khoa học luận
Trong chúng ta, chắc không ai phủ nhận vai trị của dự đốn, suy luận có lý. Như R. Courant đã từng nói "Phương pháp suy diễn đúng là giúp chúng ta bao quát nhanh một lĩnh vực rộng. Song, phương pháp xây dựng đi từ cái riêng đến cái chung sẽ dẫn dắt tới những tư duy độc lập, sáng tạo một cách vững chắc hơn" (dẫn theo Hoàng Chúng 2000, tr. 32). Hay như G. Polia đã phát biểu trong Toán học và những suy luận có lý: "Chúng ta củng cố các kiến thức tốn học của mình bằng các suy luận chứng minh, nhưng chúng ta hỗ trợ các giả thuyết của mình bằng các suy luận có lý …"
"Bạn phải dự đoán về một định lý toán học trước khi bạn chứng minh nó, bạn phải dự đốn về ý của chứng minh trước khi tiến hành chứng minh chi tiết. Bạn phải đối chiếu các kết quả đã quan sát được và suy ra những điều tương tự; bạn phải thử đi thử lại. Kết quả cơng tác sáng tạo của nhà Tốn học là suy luận chứng minh, là chứng minh; nhưng người ta tìm cách chứng minh nhờ suy luận có lý, nhờ dự đốn" (G. Polia 1995, tr. 6).
Chúng ta biết rằng, hoạt động nhận thức hay hẹp hơn, hoạt động tư duy chỉ diễn ra trong tình huống có vấn đề, khái niệm mà ta thường dùng để chỉ các mâu thuẫn nảy sinh trong thực tiễn hay xét một cách nôm na, ta thường gọi là bài toán. Bài tốn bao gồm hai hệ thống thơng tin, hai bộ phận luôn mâu thuẫn với nhau nhưng ln có những liên hệ gắn bó với nhau: Thứ nhất là "điều kiện" - bao gồm tất thảy những thông tin đã cho một cách hiển minh hoặc tiềm ẩn. Nghĩa là sẽ biểu hiện sau những biến đổi nhất định cái điều kiện có liên quan đến bài tốn. Cịn bộ phận thứ hai là "yêu cầu" - gồm những thơng tin mà bài tốn địi hỏi phải tìm. Giải bài tốn là hoạt động trí óc gồm những thao tác đa dạng, phức tạp nhưng xét đến cùng thì ln ln là sự đối chiếu các điều kiện với các yêu cầu của bài tốn; phân tích, lý giải các mối
liên hệ đã có để giải quyết những mâu thuẫn giữa điều kiện và u cầu. Q trình phân tích, lý giải này sẽ dẫn tư duy đến những mối liên hệ mới, phát hiện những khía cạnh mới để lại làm nảy sinh mâu thuẫn mới với những liên hệ mới. Cứ như thế mà dần dần làm sáng rõ yêu cầu cần đạt của bài toán.
Do thơng tin cần cho việc giải tốn cịn ở dạng tiềm ẩn, cho nên, việc lý giải thơng qua con đường dự đốn, mối liên hệ giữa tập hợp các điều kiện hiển minh, điều kiện tiềm ẩn với các yêu cầu của bài toán. Sự khám phá dần các điều kiện tiềm ẩn cũng chính là q trình chứng minh, bổ sung hồn chỉnh hoặc bác bỏ giả thuyết ban đầu, bởi vì nhờ làm sáng rõ các điều kiện tiềm ẩn đó mà tư duy có thể nhìn thấy rõ hơn mối liên hệ thực giữa điều kiện và yêu cầu. Nó sẽ giúp ta thấy được dự đoán khả dĩ nào là đúng hướng và dẫn được tới mục đích mà yêu cầu đặt ra.
Quá trình lý giải, đối chiếu yêu cầu và điều kiện bài toán trong hoạt động tư duy của con người từng bước sẽ dẫn đến hai khả năng cơ bản:
Khả năng thứ nhất là sự lý giải dần của tư duy khi đi từ một bài toán mới lạ về một bài toán quen thuộc đã từng biết rõ cách giải quyết trước đó. Gặp khả năng này thì tư duy hướng vào việc sử dụng con đường giải quyết bài toán quen thuộc để giải bài toán mới này (tái hiện).
Khả năng thứ hai là khi q trình lý giải, đối chiếu khơng dẫn con người đến bất kỳ một tình huống quen thuộc nào; lúc đó con người ta khơng có cách nào khác là phải hoạt động tìm tịi, khám phá (trong đó sử dụng phương tiện chủ yếu là dự đoán, suy luận có lý) mà kết quả tư duy đi đến một giải pháp hoàn tồn mới mẻ, một sự sáng tạo chưa từng có. Con đường thứ hai này rõ ràng là cực kỳ quan trọng, bởi vì nó đã đem đến cho loài người những thành tựu tuyệt vời là tạo ra cả thế giới khác hẳn những gì mà thiên nhiên cung cấp sẵn cho con người, làm phong phú hẳn gia tài văn hóa của xã hội. Cũng chính con đường thứ hai này đã đưa q trình học tập của học sinh
về gần hơn với q trình tìm tịi, phát hiện, khám phá của chính các nhà khoa học.
Đối với quá trình dạy học; dự đốn, suy luận có lý nói riêng cũng thỏa mãn cao nhất nhu cầu nhận thức vốn có, đem lại niềm vui, hứng thú nhận thức khơng gì sánh bằng. M. Crugliăc đã nói: "Vai trị của sự tìm tịi trong học tập càng lớn bao nhiêu thì kết quả học tập càng cao bấy nhiêu, cả về mặt lĩnh hội tri thức lẫn về mặt phát triển trình độ tư duy" (M. Crugliăc, … 1976, tr. 84). Theo ơng thì "Q trình dạy học khơng phải chỉ bao gồm việc giáo viên truyền thụ tri thức và học sinh ghi nhớ tri thức. Tính hiệu quả của việc dạy học, đấy không chỉ là kết quả của thông tin mà học sinh thu nhận được từ bên ngồi (từ lời nói của giáo viên, từ bài vở trong SGK) mà cịn là sản phẩm của những hành động tìm tịi, của tư duy tích cực của bản thân các em" (M. Crugliăc, … 1976, tr. 66).
Dạy học tìm tịi khơng gì tốt hơn là đưa học sinh vào chính cuộc tìm tịi có hiệu quả của các nhà khoa học, tức là chuyển hóa sự tìm tịi thành phẩm chất cá thể học sinh, tựa như con đường mà loài người đã đi để khám phá, tìm kiếm và đã vật chất hóa thành các phát minh, phát kiến. Trong khoa học, vấn đề ấy tuy đã được giải quyết nhưng đối với bản thân học sinh, coi như các em "khám phá lại" vấn đề. "Lúc này sự chú ý và hứng thú của học sinh không chỉ tập trung vào kết quả đạt được; vào kết luận đã có sẵn mà cịn tập trung vào q trình, tức tiến trình của tư duy dẫn dắt ta đến một kết luận nào đó" (M. Crugliăc, … 1976, tr. 65).
Rõ ràng niềm vui, hứng thú có tác động qua lại với tính tự giác, tích cực chủ động trong học tập của học sinh; có ảnh hưởng rất lớn đến kết quả học tập của học sinh. "Nếu tìm thấy niềm vui hứng thú trong một trạng thái tâm lý thoải mái thì học tập sẽ "vào" hơn" (Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên 2005, tr. 2). Theo E. P. Bronnout thì một niềm hứng thú thực sự biểu hiện ở
sự bền bỉ, kiên trì và sáng tạo trong việc hồn thành cơng việc dài hơi. Nếu học sinh được độc lập quan sát, so sánh, phân tích khái quát các sự kiện, hiện tượng thì các em sẽ hiểu sâu sắc và hứng thú bộc lộ rõ rệt. Hứng thú ở đây là cảm giác ở người vừa tự mình khám phá ra cái mới, tự mình hồn thành cơng việc (dẫn theo Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên 2005).
Trong q trình khám phá, khơng phải lúc nào chúng ta cũng đi đúng hướng, cũng đưa ra được những phán đốn đúng. Tính đúng, sai của các phán đốn cịn cần phải được kiểm nghiệm bằng chứng minh rồi mới khẳng định được. Nhưng dù thế nào đi nữa thì dự đốn cũng có vai trị thúc đẩy sự phát triển của Tốn học. Trong q trình phát triển mấy ngàn năm của Tốn học, các nhà Toán học đã khơng ngừng đưa ra những phán đốn và minh chứng. Có những phán đốn cho đến hàng trăm năm sau mới khẳng định được, chẳng hạn như Định lý Fermat lớn, … nhưng sự cố gắng để đi đến chân lý của các nhà khoa học đã làm nảy sinh ra nhiều cái mới trong phương pháp, trong lĩnh vực lý thuyết.
Tóm lại, dự đốn, suy luận có lý đóng vai trị quan trọng trong khoa học Tốn học. Nó "khơng những đi đến phát hiện và sáng tạo mà cịn dẫn đến thành cơng" (Đào Văn Trung 2001, tr. 243). Vậy phải làm thế nào để học được dự đốn suy luận có lý?
"Ai cũng biết rằng Tốn học có khả năng tuyệt diệu dạy ta cách suy luận chứng minh, nhưng tôi cũng khẳng định rằng, trong các chương trình học tập thơng thường của các trường học, khơng có mơn học nào có khả năng như vậy để dạy chúng ta cách suy luận có lý" (G. Polia 1995, tr. 6).
Cũng theo G. Polia thì khơng có một phương pháp bảo đảm tuyệt đối việc học thơng thạo cách dự đốn. Cho nên "áp dụng một cách có hiệu quả các suy luận có lý là một kỹ năng thực hành, và kỹ năng đó cũng như mọi kỹ năng thực hành khác đều học được bằng con đường bắt chước và thực hành"
(G.Polia 1995, tr. 7). Vì khơng nêu thành phương pháp áp dụng cho đại đa số các bài toán, nên trong quá trình dạy học, giáo viên rèn luyện cho học sinh kỹ năng dự đốn, suy luận có lý thơng qua thực hành giải Tốn. Chẳng hạn, rèn luyện kỹ năng đặc biệt hóa qua dạng bài tập tìm quỹ tích, hay để rèn luyện năng lực quy nạp, thay vì đưa ra bài tốn ở dạng: chứng minh đẳng thức
12 + 22 + 32 + … + n2 = n.(n 1).(2n 1) 6
+ +
,
chúng ta dấu đi một vế của đẳng thức cần chứng minh để cho học sinh thực hành dự đốn, tính tổng S = 12 + 22 + … + n2.