rèn luyện và phát triển năng lực suy luận quy nạp cho học sinh trong dạy học toán ở trường phổ thông

Sau thời gian học tập và rèn luyện, để có kiến thức như ngày hôm nay, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán và trường ĐHSP Huế đã tận tình dạy dỗ, truyền đạt kiến th

Lời cảm ơn !

Sau thời gian học tập và rèn luyện, để có kiến thức như ngày hôm nay, tôi

xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán và trường ĐHSP Huế

đã tận tình dạy dỗ, truyền đạt kiến thức và tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp này.

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc đến thầy giáo

Trần Khánh Hưng, người đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong suốt quá

trình thực hiện khóa luận.

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy và các em học sinh trường THPT Nguyễn Đình Chiểu-Phong Điền- Huế đã đóng góp ý kiến giúp đỡ tôi để khóa luận này được hoàn thành.

Mục lục

2 Mối quan hệ cuâ phương pháp quy nạp với phương pháp

4 Mục đích của dạy học toán 13

5 Sơ lược tình hình rèn luyện quy nạp cho học sinh phổ thông 14

5.1 Sách giáo khoa với việc rèn luyện năng lực quy nạp cho họcsinh 14

5.2 Sơ lược tình hình rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh

1.2.3 Ví dụ minhhọa 23

3 Rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh qua giải bài tập toán 37

thích 37

3.2 Tác dụng đối với họctoán 38

Tại đại hội Đảng CSVN lần thứ IX năm 2001, trong chiến lược phát triểnkinh tế xã hội 2001-2010 có nhắc đến nhiệm vụ của giáo dục là: “ Đổi mớiphương pháp dạy và học, phát huy tư duy sáng tạo và năng lực tự đào tạo củangười học, coi trọng thực hành, thực nghiệm, ngoại khoá, làm chủ kiến thức,tránh học chay, học vẹt.”

Nhà toán học lớn của chúng ta, GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn đã khẳngđịnh: “Toán học là môn học hết sức thuận lợi trong việc rèn luyện tư duy logic,nhưng cách dạy của chúng ta lại chỉ chú ý rèn luyện khả năng suy diễn coi nhẹkhả năng quy nạp” (Gs Nguyễn Cảnh Toàn, thế giới mới số 53, năm 1993)

Trong “Phương pháp dạy học toán ở trường THCS” (xem [5], tr.36) GS.Hoàng Chúng có trích dẫn theo R.Courant: “Trong việc học tập toán, phươngpháp suy diễn đúng là giúp chúng ta bao quát được nhanh một lĩnh vực rộng.Song phương pháp xây dựng, đi từ cái riêng đến cái chung sẽ dẫn dắt tới những

tư duy độc lập và sáng tạo một cách vững chắc hơn.”

Theo GS Phạm Văn Hoàn, “Giáo dục học môn toán” (xem [14], tr.22):

“Tuy suy diễn logic đóng vai trò chủ yếu trong phương pháp toán học, nhưng vaitrò của quy nạp cũng không phải là không quan trọng Vai trò của quy nạp thểhiện trong khi xây dựng khái niệm mới, chọn lọc các tiên đề trước khi chứngminh một định lí, có thể nói rằng những lúc các nhà toán học dùng phương phápquy nạp là những lúc quan trọng trong sự phát triển toán học”

Mặc dù vậy trên thực tế dạy học, chúng ta chỉ mới chú trọng đến suy diễn,suy luận chứng minh, chứng minh mà chưa chú ý đến quy nạp, đến khả năng tưduy độc lập sáng tạo, phát hiện ra cái mới của học sinh Điều này sẽ được trìnhbày rõ hơn trong phần sau của khoá luận này

Là một sinh viên sư phạm toán, tôi mong muốn góp một phần nhỏ vào vấn

đề đổi mới phương pháp, nâng cao hiệu quả dạy và học, đáp ứng yêu cầu ngàycàng cao của khoa học kỉ thuật, của đời sống xã hội về con người lao động mới

phục vụ cho công tác xã hội sau này nên tôi chọn đề tài: “Rèn luyện và phát

triển năng lực suy luận quy nạp cho học sinh trong dạy học toán ở trường phổ thông”.

Đề tài khoá luận được thực hiện gồm 3 chương, cụ thể:

- Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn

- Chương II: Một số biện pháp thực hiện

- Chương III: Thực nghiệm sư phạm

4 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc tài liệu và vận dụng vào thực tế

- Đề xuất phương pháp và thể hiện trên thực tế

Chương I

cơ sở lí luận và thực tiễn

1 Một số khái niệm cơ bản

Trước khi đi vào nội dung chính của khoá luận, xin được làm rõ một sốkhái niệm cơ bản có liên quan

1.1 Phương pháp suy luận

Suy luận là một hình thức tư duy mà từ một hay nhiều phán đoán đã có(tiên đề) ta rút ra được một số phán đoán mới (kết luận) Suy luận là một quátrình nhận thức hiện thực gián tiếp Nói chung có hai loại suy luận cơ bản: suyluận suy diễn và suy luận quy nạp ( xem [13])

1.2 Suy luận suy diễn.

Suy luận suy diễn là cách suy luận đi từ cái tổng quát đến cái riêng, từ quyluật phổ biến đến trường hợp cụ thể Do vậy kết luận bao giờ cũng đúng Chẳnghạn một quy tắc suy luận thường dùng là:

A B A,

B



( tam đoạn luận khẳng định)

1.3 Suy luận quy nạp.

Theo từ điển toán học thông dụng (xem [7], tr 494), phương pháp quy nạp

là phương pháp suy luận dựa trên quan sát và thí nghiệm, xuất phát từ nhữngtrường hợp riêng lẽ, rồi mở rộng các kết quả có tính chất quy luật ra cho trườnghợp tổng quát Sau đây là các loại suy luận quy nạp

a) Quy nạp toán học

Quy nạp toán học là một phương pháp suy luận chặt chẽ, thực chất của nó

là suy diễn, nhưng nó chứa yếu tố quy nạp, cụ thể là bước thử trực tiếp mệnh đề

đúng với n= 0 (hoặc n = p) Phương pháp quy nạp toán học là một phương phápchứng minh quan trọng trong toán học, cơ sở của nó là nguyên lí quy nạp toánhọc (Phương pháp này được đưa vào chương trình đại số và giải tích 11).

b) Quy nạp hoàn toàn

Quy nạp hoàn toàn là suy luận trong đó kết luận chung, khái quát được rút

ra trên cơ sở nghiên cứu tất cả các đối tượng của lớp đó

Quy nạp hoàn toàn được đặc trưng bởi sự nghiên cứu toàn bộ các đốitượng thuộc phạm vi xem xét để rút ra kết luận chung về chúng Ta có sơ đồ kháiquát như sau:

tức là khi mỗi đối tượng của lớp S đều có tính chất P thì cả lớp có tính chất P.

Phương pháp này được đưa vào chương trình toán phổ thông ở dạng ẩn tàng

Ví dụ:

- Chương trình hình học 9, NXBGD 1994, tr.34 trình bày chứng minh địnhlí: Trong một đường tròn, số đo của một góc nội tiếp bằng nửa số đo của góc ởtâm cùng chắn một cung

- Chương trình hình học 10, sách giáo khoa thí điểm ban KHTN, NXBGD

2003, Đoàn Quỳnh tổng chủ biên, tr.42 trình bày chứng minh định lý sin trongtam giác:

c) Quy nạp không hoàn toàn.

Quy nạp không hoàn toàn là suy luận mà trong đó kết luận khái quátchung về lớp đối tượng nhất định được rút ra trên cơ sở nghiên cứu không đầy đủcác đối tượng của lớp ấy

Thực chất là việc nghiên cứu chỉ tiến hành cho một số đối tượng của lớpsong kết luận lại rút ra chung cho cả lớp đó Chúng ta dự đoán kết quả tổng quátsau khi mới chỉ xem xét một số trường hợp riêng mà thôi

Quy nạp không hoàn toàn không thể xem là một phương pháp chứng minhtrong toán học Nó chỉ là một phương pháp có hiệu lực để phát hiện chân lí mới,

có thể đưa đến kết luận đúng Chẳng hạn, để tìm công thức của tổng n số lẽ đầutiên, ta xét các trường hợp riêng:

Các kết quả này cho phép dự đoán 1 3 5 7 (2 1)      n n2, tức là tổng của

n số lẻ đầu tiên bằng n2 Đây là một kết luận đúng và chúng ta có thể chứngminh bằng quy nạp toán học Bên cạnh đó, phương pháp quy nạp không hoàntoàn cũng có thể đưa đến kết luận sai Ví dụ xét các số dạng 2 2n 1 (số Fermat).Cho n các giá trị 1, 2, 3 ta được các số tương ứng là 3, 17, 137 đều là các sốnguyên tố Do đó ta có thể nghĩ rằng tất cả các số Fermat đều là các số nguyên

tố Song kết luận này không đúng Với n = 4, Euler đã chỉ ra rằng 2 2 4  1 chia hếtcho 641 Nói tóm lại, kết quả tìm được bằng phương pháp quy nạp không hoàntoàn chỉ là một giả thuyết, chừng nào nó chưa được chứng minh

Trong toán học, phương pháp quy nạp hoàn toàn nói chung, chỉ được sửdụng một cách có giới hạn vì đa số mệnh đề toán học được bao gồm vô sốtrường hợp riêng Do đó nói chung không thể sử dụng phương pháp quy nạphoàn toàn được Còn phương pháp quy nạp không hoàn toàn, tuy kết luận của nó

có thể sai nhưng lại có ý nghĩa to lớn trong việc tìm tòi, dự đoán, tìm ra tri thứcmới

Polya khẳng định: Suy luận quy nạp là một trường hợp riêng của suy luận

có lí hay còn được giáo sư Hoàng Chúng gọi là “suy luận nghe có lí” Trongkhoá luận này chỉ dám đề cập đến quy nạp, chủ yếu là quy nạp không hoàn toàn

2 Mối quan hệ của phương pháp quy nạp với phương pháp suy luận suy diễn trong dạy học toán

Mục này được trình bày theo G.Polya (xem [4] ở Lời nói đầu)

Phương pháp quy nạp là một trường hợp riêng của suy luận có lí, còn suyluận suy diễn là một trường hợp riêng của suy luận chứng minh Để làm rõ mốiquan hệ của chúng, ta hãy xét mối quan hệ tổng thể của suy luận chứng minh vàsuy luận có lí

Trong toán học, chúng ta củng cố các kiến thức bằng suy luận chứng minhnhưng viện trợ các giả thuyết bằng các suy luận có lí

Một chứng minh toán học là suy luận chứng minh còn kết luận quy nạpcủa các nhà vật lí, hoá học hay sinh học, các bằng chứng gián tiếp của các luật

sư, những dẫn chứng tài liệu của nhà sử học và kết luận thống kê của nhà kinh tếhọc, đều thuộc về các suy luận có lí

2.1 Hai kiểu suy luận này hết sức khác nhau

a) Suy luận chứng minh là suy luận đáng tin cậy, không chối cãi được vàdứt khoát, còn suy luận có lí là suy luận bấp bênh, phải tranh cãi và có điều kiện

b) Đối với toán học cũng như các môn khoa học khác, vai trò của suy luậnchứng minh là như nhau, tuy nhiên tự nó (cũng như tự bản thân toán học) không

có khả năng cung cấp các hiểu biết căn bản mới về thế giới xung quanh Mọi cáimới mà chúng ta hiểu biết được về thế giới đều có liên hệ với suy luận có lí.

c) Suy luận chứng minh có những tiêu chuẩn chặt chẽ được ghi lại thànhluật và được giải thích bằng logic (logic hình thức hay logic chứng minh), logicnày là thuyết của các suy luận chứng minh Những tiêu chuẩn của các suy luận

có lí rất linh động và không một lí thuyết nào về các suy luận như vậy lại rõ ràngbằng logic chứng minh và có sự nhất quán như logic chứng minh

2.2 Hai loại suy luận này thống nhất với nhau

Mặc dù khác nhau như vậy nhưng hai loại suy luận này không mâu thuẫn

mà trái lại bổ sung cho nhau Trong suy luận chặt chẽ điều chủ yếu là phân biệtchứng minh với dự đoán, chứng minh có căn cứ với dự đoán không có căn cứ.Trong một suy luận có lí điều chủ yếu là phân biệt dự đoán với dự đoán, dự đoánhợp lí hơn với dự đoán ít hợp lí hơn Trong “toán học và những suy luận có lí”(xem [4] tr.6), Polya nhấn mạnh mối liên hệ chặt chẽ giữa suy luận chứng minh

và suy luận quy nạp như sau: “Toán học được xem là một môn khoa học chứngminh Tuy nhiên đó chỉ là một khía cạnh của nó Toán học, trình bày dưới hìnhthức hoàn chỉnh, chỉ bao gồm chứng minh (đó là cách trình bày trong các sáchgiáo khoa) Nhưng toán học trong quá trình hình thành gợi lại mọi kiến thứckhác của nhân loại trong quá trình hình thành Chúng ta cần phải dự đoán về mộtđịnh lí toán học trước khi chứng minh nó, phải dự đoán về đường lối và tư tưởngchủ đạo của chứng minh trước khi chứng minh, cần phải đối chiếu các kết quảquan sát được và suy ra những điều tương tự, phải mò mẫm và thử đi thử lạinhiều lần Kết quả công tác sáng tạo của nhà toán học là suy luận chứng minh, làchứng minh, nhưng người ta tìm ra cách chứng minh nhờ suy luận có lí, nhờ dựđoán Nếu việc dạy toán phản ánh ở mức độ nào đó việc hình thành toán học nhưthế nào thì trong việc giảng dạy đó phải dành chổ cho dự đoán, cho suy luận cólí”

Qua đó nhận thấy rằng, tuy phương pháp suy luận quy nạp và phươngpháp suy luận suy diễn có những nét trái ngược song chúng lại có mối quan hệmật thiết với nhau, thống nhất với nhau trong quá trình nhận thức Chúng là mộtcặp phương pháp luôn được áp dụng trong một thể thống nhất kế thừa và làmtiền đề của nhau, hỗ trợ cho nhau Vì nếu diễn dịch là đi từ cái chung đến cáiriêng, thì trước đó cần phải có quy nạp (quy nạp không hoàn toàn) để dự đoán racái chung đã Nói cách khác, quy nạp cung cấp nguyên liệu cho diễn dịch, diễndịch lại đặt ra nhu cầu mới cho quy nạp, khẳng định hay phủ định những dự đoán(giả thuyết) của bước quy nạp Cứ như thế, mỗi bước quy nạp sau, con người lại

đi gần thêm vào bản chất chung của sự vật, hiện tượng, hiểu biết càng nhiều vềbản chất chung của thế giới

Trong từ điển toán học thông dụng (xem [7], tr.496) đã khẳng định: “Suydiễn và quy nạp là hai phương pháp suy luận có liên quan mật thiết với nhau,mặc dù bề ngoài chúng có vẻ tương phản Mọi phép suy diễn đều bao hàm trong

nó yếu tố quy nạp, vì bất cứ suy diễn khoa học nào cũng đều bắt nguồn từ sựnghiên cứu các sự vật một cách quy nạp Ngược lại, phép quy nạp chỉ có giá trịkhoa học khi nó dẫn tới sự nhận thức của quy luật chung” Có thể nói: trong thực

tế, quy nạp và diễn dịch bao giờ cũng thống nhất với nhau trong quá trình nhậnthức

Ví dụ:

Bài toán định lí lớn Fermat: Phương trình x ny n z n (1) không có nghiệmnguyên khác không, với bất kì số nguyên n 3

Ta biết với n = 1: x+y = z có vô số nghiệm nguyên.

Với n = 2: x2 y2 z2 Ta biết rằng nếu a, b, c là các cạnh của một tamgiác vuông, với cạnh huyền a thì luôn có b2 c2 a2 Đây chính là nội dung định

lí Pythagore

Với n = 3: x3 y3 z3 là một trường hợp riêng của (1) được Euler chứngminh năm 1770

Với n = 4: x4 y4 z4cũng là một trường hợp riêng của (1) do chínhFermat chứng minh.

Mãi đến năm 1993 - 1994, Andrew Wiles, nhà toán học người Anh, saugần 350 năm mới chứng minh hoàn toàn định lí này

Lịch sử toán học đã để lại nhiều sự kiện thú vị xoay quanh các giả thuyết

có được bằng suy luận quy nạp không hoàn toàn Có những giả thuyết đã bị bác

bỏ, có nhiều giả thuyết đã được chứng minh, có những giả thuyết mà vài trămnăm sau vẫn không được chứng minh hay bác bỏ Tuy nhiên việc tìm cách chứngminh hay bác bỏ nhiều giả thuyết đã có tác dụng thúc đẩy sự phát triển của toánhọc Ví dụ “Một chân trời mới cho giả thuyết Gôn - bac”, (xem Toán học  Tuổitrẻ, số 7/2004)

3 Vai trò và tác dụng của phương pháp quy nạp trong dạy học toán.

“Chúng ta cần chú ý rằng toán học có thể xét theo hai phương diện Nếuchỉ trình bày lại những kết quả toán học đã đạt được thì nó là một khoa học suydiễn và tính logic nổi bật lên Nhưng nếu nhìn toán học trong quá trình hìnhthành và phát triển, trong quá trình tìm tòi phát minh thì trong phương pháp của

nó vẫn có mò mẫm, dự đoán, vẫn có “thực nghiệm” và quy nạp Phải chú ý cảhai phương diện đó mới có thể hướng dẫn học sinh hoc toán, mới khai thác đượcđầy đủ tiềm năng môn toán để thực hiện giáo dục toàn diện.” (Theo Nguyễn BáKim, Vũ Dương Thụy ở [9], tr.25)

Các tác dụng to lớn của việc rèn luyện và phát triển quy nạp với kết quảhọc toán của học sinh được thể hiện cụ thể như sau:

a) Nhờ quy nạp, ta có thể rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy nhưphân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hoá, đạc biệt hoá, trừu tượnghoá, không những cần thiết cho việc học toán mà còn cần thiết cho các mônkhoa học khác, cho công tác và hoạt động của con người

Ví dụ: Khi dạy học định lí cosin trong tam giác (hình học 10), người ta đi

từ tam giác ABC có góc A vuông để đi đến biểu thức 2 2 2

vụ thực tế, chẳng hạn trong xây dựng ta cần đo chiều cao của một cái cây mà yêu

cầu là không được chặt nó xuống, việc này người ta không thể đo đạc trực tiếp

mà phải mở rộng, nghiên cứu hình học, giải tam giác và sau đó tiến hành đo đạc,tính toán trên thực tế Đồng thời thấy được toán học bắt nguồn từ nhu cầu pháttriển của nội bộ toán học, của các ngành khoa học khác, thấy được mối liên hệgiữa toán học với thực tế và các ngành khoa học như vật lí, hoá học, sinh học, kĩthuật, kinh tế, Ví dụ như tri thức về tương quan tỉ lệ thuận biểu thị bởi côngthức y ax được sử dụng trong:

- Tính diện tích S của một thửa ruộng hình tam giác có một cạnh bằng a

với đường cao tương ứng h: 1

- bước đầu tiên để trở thành một nhà toán học, nhà khoa học vĩ đại trong tươnglai

Ví dụ: Khi dạy định lí đảo về dấu tam thức bậc hai theo sách giáo khoa thíđiểm, ta không đưa ngay nội dung định lí như đối với sách giáo khoa hiện hành(chỉnh lí hợp nhất 2000) mà ta dựa vào định lý dấu tam thức bậc hai với nhận xéttrường hợp af x   0 khi nào?

và dự đoán bằng quy nạp có nhiều tác dụng rèn luyện tư duy và gây hứng thúhọc tập cho học sinh”.

4 Mục đích của dạy học toán

Trong "Phương pháp dạy học môn toán" (xem [9], tr.45-62), GS.TSKHNguyễn Bá Kim đã nêu nhiệm vụ của dạy học toán ở trường trung học phổ thônglà:

- Truyền thụ tri thức, kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vàothực tiễn bởi thông qua bộ môn toán chúng ta có thể cung cấp cho học sinh một

hệ thống vững chắc các tri thức, phương pháp, kỹ năng đồng thời rèn luyện khảnăng vận dụng những hiểu biết toán học vào các môn học khác, vào đời sống laođộng sản xuất

- Phát triển năng lực trí tuệ chung như tư duy trừu tượng, tư duy logic, tưduy biện chứng, rèn luyện các thao tác tư duy như trừu tượng, phân tích, tổnghợp, so sánh, khái quát, ,các phẩm chất tư duy như tính linh hoạt, tính độc lậpsáng tạo,

- Giáo dục tư tưởng chính trị, phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ Môn toángóp phần bồi dưỡng cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, rèn luyệncác phẩm chất của người lao động mới trong học tập và sản xuất như tính cẩn

thận, chính xác, có mục đích, có kế hoạch, phương pháp, kỷ luật, sáng tạo, có ócthẩm mỹ,

Phương pháp quy nạp có tác dụng to lớn nhằm phục vụ đắc lực cho việcthực hiện các mục đích nêu trên Cụ thể:

- Qua thực hiện phương pháp quy nạp, học sinh tự mình tìm tòi, khám phá,rút ra các tri thức “mới” nên học sinh sẽ hiểu sâu, nhớ lâu các kiến thức dẫn đếnvận dụng tốt hơn

- Học sinh sẽ có kĩ năng thành thạo hơn, rèn luyện các thao tác tư duy, đặcbiệt là khái quát hóa, trừu tượng hóa, tương tự dẫn đến sáng tạo Ngoài ra họcsinh còn rèn luyện được các phẩm chất trí tuệ nêu trên, khả năng so sánh, lựachọn nhằm phát triển năng lực phê phán

- Ngoài ra học sinh sẽ có hứng thú học tập, có niềm tin trong sáng tạo vàkhám phá

5 Sơ lược tình hình rèn luyện quy nạp cho học sinh phổ thông

5.1 Sách giáo khoa với việc rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh

Rèn luyện và phát triển năng lực lập luận, chứng minh cho học sinh là mộtviệc phải làm thường xuyên của giáo viên trung học nhất là THPT

Vì vậy sách giáo khoa toán ở bậc học này đã trình bày kiến thức theo xuhướng tiên đề hóa nhằm tạo điều kiện cho giáo viên rèn luyện năng lực quantrọng này cho học sinh Ví dụ như việc yêu cầu học sinh biết chứng minh cáctính chất, định lý từ sớm ( ngay từ lớp 7)

Nhưng nếu không chú ý đúng mức đến việc rèn luyện phương pháp quynạp cho học sinh lại là một thiếu sót, như ý kiến của GS Nguyễn Cảnh Toàn cónêu: “Toán học là một môn học rất thuận lợi trong việc rèn luyện tư duy lôgic,nhưng cách dạy của chúng ta lại chỉ chú ý đến rèn luyện khả năng suy diễn, coinhẹ khả năng quy nạp”

Ngành Giáo dục và Đào tạo của nước ta trong mấy năm gần đây đã vàđang đẩy mạnh đổi mới phương pháp dạy học Sách giáo khoa cũng đang được

chỉnh sửa cho phù hợp với xu hướng này Sách giáo khoa thí điểm phân ban hiệnnay đã thay đổi cách trình bày kiến thức nhằm tạo cơ sở thuận tiện để giáo viênrèn luyện phương pháp quy nạp cho học sinh và thực hiện đổi mới phương phápdạy và học Cụ thể như sau:

a) Cố gắng giảm bớt tính áp đặt cho học sinh, tổ chức các hoạt động, dẫndắt để học sinh phát hiện vấn đề, so sánh, nhận xét, khái quát hóa hay trừu tượnghóa

Ví dụ 1: Trong chương trình toán 7, khi dạy định lý “Tổng các góc trongcủa một tam giác bằng 1800”

- Sách giáo khoa cũ đưa ngay định lý và chứng minh

- Sách giáo khoa mới:

+ Vẽ hai tam giác bất kỳ, và yêu cầu học sinh đo các góc của mỗi tam giác

đó, tính tổng số đo của ba góc mỗi tam giác, rồi nhận xét kết quả

+ Dùng tấm bìa cắt hình tam giác bất kỳ, cắt rời hai góc rồi đặt nó kề vớigóc còn lại Giáo viên yêu cầu học sinh dự đoán kết quả

+ Tạo một đường thẳng song song với đáy tam giác tại đỉnh và so sánhgóc mới tạo thành với tổng các góc trong của tam giác đó

Ví dụ 2: Khi trình bày định nghĩa hàm số ( Đại số 10)

- Sách giáo khoa hiện hành (Chỉnh lý hợp nhất 2000) đưa trực tiếp địnhnghĩa

- Sách giáo khoa mới (thí điểm): Đưa các ví dụ cụ thể từ hai đại lượng tỷ

lệ thuận: Quảng đường s đi được trong thời gian t, hay hai đại lượng tỷ lệ nghịch:thời gian hoàn thành một khối lượng công việc với năng suất thực hiện công việc

đó, bảng nhiệt độ trong năm của một tỉnh, thành phố nào đó

Qua đó giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích, tổng hợp để nhận biết: ởmỗi trường hợp đều có một đại lượng nhận giá trị trong một tập hợp số và mộtđại lượng nữa có giá trị tương ứng thuộc một tập hợp số thứ hai

Từ đó hướng dẫn học sinh nhận xét để rút ra dấu hiệu bản chất: Với mỗiphần tử x thuộc tập số A đều tương ứng với mỗi phần tử xác định y thuộc tậphợp số B

Sau cùng giáo viên gợi ý để học sinh phát biểu định nghĩa có nội dung nhưtrong sách giáo khoa

Ví dụ 3: Chẳng hạn như khi dạy bài vị trí tương đối của một mặt cầu vớiđường thẳng và mặt phẳng (Hình học 11):

- Trước tiên ta phải làm cho học sinh thấy được vì sao cần phải xét các vịtrí tương đối này? Do ở bài trước ta đã biết được vị trí tương đối của một điểmđối với một mặt cầu, mà đối tượng nghiện cứu của hình học không gian là điểm,đường thẳng và mặt phẳng Ta đã có vị trí tương đối của một điểm với một mặtcầu, giờ cần nghiên cứu vị trí tương đối của hai đối tượng còn lại (đường thẳng

và mặt phẳng) với mặt cầu

- Từ kết quả trong mặt phẳng về vị trí tương đối của đường thẳng vàđường tròn đã biết, bằng phương pháp tương tự ta xét vị trí tương đối của mặtphẳng và mặt cầu trong không gian

- Giới thiệu cho học sinh thấy các mô hình trong thực tế, ví dụ như khi bổmột quả cam hay xem xét vị trí tương đối của trái bóng với mặt nước của mộtchậu nước, cũng có thể giáo viên cho học sinh quan sát hình vẽ các vị trí tươngđối giữa mặt phẳng và mặt cầu

- Qua đó học sinh có thể rút ra kết luận cuối cùng về các vị trí tương đốicủa một mặt phẳng với một mặt cầu

Việc đổi mới này nhằm giúp học sinh không thụ động khi nghe giảng, họcsinh phải động não và hoạt động theo những mức độ khác nhau để có thể trả lờicác câu hỏi, qua đó thực hiện các hoạt động tích cực xây dựng bài học.

b) Sách giáo khoa hiện nay cũng đã cố gắng giảm bớt yêu cầu về tínhlogic của vấn đề mà chú trọng đến tính thực tế

Sách giáo khoa hiện nay đã cố gắng giảm nhẹ phần lý thuyết, chủ yếu làgiảm nhẹ các chứng minh của các tính chất hoặc định lí Các tính chất và định línày nhiều lúc rất hiển nhiên, hoàn toàn có thể thấy được bằng trực giác, nhưngthực ra chứng minh nó lại không đơn giản và không mang lại lợi ích gì nhiều.Chẳng hạn tính chất duy nhất của vectơ đối (hình học 10) Chúng ta chú trọnghơn đến tính thực tế, tính liên hệ thực tiễn sự cần thiết phải có chúng trong thựctế

Ví dụ 1: Trong chương trình toán 8, khi dạy về phương trình:

- Sách giáo khoa cũ đưa ngay định nghĩa bao gồm cả tập xác định củaphương trình

- Sách giáo khoa mới thì ngược lại, không đưa tập xác định vào ngay màđợi đến khi có vấn đề do không có tập xác định nên dẫn đến sai sót mới đưa vào,điều đó vừa có tác dụng nhấn mạnh cho học sinh, làm cho học sinh nhớ lâu, vừa

có tác dụng giải thích lí do, học sinh thấy được sự cần thiết của việc tìm tập xácđịnh của phương trình

Ví dụ 2: Dạy một tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn [a,b] (Đại số

- Sách giáo khoa thí điểm do Trần Văn Hạo tổng chủ biên, tr 190-191 saukhi nêu định lí 2 (định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục) có nêu ý nghĩahình học của định lý, nhắc lại một hình ảnh thưc tế để nêu lên hệ quả khi đườngthẳng y = m lại là y = 0 (trục hoành).

Tóm lại, sách giáo khoa thí điểm :

- Đã chú ý nhiều khi xây dựng kiến thức toán qua con đường quy nạp - thểhiện một yêu cầu cần phải đạt dược trong khi dạy học toán, đồng thời cũng làmột gợi ý để khuyến khích chúng ta tìm nhiều cách dạy thích hợp khác nhằmthực hiện được yêu cầu này

- Cách xây dựng như vậy ở lớp 10 rõ nét hơn, nhiều hơn so với lớp 11.Đây cũng là một điều dễ hiểu, vì phải phù hợp với sự phát triển tâm sinh lí củahọc sinh

5.2 Sơ lược tình hình rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh ở trường phổ thông

a) Qua trao đổi, dự giờ chúng tôi nhận thấy một trong những yếu điểm củahoạt động dạy và học của chúng ta là phương pháp dạy – học, phần lớn là kiểuthầy giảng trò ghi, thầy đọc trò chép, vai trò của học sinh có phần thụ động.Phương pháp đó làm cho học sinh có thói quen học vẹt, thiếu suy nghĩ sáng tạo,thói quen học lệch, học tủ, học để đi thi mà thôi

Trước đây khi sử dụng sách giáo khoa cũ, giáo viên cũng đã cố gắng tìmtòi làm cho toán học gần gũi với thực tế, giảm bớt yêu cầu chặt chẽ, cứng nhắchơn cho học sinh song cũng chưa nhiều và chưa đầy đủ, phương pháp quy nạpvẫn chưa được sử dụng hiệu quả và khai thác triệt để

Tuy nhiên, trong những năm gần đây, khi chúng ra đẩy mạnh phươngpháp dạy và học, chú trọng đến tính tích cực, tự giác, sáng tạo, tính linh hoạttrong tư duy của học sinh, đặc biệt là có sự tiếp cận, ứng dụng rộng rãi khoa học

kĩ thuật và công nghệ thông tin vào dạy học, phương pháp quy nạp đã được sử

dụng nhiều hơn, rộng rãi hơn Ví dụ như nhờ ứng dụng của các phần mềm toán

học (Maple, Geometer’s Sketchpad, Geospack, ), giáo viên có thể biểu diễn trực

quan cho học sinh thấy được các hình ảnh không gian 2 chiều, 3 chiều, các hìnhảnh động, qua đó học sinh dễ dàng phát hiện, dự đoán các kiến thức “mới” phùhợp với trình độ theo yêu cầu của nội dung chương trình giảng dạy Đặc biệt làsách giáo khoa thí điểm khi đưa vào thực hiện đại trà sẽ là một chổ dựa tin cậycho giáo viên tiến hành rèn luyện và phát triển phương pháp quy nạp cho họcsinh

b) Kết quả cuộc thăm dò ý kiến về việc rèn luyện năng lực quy nạp chohọc sinh trong dạy học toán của giáo viên tại 3 trường: trung học phổ thôngNguyễn Đình Chiểu - Phong Điền - Huế, trung học phổ thông Hải Lăng - QuảngTrị và trung học phổ thông Đào Duy Từ - Đồng Hới - Quảng Bình cũng đã thuthập được nhiều số liệu đáng lưu ý:

*) Tất cả giáo viên được phỏng vấn đều nhất trí cho rằng: việc rèn luyệnnăng lực suy luận quy nạp cho học sinh là cần thiết, thậm chí rất cần thiết, khôngthể xem nhẹ Điều này rất có ý nghĩa, vì đó là một tiền đề quan trọng cho việcrèn luyện năng lực này khi học theo sách giáo khoa thí điểm

*) Nhưng các giáo viên cũng đã thấy được những khó khăn sẽ gặp phảikhi tiến hành rèn luyện và phát triển năng lực quy nạp cho học sinh như sau:

Tuy nhiên, khá nhiều giáo viên đều nhất trí là phải nâng cao năng lựcchuyên môn, phải phấn đấu thi đua đổi mới phương pháp dạy học Đồng thời họcũng mong cấp trên sẽ điều chỉnh sao cho phù hợp giữa số lượng kiến thức, yêucầu đạt được và thời gian thực hiện (kể cả thời gian chữa bài tập cho học sinh).

*) Đại đa số giáo viên đều nhận thấy tác dụng to lớn nếu rèn luyện đượccho học sinh năng lực quy nạp, đặc biệt là: học sinh hiểu bài dễ dàng hơn, hiểusâu và nhớ lâu những điều do tự mình thu nhận, tự mình chủ động tìm tòi, pháthiện ra

*) Hầu hết giáo viên cũng cho rằng khi sử dụng phương pháp quy nạptrong giờ học nên tập trung vào những kiến thức trừu tượng, khó hình dung,những tiên đề định lí không chứng minh

*) Rất nhiều giáo viên cũng cho rằng cần lưu ý rèn luyện cho học sinh cácthao tác tư duy, đặc biệt là tập cho họ khái quát, dự đoán và nêu giả thuyết

Chương 2

Một số biện pháp thực hiện

Phương pháp quy nạp được tiến hành theo con đường từ thực tiễn , từ các

ví dụ minh họa, các kiến thức cũ, các vấn đề đặt ra, các trường hợp đặc biệt, cùng với hệ thống câu hỏi, sự hướng dẫn của giáo viên, học sinh nhận xét để rút

ra các khái niệm, các định lí, các kiến thức mới

Để rèn luyện năng lực quy nạp, khả năng sử dụng phương pháp suy luận

cho học sinh, ta cần thực hiện một số biện pháp sau đây:

1 Làm cho học sinh biết và thực hiện được các thao tác tư duy thường gặp 1.1 Phân tích và tổng hợp

Đây là hai thao tác trái ngược nhau nhưng lại liên hệ chặt chẽ với nhautrong một thể thống nhất

1.1.2 Tác dụng của việc thực hiện các thao tác trên trong dạy học toán

- Giúp học sinh hiểu sâu và đầy đủ những thuộc tính, những trường hợpriêng lẽ nằm trong một khái niệm, một định lí,

- Từ những thuộc tính riêng lẽ đó học sinh tổng hợp lại để nhận biết chínhxác, đầy đủ một khái niệm, một định lí,

- Đây là hai thao tác cơ bản luôn luôn được sử dụng để tiến hành các thaotác khác

1.1.3 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khi dạy khái niệm “ hàm số f(x) liên tục tại điểm x 0” Giáo viên

có thể tiến hành như sau:

- Kiểm tra bài cũ bằng cách yêu cầu học sinh làm các bài tập sau:

- Hàm số có tính chất như ở 1) được gọi là hàm số liên tục, từ đó học sinh

tổng quát nêu định nghĩa:  

0

0

( ) lim



- Ta tiến hành phân tích định nghĩa: xlimx0f x( )

 tồn tại khi nào? (xlimx0f x( )



+ a = b = f x 0

Tổng hợp lại ta có: một hàm số f(x) muốn liên tục tại điểm x0 thì phải thỏamãn cả 4 điều kiện trên Như vậy hàm số ở 2) cũng là một hàm số liên tục nhưnghàm số ở 3) không phải là hàm số liên tục

Từ đó ta có thể yêu cầu học sinh rút ra hai dấu hiệu nhận biết một hàm sốliên tục tại điểm x0 Giáo viên có thể sử dụng luôn hai bài tập 1) và 2) làm hai ví

dụ minh họa

Ví dụ 2: Khi dạy định lí, phải tập cho học sinh biết phân tích giả thiết vàkết luận, phân tích để thấy các bước, các ý trong khi chứng minh, để thấy vàphân biệt được sự giống và khác nhau giữa các định lí gần gủi nhau Chẳng hạnđịnh lí về hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng thứ ba

Phân tích giả thiết kết luận:

Phân tích các bước nhỏ của quá trình chứng minh:

- Hiểu rõ giả thiết:         a   và a 

Khi dạy học sinh giải bài tập toán, cần phải hướng dẫn học sinh:

- Nhìn bao quát một cách tổng hợp, xem bài toán đã cho thuộc loại nào,phân tích cái đã cho và cái phải tìm

- Thực hiện phân tích và tổng hợp xen kẻ nhau Sau khi phân tích đượcmột số ý thì tổng hợp lai để xem ta có thu được điều gì bổ ích không, còn thiếuyếu tố nào nữa?

- Tách bài toán đã cho (thường là khó hơn) thành nhiều bài toán thànhphần, bài toán đặc biệt đơn giản hơn và dể hơn, cuối cùng tổng hợp lại để có kếtquả

Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức sau (Đề thi tuyển sinh ĐH 1987)

- Tiếp tục phân tích vế trái của giả thiết: Tổng của hai số mà không âm thìchỉ có 3 khả năng xảy ra:

a b

1 1

So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật, hiệntượng Muốn vậy ta phải phân tích các dấu hiệu thuộc tính của chúng, đối chiếuchúng với nhau rồi tổng hợp lại để xem chỗ giống và khác nhau.

1.2.2 Tác dụng

- Hiểu sâu và đúng các đối tượng quan sát

- Thấy được mối liên hệ giữa các đối tượng

- Giúp cho việc tiến hành thao tác tương tự sau này

Ví dụ 2: + Hai hàm số y a x và y loga x là khác nhau, nhưng khi 0 < a <

1 thì chúng cùng nghịch biến còn khi a > 1 thì chúng cùng đồng biến.

+ Hai tổng sau đây có dạng khác nhau nhưng lại có cùng một

Ví dụ 3: So sánh hai dấu hiệu chứng tỏ hàm số y= f(x) liên tục tại điểm x0.

Sử dụng các thao tác tư duy trước như phân tích, tổng hợp, so sánh, xétcác đối tượng cụ thể hay khái quát hóa các sự vật hiện tượng để rút ra các nhậnxét, các mệnh đề,

1.3.2 Tác dụng

- Tập cho học sinh có cái nhìn về các sự vật, hiện tượng dưới nhiều góc

độ, nhiều khía cạnh khác nhau, rồi từ đó thử nghiệm, nêu lên các nhận xét vềchúng

- Đây là một con đường của phát minh, sáng tạo

1.3.3 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Định lí lớn Fermat đã nêu ở trang 7, Việc thử với n = 3 của Euler

và n = 4 của Fermat là các thử nghiệm để củng cố niềm tin: “Định lí” Fermatđúng là một định lí, được Andrew Wiles khẳng định là đúng vào năm 1994

Ví dụ 2: Từ bài toán rút gọn và tính giá trị của biểu thức:

nên ta có được ngay kết quả A = 1

2 Tập cho học sinh nêu dự đoán

2.1 Mô tả

Từ những gì quan sát được, qua nhận xét, phân tích, tổng hợp, so sánh,tương tự, học sinh đưa ra các dự đoán, giả thuyết, các kiến thức mới

2.2 Tác dụng

- Góp phần rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy, khả năng suy luận,

óc quan sát để tìm ra các dấu hiệu bản chất của sự vật, hiện tượng

- Hình thành và phát triển kĩ năng tìm tòi, phát hiện ra cái mới cho họcsinh

- Nó là nguồn gốc của phát minh, sáng tạo

2.3 Các trường hợp cụ thể

2.3.1 Tập dự đoán qua khái quát hóa, trừu tượng hóa

Khái quát hóa là dùng trí óc tách ra các cái chung trong các đối tượng,hiện tượng, sự kiện, là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã chođến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu

Muốn khái quát hóa phải so sánh nhiều đối tượng với nhau để rút ra cáichung, nhưng cũng có khi chỉ từ một đối tượng ta cúng có thể khái quát một tínhchất, một phương pháp.

Đặc biệt hóa là xét một trường hợp cụ thể nằm trong cái chung, là chuyển

từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tậphợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho

Chúng có tác dụng giúp chúng ta có cái nhìn bao quát, thấy được cáichung trong nhiều cái riêng lẽ, rút ra cái chung để vận dụng rộng hơn Đây làmột con đường phát minh, sáng tạo và kiểm chứng giả thuyết Chú ý rằng các giảthuyết rút ra được từ khái quát hóa và đặc biệt hóa có thể đúng và cũng có thểsai Vì vậy phải chứng minh

Ví dụ 1: Trong sách giáo khoa thường nêu ngay các bài tập, bài toán ởdạng có sẵn, học sinh chỉ việc bắt tay vào giải mà thôi Nhưng bằng quy nạp ta

có thể hướng dẫn, tập cho học sinh tạo ra các hệ thức, các bài toán để tự mìnhgiải_điều này cũng có tác dụng giúp học sinh định hướng được lời giải của bàitoán một cách dễ dàng hơn Chẳng hạn:

 Từ bài toán cụ thể của Gauss: 1+2+3+ +100 = (100+1).50 ta có

thể yêu cầu học sinh đặt bài toán tổng quát lên cho n số tự nhiên liên tiếp đầu

tiên với cách giải hoàn toàn tương tự như sau: “Tính tổng: 1+2+3+ +n” hoặc

và giải tích 11, nhà xuất bản giáo dục 2000, tr.80)

 Từ việc xem xét mệnh đề chứa biến P(n) = “10n 1 2004 n

  ”, ta có thểgiúp học sinh đặc biệt hóa, khái quát hóa để rút ra các dự đoán có thể có như sau:

Tuy nhiên chúng ta cũng có thể nêu lên khẳng định thông qua các trườnghợp cụ thể trên như sau: “10n 1 2004 n n,

5 ta có 10 4  2004 5  Và hơn thế nữa, với n = 6, 7, 8, thì 10n 1 2004 n

Sau đó nếu với phép thử, cho dù kết luận dự đoán này có nhận được kết

quả đúng với n bằng bao nhiêu thì vẫn không thể coi là đã được chứng minh.

Nhưng mệnh đề này là một mệnh đề đúng và sẽ được chứng minh bằng quy nạptoán học Đây cũng là một ví dụ cho phép ta khẳng định, giải thích vì sao trong

phép quy nạp toán học cần phải chứng tỏ mệnh đề đúng với n = 0 hay n = p.

Như vậy trong các dự đoán, kết luận rút ra chỉ là giả thuyết khi nào nóchưa được chứng minh

Ví dụ 2: Trong hình học chúng ta cũng có thể thực hiện được điều này.Chẳng hạn ở phổ thông cơ sở, ta có bài toán tìm số giao điểm của các trườnghợp:

- hai đường thẳng cắt nhau, n = 2: có 1 giao điểm

- ba đường thẳng đôi một cắt nhau mà không cùng đi qua một điểm, n = 3:

có 3 giao điểm

- bốn đường thẳng đôi một cắt nhau mà không có ba đường thẳng nào

- năm đường thẳng đôi một cắt nhau mà không có ba đường thẳng nào

Từ đó tổng quát lên cho bài toán n đường thẳng đôi một cắt nhau, không

có ba đường thẳng nào đồng quy, hãy tìm xem có bao nhiêu giao điểm?

Ví dụ 3: Từ bài toán tổng quát ta đưa về bài toán cụ thể rồi từ đó hoànthành lời giải cho bài toán ban đầu Chẳng hạn:

- Có n đường thẳng đôi một cắt nhau nhưng không có bộ ba nào đồng quy.Hỏi n đường thẳng đó chia mặt phẳng ra làm bao nhiêu miền?

- Chứng minh: Giả sử có k đường thẳng đôi một cắt nhau nhưng không có

bộ ba nào đồng quy, k đường thẳng đó sẽ chia mặt phẳng thành A(k) miền.

Đường thẳng thứ k+1 cắt k dường thẳng kia tại k điểm nên tạo ra k+1 nửa (đoạn

thẳng), mỗi nửa đoạn tạo ra một miền mới Do đó A(k+1) = A(k)+k+1+1.

Ta có thể đi đến kết quả cuối cùng: n điểm khác nhau trên một đường thẳng chia đường thẳng đó ra làm n+1 phần, n đường thẳng, ở vị trí tổng quát,

1) Bài toán tìm vận tốc tức thời: Một chất điểm chuyển động trên trục

S’OS Quãng đường s của chuyển động là một hàm số theo thời gian t: s = f(t).

Hãy tìm một đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển động tạithời điểm t0?

Giải:

Trong khoảng thời gian từ t0 đến t chất điểm đi được quãng đường:

s- s 0 = f(t)- f(t 0 ).

* Nếu chất điểm chuyển động đều thì tỉ số 0 0

số Đó chính là vận tốc của chuyển động tại mọi thời điểm

* Nếu chất điểm chuyển động không đều thì tỉ số trên là vận tốc trung bình

của chất điểm chuyển động trong khoảng thời gian t- t 0

Khi t càng gần t0 tức là | t-t0| càng nhỏ thì vận tốc trung bình càng thể hiệnchính xác hơn mức độ nhanh chậm của chất điểm tại thời điểm t0 Từ nhận xéttrên, người ta đưa ra định nghĩa sau đây:

Giới hạn (nếu có) của

0

0 0

 cho biết sự biến thiên trung bình của nồng độ chất

xúc tác trong khoảng thời gian t-t 0

Người ta gọi tỉ số đó là tốc độ trung bình của phản ứng hóa học đang xét

Nếu | t-t 0| càng nhỏ thì tỉ số trên biểu thị càng chính xác tốc độ phản ứng hóahọc tại thời điểm t0 Từ đó người ta định nghĩa:

Giới hạn ( nếu có) của

0

0 0

 được gọi là tốc độ tức thời của phản

ứng hóa học tại thời điểm t0 Đại lượng đó đặc trưng cho tốc độ phản ứng hóa

học tại thời điểm t0

Qua hai bài toán này giáo viên tập cho học sinh so sánh, phân tích để rút racấu trúc chung của bài toán tổng quát:

- ở đây biến số là t(sách giáo khoa thí điểm) ta tổng quát lên thành

Giáo viên phải làm cho học sinh hiểu rõ bản chất của f x( 0 x) f x( ) 0

x

số của hai số gia y và x(giới hạn của tỉ số này nếu có, gọi là đạo hàm của hàm

số y=f(x) tại một điểm x0 nào đó) để sau này học sinh biết rằng có một hàm số cóthể không có đạo hàm tại điểm x0, mặc dù tại đó hàm số vẫn liên tục

Ví dụ 5: Trong hình học không gian 11, khi dạy bài mặt cầu ngoại tiếphình chóp và lăng trụ, ngoài định nghĩa và hai ví dụ đã giải, sách giáo khoakhông hề nêu lên phương pháp chung để giải bài toán xác định tâm và bán kínhmặt cầu ngoại tiếp hình chóp hay lăng trụ Nhưng nếu bằng quy nạp, nhờ kháiquát hóa và đặc biệt hóa (Từ hai bài toán cụ thể nêu trên) giáo viên có thể giúphọc sinh nêu ra phương pháp giải bài toán xác định tâm và bán kính mặt cầungoại tiếp hình chóp một cách thuận lợi hơn

1) Bài toán 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, mặtbên hợp với đáy một góc  Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hìnhchóp

Giải:

* Xác định tâm:

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC SO (ABC)(S.ABC là hình chópđều) nên SO chính là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi M là trung điểm của SA Trong (SAO), đường trung trực SI của MAcắt SO tại I, ta có:

2) Bài toán 2: Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC vuông góc với nhau đôimột và có độ dài lần lượt là a, b, c Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoạitiếp tứ diện.