- Tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của bản thân người học
2.6. Minh họa quá trình dự đốn, suy luận có lý qua các ví dụ cụ thể
Trong thực tiễn giải Tốn, có rất nhiều bài tốn giải được nhờ thực hiện tốt khâu mò mẫm, dự đốn.
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng chứa tam giác ABC, tìm điểm M sao cho tổng
các khoảng cách từ M tới các đỉnh của tam giác là bé nhất.
Đây là một bài tốn khó, trước hết bởi Bài tốn khơng chỉ rõ trong mặt phẳng có tồn tại điểm M thỏa mãn điều kiện trên khơng, và nếu có thì đó là điểm nào. Vì vậy, chúng ra sẽ tìm cách dự đốn vị trí của điểm phải tìm (nếu có) bằng cách mị mẫm từ những trường hợp đặc biệt.
Nhận xét đầu tiên là tam giác chia mặt phẳng thành hai miền, miền trong tam giác (phần trong và trên các cạnh) và miền ngoài tam giác. Chúng ta thử xem có giới hạn lại được miền quỹ tích hay khơng?
Nếu M ở miền ngồi tam giác ABC thì hoặc là một trong ba đoạn MA, MB, MC cắt một cạnh của ∆ABC tại M'. Lúc đó MA + MB + MC > M'A + M'B + M'C; hoặc cả ba đoạn MA, MB, MC không cắt các cạnh của ∆ABC (điểm M1, xem Hình 1), lúc đó: MA + MB + MC > CA + CB. A M B C M1 M' Hình 1
A C C B K K' I I' J J' M
Vậy điểm cần tìm phải là điểm ở trong ∆ABC hoặc trên các cạnh của
∆ABC.
Ta bắt đầu từ trường hợp đặc biệt, khi ∆ABC là tam giác đều. Vì do tính đối xứng của tam giác đều mà điểm cần tìm, nếu có, sẽ có tính chất đối xứng đối với 3 đỉnh. Mặt khác, trong tam giác đều có một điểm đáng chú ý hơn cả, đó là O - vừa là tâm đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp, vừa là trọng tâm, trực tâm; nên ta thiên về dự đoán O là điểm cần tìm, nghĩa là, OA + OB + OC < MA + MB + MC với M là điểm bất kỳ khác O trong ∆ABC.
Chứng minh điều này khơng có gì khó: Từ M vẽ MI' ⊥ BC; MJ' ⊥ AC; MK' ⊥ AB. Ta có: OA + OI < MA + MI'
OB + OJ < MB + MJ' OC + OK < MC + MK'
Do đó: OA + OB + OC + OI + OJ + OK < MA + MB + MC + MI' + MJ' + MK'; mà OI + OJ + OK = MI' + MJ' + MK' (vì ∆ABC đều) nên OA + OB + OC < MA + MB +MC.
Như vậy, Bài toán đã cho đã được giải quyết trong trường hợp ∆ABC đều.
Chuyển sang trường hợp tổng quát với tam giác bất kỳ, khó khăn đầu tiên là dự đốn xem O là điểm nào? tâm đường trịn nội tiếp, trọng tâm hay trực tâm?, ...
Tiếp tục mò mẫm trên một trường hợp đặc biệt khác: Xem xét tam giác cân. Vì trong tam giác cân, các điểm đặc biệt đó đều nằm trên đường cao ứng với đáy nên có thể sẽ dễ khảo sát hơn.
•B B A C P Q G
Để dễ bề tính tốn, ta lại chọn tam giác vng cân có cạnh góc vng bằng đơn vị; trực tâm là đỉnh A; tâm đường tròn ngoại tiếp là điểm giữa G của BC; trọng tâm P; tâm đường tròn nội tiếp Q (H. 3).
GA + GB + GC = 2 22 2
+ > 2 = AB + AC Cho nên G, tâm đường trịn ngoại
tiếp ∆ABC khơng phải là điểm cần tìm. Tiếp tục so sánh: = = = = + + + = + = < = + 2 2 2 PA . 3 2 3 5 PB PC nªn: 3 2 2 5 2 2 5 PA PB PC 2 AB AC 3 3 3
Do đó A, trực tâm tam giác ABC khơng phải là điểm cần tìm. Ta cịn phải xét trọng tâm P và tâm đường tròn nội tiếp Q của ∆QBC. Có thể so sánh
tổng (PA + PB + PC) với tổng (QA +QB + QC) để loại trừ bớt một trong hai điểm P và Q. Nhưng việc so sánh này khá phức tạp. Ta có thể tiến hành cách khác, thử tìm cách chứng minh P là điểm phải tìm (nếu khơng được sẽ thử cho điểm Q).
Để sử dụng được kết quả đã tìm được với tam giác đều, ta vẽ tam giác đều A'BC có tâm O (H. 4), và như đã chứng minh trên ta có:
OA' + OB + OC < PA' + PB + PC, trừ vào hai vế cho AA' ta được: OA + OB + OC < PA + PB + PC
Tức P khơng phải là điểm cần tìm. Vậy phải chăng điểm cần tìm là điểm O?
Lấy M bất kỳ trong ∆ABC, M ≠ O ta có: OB + OC + OA' < MB + MC + MA' Hình 3 A' C B A O P • •
CB' B' A' A O B M B A' C M A
⇒ OB + OC + OA = OB + OC + OA' - AA' < MB + MC + MA' - AA' < MB + MC + MA.
(Vì MA' - AA' < MA)
Trong ∆ABC, điểm O có tính chất gì? Đó khơng phải là một trong các điểm mà ta đã dự đoán (trọng tâm; trực tâm; tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp) mà là điểm cùng nhìn các cạnh của ∆ABC dưới cùng một góc 1200. (Đây quả là một điều bất ngờ!).
Bây giờ ta xét Bài toán trong trường hợp tổng quát: Giả sử có điểm O sao cho: BOA COB AOC 120· =· =· = 0. Ta chứng minh OA + OB + OC < MA + MB + MC với M ≠ O.
Áp dụng kết quả của trường hợp tam giác vng cân: kéo dài OA về phía A, OB về phía B (H. 5) để có OA' = OB' = OC (giả sử OC > OA ≥ OB). Tam giác A'B'C đều nên: OA' + OB' + OC < MA' + MB' + MC.
Vì vậy: OA + OB + OC = (OA' - AA') + (OB' - BB') + OC < < MA' - AA' + MB' - BB' + MC < MA + MB + MC
(Vì MA' - AA' < MA; MB' - BB' < MB) ⇒ đpcm. Vậy nếu trong ∆ABC không có
điểm O nhìn 3 cạnh dưới cùng một góc, tức là nếu ∆ABC có góc ≥ 1200, thì điểm cần tìm là điểm nào?
Nếu A = 1200, ta có thể xem A như là một điểm "giới hạn", nhìn ba cạnh của
∆ABC dưới cùng một góc (A là giao của ba cung chứa góc 1200 vẽ trên ba cạnh vẽ
Hình 4
Hình 5
CA A
D M
B
B'về phía góc trong của ∆ABC) nên A là