- Tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của bản thân người học
2.5. Những quan điểm chủ đạo trong việc tập luyện cho học sinh dự đốn, suy luận có lý
đốn, suy luận có lý
Quan điểm 1: Cần chú trọng tập luyện cho học sinh dự đoán suy luận
có lý trong những tình huống thích hợp
Rèn luyện khả năng dự đốn, suy luận có lý là một trong những nhiệm vụ quan trọng, góp phần phát triển tư duy học sinh. Tuy nhiên, với cách dạy như hiện nay thì "tư duy và tính cách bị chìm đi trong kiến thức" (Nguyễn Cảnh Toàn 1997, tr. 15). "Do chỉ chú ý truyền thụ kiến thức mà không chú ý dạy cho học sinh tìm tịi kiến thức nên các phương pháp thực nghiệm, quy nạp rất bị coi nhẹ" (Nguyễn Cảnh Toàn 1997, tr. 98).
Lời nhận xét trên đây của GS. Nguyễn Cảnh Toàn đã phần nào cho thấy thực trạng dạy học Tốn hiện nay. Phải thừa nhận rằng, có nhiều giáo
viên tâm huyết với nghề, ln ln trăn trở để có những bài giảng sinh động, hiệu quả. Nhưng vẫn khơng ít giáo viên chưa cải tiến được phương pháp dạy học của mình - kiểu dạy học cũ - hiệu quả khơng cao, dường như khơng có những pha để học sinh tìm tịi, dự đốn. Chẳng hạn, đứng trước Bài tốn: "Giả sử x, y là hai số thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện x + y = 6, x ≥ 4. Hãy tìm GTNN của biểu thức x2 + y2".
Phần đa giáo viên đều đưa ra lời giải một cách khiên cưỡng: Vì x + y = 6, x ≥ 4 nên y ≤ 2; (x - y)2 ≥ 4. Mặt khác: x2 + y2 = 1 2[(x + y) 2 + (x - y)2] = 1 2[6 2 + (x - y)2] ≥ 1 2(6 2 + 4) = 20 Dấu "=" xảy ra ⇔ =x 4y 2=
Vậy GTNN của x2 + y2 là 20, đạt tại x = 4, y = 2.
Đương nhiên Lời giải mà giáo viên đưa ra là hoàn tồn đúng, nhưng khơng phải là tốt về phương diện phương pháp dạy học. Liệu học sinh sẽ học được gì từ Lời giải ngắn gọn trên, khi mà bản thân họ không hiểu tại sao giáo viên lại biết biểu diễn x2 + y2 qua (x + y)2 và (x - y)2 (x2 + y2 = 1
2[(x + y)
2 + (x - y)2]), trong khi có rất nhiều cách biểu diễn khác, tại sao cách giải của HS lại không đi đến kết quả, HS đã sai ở đâu?
Thực tiễn sư phạm cho thấy rất nhiều HS giải Bài toán này như sau: Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số (1, 1) và (x, y), ta có:
(1.x + 1.y)2≤ (12 + 12)(x2 + y2)
⇒ (x2 + y2) ≥ 1 2(x + y) 2 = 1 2.6 2 = 18 (vì x + y = 6) Vậy GTNN của x2+ y2 là 18.
Sai lầm của lời giải này là học sinh chưa sử dụng hết các điều kiện ràng buộc của Bài toán; chưa hiểu được một cách thấu đáo rằng, nếu biểu thức A ln có giá trị ≥ a thì chưa đủ để kết luận GTNN của nó là a (khi chưa khẳng định được dấu "=" xảy ra).
Có học sinh cẩn thận hơn trong khi trình bày lời giải. Em đã chứng minh như trên và dẫn đến x2 + y2≥ 18, sau đó đi tìm các số x, y thỏa mãn điều kiện đã nêu trong Bài toán sao cho x2 + y2 = 18.
Do nhận thấy hệ 2 2 x y 6 x 4 x y 18 + = ≥ + =
vô nghiệm, nên học sinh kết luận rằng, biểu thức x2 + y2 khơng có GTNN với những điều kiện của x, y trong Giả thiết.
Ở đây, em học sinh này lại mắc sai lầm khi cho rằng, A luôn lớn hơn hoặc bằng a thì GTNN của A nếu có, chỉ có thể là a; mà bây giờ A không thể bằng a được, dẫn đến kết luận A khơng có GTNN.
Thực ra, nếu A ln lớn hơn hoặc bằng a thì vẫn có thể A ln lớn hơn hoặc bằng một số b nào đó lớn hơn a. Mặc dầu A khơng thể bằng a nhưng lại có thể bằng b.
Vậy đấy! một bài toán mà chứa đựng bao nhiêu "vấn đề" đối với học sinh. Nếu như giáo viên vì sợ thiếu thời gian mà chạy theo số lượng bài tốn thì làm thế nào có thể sửa chữa những sai lầm đó cho học sinh, để dần dà sẽ dẫn đến tình trạng "sai lầm nối tiếp những sai lầm".
Chúng ta đều biết rằng, ở một mức độ nào đó, hoạt động của học sinh gần giống với hoạt động nghiên cứu của nhà khoa học. Trong khoa học, vấn
đề đó tuy đã được giải quyết nhưng với bản thân học sinh, xem như các em thực hiện quy trình "khám phá lại". Để đi đến những phát minh cho nhân loại, các nhà khoa học đã phải mò mẫm trong cả những sai lầm của họ, họ phải thử, sai và thử lại. Vậy thì trong quá trình giải Tốn, ai đảm bảo được các em khơng mắc phải sai lầm, như dân gian thường nói: Khơng có cái sai lầm sao biết được cái đúng. Để hoạt động dạy học có hiệu quả, giáo viên nên quan tâm đúng mức đến việc tạo ra những tình huống dễ mắc sai lầm để học sinh phát hiện và sửa chữa nó, "khơng được tiếc thời gian để sửa chữa sai lầm, thời gian ấy sẽ được trả cơng rất hậu, bởi vì nhờ đó mà tránh được mọi sự do dự và lẫn lộn! (G. Polia 1997, tr. 35).
Trở lại Bài tốn trên, để phát huy hoạt động tích cực, giáo viên nên để cho học sinh "mị mẫm trong những sai lầm của mình". Sau đó, định hướng cho học sinh thử một số trường hợp nhằm hình thành nên một điều dự đốn - làm cơ sở cho việc tìm ra lời giải của Bài tốn.
Nhìn lại Lời giải Bài tốn, có thể thấy khâu mấu chốt, cái "nút" chính ở chỗ biết biểu diễn x2 + y2 = 1 ( ) (2 )2
x y x y
2 + + − ; và chính dự đốn, suy luận
có lý đã gợi ý cho học sinh lựa chọn cách phân tích đó trong rất nhiều cách phân tích khác nhau. Thực tế dạy học cho thấy, rất nhiều giáo viên vì sợ thiếu thời gian nên thường áp đặt cho học sinh trước những thao tác như kẻ đường phụ; biến đổi thêm, bớt biểu thức; phân chia trường hợp riêng; ... mà bỏ qua giai đoạn tìm tịi dự đốn.
Thực ra, cho học sinh mị mẫm, tìm tịi dự đốn đúng là có tốn thời gian gian thật, nhưng "sẽ được đền bù nhanh chóng khi tư duy độc lập của học sinh đã được phát triển" (Hoàng Chúng, dẫn theo Nguyễn Văn Thuận 2004, tr. 65). Cụ thể hơn - M. Crugliắc đã nói: "Sự lĩnh hội chân chính chỉ có được khi nào ngoài sự hiểu biết về một sự kiện và quy luật của sự kiện ấy còn
hiểu được rằng, vì sao có hiện tượng ấy, cái gì chế ước nó, ..." (M. Crugliắc 1976, tr. 64).
Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) với hai dây cung song song AB và CD; M
là một điểm chạy trên đường tròn. Đường thẳng MD cắt đường thẳng AB ở Q. Tìm quỹ tích tâm đường trịn ngoại tiếp ∆MCQ.
M di động trên đường tròn nên gợi cho ta xét các vị trí đặc biệt của M: 1) Khi M tiến đến D thì cát tuyến MD tiến đến tiếp tuyến Dt của đường tròn (O);
Q là giao điểm của MD với AB sẽ tiến tới giao điểm T của AB và Dt, nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDT (giao điểm của các đường trung trực của CD và DT) là một điểm thuộc quỹ tích.
2) Khi M tiến đến C thì MC tiến tới tiếp tuyến Cs: trung trực của MC tiến tới đường kính qua C của đường trịn đã cho; MD tiến tới CD, song song với AB. Do đó M càng gần C bao nhiêu thì Q càng chạy ra xa trên đường thẳng AB và trung trực của CQ cung chạy ra xa mãi. Vậy M càng gần C bao nhiêu thì tâm đó càng chạy xa dọc theo đường kính qua C của đường trịn đã cho. Do đó, có thể dự đốn quỹ tích là một đường thẳng song song với đường kính CO. Mặt khác theo dự đoán trên, I là một điểm thuộc quỹ tích nên quỹ tích hẳn là đường thẳng qua I và song song với CO, tức là vng góc với CS. Dễ thấy tứ giác CDTS là hình thang cân nên I nằm trên trung trực của CS. Vậy phải chăng quỹ tích là trung trực của đoạn CS (?!).
Cơng việc cịn lại là xác minh điều dự đốn. Muốn chứng minh tâm đường trịn ngoại tiếp ∆MCQ luôn nằm trên trung trực CS, ta chỉ cần chứng minh tứ giác MCQS nội tiếp. Điều này khơng khó,
· ( ¼ » ) » · » ¼ » » = = ∈ = − ∈ 0 1 1 CSB s® CDB - CA s®CD 2 2 1 s®CD nÕu M CABD 2 CMQ 1 180 s®CD nÕu M CD 2
Vậy CSB vµ CMQ· · hoặc bằng nhau hoặc bù nhau tức tứ giác MCQS nội
tiếp.
Đối với Bài toán trên, nếu chỉ dựa vào hình vẽ từ giả thiết thì thật khó mà tìm được lời giải. Nhờ dự đốn, suy luận có lý mà chúng ta nghĩ đến việc kẻ thêm các đường phụ gồm: Tiếp tuyến tại C của (O); tiếp tuyến tại D; trung trực của CD. Dự đốn, SL có lý đưa chúng ta đi đến điều kỳ diệu là chỉ cần chứng minh tứ giác MCQS nội tiếp.
Trong dạy học, điều quan trọng nhất không phải ở chỗ giáo viên trao ngay cho học sinh một phương pháp chứng minh đúng, mà hơn thế là phải làm cho các em hiểu rõ mục đích của các bước chứng minh ấy - như G. Polia đã phát biểu "Khi đọc sách Tốn có hai điều mong muốn. Thứ nhất là xác nhận được bước chứng minh đang đọc là đúng; thứ hai là hiểu rõ được mục đích của bước đó.
Người nghe thơng minh khi nghe giảng Tốn cũng có điều mong muốn như vậy.
Một ông thầy hay một tác giả thơng minh phải có ý thức về hai điều đó. Tất nhiên cần phải viết và nói đúng, nhưng như thế chưa đủ. Một sự suy lý và trình bày đúng trong sách hay trên bảng vẫn có thể khó hiểu và chẳng có ích gì, nếu như, người đọc và người nghe không thể hiểu tác giả làm cách nào để có được sự chứng minh như vậy" (G. Polia 1975, tr. 152, 153).
Ms t