Luận văn tốt nghiệp đại học sư phạm toán- rèn luyện và phát triển năng lực suy luận quy nạp

Vai trò của quy nạp thể hiện trong khi xây dựng khái niệm mới, chọn lọc các tiên đề trước khi chứng minh một định lí, có thể nói rằng những lúc các nhà toán học dùng phương pháp quy nạp

Lời cảm ơn !

Sau thời gian học tập và rèn luyện, để có kiến thức như ngày hôm nay, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán và trường ĐHSP Huế đã tận tình dạy dỗ, truyền đạt kiến thức và tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp này.

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc đến thầy giáo Trần Khánh Hưng, người đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực

hiện khóa luận.

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy và các em học sinh trường THPT Nguyễn Đình Chiểu-Phong Điền- Huế đã đóng góp ý kiến giúp đỡ tôi để khóa luận này được hoàn thành.

Mục lục

Trang Mở đầu 3

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn 5

1 Một số khái niệm cơ bản 5

1.1 Phương pháp suy luận 5

1.2 Suy luận suy diễn 5

1.3 Suy luận quy nạp 5

2 Mối quan hệ cuâ phương pháp quy nạp với phương pháp suy luận suy diễn trong dạy học toán 7

2.1 Hai kiểu suy luận này hết sức khác nhau 8

2.2 Hai loại suy luận này thống nhất với nhau 8

3.Vai trò và tác dụng của phương pháp quy nạp trong dạy học toán 10

4 Mục đích của dạy học toán 13

5 Sơ lược tình hình rèn luyện quy nạp cho học sinh phổ thông 14

5.1 Sách giáo khoa với việc rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh 14

5.2 Sơ lược tình hình rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh ở trường phổ thông 17

chương 2: Một số biện pháp thực hiện 19

1 Làm cho học sinh biết và thực hiện được các thao tác tư duy thường gặp 19

1.1 Phân tích và tổng hợp 19

1.1.1.Mô tả 19

1.1.2 Tác dụng của việc thực hiện các thao tác trên trong dạy học toán 19

1.1.3 Ví dụ minh họa 19

1.2 So sánh 23

1.2.1 Mô tả 23

1.2.2 Tác dụng 23

1.2.3 Ví dụ minh họa 23

1.3 Thử nghiệm và nhận xét 24

1.3.1.Mô tả 24

1.3.2 Tác dụng 24

1.3.3.Ví dụ minh họa 24

2 Tập cho học sinh nêu dự đoán 25

2.1 Mô tả 25

2.2 Tác dụng 25

2.2.1 Các trường hợp cụ thể 25

2.2.2 Tập dự đoán qua khái quát hóa và đặc biệt hóa 25

2.3.2 tập dự đoán qua tương tự 33

2.3.3 tập dự đoán qua xét một mệnh đề đảo 36

3 Rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh qua giải bài tập toán 37

3.1 Giải thích 37

3.2 Tác dụng đối với học toán 38

3.3 Ví dụ minh họa 39

Kết luận 45

Phụ lục I: Phiếu xin ý kiến 46

Phụ lục II: Phiếu tổng hợp kết quả điều tra 48

Phụ lục III: Giáo án thực nghiệm 51

mở đầu

1 lí do chọn đề tài

Tại đại hội Đảng CSVN lần thứ IX năm 2001, trong chiến lược phát triển kinh

tế xã hội 2001-2010 có nhắc đến nhiệm vụ của giáo dục là: “ Đổi mới phương pháp dạy và học, phát huy tư duy sáng tạo và năng lực tự đào tạo của người học, coi trọng thực hành, thực nghiệm, ngoại khoá, làm chủ kiến thức, tránh học chay, học vẹt.”

Nhà toán học lớn của chúng ta, GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn đã khẳng định:

“Toán học là môn học hết sức thuận lợi trong việc rèn luyện tư duy logic, nhưng cách dạy của chúng ta lại chỉ chú ý rèn luyện khả năng suy diễn coi nhẹ khả năng quy nạp” (Gs Nguyễn Cảnh Toàn, thế giới mới số 53, năm 1993)

Trong “Phương pháp dạy học toán ở trường THCS” (xem [5], tr.36) GS Hoàng Chúng có trích dẫn theo R.Courant: “Trong việc học tập toán, phương pháp suy diễn đúng là giúp chúng ta bao quát được nhanh một lĩnh vực rộng Song phương pháp xây dựng, đi từ cái riêng đến cái chung sẽ dẫn dắt tới những tư duy độc lập và sáng tạo một cách vững chắc hơn.”

Theo GS Phạm Văn Hoàn, “Giáo dục học môn toán” (xem [14], tr.22): “Tuy suy diễn logic đóng vai trò chủ yếu trong phương pháp toán học, nhưng vai trò của quy nạp cũng không phải là không quan trọng Vai trò của quy nạp thể hiện trong khi xây dựng khái niệm mới, chọn lọc các tiên đề trước khi chứng minh một định lí, có thể nói rằng những lúc các nhà toán học dùng phương pháp quy nạp là những lúc quan trọng trong sự phát triển toán học”

Mặc dù vậy trên thực tế dạy học, chúng ta chỉ mới chú trọng đến suy diễn, suy luận chứng minh, chứng minh mà chưa chú ý đến quy nạp, đến khả năng tư duy độc lập sáng tạo, phát hiện ra cái mới của học sinh Điều này sẽ được trình bày rõ hơn trong phần sau của khoá luận này

Là một sinh viên sư phạm toán, tôi mong muốn góp một phần nhỏ vào vấn đề đổi mới phương pháp, nâng cao hiệu quả dạy và học, đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của khoa học kỉ thuật, của đời sống xã hội về con người lao động mới phục vụ cho

công tác xã hội sau này nên tôi chọn đề tài: “Rèn luyện và phát triển năng lực suy

luận quy nạp cho học sinh trong dạy học toán ở trường phổ thông”.

Đề tài khoá luận được thực hiện gồm 3 chương, cụ thể:

- Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn

- Chương II: Một số biện pháp thực hiện

- Chương III: Thực nghiệm sư phạm

4 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc tài liệu và vận dụng vào thực tế

- Đề xuất phương pháp và thể hiện trên thực tế

Chương I

cơ sở lí luận và thực tiễn

1 Một số khái niệm cơ bản

Trước khi đi vào nội dung chính của khoá luận, xin được làm rõ một số khái niệm cơ bản có liên quan

1.1 Phương pháp suy luận

Suy luận là một hình thức tư duy mà từ một hay nhiều phán đoán đã có (tiên đề)

ta rút ra được một số phán đoán mới (kết luận) Suy luận là một quá trình nhận thức hiện thực gián tiếp Nói chung có hai loại suy luận cơ bản: suy luận suy diễn và suy luận quy nạp ( xem [13])

1.2 Suy luận suy diễn.

Suy luận suy diễn là cách suy luận đi từ cái tổng quát đến cái riêng, từ quy luật phổ biến đến trường hợp cụ thể Do vậy kết luận bao giờ cũng đúng Chẳng hạn một quy tắc suy luận thường dùng là:

A B A,

B

⇒

( tam đoạn luận khẳng định)

1.3 Suy luận quy nạp.

Theo từ điển toán học thông dụng (xem [7], tr 494), phương pháp quy nạp là phương pháp suy luận dựa trên quan sát và thí nghiệm, xuất phát từ những trường hợp riêng lẽ, rồi mở rộng các kết quả có tính chất quy luật ra cho trường hợp tổng quát Sau đây là các loại suy luận quy nạp

b) Quy nạp hoàn toàn

Quy nạp hoàn toàn là suy luận trong đó kết luận chung, khái quát được rút ra trên cơ sở nghiên cứu tất cả các đối tượng của lớp đó.

Quy nạp hoàn toàn được đặc trưng bởi sự nghiên cứu toàn bộ các đối tượng thuộc phạm vi xem xét để rút ra kết luận chung về chúng Ta có sơ đồ khái quát như sau:

tức là khi mỗi đối tượng của lớp S đều có tính chất P thì cả lớp có tính chất P Phương

pháp này được đưa vào chương trình toán phổ thông ở dạng ẩn tàng

Ví dụ:

- Chương trình hình học 9, NXBGD 1994, tr.34 trình bày chứng minh định lí: Trong một đường tròn, số đo của một góc nội tiếp bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung

- Chương trình hình học 10, sách giáo khoa thí điểm ban KHTN, NXBGD 2003, Đoàn Quỳnh tổng chủ biên, tr.42 trình bày chứng minh định lý sin trong tam giác:

c) Quy nạp không hoàn toàn.

Quy nạp không hoàn toàn là suy luận mà trong đó kết luận khái quát chung về lớp đối tượng nhất định được rút ra trên cơ sở nghiên cứu không đầy đủ các đối tượng của lớp ấy

Thực chất là việc nghiên cứu chỉ tiến hành cho một số đối tượng của lớp song kết luận lại rút ra chung cho cả lớp đó Chúng ta dự đoán kết quả tổng quát sau khi mới chỉ xem xét một số trường hợp riêng mà thôi

Quy nạp không hoàn toàn không thể xem là một phương pháp chứng minh trong toán học Nó chỉ là một phương pháp có hiệu lực để phát hiện chân lí mới, có thể đưa đến kết luận đúng Chẳng hạn, để tìm công thức của tổng n số lẽ đầu tiên, ta xét các trường hợp riêng:

Các kết quả này cho phép dự đoán 1 3 5 7 (2 1)+ + + + + n− = n2, tức là tổng của n

số lẻ đầu tiên bằng n2 Đây là một kết luận đúng và chúng ta có thể chứng minh bằng quy nạp toán học Bên cạnh đó, phương pháp quy nạp không hoàn toàn cũng có thể đưa đến kết luận sai Ví dụ xét các số dạng 2 2n+ 1 (số Fermat) Cho n các giá trị 1, 2, 3 ta được các số tương ứng là 3, 17, 137 đều là các số nguyên tố Do đó ta có thể nghĩ rằng tất cả các số Fermat đều là các số nguyên tố Song kết luận này không đúng Với n = 4, Euler đã chỉ ra rằng 2 2 4 + 1 chia hết cho 641 Nói tóm lại, kết quả tìm được bằng phương pháp quy nạp không hoàn toàn chỉ là một giả thuyết, chừng nào nó chưa được chứng minh

Trong toán học, phương pháp quy nạp hoàn toàn nói chung, chỉ được sử dụng một cách có giới hạn vì đa số mệnh đề toán học được bao gồm vô số trường hợp riêng

Do đó nói chung không thể sử dụng phương pháp quy nạp hoàn toàn được Còn phương pháp quy nạp không hoàn toàn, tuy kết luận của nó có thể sai nhưng lại có ý nghĩa to lớn trong việc tìm tòi, dự đoán, tìm ra tri thức mới

Polya khẳng định: Suy luận quy nạp là một trường hợp riêng của suy luận có lí hay còn được giáo sư Hoàng Chúng gọi là “suy luận nghe có lí” Trong khoá luận này chỉ dám đề cập đến quy nạp, chủ yếu là quy nạp không hoàn toàn

2 Mối quan hệ của phương pháp quy nạp với phương pháp suy luận suy diễn trong dạy học toán

Mục này được trình bày theo G.Polya (xem [4] ở Lời nói đầu)

Phương pháp quy nạp là một trường hợp riêng của suy luận có lí, còn suy luận suy diễn là một trường hợp riêng của suy luận chứng minh Để làm rõ mối quan hệ của chúng, ta hãy xét mối quan hệ tổng thể của suy luận chứng minh và suy luận có lí

Trong toán học, chúng ta củng cố các kiến thức bằng suy luận chứng minh nhưng viện trợ các giả thuyết bằng các suy luận có lí

Một chứng minh toán học là suy luận chứng minh còn kết luận quy nạp của các nhà vật lí, hoá học hay sinh học, các bằng chứng gián tiếp của các luật sư, những dẫn chứng tài liệu của nhà sử học và kết luận thống kê của nhà kinh tế học, đều thuộc về các suy luận có lí

2.1 Hai kiểu suy luận này hết sức khác nhau

a) Suy luận chứng minh là suy luận đáng tin cậy, không chối cãi được và dứt khoát, còn suy luận có lí là suy luận bấp bênh, phải tranh cãi và có điều kiện

b) Đối với toán học cũng như các môn khoa học khác, vai trò của suy luận chứng minh là như nhau, tuy nhiên tự nó (cũng như tự bản thân toán học) không có khả năng cung cấp các hiểu biết căn bản mới về thế giới xung quanh Mọi cái mới mà chúng ta hiểu biết được về thế giới đều có liên hệ với suy luận có lí

c) Suy luận chứng minh có những tiêu chuẩn chặt chẽ được ghi lại thành luật và được giải thích bằng logic (logic hình thức hay logic chứng minh), logic này là thuyết của các suy luận chứng minh Những tiêu chuẩn của các suy luận có lí rất linh động và không một lí thuyết nào về các suy luận như vậy lại rõ ràng bằng logic chứng minh và

có sự nhất quán như logic chứng minh

2.2 Hai loại suy luận này thống nhất với nhau

Mặc dù khác nhau như vậy nhưng hai loại suy luận này không mâu thuẫn mà trái lại bổ sung cho nhau Trong suy luận chặt chẽ điều chủ yếu là phân biệt chứng minh với dự đoán, chứng minh có căn cứ với dự đoán không có căn cứ Trong một suy luận có lí điều chủ yếu là phân biệt dự đoán với dự đoán, dự đoán hợp lí hơn với dự đoán ít hợp lí hơn Trong “toán học và những suy luận có lí” (xem [4] tr.6), Polya nhấn

mạnh mối liên hệ chặt chẽ giữa suy luận chứng minh và suy luận quy nạp như sau:

“Toán học được xem là một môn khoa học chứng minh Tuy nhiên đó chỉ là một khía cạnh của nó Toán học, trình bày dưới hình thức hoàn chỉnh, chỉ bao gồm chứng minh (đó là cách trình bày trong các sách giáo khoa) Nhưng toán học trong quá trình hình thành gợi lại mọi kiến thức khác của nhân loại trong quá trình hình thành Chúng ta cần phải dự đoán về một định lí toán học trước khi chứng minh nó, phải dự đoán về đường lối và tư tưởng chủ đạo của chứng minh trước khi chứng minh, cần phải đối chiếu các kết quả quan sát được và suy ra những điều tương tự, phải mò mẫm và thử đi thử lại nhiều lần Kết quả công tác sáng tạo của nhà toán học là suy luận chứng minh, là chứng minh, nhưng người ta tìm ra cách chứng minh nhờ suy luận có lí, nhờ dự đoán Nếu việc dạy toán phản ánh ở mức độ nào đó việc hình thành toán học như thế nào thì trong việc giảng dạy đó phải dành chổ cho dự đoán, cho suy luận có lí”

Qua đó nhận thấy rằng, tuy phương pháp suy luận quy nạp và phương pháp suy luận suy diễn có những nét trái ngược song chúng lại có mối quan hệ mật thiết với nhau, thống nhất với nhau trong quá trình nhận thức Chúng là một cặp phương pháp luôn được áp dụng trong một thể thống nhất kế thừa và làm tiền đề của nhau, hỗ trợ cho nhau Vì nếu diễn dịch là đi từ cái chung đến cái riêng, thì trước đó cần phải có quy nạp (quy nạp không hoàn toàn) để dự đoán ra cái chung đã Nói cách khác, quy nạp cung cấp nguyên liệu cho diễn dịch, diễn dịch lại đặt ra nhu cầu mới cho quy nạp, khẳng định hay phủ định những dự đoán (giả thuyết) của bước quy nạp Cứ như thế, mỗi bước quy nạp sau, con người lại đi gần thêm vào bản chất chung của sự vật, hiện tượng, hiểu biết càng nhiều về bản chất chung của thế giới

Trong từ điển toán học thông dụng (xem [7], tr.496) đã khẳng định: “Suy diễn

và quy nạp là hai phương pháp suy luận có liên quan mật thiết với nhau, mặc dù bề ngoài chúng có vẻ tương phản Mọi phép suy diễn đều bao hàm trong nó yếu tố quy nạp, vì bất cứ suy diễn khoa học nào cũng đều bắt nguồn từ sự nghiên cứu các sự vật một cách quy nạp Ngược lại, phép quy nạp chỉ có giá trị khoa học khi nó dẫn tới sự nhận thức của quy luật chung” Có thể nói: trong thực tế, quy nạp và diễn dịch bao giờ cũng thống nhất với nhau trong quá trình nhận thức

Ví dụ:

Bài toán định lí lớn Fermat: Phương trình x n+y n =z n (1) không có nghiệm nguyên khác không, với bất kì số nguyên n≥3.

Ta biết với n = 1: x+y = z có vô số nghiệm nguyên.

Với n = 2: x2+y2 =z2 Ta biết rằng nếu a, b, c là các cạnh của một tam giác vuông, với cạnh huyền a thì luôn có b2 + =c2 a2 Đây chính là nội dung định lí Pythagore

Với n = 3: x3+y3 =z3 là một trường hợp riêng của (1) được Euler chứng minh năm 1770

Với n = 4: x4+ y4 = z4cũng là một trường hợp riêng của (1) do chính Fermat chứng minh

Mãi đến năm 1993 - 1994, Andrew Wiles, nhà toán học người Anh, sau gần 350 năm mới chứng minh hoàn toàn định lí này

Lịch sử toán học đã để lại nhiều sự kiện thú vị xoay quanh các giả thuyết có được bằng suy luận quy nạp không hoàn toàn Có những giả thuyết đã bị bác bỏ, có nhiều giả thuyết đã được chứng minh, có những giả thuyết mà vài trăm năm sau vẫn không được chứng minh hay bác bỏ Tuy nhiên việc tìm cách chứng minh hay bác bỏ nhiều giả thuyết đã có tác dụng thúc đẩy sự phát triển của toán học Ví dụ “Một chân trời mới cho giả thuyết Gôn - bac”, (xem Toán học & Tuổi trẻ, số 7/2004)

3 Vai trò và tác dụng của phương pháp quy nạp trong dạy học toán.

“Chúng ta cần chú ý rằng toán học có thể xét theo hai phương diện Nếu chỉ trình bày lại những kết quả toán học đã đạt được thì nó là một khoa học suy diễn và tính logic nổi bật lên Nhưng nếu nhìn toán học trong quá trình hình thành và phát triển, trong quá trình tìm tòi phát minh thì trong phương pháp của nó vẫn có mò mẫm,

dự đoán, vẫn có “thực nghiệm” và quy nạp Phải chú ý cả hai phương diện đó mới có thể hướng dẫn học sinh hoc toán, mới khai thác được đầy đủ tiềm năng môn toán để thực hiện giáo dục toàn diện.” (Theo Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy ở [9], tr.25)

Các tác dụng to lớn của việc rèn luyện và phát triển quy nạp với kết quả học toán của học sinh được thể hiện cụ thể như sau:

a) Nhờ quy nạp, ta có thể rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hoá, đạc biệt hoá, trừu tượng hoá, không những cần thiết cho việc học toán mà còn cần thiết cho các môn khoa học khác, cho công tác và hoạt động của con người.

Ví dụ: Khi dạy học định lí cosin trong tam giác (hình học 10), người ta đi từ tam giác ABC có góc A vuông để đi đến biểu thức 2 2 2

0

uuur uuur uuur

nhờ định lí Pythagore, rồi tổng quát lên cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông thì

- Tam giác ABC vuông nên a2 = +b2 c2 Vơí tam giác ABC không vuông thì a2

sẽ bằng b2+c2 thêm bớt một lương nào đó (xem hình vẽ) Vấn đề của ta là tìm xem lượng đó bằng bao nhiêu?

Suy ra BCuuur2 =(uuur uuurAC AB− )2 ⇔BCuuur2 =uuurAC2+uuurAB2−2uuur uuurAC AB cos(uuur uuurAC AB, ),

Dựa vào công thức tích vô hướng của hai vectơ ta đưa đến kết quả:

- So sánh: khi A=900 thì (*) trở thành a2 = +b2 c2 Như vậy, định lí Pythagore

là một truờng hợp riêng của (*)

- Tổng hợp lại ta được: Trong tam giác ABC bất kì ta luôn có:

sinh thấy được toán học bắt nguồn từ thực tế và quay về phục vụ thực tế, chẳng hạn trong xây dựng ta cần đo chiều cao của một cái cây mà yêu cầu là không được chặt nó xuống, việc này người ta không thể đo đạc trực tiếp mà phải mở rộng, nghiên cứu hình học, giải tam giác và sau đó tiến hành đo đạc, tính toán trên thực tế Đồng thời thấy được toán học bắt nguồn từ nhu cầu phát triển của nội bộ toán học, của các ngành khoa học khác, thấy được mối liên hệ giữa toán học với thực tế và các ngành khoa học như vật lí, hoá học, sinh học, kĩ thuật, kinh tế, Ví dụ như tri thức về tương quan tỉ lệ

thuận biểu thị bởi công thức y ax= được sử dụng trong:

- Tính diện tích S của một thửa ruộng hình tam giác có một cạnh bằng a với

đường cao tương ứng h: 1

đó mà khuyến khích học sinh học toán, học tìm tòi và phát hiện - bước đầu tiên để trở thành một nhà toán học, nhà khoa học vĩ đại trong tương lai

Ví dụ: Khi dạy định lí đảo về dấu tam thức bậc hai theo sách giáo khoa thí điểm,

ta không đưa ngay nội dung định lí như đối với sách giáo khoa hiện hành (chỉnh lí hợp nhất 2000) mà ta dựa vào định lý dấu tam thức bậc hai với nhận xét trường hợp

4 Mục đích của dạy học toán

Trong "Phương pháp dạy học môn toán" (xem [9], tr.45-62), GS.TSKH Nguyễn

Bá Kim đã nêu nhiệm vụ của dạy học toán ở trường trung học phổ thông là:

- Truyền thụ tri thức, kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn bởi thông qua bộ môn toán chúng ta có thể cung cấp cho học sinh một hệ thống vững chắc các tri thức, phương pháp, kỹ năng đồng thời rèn luyện khả năng vận dụng những hiểu biết toán học vào các môn học khác, vào đời sống lao động sản xuất

- Phát triển năng lực trí tuệ chung như tư duy trừu tượng, tư duy logic, tư duy biện chứng, rèn luyện các thao tác tư duy như trừu tượng, phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát, ,các phẩm chất tư duy như tính linh hoạt, tính độc lập sáng tạo,

- Giáo dục tư tưởng chính trị, phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ Môn toán góp phần bồi dưỡng cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, rèn luyện các phẩm chất của người lao động mới trong học tập và sản xuất như tính cẩn thận, chính xác, có mục đích, có kế hoạch, phương pháp, kỷ luật, sáng tạo, có óc thẩm mỹ,

Phương pháp quy nạp có tác dụng to lớn nhằm phục vụ đắc lực cho việc thực hiện các mục đích nêu trên Cụ thể:

- Qua thực hiện phương pháp quy nạp, học sinh tự mình tìm tòi, khám phá, rút

ra các tri thức “mới” nên học sinh sẽ hiểu sâu, nhớ lâu các kiến thức dẫn đến vận dụng tốt hơn

- Học sinh sẽ có kĩ năng thành thạo hơn, rèn luyện các thao tác tư duy, đặc biệt

là khái quát hóa, trừu tượng hóa, tương tự dẫn đến sáng tạo Ngoài ra học sinh còn rèn

luyện được các phẩm chất trí tuệ nêu trên, khả năng so sánh, lựa chọn nhằm phát triển năng lực phê phán.

- Ngoài ra học sinh sẽ có hứng thú học tập, có niềm tin trong sáng tạo và khám phá

5 Sơ lược tình hình rèn luyện quy nạp cho học sinh phổ thông

5.1 Sách giáo khoa với việc rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh

Rèn luyện và phát triển năng lực lập luận, chứng minh cho học sinh là một việc phải làm thường xuyên của giáo viên trung học nhất là THPT

Vì vậy sách giáo khoa toán ở bậc học này đã trình bày kiến thức theo xu hướng tiên đề hóa nhằm tạo điều kiện cho giáo viên rèn luyện năng lực quan trọng này cho học sinh Ví dụ như việc yêu cầu học sinh biết chứng minh các tính chất, định lý từ sớm ( ngay từ lớp 7)

Nhưng nếu không chú ý đúng mức đến việc rèn luyện phương pháp quy nạp cho học sinh lại là một thiếu sót, như ý kiến của GS Nguyễn Cảnh Toàn có nêu: “Toán học

là một môn học rất thuận lợi trong việc rèn luyện tư duy lôgic, nhưng cách dạy của chúng ta lại chỉ chú ý đến rèn luyện khả năng suy diễn, coi nhẹ khả năng quy nạp”

Ngành Giáo dục và Đào tạo của nước ta trong mấy năm gần đây đã và đang đẩy mạnh đổi mới phương pháp dạy học Sách giáo khoa cũng đang được chỉnh sửa cho phù hợp với xu hướng này Sách giáo khoa thí điểm phân ban hiện nay đã thay đổi cách trình bày kiến thức nhằm tạo cơ sở thuận tiện để giáo viên rèn luyện phương pháp quy nạp cho học sinh và thực hiện đổi mới phương pháp dạy và học Cụ thể như sau:

a) Cố gắng giảm bớt tính áp đặt cho học sinh, tổ chức các hoạt động, dẫn dắt để học sinh phát hiện vấn đề, so sánh, nhận xét, khái quát hóa hay trừu tượng hóa

Ví dụ 1: Trong chương trình toán 7, khi dạy định lý “Tổng các góc trong của một tam giác bằng 1800”

- Sách giáo khoa cũ đưa ngay định lý và chứng minh

- Sách giáo khoa mới:

+ Vẽ hai tam giác bất kỳ, và yêu cầu học sinh đo các góc của mỗi tam giác đó, tính tổng số đo của ba góc mỗi tam giác, rồi nhận xét kết quả

+ Dùng tấm bìa cắt hình tam giác bất kỳ, cắt rời hai góc rồi đặt nó kề với góc còn lại Giáo viên yêu cầu học sinh dự đoán kết quả.

+ Tạo một đường thẳng song song với đáy tam giác tại đỉnh và so sánh góc mới tạo thành với tổng các góc trong của tam giác đó

Ví dụ 2: Khi trình bày định nghĩa hàm số ( Đại số 10)

- Sách giáo khoa hiện hành (Chỉnh lý hợp nhất 2000) đưa trực tiếp định nghĩa

- Sách giáo khoa mới (thí điểm): Đưa các ví dụ cụ thể từ hai đại lượng tỷ lệ thuận: Quảng đường s đi được trong thời gian t, hay hai đại lượng tỷ lệ nghịch: thời gian hoàn thành một khối lượng công việc với năng suất thực hiện công việc đó, bảng nhiệt độ trong năm của một tỉnh, thành phố nào đó

Qua đó giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích, tổng hợp để nhận biết: ở mỗi trường hợp đều có một đại lượng nhận giá trị trong một tập hợp số và một đại lượng nữa có giá trị tương ứng thuộc một tập hợp số thứ hai

Từ đó hướng dẫn học sinh nhận xét để rút ra dấu hiệu bản chất: Với mỗi phần

tử x thuộc tập số A đều tương ứng với mỗi phần tử xác định y thuộc tập hợp số B

Sau cùng giáo viên gợi ý để học sinh phát biểu định nghĩa có nội dung như trong sách giáo khoa

Ví dụ 3: Chẳng hạn như khi dạy bài vị trí tương đối của một mặt cầu với đường thẳng và mặt phẳng (Hình học 11):

- Trước tiên ta phải làm cho học sinh thấy được vì sao cần phải xét các vị trí tương đối này? Do ở bài trước ta đã biết được vị trí tương đối của một điểm đối với một mặt cầu, mà đối tượng nghiện cứu của hình học không gian là điểm, đường thẳng

và mặt phẳng Ta đã có vị trí tương đối của một điểm với một mặt cầu, giờ cần nghiên cứu vị trí tương đối của hai đối tượng còn lại (đường thẳng và mặt phẳng) với mặt cầu

- Từ kết quả trong mặt phẳng về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

đã biết, bằng phương pháp tương tự ta xét vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu trong không gian

- Giới thiệu cho học sinh thấy các mô hình trong thực tế, ví dụ như khi bổ một quả cam hay xem xét vị trí tương đối của trái bóng với mặt nước của một chậu nước, cũng có thể giáo viên cho học sinh quan sát hình vẽ các vị trí tương đối giữa mặt phẳng

b) Sách giáo khoa hiện nay cũng đã cố gắng giảm bớt yêu cầu về tính logic của vấn đề mà chú trọng đến tính thực tế

Sách giáo khoa hiện nay đã cố gắng giảm nhẹ phần lý thuyết, chủ yếu là giảm nhẹ các chứng minh của các tính chất hoặc định lí Các tính chất và định lí này nhiều lúc rất hiển nhiên, hoàn toàn có thể thấy được bằng trực giác, nhưng thực ra chứng minh nó lại không đơn giản và không mang lại lợi ích gì nhiều Chẳng hạn tính chất duy nhất của vectơ đối (hình học 10) Chúng ta chú trọng hơn đến tính thực tế, tính liên

hệ thực tiễn sự cần thiết phải có chúng trong thực tế

Ví dụ 1: Trong chương trình toán 8, khi dạy về phương trình:

- Sách giáo khoa cũ đưa ngay định nghĩa bao gồm cả tập xác định của phương trình

- Sách giáo khoa mới thì ngược lại, không đưa tập xác định vào ngay mà đợi đến khi có vấn đề do không có tập xác định nên dẫn đến sai sót mới đưa vào, điều đó vừa có tác dụng nhấn mạnh cho học sinh, làm cho học sinh nhớ lâu, vừa có tác dụng giải thích lí do, học sinh thấy được sự cần thiết của việc tìm tập xác định của phương trình

Ví dụ 2: Dạy một tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn [a,b] (Đại số và giải tích 11)

- Sách giáo khoa hiện hành (chỉnh lí hợp nhất 2000), tr.134-136 nêu ngay định lí:

f(x) liên tục trên [a, b] và f(a).f(b) < 0 suy ra ∃ ∈c ( , ) : ( ) 0a b f c = .

- Sách giáo khoa thí điểm do Trần Văn Hạo tổng chủ biên, tr 190-191 sau khi nêu định lí 2 (định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục) có nêu ý nghĩa hình học của định lý, nhắc lại một hình ảnh thưc tế để nêu lên hệ quả khi đường thẳng y = m lại

là y = 0 (trục hoành)

Tóm lại, sách giáo khoa thí điểm :

- Đã chú ý nhiều khi xây dựng kiến thức toán qua con đường quy nạp - thể hiện một yêu cầu cần phải đạt dược trong khi dạy học toán, đồng thời cũng là một gợi ý để khuyến khích chúng ta tìm nhiều cách dạy thích hợp khác nhằm thực hiện được yêu cầu này

- Cách xây dựng như vậy ở lớp 10 rõ nét hơn, nhiều hơn so với lớp 11 Đây cũng là một điều dễ hiểu, vì phải phù hợp với sự phát triển tâm sinh lí của học sinh

5.2 Sơ lược tình hình rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh ở trường phổ thông

a) Qua trao đổi, dự giờ chúng tôi nhận thấy một trong những yếu điểm của hoạt động dạy và học của chúng ta là phương pháp dạy – học, phần lớn là kiểu thầy giảng trò ghi, thầy đọc trò chép, vai trò của học sinh có phần thụ động Phương pháp đó làm cho học sinh có thói quen học vẹt, thiếu suy nghĩ sáng tạo, thói quen học lệch, học tủ, học để đi thi mà thôi

Trước đây khi sử dụng sách giáo khoa cũ, giáo viên cũng đã cố gắng tìm tòi làm cho toán học gần gũi với thực tế, giảm bớt yêu cầu chặt chẽ, cứng nhắc hơn cho học sinh song cũng chưa nhiều và chưa đầy đủ, phương pháp quy nạp vẫn chưa được sử dụng hiệu quả và khai thác triệt để

Tuy nhiên, trong những năm gần đây, khi chúng ra đẩy mạnh phương pháp dạy

và học, chú trọng đến tính tích cực, tự giác, sáng tạo, tính linh hoạt trong tư duy của học sinh, đặc biệt là có sự tiếp cận, ứng dụng rộng rãi khoa học kĩ thuật và công nghệ thông tin vào dạy học, phương pháp quy nạp đã được sử dụng nhiều hơn, rộng rãi hơn

Ví dụ như nhờ ứng dụng của các phần mềm toán học (Maple, Geometer’s Sketchpad, Geospack, ), giáo viên có thể biểu diễn trực quan cho học sinh thấy được các hình ảnh

không gian 2 chiều, 3 chiều, các hình ảnh động, qua đó học sinh dễ dàng phát hiện,

dự đoán các kiến thức “mới” phù hợp với trình độ theo yêu cầu của nội dung chương trình giảng dạy Đặc biệt là sách giáo khoa thí điểm khi đưa vào thực hiện đại trà sẽ là một chổ dựa tin cậy cho giáo viên tiến hành rèn luyện và phát triển phương pháp quy nạp cho học sinh

b) Kết quả cuộc thăm dò ý kiến về việc rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh trong dạy học toán của giáo viên tại 3 trường: trung học phổ thông Nguyễn Đình Chiểu

- Phong Điền - Huế, trung học phổ thông Hải Lăng - Quảng Trị và trung học phổ thông Đào Duy Từ - Đồng Hới - Quảng Bình cũng đã thu thập được nhiều số liệu đáng lưu ý:

*) Tất cả giáo viên được phỏng vấn đều nhất trí cho rằng: việc rèn luyện năng lực suy luận quy nạp cho học sinh là cần thiết, thậm chí rất cần thiết, không thể xem nhẹ Điều này rất có ý nghĩa, vì đó là một tiền đề quan trọng cho việc rèn luyện năng lực này khi học theo sách giáo khoa thí điểm

*) Nhưng các giáo viên cũng đã thấy được những khó khăn sẽ gặp phải khi tiến hành rèn luyện và phát triển năng lực quy nạp cho học sinh như sau:

+ Học sinh cần phải thay đổi cách học cũ lâu nay

Tuy nhiên, khá nhiều giáo viên đều nhất trí là phải nâng cao năng lực chuyên môn, phải phấn đấu thi đua đổi mới phương pháp dạy học Đồng thời họ cũng mong cấp trên sẽ điều chỉnh sao cho phù hợp giữa số lượng kiến thức, yêu cầu đạt được và thời gian thực hiện (kể cả thời gian chữa bài tập cho học sinh)

*) Đại đa số giáo viên đều nhận thấy tác dụng to lớn nếu rèn luyện được cho học sinh năng lực quy nạp, đặc biệt là: học sinh hiểu bài dễ dàng hơn, hiểu sâu và nhớ lâu những điều do tự mình thu nhận, tự mình chủ động tìm tòi, phát hiện ra.

*) Hầu hết giáo viên cũng cho rằng khi sử dụng phương pháp quy nạp trong giờ học nên tập trung vào những kiến thức trừu tượng, khó hình dung, những tiên đề định lí không chứng minh

*) Rất nhiều giáo viên cũng cho rằng cần lưu ý rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy, đặc biệt là tập cho họ khái quát, dự đoán và nêu giả thuyết

Chương 2

Một số biện pháp thực hiện

Phương pháp quy nạp được tiến hành theo con đường từ thực tiễn , từ các ví dụ minh họa, các kiến thức cũ, các vấn đề đặt ra, các trường hợp đặc biệt, cùng với hệ thống câu hỏi, sự hướng dẫn của giáo viên, học sinh nhận xét để rút ra các khái niệm, các định lí, các kiến thức mới

Để rèn luyện năng lực quy nạp, khả năng sử dụng phương pháp suy luận cho

học sinh, ta cần thực hiện một số biện pháp sau đây:

1 Làm cho học sinh biết và thực hiện được các thao tác tư duy thường gặp

1.1.2 Tác dụng của việc thực hiện các thao tác trên trong dạy học toán

- Giúp học sinh hiểu sâu và đầy đủ những thuộc tính, những trường hợp riêng lẽ nằm trong một khái niệm, một định lí,

- Từ những thuộc tính riêng lẽ đó học sinh tổng hợp lại để nhận biết chính xác, đầy đủ một khái niệm, một định lí,

- Đây là hai thao tác cơ bản luôn luôn được sử dụng để tiến hành các thao tác khác

1.1.3 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khi dạy khái niệm “ hàm số f(x) liên tục tại điểm x 0” Giáo viên có thể tiến hành như sau:

- Kiểm tra bài cũ bằng cách yêu cầu học sinh làm các bài tập sau:

Học sinh tính toán và đưa ra kết quả cụ thể dưới sự hướng dẫn của giáo viên

- Hàm số có tính chất như ở 1) được gọi là hàm số liên tục, từ đó học sinh tổng

0

0

( )lim

x x f x f x

- Ta tiến hành phân tích định nghĩa: xlimx0f x( )

→ tồn tại khi nào? (limx x0f x( )

Tổng hợp lại ta có: một hàm số f(x) muốn liên tục tại điểm x0 thì phải thỏa mãn

cả 4 điều kiện trên Như vậy hàm số ở 2) cũng là một hàm số liên tục nhưng hàm số ở 3) không phải là hàm số liên tục

Từ đó ta có thể yêu cầu học sinh rút ra hai dấu hiệu nhận biết một hàm số liên tục tại điểm x0 Giáo viên có thể sử dụng luôn hai bài tập 1) và 2) làm hai ví dụ minh họa.

Ví dụ 2: Khi dạy định lí, phải tập cho học sinh biết phân tích giả thiết và kết luận, phân tích để thấy các bước, các ý trong khi chứng minh, để thấy và phân biệt được sự giống và khác nhau giữa các định lí gần gủi nhau Chẳng hạn định lí về hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng thứ ba

Phân tích giả thiết kết luận:

giả thiết:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Phân tích các bước nhỏ của quá trình chứng minh:

- Hiểu rõ giả thiết: ( ) ( )α ⊥ γ ⇔ ∃ ⊂a ( )α và a⊥( )γ

Khi dạy học sinh giải bài tập toán, cần phải hướng dẫn học sinh:

- Nhìn bao quát một cách tổng hợp, xem bài toán đã cho thuộc loại nào, phân tích cái đã cho và cái phải tìm

- Thực hiện phân tích và tổng hợp xen kẻ nhau Sau khi phân tích được một số ý thì tổng hợp lai để xem ta có thu được điều gì bổ ích không, còn thiếu yếu tố nào nữa?

- Tách bài toán đã cho (thường là khó hơn) thành nhiều bài toán thành phần, bài toán đặc biệt đơn giản hơn và dể hơn, cuối cùng tổng hợp lại để có kết quả

Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức sau (Đề thi tuyển sinh ĐH 1987).

“Chứng minh a3+ ≤b3 a4+b4 (2) cho biết a b+ ≥ 2 (1)”

- Biến đổi kết luận: Nhận thây trong hai vế của kết luận đều có chứa cả a lẫn b nên đưa về một vế để đặt thành thừa số chung

- Tiếp tục phân tích vế trái của giả thiết: Tổng của hai số mà không âm thì chỉ có

3 khả năng xảy ra:

a b

− >

Cách chứng minh trên đây tuy hơi dài dòng hơn đáp án đã có nhưng rõ ràng là ta

đã rèn luyện được cho học sinh các thao tác trên một cách có hiệu quả

1.2 So sánh

1.2.1 Mô tả

So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật, hiện tượng Muốn vậy ta phải phân tích các dấu hiệu thuộc tính của chúng, đối chiếu chúng với nhau rồi tổng hợp lại để xem chỗ giống và khác nhau

1.2.2 Tác dụng

- Hiểu sâu và đúng các đối tượng quan sát

- Thấy được mối liên hệ giữa các đối tượng

- Giúp cho việc tiến hành thao tác tương tự sau này

+ Hai tổng sau đây có dạng khác nhau nhưng lại có cùng một phương

Sử dụng các thao tác tư duy trước như phân tích, tổng hợp, so sánh, xét các đối tượng cụ thể hay khái quát hóa các sự vật hiện tượng để rút ra các nhận xét, các mệnh đề,

Ví dụ 1: Định lí lớn Fermat đã nêu ở trang 7, Việc thử với n = 3 của Euler và n

= 4 của Fermat là các thử nghiệm để củng cố niềm tin: “Định lí” Fermat đúng là một định lí, được Andrew Wiles khẳng định là đúng vào năm 1994

Ví dụ 2: Từ bài toán rút gọn và tính giá trị của biểu thức:

nên ta có được ngay kết quả A = 1

2 Tập cho học sinh nêu dự đoán

- Hình thành và phát triển kĩ năng tìm tòi, phát hiện ra cái mới cho học sinh

- Nó là nguồn gốc của phát minh, sáng tạo

2.3 Các trường hợp cụ thể

2.3.1 Tập dự đoán qua khái quát hóa, trừu tượng hóa

Khái quát hóa là dùng trí óc tách ra các cái chung trong các đối tượng, hiện tượng, sự kiện, là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu

Muốn khái quát hóa phải so sánh nhiều đối tượng với nhau để rút ra cái chung, nhưng cũng có khi chỉ từ một đối tượng ta cúng có thể khái quát một tính chất, một phương pháp.

Đặc biệt hóa là xét một trường hợp cụ thể nằm trong cái chung, là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho

Chúng có tác dụng giúp chúng ta có cái nhìn bao quát, thấy được cái chung trong nhiều cái riêng lẽ, rút ra cái chung để vận dụng rộng hơn Đây là một con đường phát minh, sáng tạo và kiểm chứng giả thuyết Chú ý rằng các giả thuyết rút ra được từ khái quát hóa và đặc biệt hóa có thể đúng và cũng có thể sai Vì vậy phải chứng minh

Ví dụ 1: Trong sách giáo khoa thường nêu ngay các bài tập, bài toán ở dạng có sẵn, học sinh chỉ việc bắt tay vào giải mà thôi Nhưng bằng quy nạp ta có thể hướng dẫn, tập cho học sinh tạo ra các hệ thức, các bài toán để tự mình giải_điều này cũng có tác dụng giúp học sinh định hướng được lời giải của bài toán một cách dễ dàng hơn Chẳng hạn:

• Từ bài toán cụ thể của Gauss: 1+2+3+ +100 = (100+1).50 ta có thể yêu

cầu học sinh đặt bài toán tổng quát lên cho n số tự nhiên liên tiếp đầu tiên với cách giải

hoàn toàn tương tự như sau: “Tính tổng: 1+2+3+ +n” hoặc dưới hình thức khác:

- Từ đây ta có thể nêu lên giả thuyết: “ 1

n n

toàn đúng nhưng tầm thường

Tuy nhiên chúng ta cũng có thể nêu lên khẳng định thông qua các trường hợp cụ thể trên như sau: “10n− 1<2004+ ∀ ∈n n, ¥ ” Điều này lại sai lầm vì với n = 5 ta có

4

10 >2004 5+ Và hơn thế nữa, với n = 6, 7, 8, thì 10n− 1 >2004+n

- Đến đây, ta có kết luận dự đoán tiếp theo: “10n− 1>2004+ ∀ ≥n n, 5”

Sau đó nếu với phép thử, cho dù kết luận dự đoán này có nhận được kết quả

đúng với n bằng bao nhiêu thì vẫn không thể coi là đã được chứng minh Nhưng mệnh

đề này là một mệnh đề đúng và sẽ được chứng minh bằng quy nạp toán học Đây cũng

là một ví dụ cho phép ta khẳng định, giải thích vì sao trong phép quy nạp toán học cần

phải chứng tỏ mệnh đề đúng với n = 0 hay n = p.

Như vậy trong các dự đoán, kết luận rút ra chỉ là giả thuyết khi nào nó chưa được chứng minh

Ví dụ 2: Trong hình học chúng ta cũng có thể thực hiện được điều này Chẳng hạn ở phổ thông cơ sở, ta có bài toán tìm số giao điểm của các trường hợp:

- hai đường thẳng cắt nhau, n = 2: có 1 giao điểm

- ba đường thẳng đôi một cắt nhau mà không cùng đi qua một điểm, n = 3: có 3 giao điểm

- bốn đường thẳng đôi một cắt nhau mà không có ba đường thẳng nào đồng quy, n=4 : có 6 giao điểm.

- năm đường thẳng đôi một cắt nhau mà không có ba đường thẳng nào đồng

Từ đó tổng quát lên cho bài toán n đường thẳng đôi một cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy, hãy tìm xem có bao nhiêu giao điểm?

Ví dụ 3: Từ bài toán tổng quát ta đưa về bài toán cụ thể rồi từ đó hoàn thành lời giải cho bài toán ban đầu Chẳng hạn:

- Có n đường thẳng đôi một cắt nhau nhưng không có bộ ba nào đồng quy Hỏi

n đường thẳng đó chia mặt phẳng ra làm bao nhiêu miền?

- Chứng minh: Giả sử có k đường thẳng đôi một cắt nhau nhưng không có bộ ba

nào đồng quy, k đường thẳng đó sẽ chia mặt phẳng thành A(k) miền Đường thẳng thứ

k+1 cắt k dường thẳng kia tại k điểm nên tạo ra k+1 nửa (đoạn thẳng), mỗi nửa đoạn

tạo ra một miền mới Do đó A(k+1) = A(k)+k+1+1.

Ta có thể đi đến kết quả cuối cùng: n điểm khác nhau trên một đường thẳng chia đường thẳng đó ra làm n+1 phần, n đường thẳng, ở vị trí tổng quát, chia mặt phẳng ra

1) Bài toán tìm vận tốc tức thời: Một chất điểm chuyển động trên trục S’OS

Quãng đường s của chuyển động là một hàm số theo thời gian t: s = f(t) Hãy tìm một

đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t0?

Đó chính là vận tốc của chuyển động tại mọi thời điểm

* Nếu chất điểm chuyển động không đều thì tỉ số trên là vận tốc trung bình của

chất điểm chuyển động trong khoảng thời gian t- t 0

Khi t càng gần t0 tức là | t-t0| càng nhỏ thì vận tốc trung bình càng thể hiện chính xác hơn mức độ nhanh chậm của chất điểm tại thời điểm t0 Từ nhận xét trên, người ta đưa ra định nghĩa sau đây:

Giới hạn (nếu có) của

0

0 0

− được gọi là vận tốc tức thời của chất điểm

chuyển động tại thời điểm t0 Đó là đại lượng cần tìm

2) Bài toán tốc độ phản ứng hóa học tức thời: Trong một phản ứng hóa học có

một chất xúc tác tham gia Nồng độ của chất xúc tác là một hàm số của thời gian t:

C = f(t) Tìm một đại lượng đặc trưng cho tốc độ phản ứng hóa học tại thời điểm t0

− cho biết sự biến thiên trung bình của nồng độ chất xúc

tác trong khoảng thời gian t-t 0

Người ta gọi tỉ số đó là tốc độ trung bình của phản ứng hóa học đang xét Nếu

| t-t 0| càng nhỏ thì tỉ số trên biểu thị càng chính xác tốc độ phản ứng hóa học tại thời điểm t0 Từ đó người ta định nghĩa:

Giới hạn ( nếu có) của

0

0 0

− được gọi là tốc độ tức thời của phản ứng

hóa học tại thời điểm t0 Đại lượng đó đặc trưng cho tốc độ phản ứng hóa học tại thời

∆ của nhiều vấn đề toán học, vật lí, hóa

học, sinh học, Sau đó đưa ra khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm

Giáo viên phải làm cho học sinh hiểu rõ bản chất của f x( 0 x) f x( )0

x

+ ∆ −

của hai số gia ∆y và ∆x(giới hạn của tỉ số này nếu có, gọi là đạo hàm của hàm số

y=f(x) tại một điểm x0 nào đó) để sau này học sinh biết rằng có một hàm số có thể không có đạo hàm tại điểm x0, mặc dù tại đó hàm số vẫn liên tục

Ví dụ 5: Trong hình học không gian 11, khi dạy bài mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và lăng trụ, ngoài định nghĩa và hai ví dụ đã giải, sách giáo khoa không hề nêu lên phương pháp chung để giải bài toán xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp hay lăng trụ Nhưng nếu bằng quy nạp, nhờ khái quát hóa và đặc biệt hóa

(Từ hai bài toán cụ thể nêu trên) giáo viên có thể giúp học sinh nêu ra phương pháp giải bài toán xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp một cách thuận lợi hơn.

1) Bài toán 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với đáy một góc ϕ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Giải:

* Xác định tâm:

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC SO⊥(ABC)(S.ABC là hình chóp đều) nên

SO chính là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi M là trung điểm của SA Trong (SAO), đường trung trực SI của MA cắt SO tại I, ta có:

)

2) Bài toán 2: Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC vuông góc với nhau đôi một và

có độ dài lần lượt là a, b, c Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Giải:

* Tìm tâm:

Vì tam giác SAB vuông tại S nên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB

là đường thẳng Mx⊥(SAB) tại trung điểm M của cạnh huyền AB.

Khi đó Mx SC// (cùng vuông góc với (SAB)) Gọi N là trung điểm SC Trong (SC, Mx) dựng đường trung trực NO của SC cắt Mx tại O Ta có:

+ Nếu tồn tại một cạnh bên đồng phẳng với trục đường tròn ngoại tiếp d thì ta dựng đường trung trực của cạnh bên đó và xác định giao điểm của nó với d - giao điểm

đó chính là tâm của mặt cầu cần tìm

+ Nếu không tồn tại cạnh bên nào đồng phẳng với trục đường tròn ngoại tiếp d thì ta buộc phải dựng mặt phẳng trung trực của( )α của một cạnh bên nào đó Khi đó

giao điểm của ( )α với d chính là điểm cần tìm.

• Tính bán kính:

- Tính độ dài từ tâm đến một đỉnh bất kì của hình chóp (hoặc hình lăng trụ) Ngoài ra, nếu dựa vào hình học phẳng, đối với bài toán chứng minh các điểm cùng nằm trên một đường tròn, ta còn có thể tương tự lên để có thêm cách xác định tâm khác là:

+ Các điểm còn lại nhìn hai điểm dưới một góc vuông

+ Tồn tại một mặt cầu đi qua (n-1) điểm và khoảng cách từ điểm còn lại đến tâm

mặt cầu đó đúng bằng bán kính của mặt cầu

Ngoài ra, qua bước xác định trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy của hình chóp, ta cũng có thể hướng dẫn, gợi ý học sinh rút ra nhận xét: Nếu đa giác đáy của hình chóp không có trục đường tròn ngoại tiếp thì hình chóp đó sẽ không có mặt cầu ngoại tiếp

Ta cũng có thể khái quát hóa chỉ từ một sự kiện, hiện tượng

Ví dụ 6: Từ bài toán: Cho bất phương trình -2x+3>0

a) Giải bất phương trình và biểu diễn hình học tập nghiệm của nó

b) Chỉ ra các khoảng trong đó f(x)= -2x+3 có giá trị:

- Trái dấu với a

- Cùng dấu với a

Ta có thể khái quát lên thành định lí dấu nhị thức bậc nhất

Ví dụ 7: Trong bài tập phép dời hình (hình học 10), ở mục khái niệm về hai hình bằng nhau Từ trường hợp hai tam giác bằng nhau, ta khái quát lên cho hai hình (H) bất

kì bằng nhau

2.3.2 Tập dự đoán qua tương tự

Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó Những đối tượng được xem là tương

tự với nhau khi chúng phù hợp với nhau trong một quan hệ nào đó Có thể nói rằng: Hai hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong một mối quan hệ xác định rõ ràng giữa những bộ phận tương ứng

Bằng tương tự ta có thể tập luyện cho học sinh quan sát, so sánh, nhìn các sự vật hiện tượng dưới nhiều góc độ, nhiều quan điểm khác nhau

Đây là con đường dẫn tới sáng tạo, phát minh Tuy nhiên cần lưu ý rằng, kết quả của tương tự chưa có gì chắc chắn, chỉ là những dự đoán, giả thuyết Vì vậy cần phải chứng minh

Ví dụ 1: Tam giác trong mặt phẳng tương tự với tứ diện trong không gian ở chổ chúng được giới hạn bởi số tối thiểu những yếu tố cơ bản (đường trong mặt phẳng và mặt phẳng trong không gian) Từ đó ta xây dựng:

+ Trung tuyến của một tam

giácđược định nghĩa là một đoạn thẳng

nối từ một đỉnh bất kỳ của tam giác với

trung điểm của cạnh đối diện

+ Trung tuyến của một tứ diện hay còn gọi là trọng tuyến được định nghĩa là một đoạn thẳng nối từ một đỉnh bất kì của

tứ diện tới trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh đó

+ Các đường trung tuyến của một

tam giác đồng quy tại một điểm gọi là

trọng tâm của tam giác

+ Các đường trọng tuyến đồng quy tại một điểm gọi là trọng tâm của tứ diện

+ Trọng tâm của tam giác chia

các trung tuyến của nó theo tỷ lệ 2:1

+ Trọng tâm của tứ diện chia các trọng tuyến của nó theo tỷ lệ nào? Có cùng tỷ lệ 2:1 hay không? (Kết quả là không Nó chia các trọng tuyến theo tỷ lệ 3:1)

+ Từ các công thức độ dài trung

tuyến ta rút ra được công thức:

1

49

Pythagore: Bình phương cạnh huyền

bằng tổng các bình phương cạnh góc

vuông

+ Trong tứ diện vuông ta cũng có một “định lí” tương tự như sau: “Bình phương diện tích “mặt huyền” bằng tổng các bình phương diện tích các mặt vuông (mặt huyền là mặt đối diện với góc tam diện vuông, mặt vuông là các tam giác còn lại)

+ Cho tam giác ABC, gọi r là bán

kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, ha,

hb, hc lần lượt là các đường cao tương

+ Trong tam giác vuông ABC có

cạnh là a, b, c và đường cao h ta luôn có:

2 2 2 2

h = a +b +c

+ Từ định lí Thales trong mặt

phẳng: “Cho ba đường thẳng a, b, c đôi

một song song, đường thẳng d cắt a, b, c,

lần lượt tại A, B, C; đường thẳng d’ cắt

a, b, c, lần lượt tại A’, B’, C’ Chứng

2.3.3 Tập dự đoán qua xét một mệnh đề đảo

Ví dụ 1: Khi dạy về định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai, sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất 2000 đưa trực tiếp định lí Nhưng sách giáo khoa thí điểm lại không đưa định lí một cách trực tiếp mà dựa vào định lí dấu tam thức bậc hai nhờ nhận xét

trường hợp af(x) < 0 khi ∆ > 0 và f x( ) 0= có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Giáo viên khi dạy định lí này có thể thiết kế bài giảng như sau:

- Ra bài toán: Chứng tỏ phương trình sau luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi

m.