một thảm họađối với giáo dục phổ thông" và xu hướng đó đã được điều chỉnh ở mỗi nướcmột mức độ khác nhau, nhưng nhìn chung phần lớn SGK Toán (ở đây nghiêncứu kỹ hơn về SGK Hình học lớp 6, 7, 8) đều "có yêu cầu rất thấp về suy luậndiễn dịch, nhưng rất coi trọng phương pháp quy nạp, vẽ hình, đo đạc, khảo sáthình vẽ, …" (Hoàng Chúng 2000, tr 13) Chẳng hạn, trong một bộ sách Toáncủa Cộng hòa Pháp, nội dung Hình học được gọi là "thực hành Hình học" Ởcác lớp đệ lục và đệ ngũ, tương đương các lớp 6, 7 của Việt Nam, "yêu cầuchủ yếu là vẽ hình, đo đạc, luyện tập sử dụng các dụng cụ vẽ và đo, quan sát

và mô tả hình, qua đó hiểu được và vận dung được các khái niệm, rút ra đượcmột số tính chất của các hình"

Cuốn sách Hình học không hình thức trình bày Hình học có hệ thống,

với những vấn đề tương tự SGK Hình học THCS Việt Nam nhưng với yêucầu khác hẳn: chú trọng suy luận quy nạp, thực hành, thí nghiệm trên hình vẽ,xếp hình, đo đạc … qua đó "phát hiện" các định lý, hầu hết các định lý đềukhông phải chứng minh bằng suy diễn Ví dụ như Định lý về tam giác cânđược phát hiện qua cách khảo sát bằng gấp hình:

Hay như SGK Hình học 8 của Australia, chỉ có vài chứng minh đơngiản, còn phần lớn các tính chất của hình đều được rút ra qua quan sát vàthống kê nhiều trường hợp cụ thể, điển hình nhất có lẽ là SGK Hình học ởtrường trung học Mỹ, có giành hẳn một Chương cho nội dung "Suy luận trongHình học" với các nội dung:

"- Tìm hiểu chứng minh không chính thức;

- Giới thiệu lôgic suy luận;

- Tìm hiểu định nghĩa;

- Thừa nhận;

- Liên kết các bước trong chứng minh;

- Tìm hiểu các phán đoán dẫn đến chứng minh

A

B

CQ

SGK của Mỹ được xây dựng theo kiểu quy nạp, từ một hiện tượng nhưđặt vấn đề vào bài học, học sinh học tập bằng các hoạt động Qua hoạt động(cá nhân hoặc theo nhóm), học sinh đưa ra dự đoán từ đó tiếp cận dẫn đếnkiến thức Không đòi hỏi học sinh suy luận rắc rối Tiêu chí của họ là "lớphọc Toán sẽ phải trở thành phòng thí nghiệm của quá trình học tập Toán.Trong môi trường đó, học sinh thu thập dữ liệu, tìm kiếm mô hình, làm vàkiểm tra các dự đoán, giải thích động cơ và kết quả các hoạt động của họ"(dẫn theo Phạm Gia Đức, Phạm Đức Quang 2002, tr 14, 15).

So sánh với SGK Hình học cấp THCS ở Việt Nam, theo Hoàng Chúngthì, SGK Hình học THCS Việt Nam đặt ra yêu cầu chủ yếu là rèn luyện tưduy lôgic, suy luận diễn dịch cho học sinh Trong các cuốn SGK Hình học từlớp 6 đến lớp 9, chỉ thấy phần lớn là các hình hình học trừu tượng, các địnhnghĩa, định lý và chứng minh Ngay từ lớp 7 đã nêu "cái đích cần đạt là họcsinh biết lập luận có căn cứ" (Nguyễn Gia Cốc, Phạm Gia Đức 1999, tr 3)

Sang đến SGK Hình lớp 8, được "biên soạn theo hệ thống chặt chẽ, cónghĩa là:

- Mọi khái niệm được sử dụng rộng rãi trong SGK đều được địnhnghĩa tránh mô tả trực giác, xuất phát từ những định nghĩa đã biết trước đó;

- Mọi định lý đều phải được chứng minh, xuất phát từ những tính chấtchất đã được công nhận và từ những định lý đã biết nhờ phép chứng minh suydiễn" (Nguyễn Văn Bàng 2001, tr 8)

Trên đây là các nhận xét về bộ SGK của những năm 2002 về trước.Thực tế dạy học những năm ấy "ai cũng thấy yêu cầu về diễn dịch trong mônHình ở THCS là quá cao, không phù hợp tâm lý học sinh, học sinh không tiếpthu nổi và có tiếp thu được điều gì thì cũng chỉ là hình thức, học sinh ít hứngthú với môn học" (Hoàng Chúng 2000, tr 16)

Khắc phục nội dung nặng nề về suy luận chứng minh, SGK mới đã rútngắn khoảng cách khác biệt giữa SGK Việt Nam với SGK ở phần lớn cácnước trên thế giới Hoạt động của học sinh được đặc biệt chú trọng, giảmthiểu tình trạng nghe giảng thụ động và luyện tập áp dụng một cách máy móc.SGK mới chú trọng nhiều đến hoạt động tích cực, tư duy của học sinh kết hợp

"rèn luyện từng bước phương pháp làm việc và tư duy khoa học (quan sát,thực nghiệm, tìm tòi, dự đoán, lập luận có căn cứ, …)" (Hoàng Chúng 2000,

tr 17) Đơn cử như để dẫn đến Định lý "Tổng số đo 3 góc của tam giác bằng

1800", SGK cũ (trước 2002) giới thiệu nội dung Định lý, nêu giả thiết, kếtluận của Định lý và trình bày cách chứng minh Định lý Nhưng SGK mới(xuất bản 2003) lại tiếp cận Định lý bằng các hoạt động:

1 Vẽ hai tam giác bất kỳ, cho

học sinh dùng thước đo góc đo ba góc

của mỗi tam giác rồi tính tổng số đo 3

góc của mỗi tam giác, yêu cầu học

sinh nêu nhận xét về các kết quả trên

2 Cho học sinh thực hành cắt một tấm bìa hình tam giác ABC Cắt rờigóc B ra rồi đặt nó kề với góc A, cắt rời góc C ra rồi đặt nó kề với góc A nhưhình vẽ Hãy nêu dự đoán về tổng các góc A, B, C của  ABC

Sau đó SGK trình bày nội dung Định lý: tổng 3 góc của một tam giácbằng 1800, nêu giả thiết, kết luận của Định lý và vận dụng Định lý Cách trìnhbày Định lý trên của SGK là đã đi theo con đường có khâu dự đoán: tạo động

cơ, phát hiện Định lý, chứng minh và vận dụng Định lý Thật vậy:

Hoạt động 1 dựa trên hình ảnh thực tế, thực hành đo đạc trên mô hìnhthực tế, nhằm phát hiện (gần đúng) tổng 3 góc của một tam giác Mục tiêu củahoạt động này là làm cho học sinh nhận thấy rằng, kết quả đo đạc chỉ là gầnđúng, không phải là mọi người đều tìm thấy kết quả giống nhau, các kết quả

A

thu được đều hội tụ quanh giá trị 1800 Đó là con đường quy nạp để hìnhthành đối tượng, giúp học sinh tiếp cận chân lý một cách tự nhiên, không gò

ép, áp đặt

Hoạt động 2 cũng là một hoạt động thực nghiệm nhằm phát hiện Định

lý Về thực chất đã yêu cầu học sinh "dời" góc đỉnh B đỉnh C đến vị trí kề vớigóc đỉnh A Nhưng ở mức độ cao hơn là đã nghiên cứu hình học trong trạngthái vận động Sau khi ghép, quan trọng là học sinh phát hiện ra tổng 3 góc làmột góc bẹt, từ đó dự đoán định lý: A B Cˆ  ˆ ˆ = 1800 Một khía cạnh khác nữa

là, nếu gợi ý ghép góc đỉnh B, C theo vị trí so le trong sẽ gợi cho học sinhcách chứng minh Định lý ở hoạt động tiếp theo Vậy cách ghép hình cho ta trithức phương pháp về chiến lược chứng minh có tính chất tìm đoán Nhờ hoạtđộng 2, học sinh chứng minh được Định lý trên bằng cách kẻ thêm đường phụ(đường thẳng qua A và song song với BC)

Vậy từ trực giác, nhờ dự đoán, suy luận có lý mà học sinh đã có được

sự "bừng sáng" trong tư duy Sau đó muốn khẳng định điều dự đoán thì phải

sử dụng suy luận chứng minh

Còn sách giáo khoa THPT thì sao?

Cũng như bộ SGK mới bậc THCS, bộ SGK thí điểm (năm 2004 - 2005)bậc THPT không những cung cấp tri thức cho học sinh, mà còn trình bày rõràng các câu hỏi hướng dẫn, các hoạt động cho các em Cũng cần phải nóithêm rằng, SGK chỉ quy định nội dung chương trình dạy học, còn tri thứcgiáo khoa muốn đến được với học sinh phải qua sự gia công sư phạm củangười thầy giáo Sự đổi mới SGK thí điểm cho thấy đã có sự chú trọng đếnviệc phát huy hoạt động tích cực của học sinh Xem đó như là nhiệm vụ màmỗi giáo viên có trách nhiệm thực hiện (không như trước kia điều đó chỉ cóđược khi người giáo viên thực sự tâm huyết, vì học sinh mà trăn trở cho mỗi

bài dạy của mình) Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên Chương trình SGK thí điểm lớp 11 năm 2005 có đề ra:

"Để học sinh tích cực học tập, học sinh cần được cuốn hút vào các hoạtđộng học tập do giáo viên tổ chức chỉ đạo, thông qua đó tự lực khám phánhững điều mình chưa biết, chứ không phải là thụ động tiếp thu những trithức đã được sắp đặt sẵn, … Cần đặt học sinh vào tình huống thực tế, trựctiếp quan sát, làm thí nghiệm, tham luận, giải quyết vấn đề theo cách riêngcủa mình"

Thể hiện ý thức đó qua bài dạy "Công thức - nhị thức Newton", SGKchú trọng đến con đường hình thành tri thức mới cho học sinh Theo Tài liệuBồi dưỡng giáo viên dạy Chương trình SGK lớp 11 thí điểm (phần kiểm trađánh giá và bài soạn), giáo viên có nhiệm vụ hướng dẫn học sinh tiếp cận kiếnthức mới bằng con đường quy nạp:

- Dựa vào số mũ của a, b trong khai triển (a + b)2, (a + b)3 để phát hiện

Nếu như trước đây, chúng ta đưa ra công thức rồi chứng minh, sau đó

ra bài tập củng cố, thì bây giờ công thức được tự học sinh tìm ra, bằng việcxét một số trường hợp đặc biệt như n = 2, n = 3, giáo viên hướng dẫn học sinhđưa ra dự đoán của mình trong trường hợp tổng quát (a + b)n, sau đó mớichứng minh và thể chế hóa cho học sinh

Như vậy, chương trình SGK mới đã thể hiện được tinh thần phương phápdạy học mới: Chuyển từ chức năng thông báo, tái hiện sang chức năng tìm tòi.Kiến thức được đưa đến với học sinh thông qua hoạt động tích cực của họ

1.7 Phân tích vai trò, ý nghĩa của dự đoán, suy luận có lý qua thực tiễn giải Toán

Vai trò của dự đoán, suy luận có lý đã được nhà sư phạm người Mỹ G.Polia nhấn mạnh trong cuốn sách của ông: "Toán học được coi như là mộtmôn khoa học chứng minh Tuy nhiên, đó mới chỉ là một khía cạnh của nó.Toán học hoàn chỉnh, được trình bày dưới hình thức hoàn chỉnh xem nhưchứng minh thuần túy, chỉ bao gồm các chứng minh Nhưng Toán học trongquá trình hình thành gợi lại mọi kiến thức khác của nhân loại, bạn phải dựđoán về một định lý của Toán học trước khi bạn chứng minh nó, bạn phải dựđoán về ý của chứng minh trước khi tiến hành chứng minh chi tiết Bạn phảiđối chiếu các kết quả quan sát và suy ra những điều tương tự Bạn phải thử đithử lại " (G Polia 1997, tr 6)

Các tác giả của Giáo dục học môn Toán nhận xét: “Trong việc giảng

dạy và học tập môn Toán, việc tách rời giữa suy luận quy nạp và suy diễn lànguyên nhân rất cơ bản của việc kìm hãm sự phát triển tư duy sáng tạo củahọc sinh” (Phạm Văn Hoàn, 1981, tr 90)

Tuy nhiên, trong việc giảng dạy và học tập môn Toán hiện nay, do chỉchú trọng đến việc truyền thụ kiến thức nên SGK và bài giảng do giáo viênthiết kế đều trình bày cho học sinh những kiến thức toán học ở dạng có sẵn,thường không rõ ai phát minh vào lúc nào và bằng cách nào; nhiệm vụ củagiáo viên thường là giảng để học sinh hiểu rõ nội dung các kiến thức đó, rồidùng suy diễn lôgic để chứng minh chúng, vừa để cho học sinh tin kiến thức

đó là đúng, đồng thời cũng cho họ tập làm quen với chứng minh toán học.(Nguyễn Cảnh Toàn 1992, tr 5)

Nhận xét trên thật không quá chút nào với thực tế dạy học Toán hiệnnay Đành rằng cũng có nhiều giáo viên tâm huyết với nghề, luôn trăn trở để

có các bài giảng sinh động, hiệu quả, nhưng bên cạnh đó còn không ít giáo

viên vẫn chưa cải tiến được phương pháp dạy học của mình Vẫn còn theokiểu dạy học cũ - thầy đọc trò chép, truyền thụ một chiều Theo kiểu dạy họcnày, dường như hoạt động tư duy tích cực ở học sinh không được phát huy.Chẳng hạn đứng trước bài toán:

Cho 0 < a  1

2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 2a + 2

1aGiáo viên đưa ra cách giải:

Biến đổi S = 2a + 12

a = (a + a + 2 2

)8a 8a

Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương a, a, 12

Để dạy học sinh Bài toán trên, giáo viên phải làm tái hiện lại quá trình

"tìm tòi" lời giải mà mình đã trải qua:

Để tìm GTNN của S, ta phải đánh giá S  A, trong đó A là hằng số và

có tồn tại giá trị của a để cho S = A Nhìn lại những đại lượng có trong giả

thiết bài toán: 0 < a  1

2 , để dự đoán GTNN của S, hãy bắt đầu từ một số giátrị của a:

10

19

18

17

16

15

14

13

12

5

29

14

27

13

25

12

2 thì S nhỏ nhất Hơn nữa, như đã phân tích

ở trên, cần đánh giá S theo chiều "", S có dạng tổng của các số dương nênphải chăng sử dụng được BĐT Cauchy? Tất nhiên, đây cũng chỉ là dự đoán

Dự đoán ấy được khẳng định hay bác bỏ tùy thuộc vào người giải Toán có đitiếp được đến "đích" hay không

Nếu như áp dụng được BĐT Cauchy thì dấu "=" xảy ra tại a = 1

2 Lúc

đó kết hợp dấu "=" trong BĐT ta có:

8a Đến đây hướng giải quyết bài toán đã được

mở ra Vấn đề còn lại là trình bày lời giải Và tất nhiên, những dự đoán ấykhông nhất thiết phải trình bày trong bài giải, nhưng nếu thiếu những thao tác

tư duy ấy, liệu chúng ta có tìm ra được lời giải Bài toán hay không?

Ở Bài toán trên, S là biểu thức phụ thuộc một tham biến a, đương nhiên

có thể dùng công cụ đạo hàm để giải, nhưng đó không phải là điều mà Luậnvăn này muốn đề cập đến, chúng ta không nhất thiết phải dùng đến công cụ

"mạnh" đến vậy Hơn nữa, chúng ta quan tâm nhiều hơn đến quá trình tìm tòilời giải của học sinh