Ngân hàng đề thi hình học giải tích phần tự luận
DỮ LIỆU NGÂN HÀNG ĐỀ THI Mơn: Hình học Giải tích (Dùng cho: Đại học sư phạm Tốn) Cơng thức xác lập đề thi: Phần tự luận: đề thi (7 điểm) = câu loại điểm + câu loại điểm + câu loại điểm Phần trắc nghiệm: 12 câu LOẠI CÂU ĐIỂM Câu 1: Trong không gian affine A n ( n ≥ ) Chứng minh rằng: Một m - phẳng ( m ≥ ) song song với siêu phẳng có giao với siêu phẳng ( m − 1) - phẳng Nếu hai phẳng α , β song song với phẳng γ α cắt β phẳng α ∩ β song song với γ Câu 2: Trong không gian affine A n ( n ≥ ), cho hệ m + điểm M , M1 ,K , M m với m ≥ Xác định phẳng nhỏ chứa hệ điểm cho Kí hiệu phẳng ( M + M1 + L + M m ), chứng minh dim ( M + M1 + L + M m ) ≤ m Chứng minh hệ điểm cho độc lập ( M + L + M k ) ∩ ( M k +1 + L + M m ) = ∅ với ≤ k ≤ m − u ur ur r u u Câu 3: Trong không gian affine thực A với mục tiêu affine O;e1 , e , e3 cho điểm A (1;1;1) , { } ′ A1 (2;0;0) , A (1;0;0) , A (1;1;0) , A′ (0;0;0) , A1 (1;1;0) , A′ (2;0;1) , A′ (1;0;1) uuuuu uuuuur uuuuur r uuuuu uuuuur uuuuur r ′ Chứng minh A ; A A1 , A A , A A A′ ; A′ A1 , A′ A′ , A′ A′ mục tiêu 0 ( ) ( ) affine A uuuuu uuuuur uuuuur r uuuuu uuuuur uuuuur r ′ Tìm công thức đổi mục tiêu từ A ; A A1 , A A , A A đến A′ ; A′ A1 , A′ A′ , A′ A′ 0 ( ) ( ) u ur r u uu r Câu 4: Trong không gian affine A n (n ≥ 1) với mục tiêu O;e1 , e ,K , e n , cho n điểm độc lập { } P1 , P2 ,K , Pn Chứng minh rằng: Có siêu phẳng α qua n điểm cho uuu r u r Nếu OPi = a i ei với a i ≠ i = 1, 2,K , n phương trình siêu phẳng α viết dạng x1 x x + +L + n = a1 a an Câu 5: Trong không gian affine A n (n ≥ 1) Cho m + điểm M , M1 ,K , M m độc lập Chứng minh hệ điểm M ,K , M m , M m +1 phụ uuuuuuu m uuuuu r r OM m +1 = ∑ λ i OM i với thuộc với điểm O A tuỳ ý n i =0 m ∑λ i=0 i = M m+1 ≠ M u ur r u uu r u u ur u ur r r u r u uu u r r uu r ′ Cho mục tiêu O;e1 , e ,K , e n (1), đặt e1 = e1 , e′ = e1 + e ,…, e′ = e1 + L + en Chứng tỏ n { } u ur r u uu r ′ O;e1 , e′ ,K , e′ (2) mục tiêu affine Viết công thức đổi mục tiêu affine từ (1) sang (2) n u ur uu r u r Câu 6: Trong không gian affine A n (n ≥ 1) , với mục tiêu affine {O;e1 ,e , ,e n } uuu u ur r r u uu r Cho điểm E cho OE = e1 + e2 + L + e n Viết công thức đổi mục tiêu affine từ mục tiêu { } u ur r u uu r u ur uu ur r u r u uu u r r {O;e1 , e , , e n } sang mục tiêu {E;e1 + e2 , e + e3 , , e n + e1} Viết phương trình tổng quát phẳng cho phương trình tham số sau: x1 = t1 + 2t − t x = t − t + t 2 x = t1 − t + 2t x = t − t + 2t x = − 3t1 + t + 4t Câu 7: Chứng minh rằng: Mọi phép biến đổi affine không gian affine thực A biến đường thẳng thành đường thẳng song song với phép tịnh tiến vị tự uuuu r uuuu r Cho mục tiêu affine S0 ;S0S1 ,K ,S0Sn A n , viết phương trình tổng quát phương { } trình tham số m - phẳng qua điểm S0 , S1 , , Sm u r r Câu 8: Trong không gian affine A n (n ≥ 1) cho hai phẳng α , β có phương α , β Chứng minh rằng: Nếu α ∩ β ≠ ∅ dim(α + β) = dim α + dim β − dim(α ∩ β) u r r Nếu α ∩ β = ∅ dim(α + β) = dim α + dim β − dim(α ∩ β) + u r uu r Câu 9: Cho A, A, ϕ A′, A′, ϕ′ K - không gian affine Chứng minh ba ( u uu r r ( A × A′, A × A′, Φ ) ) ( ) K - không gian affine với: ur uu r Φ : ( A × A′) × ( A × A′) → ( A × A′) ( (M, M′), (N, N′) ) a ( ϕ(M, N); ϕ′(M′, N′) ) Trong không gian affine A n ( n ≥ ), chứng minh rằng: hệ m + điểm M , M1 ,K , M m độc lập uuuur r u từ ∑ λ i OM i = m i=0 m ∑λ i=0 i = ta suy λ = λ1 = L = λ m = (ở O điểm tuỳ ý A n ) LOẠI CÂU ĐIỂM u r r Câu 1: Trong không gian Euclid En ( n ≥ ) cho hai phẳng α , β có phương α , β Chứng minh rằng: Nếu α trực giao với β chúng có không điểm chung chúng bù trực giao chúng có điểm chung Nếu ∆ đường vng góc chung hai phẳng α , β giao điểm ∆ với α , β I, J d(α, β) = d(I, J) Câu 2: Cho E, E' hai không gian Euclid f : E → E′ ánh xạ Chứng minh f ánh xạ trực giao (hay ánh xạ đẳng cự) f bảo toàn khoảng cách hai điểm Câu 3: Cho f : En → En biến đổi affine không gian Eucild En ( n ≥ ) Gọi A , A1 ,K , A n n + điểm độc lập En A′ = f (A i ) Chứng minh f ánh xạ đẳng cự i d ( Ai , A j ) = d ( A′ , A′j ) với i, j = 0,1,K , n i Câu 4: Trong mặt phẳng Euclid E , cho hai tam giác ABC A'B'C' có AB = A ' B' , BC = B'C ' , AC = A 'C ' Chứng minh tồn phép biến đổi đẳng cự E biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' Có phép biến đổi đẳng cự cho tam giác ABC tam giác cân, không đều? Câu 5: Cho hai phẳng α β không gian Euclid En ( n ≥ ) với không gian vectơ liên kết lần u ur r u uu r u r r u r r lượt α , β Lấy sở tuỳ ý ε1 , ε ,K , ε m không gian vectơ α + β lấy điểm tuỳ ý { } K ∈ α , Q ∈β Chứng minh rằng: Nếu M, N, P ba điểm phân biệt En điểm N thuộc đoạn thẳng MP d(M, N) + d(N, P) = d(M, P) Khoảng cách hai phẳng α β tính theo cơng thức: u uu r r uu uuur r Gr(ε1 , ε ,K , ε m , KQ) u ur r u uu r d ( α, β ) = Gr(ε1 , ε ,K , ε m ) Câu 6: Trong không gian affine An cho hai phẳng α , β Chứng minh rằng: Có phẳng bé (theo quan hệ bao hàm) chứa α , β Nó gọi bao affine α β u r r r Gọi không gian vectơ phương α , β , bao affine α β theo thứ tự α , β , γ r u r r Khi đó: α ∩ β ≠ ∅ ⇔ γ = α + β Câu 7: Trong không gian Euclide En ( n ≥ ) với hệ toạ độ Descartes vng góc, cho siêu phẳng α có phương trình a1x1 + a x + L + a n x n + a = Viết biểu thức toạ độ biến đổi đẳng cự biến điểm M thành điểm M' cho α siêu phẳng trung trực đoạn thẳng MM' Câu 8: Trong không gian Euclid En ( n ≥ ) cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh rằng: d(A, B) + d(B, D) + d(D, C) + d(C, A) ≥ d(A, D) + d(B, C) d(A, C).d(B, D) + d(A, D).d(B, C) ≥ d(A, B).d(C, D) u r r Câu 9: Trong không gian Euclid En ( n ≥ ), cho hai phẳng α , β có phương α , β Chứng minh α , β khơng có điểm chung chúng có đường vng góc chung đường u r r r vng góc chung α ∩ β = {} LOẠI CÂU ĐIỂM Câu 1: Trong không gian Euclid E3 với hệ toạ độ Descartes vng góc Oxyz Cho hyperboloid x z y p a + c ÷ = q 1 + b ÷ x y z tầng + − = họ đường sinh thẳng d có phương trình a b c q x − z = p − y a c÷ b÷ 2 Gọi d' hình chiếu vng góc d xuống mặt phẳng Oxy, ellipse (E) giao tuyến hyperboloid tầng với mặt phẳng Oxy Chứng minh d' tiếp tuyến ellipse (E) Câu 2: Trong không gian Euclid E3 với hệ toạ độ Descartes vng góc Oxyz cho ellipsoid có phương trình x y2 z2 + + = với a ≥ b ≥ c > Chứng minh rằng: a b2 c2 Nếu mặt phẳng α qua tâm ellipsoid cho cắt theo ellipse có bán trục lớn p, bán trục nhỏ q a ≥ p ≥ b ≥ q ≥ c Với a > b > c > , qua tâm ellipsoid cho có hai mặt phẳng cắt ellipsoid theo đường trịn Câu 3: Trong khơng gian Eucild E với hệ toạ độ Descartes vng góc Oxyz Chứng minh mặt phẳng z = Ax + By + C cắt paraboloid elliptic x + y = 2pz với (p > 0) theo ellipse hình chiếu vng góc ellipse xuống mặt phẳng Oxy đường trịn Cho mặt nón x y2 z2 + − = với (a, b, c > 0) Tìm mặt phẳng có phương trình a b2 c2 dạng z = Ax + By + C cắt mặt nón cho theo đường tròn Câu 4: Trong mặt phẳng Euclid E với hệ toạ độ Descartes vng góc Oxy, cho parabola y = 2px ( p > ) có tiêu điểm F Tìm quỹ tích hình chiếu vng góc F xuống tiếp tuyến parabola Gọi AB dây cung tuỳ ý qua tiêu điểm F parabola Chứng minh 1 + FA FB số Câu 5: Trong mặt phẳng Euclid E , cho hyperbola có hai tiêu điểm F1, F2 Chứng minh rằng: · Tiếp tuyến điểm M hyperbola đường phân giác góc F1MF2 Tích khoảng cách từ hai tiêu điểm hypebola đến tiếp tuyến tuỳ ý khơng đổi Câu 6: Trong mặt phẳng Euclid E , cho ellipse có hai tiêu điểm F1, F2 Chứng minh rằng: · Tiếp tuyến điểm M ellipse đường phân giác ngồi góc F1MF2 Tích khoảng cách từ hai tiêu điểm ellipse đến tiếp tuyến tuỳ ý khơng đổi Câu 7: Trong mặt phẳng E với hệ toạ độ Descartes vng góc Oxy, cho parabola có phương trình tắc y = 2px ( p > ) Chứng minh tiếp tuyến parabola điểm (x , y ) có phương trình dạng y y = p(x + x ) Chứng minh đường thẳng có phương trình Ax + By + C = tiếp tuyến parabola pB2 = 2AC Câu 8: Trong mặt phẳng Euclid E với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho hyperbola có phương trình tắc x y2 − = (với a > b > ) a b2 Chứng minh tiếp tuyến hyperbola điểm (x , y ) có phương trình x x y0 y − =1 a2 b Chứng minh đường thẳng có phương trình Ax + By + C = tiếp tuyến a A − b B2 = C hyperbola C ≠ Câu 9: Trong mặt phẳng Euclid E với hệ toạ độ Descartes vng góc Oxy, cho ellipse có phương trình tắc x y2 + = (với a > b > ) a b2 Chứng minh tiếp tuyến ellipse điểm (x , y ) có phương trình x x y0 y + = a2 b Chứng minh đường thẳng có phương trình Ax + By + C = tiếp tuyến ellipse a A + b B = C ĐÁP ÁN DỮ LIỆU NGÂN HÀNG ĐỀ THI Mơn: Hình học Giải tích (Dùng cho: Đại học sư phạm Toán) LOẠI CÂU ĐIỂM Câu Ý Nội dung Điểm Một m - phẳng ( m ≥ ) ln song song với siêu phẳng có giao với 1,0 siêu phẳng ( m − 1) - phẳng Giả sử α m - phẳng, β siêu phẳng Nếu α β có điểm chung xảy hai trường hợp: Trường hợp 1: α ⊂ β α β song song với 0,25 Trường hợp 2: α ⊄ β α m - phẳng ( m ≥ ) nên α + β = An , ta áp dụng định lý số chiều phẳng ta có: n = m + n − − dim(α ∩ β) Từ suy ra: dim(α ∩ β) = m − nên α cắt β theo ( m − ) - phẳng 0,25 Nếu α β khơng có điểm chung ta áp dụng định lý số chiều phẳng ta u r r 0,25 có: n = m + n − − dim(α ∩ β) u r r u r r Từ suy ra: dim(α ∩ β) = m tức α ⊂ β , α β song song với 0,25 α , β song song với phẳng γ α cắt β phẳng Nếu hai phẳng 1,0 α ∩ β song song với γ u r r r Gọi α , β , γ phương α , β , γ Do α , β song song với phẳng γ nên có trường hợp sau xảy ra: u r r r α ⊂ γ u r r Trường hợp 1: r r ⇒ α ∩ β ⊂ γ nên α ∩ β song song với γ β ⊂ γ u r r r α ⊂ γ u r r Trường hợp 2: r r ⇒ α ∩ β ⊂ γ nên α ∩ β song song với γ γ ⊂ β r u r r γ ⊂ α u r r Trường hợp 3: r r ⇒ α ∩ β ⊂ γ nên α ∩ β song song với γ β ⊂ γ r u r r γ ⊂ α r u r Trường hợp 4: r r ⇒ γ ⊂ α ∩ β nên α ∩ β song song với γ γ ⊂ β 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu Ý Nội dung Xác định phẳng nhỏ chứa hệ điểm cho Kí hiệu phẳng ( Điểm M + M + L + M m ), chứng minh dim ( M + M + L + M m ) ≤ m uuuuuu uuuuuur r uuuuuuu r uuuuuu uuuuuur r uuuuuur Xét hệ m vectơ M M1 , M M ,K , M M m , gọi M M1 , M M ,K , M M k 1,5 { } { } uuuuuu uuuuuur r uuuuuuu r hệ vectơ độc lập tuyến tính tối đại hệ M M1 , M M ,K , M M m { } 0,25 uuuuuu uuuuuur r uuuuuur u r Gọi α không gian vectơ sinh hệ M M1 , M M ,K , M M k , gọi α phẳng { } u r qua M có phương α Khi α phẳng nhỏ chứa điểm cho uuuuuu u r r Thật vậy: ta dễ thấy điểm M ,K , M k thuộc α vectơ M M i ∈ α ( uuuuuu uuuuuur r uuuuuur i = 1, k ), mặt khác M M1 , M M ,K , M M k hệ vectơ độc lập tuyến tính { } 0,25 0,25 uuuuuu r k uuuuuu r uuuuuu uuuuuur r uuuuuuu r M M1 , M M ,K , M M m nên vectơ M M i = ∑ t ij M M j tối đại hệ { } j=1 uuuuuu u r r với i = k + 1,K , m M M i ∈ α với i = k + 1,K , m Do ta 0,25 suy M k +1 ,K , M m thuộc α uuuuuu ur r u ur u Giả sử α′ phẳng có phương α′ chứa điểm cho, M M i ∈ α′ ( uuuuuu uuuuuur r uuuuuuu r u r M M1 , M M ,K , M M m = α hay ur u i = 1, m ) suy α′ chứa không gian α ⊂ α′ hay α phẳng nhỏ chứa điểm cho 2 Hiển nhiên: dim ( M + M1 + L + M m ) = k ≤ m Chứng minh hệ điểm 0,25 cho độc ( M + L + M k ) ∩ ( M k +1 + L + M m ) = ∅ với ≤ k ≤ m − Nếu ( M + L + M k ) ∩ ( M k +1 + L + M m ) ≠ ∅ tồn điểm M uuuuuuu r uuuuu r k uuuuuu r M M = ∑ x i M M i M k +1M = phẳng đó, tức là: i =1 uuuuuuuu r k uuuuuu r M M k +1 = ∑ x i M M i − i =1 m ∑ j= k + 0,25 m lập 0,5 thuộc hai uuuuuuuu r k +1M j Nên: ∑xM j= k + uuuuuuuu k uuuuuu r r x j M k +1M j = ∑ x i M M i − i =1 j uuuuuuuu uuuuuu r r x j M k +1M + M M j ∑ ( m j= k + ) uuuuuu m r r m uuuuuu r r uuuuuuuu x i M M i + ∑ x j − 1÷M M k +1 − ∑ x j M M j = ∑ i =1 j= k + j= k + uuuuuu uuuuuur r uuuuuuu r Do hệ vectơ M M1 , M M ,K , M M m phụ thuộc tuyến tính (trái với giả 0,25 k Hay { } thiết) Nên ( M + L + M k ) ∩ ( M k +1 + L + M m ) = ∅ 0,25 Câu Ý Chứng minh ( Nội dung uuuuu uuuuu uuuuu r r r A ;A A1 , A A , A A ) uuuuu uuuuu uuuuu r r r A′ ;A′ A′ , A′ A′2 , A′ A′ 0 0 ( ) Điểm 1,0 mục tiêu affine A uuuuu r uuuuur uuuuur Từ giả thiết ta có: A A1 = (1; −1; −1) , A A = (0; −1; −1) , A A = (0;0; −1) , uuuuu r uuuuur uuuuur ′ A′ A1 = (1;1;0) , A′ A′ = (2;0;1) , A′ A′ = (1;0;1) Từ ta tính được: 0 0,25 −1 −1 −1 −1 = ≠ suy hệ 0 −1 0,25 { uuuuu uuuuur uuuuur r A A1 , A A , A A3 } 0,25 uuuuu uuuuur uuuuur r A ; A A1 , A A , A A mục tiêu affine A uuuuu uuuuur uuuuur r ′ Tương tự A′ ; A′ A1 , A′ A′ , A′ A′ mục tiêu affine A 0 uuuuu uuuuu uuuuu r r r A ;A A1 , A A , A A Tìm cơng thức đổi mục tiêu từ ( ) ( độc lập tuyến tính nên ) ( 0,25 ) đến 1,0 uuuuu uuuuu uuuuu r r r ′ A′ ;A′ A1 , A′ A′ , A′ A′ 0 uuuuur Trước hết ta có: A A′ = (−1; −1; −1) ( ) uuuuu uuuuur uuuuur r uuuuu r ′ Giả sử A′ A1 = (a; b;c) sở A A1 , A A , A A Khi đó: uuuuu r uuuuu r uuuuur uuuuur ′ A′ A1 = aA A1 + bA A + cA A { } 0,25 ⇒ (1;1;0) = a(1; −1; −1) + b(0; −1; −1) + c(0;0; −1) 1 = a a = ⇔ b = −2 1 = −a − b = −a − b − c c = uuuuu uuuuur uuuuur r uuuuu r ′ Suy có toạ độ A′ A1 = (1; −2;1) sở A A1 , A A , A A uuuuur uuuuur Tương tự ta A′ A′ = (2; −2; −1) , A′ A′ = (1; −1; −1) sở { { 0,25 } 0,25 uuuuu uuuuur uuuuur r A A1 , A A , A A } uuuuu uuuuur uuuuur r uuuuu uuuuur uuuuur r ′ Vậy ma trận đổi sở từ A A1 , A A , A A sang A′ ; A′ A1 , A′ A′2 , A′ A′ là: 0 { } ( 1 1 ÷ C = −2 −2 −1÷ suy cơng thức đổi mục tiêu là: −1 −1÷ Câu Ý Nội dung ) ′ x1 = x1 + 2x ′ + x ′ − ′ x = −2x1 − 2x ′ − x′ − x = x′ − x′ − x′ − 1 0,25 Điểm Có siêu phẳng α qua n điểm cho uuur uuur u uuuu r Do hệ điểm cho độc lập nên hệ vectơ P1P2 , P1P3 ,K , P1Pn độc lập tuyến tính { } uur u A n uuur uuur u uuuu r u r uur u Gọi α khơng gian vectơ A n có sở hệ vectơ P1P2 , P1P3 ,K , P1Pn u r , α phẳng qua P1 có phương α u r Khi dim α = dim α = n − nên α siêu phẳng uuu u r r Hiển nhiên α qua điểm Pi (vì P1Pi ∈ α ) uuu r r r Giả sử β siêu phẳng có phương β qua n điểm cho, P1Pi ∈β { 1,0 0,25 } r uuur u uuuu r u r nên β = P0 P1 ,K , P0 Pn = α Từ suy α = β 0,25 0,25 0,25 Vậy có siêu phẳng α qua n điểm cho uuur u r Nếu OPi = a i e i với a i ≠ i = 1, 2,K ,n phương trình siêu phẳng x x x α viết dạng + + L + n = a1 a an uuu r u r Nếu OPi = a i ei với (i = 1, 2,K , n) toạ độ điểm Pi là: P1 (a1 , 0, , 0) , P2 (0, a , 0, , 0) ,…, Pn (0, , 0, a n ) 1,0 0,25 Theo câu có siêu phẳng α qua điểm cho giả sử phương trình α dạng: A1x + A x + L + A n x + A = với A1 + A + L + A ≠ n Vì Pi ∈ α nên toạ độ Pi phải thoả mãn phương trình α , hay: 0,25 A1a1 + A = , A a + A = ,…, A n a n + A = Suy ra: A1 = − A0 A0 A0 , A2 = − ,…, A n = − a1 a2 an 2 Nếu A = A i = trái với điều kiện A1 + A + L + A n ≠ Vậy A ≠ Thay A1 = − 0,25 A0 A0 A0 , A2 = − ,…, A n = − vào phương trình ta được: a1 a2 an A A A x x x − x − x − L − x + A = hay + + L + n = (do A ≠ ) a1 a2 an a1 a an 0,25 Câu Ý Nội dung Điểm Cho m + điểm M , M1 ,K , M m độc lập Chứng minh hệ điểm 1,0 Câu Ý Nội dung Điểm Trong không gian Euclide En ( n ≥ ) với hệ toạ độ Descartes vng góc, cho siêu phẳng α có phương trình a1x1 + a x + L + a n xn + a = Viết biểu thức toạ độ biến đổi đẳng cự biến điểm M thành điểm M' cho α siêu phẳng 2,0 trung trực đoạn thẳng MM' ′ Giả sử điểm M(m1 ;K ; m n ) biến thành điểm M′(m1 ;K ; m′ ) qua phép đối xứng trực n giao qua α Khi đường thẳng d qua M vng góc với α có phương trình dạng: x1 = m1 + a1t x = m + a t n n n 0,25 Thay hệ vào phương trình α để tìm giao điểm I d với α ta toạ n ∑ a i mi + a ÷ I1 = m1 + a1 − i =1 n ÷ ∑ ÷ ÷ i =1 độ điểm I là: n ∑ a i mi + a ÷ i =1 ÷ n In = m n + a n − ∑ ÷ ÷ i =1 ′ m + m′ m + m1 n ;L ; n Do I trung điểm MM' nên I i ÷ hay m′ = 2Ii − m i (với 2 m′ = i i = 1, n ) nên ta có: − 2a i2 n ∑a i =1 i mi − 2a i n ∑a i =1 i · (a1m1 + L + a i m i + L + a n m n + a ) · i = 1, n Kí hiệu a i mi bỏ qua số hạng a i m i tổng Đặt: cii = − 2a i2 n ∑ a i2 i =1 ; cij = − 2a i a j n ∑ a i2 i =1 ; ci = − 2a i a n ∑a i =1 i 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 với 0,25 ; C = (cij ) ; c = col(c1 L c n ) Thì biểu thức toạ độ phép đối xứng trực giao qua α là: x ′ = Cx + c 0,25 Câu Ý Nội dung d(A, B) + d(B, D) + d(D,C) + d(C, A) ≥ d(A, D) + d(B,C) uuu uuu uuu r r r uuu uuu uuu r r r uuu uuu r r uuu uuu uuu r r r Ta có AB + BC = AC ⇒ AB + BC = AC ⇒ AB + BC + 2AB.BC = AC ( Điểm 1,0 ) 0,25 uuu uuu r r uuu uuu uuu uuu r r r r uuu uuu uuu r r r ⇒ AB + BC + AB BC ≥ AB + BC + 2AB.BC = AC uuu uuu uuu r r r ⇒ AB + BC ≥ AC ⇒ d(A, B) + d(B, C) ≥ d(A, C) 0,25 Ta có: d(A, B) + d(B, D) ≥ d(A, D) d(B, D) + d(D, C) ≥ d(B, C) d(A, C) + d(C, D) ≥ d(A, D) d(B, A) + d(A, C) ≥ d(B, C) 0,25 Suy ( d(A, B) + d(B, D) + d(D, C) + d(C, A) ) ≥ ( d(A, D) + d(B, C) ) 0,25 Hay d(A, B) + d(B, D) + d(D, C) + d(C, A) ≥ d(A, D) + d(B, C) d(A,C).d(B, D) + d(A, D).d(B,C) ≥ d(A, B).d(C, D) 1,0 Trên đường thẳng AB, AC, AD lấy điểm B', C ', D ' cho uuu uuuu uuu r uuu r r r ruuuu ruuuu 0,25 AB.AB' = ACAC ' = ADAD ' = k (k ≠ 0) khơng đổi Khi đó: uuu uuuu uuu r r r ruuuu Từ AB.AB' = ACAC ' ta suy tứ giác BB'C'C nội tiếp đường tròn từ ta có tam giác ABC đồng dạng với tam giác k BC AB AC AC.AC ' = = ⇒ AB = = B 'C ' AC ' AB' AB' AB' Ta có: AB.AC = AB'C' hay 0,25 k AC k BC k BC = ⇒ B'C ' = AB' B'C ' AB.AC Tương tự ta tính được: C ' D ' = k CD k DB ; D ' B' = AC.AD AD.AB 0,25 Do C ' D ' ≤ C ' B'+ B' D ' nên k CD k BC k DB ≤ + ⇔ CD.AB ≤ BC.AD + DB.AC AC.AD AB.AC AD.AB 0,25 Câu Ý Nội dung Điểm n α , β có phương Trong khơng gian Euclid E ( n ≥ ) cho hai phẳng u r r α , β Chứng minh α , β khơng có điểm chung chúng có đường 2,0 vng góc chung đường vng góc chung u r r r α∩β = r u r r uu r u r ⊥r r Gọi γ không gian bù trực giao với tổng α + β , nghĩa E n = (α + β) ⊕ γ uuu r Lấy P, Q thuộc α , β vectơ PQ phân tích cách uuu r r r r u r r r r dạng PQ = u + v víi u ∈ α + β , v ∈ γ r r r r u r r r r uu r uu r r Giả sử u = x + y víi x ∈ α , y ∈β Lấy điểm I, J cho PI = x , JQ = y I {} thuộc α cịn J thuộc β u uu uuu uu r r r r r uuu r uuu r r u r r r u r r Vì IJ = IP + PQ + QJ = − x + PQ − y ⇒ PQ = x + y + IJ Vậy IJ ∈ γ , nghĩa u r r u u r r IJ ⊥ α IJ ⊥ β 0,25 0,25 0,25 0,25 Vì α β khơng có điểm chung nên I không trùng với J, đường thẳng 0,25 IJ đường vng góc chung hai phẳng α β Nếu đường thẳng IJ cịn có đường thẳng I'J' đường vng góc chung α β , cắt α β I' J' ta có: u uur uu uu r r r u uur uu uu r r r IJ = I′J′ + II′ + J′J ⇒ IJ = I′J′ + II′ + J′J 0,25 u r uur uu uu r uu uu u r r r r r r Do d(α, β) = IJ = I′J′ nên ta có II′ + J′J = ⇒ II′ = J′J ∈ α ∩ β u r r r Từ ta suy hai đường thẳng IJ I'J' trùng α ∩ β = {} LOẠI CÂU ĐIỂM 0,25 Câu Ý Nội dung Điểm Trong không gian Euclid E với hệ toạ độ Descartes vng góc Oxyz Cho hyperboloid tầng: x2 y z + − = họ đường sinh thẳng d có a2 b c2 x z y p a + c ÷ = q 1 + b ÷ phương trình Gọi d' hình chiếu vng góc d q x − z = p − y a c÷ b÷ 3,0 xuống mặt phẳng Oxy, ellipse (E) giao tuyến hyperboloid tầng với mặt phẳng Oxy Chứng minh d' tiếp tuyến ellipse (E) Gọi d′ hình chiếu vng góc d xuống mặt phẳng Oxy, M (x , y , 0) 0,25 giao d với Oxy Khi M ∈ d , M ∈ d′ M ∈ (E) Nên x0 y0 p a = q 1 + b ÷ ta chọn q x = p − y a b ÷ 2 2 x y + = a b y0 p = + b q = x a uu q − p 2pq p + q r ; ; Từ giả thiết ta có vectơ phương d u d = ÷ Nên ac ab bc 0,25 0,25 0,25 0,25 vectơ pháp tuyến mặt phẳng α chứa d vng góc với Oxy uu 2pq p − q r nα = ; ;0 ÷ Khi phương trình α là: a b 2pq p2 − q 2pq p2 − q2 x+ y= x0 + y0 , thay p q vào phương trình a b a b 0,25 0,25 0,25 0,25 đồng thời sử dụng điều kiện x x y y x y + = ta phương trình: 02 + 02 = a b a b 2 2 x x y0 y + =1 b Do phương trình d′ a z = x y2 =1 + Mặt khác phương trình (E) a b Nên d′ tiếp tuyến (E) M0 z = 0,25 0,25 0,25 Câ Ý u Nội dung Điểm Nếu mặt phẳng α qua tâm ellipsoid cho cắt theo ellipse có bán trục lớn p, bán trục nhỏ q a ≥ p ≥ b ≥ q ≥ c x y2 z2 x y2 z2 Từ giả thiết ta có: + + ≤ + + = ⇔ x + y + z ≤ a a a a a b c 1,75 0,25 x y2 z x y2 z + + ≥ + + = ⇔ x + y + z ≥ c2 c c c a b c 0,25 Từ ta suy a ≥ p ≥ q ≥ c Ta chứng minh p ≥ b ≥ q Xét ellipse có phương trình tắc 0,25 x y2 + = (với a ≥ b ) a b2 Khi đó: b ≤ x + y ≤ a ⇒ b ≤ x + y ≤ a Gọi E ellipse giao tuyến ellipsoid cho với mặt phẳng α bán trục lớn p, bán trục nhỏ q 0,25 x y2 =1 + Gọi E' ellipse có phương trình a b gọi E'' ellipse có phương z = 0,25 0,25 y2 z + =1 trình b c Gọi M, N giao điểm E với E' E'' x = 2 0,25 Khi đó: b ≤ OM ≤ p ; q ≤ ON ≤ b hay q ≤ b ≤ p Với a > b > c > , qua tâm ellipsoid cho có hai mặt phẳng cắt ellipsoid theo đường trịn Theo phần Nếu có mặt phẳng qua tâm cắt ellipsoid cho theo đường trịn p = b = q tức đường kính đường trịn b Xét mặt cầu có phương trình x y2 z2 + + = (*), trừ vế với vế phương trình ellipsoid ta b b2 b2 1 1 − ÷x − − ÷z = b a c b Theo điều kiện a>b>c>0 1 1 1 1 − > ; − > Nên ta đặt − = A ; − = C2 ta có b a c b b a c b 1,25 0,25 0,25 0,25 0,25 phương trình A x − C z = ⇔ (Ax − Cz)(Ax + Cz) = (**) Phương trình xác định cặp mặt phẳng đồng thời điểm giao ellipsoid mặt cầu (*) thuộc mặt phẳng (**) Những mặt phẳng 0,25 qua tâm cầu cắt theo đường trịn bán kính b Vậy ellipsoid có hai thiết diện trịn qua trục trung bình có bán kính bán kính trục trung bình Câu Ý Nội dung Điểm z = Ax + By + C cắt paraboloid elliptic Chứng minh mặt phẳng x + y = 2pz với (p > 0) theo ellipse hình chiếu vng góc 1,0 ellipse xuống mặt phẳng Oxy đường tròn Nếu mặt phẳng Ax + By + C = z cắt mặt x + y = 2pz với (p > 0) hệ 0,25 x + y = 2pz phương trình sau có nghiệm hay tập điểm có toạ độ thoả z = Ax + By + C 0,25 mãn phương trình sau khác rỗng: 0,25 x + y = 2p(Ax + By + C) ⇔ (x − pA) + (y − pB) = p(2C + A + B2 ) = R Đây phương trình mặt trụ trịn xoay nên giao tuyến với mặt phẳng 0,25 Oxy đường trịn x2 y z Cho mặt nón + − = với (a,b,c > 0) Tìm mặt phẳng có a b c 2,0 phương trình dạng z = Ax + By + C cắt mặt nón cho theo đường trịn Nếu a = b tất mặt phẳng z = C cắt mặt nón theo đường trịn 0,25 a>b Nếu phương trình mặt nón a ′x + b′y − z = với 0,25 b′ = 2 c c > a ′ = > Nên giao mặt nón với mặt phẳng cho hệ: b a a ′x + b′y − z = a ′x + a ′y + a ′z + (b′ − a ′)y − (a ′ + 1)z = ⇔ z = Ax + By + C z = Ax + By + C 2 a ′x + a ′y + a ′z + (b′ − a ′)y − (a ′ + 1)(Ax + By + C) = ⇔ z = Ax + By + C 2 2 2 0,25 a ′x + a ′y + a ′z − (a ′ + 1)A x + ⇔ + ( (b′ − a ′) − (a ′ + 1)B2 ) y − 2AB(a ′ + 1)xy − (a ′ + 1)(2ACx + 2BCy + C ) = z = Ax + By + C 0,25 0,25 0,25 Muốn giao tuyến đường trịn phương trình thứ hệ phải −2AB(a ′ + 1) = A = ⇔ phương trình mặt cầu, hay ta có (a ′ + 1)A = b′ − a ′ (b′ − a ′) − (a ′ + 1)B2 = B = ± ′ a +1 Từ suy mặt phẳng phải có phương trình dạng z = C ± y số tuỳ ý b′ − a ′ với C a′ + 0,25 0,25 Câu Ý Nội dung Điểm Tìm quỹ tích hình chiếu vng góc F xuống tiếp tuyến parabola 1,25 p Phương trình parabola y = 2px có tiêu điểm F ;0 ÷ phương trình 2 tiếp tuyến parabola điểm M (x , y ) y y = p(x + x ) Phương trình 0,25 đường thẳng qua F vng góc với tiếp tuyến y x + py − px − y y + px = hệ phương trình py y x + py − = py = Giải giao điểm chân đường vng góc hạ từ F xuống tiếp tuyến qua M (x , y ) , ta x = x = x = 2 y p + 2px ⇔ y p + 2px ⇔ y0 y= 0 ÷ y = ÷ y = p + y0 p + 2px 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy quỹ tích hình chiếu vng góc tiêu điểm parabola xuống tiếp tuyến đường thẳng vng góc với trục đối xứng parabola đỉnh Gọi AB dây cung tuỳ ý qua tiêu điểm F parabola Chứng minh 1 + số FA FB p Nếu đường thẳng d qua F có phương trình y = k x − ÷, tìm giao điểm 2 2 p k p d với parabola cho: k x − ÷ = 2px ⇒ k x − p(k + 2)x + = 2 p2 p2 ⇒ xB = Gọi x A , x B toạ độ thứ A, B x A x B = 4x A 2 p p p p Suy FA = x A − ÷ + y A = x A + ÷ = x A + Tương tự FB = x B + 2 2 p p + 2x A p p + 1÷ = Do đó: FB = 2x A 2x A ÷ Từ ta được: 1 1 p 2x A + = + = + = p FA FB x + p p p + 2x A p 2x + p ( A ) ( 2x A + p ) p A 2 2x A ÷ 2 p p p Nếu đường thẳng qua F có phương trình x = A ; p ÷, B ; −p ÷ 2 2 1,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 nên FB = p , FA = p từ suy ra: 1 + = FA FB p Câu Ý Nội dung Điểm · MF 1,75 Tiếp tuyến điểm M hyperbola đường phân giác góc F1 Gọi M tiếp điểm tiếp tuyến với hyperbola, A1 , A hình chiếu vng góc hai tiêu điểm F1 , F2 xuống tiếp tuyến Từ phương trình tiếp tuyến dạng cx − 20 − a F1A1 = 2 x y0 + a4 b = x x y0 y − = F1 (−c;0) ; F2 (c : 0) nên: a2 b cx + a a2 cx −1 a2 F2 A = 2 x y0 + a4 b x y0 + a4 b = cx − a a2 2 x y0 + a4 b 0,25 0,25 0,25 x0 F1M = (x + c) + y = x + 2cx + c − b (1 − ) = a 2 2 a + b2 2 = x2 ÷+ 2cx + c − b a2 0,25 c c Thay c = a + b ta F1M = a + x = a + x Tương tự ta tính 0,25 ÷ a a F1A1 cx + a F1M c c = = F2 M = a − x ÷ = a − x Nên Từ suy F2 A cx − a F2 M a a 0,25 · · hai tam giác ∆F1A1M ∆F2 A M đồng dạng tức F1M A1 = F2 M A tiếp 0,25 · tuyếp điểm M0 hyperbola đường phân giác ngồi góc F1M F2 Tích khoảng cách từ hai tiêu điểm hyperbola đến tiếp tuyến tuỳ ý khơng đổi Từ phương trình tiếp tuyến hyperbola có dạng ∆ : − d1 = d(F1 , ∆) = cx −1 a2 2 x y0 + a4 b d = d(F2 , ∆) = cx −1 a2 2 x y0 + a4 b x x y0 y − = ta suy a2 b 1,25 0,25 0,25 đó: 2 2 c2 x c2 x c2 x c2x −1 −1 −1 −1 a4 a4 a4 a4 d1d = = = 2 = = b2 2 2 x y0 x0 x0 x0 b + a 1 c x0 + − − 1 − ÷ − 1÷ 2 ÷ a b a b a a a b b b2 a 0,25 0,25 0,25 Câ Ý Nội dung Điểm u · Tiếp tuyến điểm M ellipse đường phân giác ngồi góc F1MF2 1,75 Gọi M tiếp điểm tiếp tuyến với ellipse, A1 , A hình chiếu vng góc hai tiêu điểm F1 , F2 xuống tiếp tuyến Từ phương trình tiếp tuyến dạng x x y0 y + = F1 (−c;0) ; F2 (c : 0) nên: a2 b − F1A1 = cx −1 a2 2 x y0 + a4 b cx + a a2 = 2 x y0 + a4 b 0,25 F2 A = ; cx −1 a2 x y0 + a4 b 2 F1M = (x + c) + y = x + 2cx + c + b (1 − cx − a a2 = 2 x y0 + a4 b x0 )= a2 a − b2 2 = x ÷+ 2cx + c + b a 0,25 0,25 0,25 2 cx + a c c Thay c = a − b ta F1M = a + x ÷ = a + x = a a a 0,25 F1A1 cx + a F1M a − cx c = = Tương tự F2 M = a − x ÷ = nên Từ 0,25 F2 A cx − a F2 M a a · · suy hai tam giác ∆F1A1M ∆F2 A M đồng dạng tức F1M A1 = F2 M A 0,25 · tiếp tuyếp điểm M0 ellipse đường phân giác góc F1M F2 Tích khoảng cách từ hai tiêu điểm ellipse đến tiếp tuyến tuỳ ý khơng đổi 1,25 x x yy Từ phương trình tiếp tuyến ellipse có dạng ∆ : 02 + 02 = ta suy a b 0,25 − d1 = d(F1 , ∆) = 2 cx −1 a2 x y + a b d = d(F2 , ∆) = ; cx −1 a2 2 x y + a b 2 0,25 đó: 0,25 0,25 2 cx cx cx cx −1 −1 −1 −1 4 a a a a4 d1d = = = 2 = = b2 2 2 x y2 x0 x0 x0 b − a 1 c x0 + + + 1 − ÷ 1 − ÷ 2 ÷ a b a b a a a b b b2 a 0,25 Câu Ý Nội dung Điểm (x , y ) có phương Chứng minh tiếp tuyến parabola điểm 1,5 y y = p(x + x ) trình dạng Giả sử (x , y ) điểm thuộc parabola cho tiếp tuyến parabola 0,25 r x = x + c1t (x , y ) có phương trình tham số với c(c1 , c ) vectơ y = y0 + c2 t 0,25 phương tiếp tuyến Thay x, y vào phương trình parabola để tìm giao điểm ta phương trình 0,25 (c t + y ) = 2p(c1t + x ) ⇒ c t + 2(c y − pc1 )t = (*) Vì hai giao điểm trùng (x , y ) nên phương trình (*) có nghiệm kép t = hay c y0 − pc1 = tc1 = x − x Từ phương trình tham số tiếp tuyến ta suy tc = y − y0 0,25 0,25 0,25 Từ suy (y − y0 )y = p(x − x ) ⇒ y y = p(x + x ) Chứng minh đường thẳng có phương trình Ax + By + C = tiếp tuyến parabola pB = 2AC Tìm giao điểm đường thẳng Ax + By + C = với parabola y = 2px 1,5 0,25 Nếu A = đường thẳng có dạng By + C = ln song song với Ox nên tiếp tuyến 0,25 By + C By + C ⇒ y = −2p ÷ ⇒ Ay + 2pBy + 2pC = A A Đường thẳng tiếp xúc với parabola ∆′ = 0,25 Tức p B2 − 2pAC = ⇒ p(pB2 − 2AC) = ⇒ pB2 − 2AC = ⇒ pB2 = 2AC 0,25 Nếu A ≠ ⇒ x = − 0,25 Vậy điều kiện cần đủ để đường thẳng có phương trình Ax + By + C = tiếp tuyến parabola pB2 = 2AC 0,25 Câu Ý Nội dung Điểm (x , y ) có phương Chứng minh tiếp tuyến hyperbola điểm xx y y trình 02 − 02 = a b Giả sử (x , y ) điểm thuộc hyperbola cho tiếp tuyến hyperbola 1,5 0,25 r x = x + c1t (x , y ) có phương trình tham số là: với c(c1 , c ) vectơ y = y0 + c2 t phương tiếp tuyến Thay x, y vào phương trình hyperbola để tìm giao (c t + x ) (c t + y ) 2 điểm: − 2 = ⇒ ( b 2c1 − a 2c ) t + ( x b 2c1 − y 0a 2c ) t = (*) a b Vì hai giao điểm trùng (x , y ) nên phương trình (*) có nghiệm kép t = hay: x b c1 − y0 a c2 = ⇒ x0 y c − c2 = a b2 0,25 0,25 0,25 0,25 tc1 = x − x Từ phương trình tham số tiếp tuyến ta suy nên ta có: tc = y − y0 0,25 x (x − x ) y (y − y ) x x yy − = ⇒ 02 − 02 = 2 a b a b Chứng minh đường thẳng có phương trình Ax + By + C = tiếp 1,5 a A − b B = C tuyến hyperbola C ≠ Ta tìm giao điểm đường thẳng Ax + By + C = với hyperbola cho Nếu B ≠ y = − 2 2 Ax + C x (Ax + C) ⇒ 2− −1 = B a B2 b 0,25 ⇒ (B2 b − a A )x − 2ACa x − a 2C − a b B2 = (**) đường thẳng Ax + By + C = tiếp tuyến hyperbola 0,25 phương trình (**) có nghiệm kép hay: B2 b 2a (a A − b B2 − C2 ) = ∆′ = a A − b B2 − C = ⇔ 2 ⇔ 2 2 2 a A − b B ≠ a A − b B ≠ C ≠ Nếu B = phương trình đường thẳng Ax + C = điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với hyperbola C a A − b B − C = C = ±aA = ±a ⇔ ⇔ A C ≠ C ≠ C ≠ 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu Ý Nội dung Điểm (x , y ) có phương trình Chứng minh tiếp tuyến ellipse điểm x0 x y y + = a2 b Giả sử (x , y ) điểm thuộc ellipse cho tiếp tuyến ellipse 1,5 r x = x + c1t 0,25 (x , y ) có phương trình tham số là: với c(c1 , c ) vectơ y = y0 + c2 t phương tiếp tuyến Thay x, y vào phương trình ellipse để tìm giao điểm: 0,25 (c1t + x ) (c t + y ) 2 + = ⇒ ( b c1 + a c ) t + ( x b 2c1 + y 0a 2c ) t = (*) a2 b2 0,25 Vì hai giao điểm trùng (x , y ) nên phương trình (*) có nghiệm kép x0 y0 t = hay x b c1 + y0 a c2 = ⇒ c1 + c = a b tc1 = x − x Từ phương trình tham số tiếp tuyến ta suy nên ta có: tc = y − y x (x − x ) y (y − y ) x x yy + = ⇒ 02 + 02 = 2 a b a b Chứng minh đường thẳng có phương trình Ax + By + C = tiếp tuyến ellipse a A + b 2B = C2 Ta tìm giao điểm đường thẳng Ax + By + C = với ellipse cho 0,25 0,25 0,25 1,5 Nếu B ≠ thì: y=− Ax + C x (Ax + C) x A x + 2ACx + C ⇒ 2+ −1 = ⇒ + −1 = B a B2 b a B2 b ⇒ (B2 b + a A )x + 2ACa x + a 2C − a b B2 = (**) 0,25 0,25 đường thẳng Ax + By + C = tiếp tuyến ellipse phương trình (**) có nghiệm kép hay: ∆′ = ⇔ B2 b 2a (a A + b B2 − C ) = ⇔ a A + b B2 − C = Nếu B = phương trình đường thẳng cho có dạng Ax + C = điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với ellipse là: C = ±a ⇔ C = ±aA ⇔ a A + b B2 − C = A 0,25 0,25 0,25 0,25 ... tiếp tuyến ellipse a A + b B = C ĐÁP ÁN DỮ LIỆU NGÂN HÀNG ĐỀ THI Mơn: Hình học Giải tích (Dùng cho: Đại học sư phạm Tốn) LOẠI CÂU ĐIỂM Câu Ý Nội dung Điểm Một m - phẳng ( m ≥ ) song song với siêu... cắt mặt nón cho theo đường tròn Câu 4: Trong mặt phẳng Euclid E với hệ toạ độ Descartes vng góc Oxy, cho parabola y = 2px ( p > ) có tiêu điểm F Tìm quỹ tích hình chiếu vng góc F xuống tiếp tuyến... phẳng phải có phương trình dạng z = C ± y số tuỳ ý b′ − a ′ với C a′ + 0,25 0,25 Câu Ý Nội dung Điểm Tìm quỹ tích hình chiếu vng góc F xuống tiếp tuyến parabola 1,25 p Phương trình parabola