"Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập đã cho" (G. Polia 1997, tr. 22).
Ví dụ như chúng ta đã đặc biệt hóa khi chuyển từ nghiên cứu đa giác (n cạnh) sang nghiên cứu những n đa giác đều và tiếp tục đặc biệt hóa khi chuyển từ đa giác đều sang tam giác đều (n = 3).
Chúng ta sử dụng đặc biệt hóa trong dự đốn, suy luận có lý như thế nào?. Để giải bài tốn, trước hết ta giải chúng cho một trường hợp đặc biệt, rồi thử dùng trường hợp đặc biệt này xem có giải được trong trường hợp đặc biệt khác hay trong bài tốn tổng qt khơng. Trước khi học sinh được học khảo sát hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), họ đã được nghiên cứu về hàm số y = ax2 (a ≠ 0). Do đó, để khảo sát hàm số bậc hai đầy đủ, ta tìm cách đưa về trường hợp đặc biệt Y = aX2 (bằng phép đổi trục tọa độ).
Ví dụ 1: Cho hai vịng trịn khơng đồng tâm. Tìm quỹ tích của những
điểm M sao cho tổng bình phương các độ dài đoạn tiếp tuyến kẻ từ M đến hai đường trịn là khơng đổi.
Gọi hai đường tròn là (O1, R1) và (O2, R2); T1, T2 lần lượt là các tiếp điểm của tiếp tuyến kể từ M tới (O1, R1) và (O1, R2).
Bài tốn trở thành: tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn: MT12+MT22=k2. Thoạt nhìn, nhiều học sinh chắc sẽ nhầm với một quỹ tích cơ bản, đó là quỹ tích tổng bình phương (MA2 + MB2 = k2). Để giải Bài toán, việc đầu tiên là cho các em phân biệt được sự khác nhau đó. Trong quỹ tích tổng bình phương thì A và B là 2 điểm cố định; cịn ở đây, T1 và T2 thay đổi. Nhưng liệu hai Bài tốn này có liên quan gì với nhau khơng?
Bước suy luận đầu tiên là: từ điều kiện 2 2 2
1 2
MT +MT =k nên MT1, MT2 không thể lớn vơ hạn, do vậy, quỹ tích khơng thể là đường thẳng, mà có thể là đoạn thẳng hoặc đường trịn (hay cung trịn).
Dễ thấy rằng, quỹ tích phải đối xứng qua đường nối tâm O1O2. Nhưng thật khó có thể vẽ một số điểm đặc biệt thuộc quỹ tích để có thể dự đốn rõ hơn về hình dạng về vị trí của quỹ tích. Ta hãy xét một trường hợp đặc biệt hơn của Bài toán: Khi (O1) và (O2) suy biến thành các điểm O1, O2. Quỹ tích những điểm có tổng bình phương khoảng cách đến hai điểm O1, O2 bằng một số khơng đổi là đường trịn tâm I, trung điểm O1O2.
Từ đó, ta dự đốn rằng, quỹ tích phải tìm cũng là đường trịn tâm I. Dự đốn đó gợi cho ta hướng biến đổi:
2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 MT MO R MT MO R = − = − Do đó: 2 2 2 1 2 MT +MT =k ⇔ 2 2 2 2 2 1 2 1 2 MO +MO −R −R =k
⇔ 2 2 2 2 2
1 2 1 2
MO +MO = +k R +R
Vậy dự đoán của chúng ta là đúng. Quỹ tích cần tìm là đường trịn tâm I, bán kính R = 1 2K2 O O1 22
2 − với K2 = k2 + R12+R22 >O O1 22.
Việc xét trường hợp đặc biệt: (O1), (O2) là các đường tròn - điểm không những giúp chúng ta dự đốn đúng quỹ tích, tìm được lời giải bài tốn, mà cịn trả lời được câu hỏi đặt ra ở đầu bài: Quỹ tích tổng bình phương là đặc biệt hóa của quỹ tích này.