Một số phép đối xứng của đồ thị hàm số (KL06376)

LỜI CAM ĐOAN Bài khóa luận "Một số phép đối xứng của đồ thị hàm số" được hoàn thành dựa trên sự tổng hợp kiến thức của bản thân trong 4 năm học tập tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2..

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

HÀ NỘI – 2014

LỜI CẢM ƠN

Trên thực tế không có sự thành công nào mà không gắn liền với sự giúp đỡ cũng như hỗ trợ từ người khác dù ít hay nhiều, dù trực tiếp hay gián tiếp Trong suốt 4 năm học tập trên giảng đường trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ và chỉ bảo tận tình của các quý thầy cô, gia đình và bạn bè

Với lòng biết ơn sâu sắc nhất, em xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu Trường đại học Sư phạm Hà Nội 2, ban chủ nhiệm khoa toán đã tạo điều kiện cho

em được làm khóa luận

Đặc biệt em xin chân thành cám ơn ThS Nguyễn Thị Bình tận tình quan tâm, hướng dẫn, giảng giải cho em những kiến thức cần thiết để em hoàn thành bài khóa luận này

Do hạn chế về điều kiện thời gian, bài khóa luận của em không tránh khỏi sai sót rất mong được nhận được nhiều ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo để bài khóa luận của em được hoàn chỉnh hơn

LỜI CAM ĐOAN Bài khóa luận "Một số phép đối xứng của đồ thị hàm số" được hoàn thành

dựa trên sự tổng hợp kiến thức của bản thân trong 4 năm học tập tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Đồng thời khóa luận cũng khai thác các kiến thức trong tài liệu tham khảo đã được nêu rõ trong phần tài liệu tham khảo Tôi xin cam

đoan khóa luận "Một số phép đối xứng của đồ thị hàm số" là kết quả nghiên

cứu của bản thân Khóa luận hoàn toàn không sao chép từ các tài liệu khác

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 3

1.1 Hàm số 3

1.1.1 Khái niệm hàm số 3

1.1.2 Các tính chất của hàm số 3

1.2 Đồ thị hàm số 7

1.2.1 Khái niệm đồ thị hàm số 7

1.2.2 Một số ví dụ về đồ thị hàm số 7

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHÉP ĐỐI XỨNG 9

2.1 Phép đối xứng qua gốc tọa độ 9

2.1.1 Khái niệm 9

2.1.2 Một số ví dụ và bài toán liên quan 9

2.2 Phép đối xứng qua các trục tọa độ 21

2.2.1 Phép đối xứng qua trục Ox 21

2.2.2 Phép đối xứng qua trục Oy 37

2.3 Phép đối xứng qua đường phân giác thứ nhất 47

2.3.2 Một số ví dụ và bài toán liên quan 48

CHƯƠNG 3: TÍCH CÁC PHÉP ĐỐI XỨNG 52

3.1 Đối xứng tâm và đối xứng trục Ox 52

3.1.1 Dạng 1: 52

3.1.2 Dạng 2: 55

3.2 Đối xứng tâm và đối xứng trục Oy 58

3.2.1 Dạng 1: 58

3.2.2 Dạng 2: 61

KẾT LUẬN 65

TÀI LIỆU THAM KHẢO 67

1

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong nhà trường phổ thông, môn toán giữ một vị trí hết sức quan trọng

Nó giúp học sinh học tốt các môn học khác, là công cụ của nhiều ngành khoa học và cũng là công cụ để hoạt động trong đời sống thực tế Môn toán có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy

Đại số là một bộ phận lớn trong toán học, trong đó hàm số là một khái niệm cơ bản và quan trọng, không những là đối tượng nghiên cứu của đại số

mà còn liên quan chặt chẽ tới các chủ đề khác như phương trình, bất phương trình Phép đối xứng của đồ thị hàm số là một khía cạnh kiến thức cơ bản trong chủ đề hàm số Nó giúp chúng ta nghiên cứu về mối quan hệ giữa một

số hàm số với nhau cũng như giúp giải quyết một số bài toán liên quan về hàm số một cách dễ dàng và nhanh chóng

Tuy nhiên, những tài liệu nghiên cứu về các phép đối xứng này chưa có nhiều Các dạng bài tập còn chưa được phân loại rõ ràng, hệ thống hóa chưa

đa dạng, đầy đủ Vì vậy, việc nghiên cứu chúng gặp nhiều khó khăn, gây ảnh hưởng tới việc nắm bắt kiến thức và giải bài tập

Với những lí do trên cùng niềm say mê nghiên cứu và sự chỉ bảo tận tình

của ThS Nguyễn Thị Bình, em đã mạnh dạn chọn đề tài "Một số phép đối xứng của đồ thị hàm số" để làm khóa luận tốt nghiệp nhằm phân loại hệ

thống một số bài toán liên quan đến đề tài này Từ đó giúp các em học sinh có thêm tài liêu học tập để có cái nhìn toàn diện nhất về các phép đối xứng của

đồ thị hàm số và các bài toán liên quan đồng thời cũng cho thấy vai trò quan trọng của hàm số trong môn toán ở trường phổ thông

2

2 Mục đích nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu một số kiến thức cơ bản về hàm số và đồ thị hàm số Nghiên cứu chủ yếu về một số phép đối xứng của đồ thị hàm số và ứng dụng của chúng vào việc giải các bài toán liên quan

3 Đối tượng nghiên cứu

Một số phép đối xứng của đồ thị hàm số và các bài toán liên quan

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu sau đó phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

+ Về mặt lí luận, đề tài "Một số phép đối xứng của đồ thị hàm số" đã

nghiên cứu, đào sâu thêm một khía cạnh kiến thức của chủ đề hàm số

Đề tài này giúp chúng ta có một cái nhìn bao quát, tổng thể và rõ ràng

về phép đối xứng của đồ thị

+ Về mặt thực tiễn, đề tài "Một số phép đối xứng của đồ thị hàm số"

giúp các em học sinh phổ thông có thêm tài liệu nghiên cứu về đồ thị của một số hàm số đặc biệt như hàm giá trị tuyệt đối, hàm mũ, hàm logarit, Đồng thời những kiến thức này giúp các em giải quyết một số các bài toán liên quan về đồ thị hàm số

Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định trên 𝐷, (𝑎, 𝑏) ⊂ 𝐷 Ta nói 𝑓(𝑥) là hàm

số đồng biến (nghịch biến) trên (𝑎, 𝑏) nếu ∀𝑥1,𝑥2 ∈ 𝑎, 𝑏 sao cho 𝑥1 < 𝑥2thì𝑓(𝑥1)<𝑓(𝑥2) (𝑓(𝑥1)>𝑓(𝑥2))

Hàm số đồng biến và nghịch biến gọi chung là hàm số đơn điệu

1.1.2.1.2 Tính chất

 Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) đồng biến (nghịch biến) trên (𝑎, 𝑏) Khi đó

∀𝑐 ∈ 𝑅, hàm số 𝑓 𝑥 + 𝑐 cũng đồng biến (nghịch biến) trên (𝑎, 𝑏)

 Cho 2 hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑔(𝑥) cùng đồng biến (nghịch biến) trên (𝑎, 𝑏) thì các hàm số 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) cũng đồng biến (nghịch biến) trên

4

(𝑎, 𝑏) Hơn nữa, nếu (𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 thì hàm số 𝑓(𝑥).𝑔(𝑥) cũng đồng biến (nghịch biến) trên (𝑎, 𝑏)

 Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) đồng biến (nghịch biến) trên (𝑎, 𝑏) Khi đó hàm

số 𝑘 𝑓(𝑥) đồng biến (nghịch biến ) trên (𝑎, 𝑏) nếu 𝑘 > 0 và hàm số

𝑘 𝑓(𝑥) nghịch biến (đồng biến) trên (𝑎, 𝑏) nếu 𝑘 < 0

 Đồ thị hàm số đồng biến (nghịch biến) là một đường đi lên từ trái qua phải (đi xuống từ trái qua phải) theo Ox Từ đây suy ra đồ thị của một hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến cùng trên (𝑎, 𝑏) sẽ cắt nhau tại không quá một điểm

1.1.2.2 Hàm số chẵn, hàm số lẻ

1.1.2.2.1 Định nghĩa

Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định trên 𝐷

 Ta nói 𝑓(𝑥) là hàm số chẵn trên 𝐷 nếu ∀𝑥 ∈ 𝐷 => 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥)∀𝑥 ∈ 𝐷 => −𝑥 ∈ 𝐷

 Ta nói𝑓(𝑥) là hàm số lẻ trên 𝐷 nếu ∀𝑥 ∈ 𝐷 => 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥)∀𝑥 ∈ 𝐷 => −𝑥 ∈ 𝐷

5

1.1.2.3.2 Tính chất

 Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) tuần hoàn (chu kì 𝑇) trên 𝐷 Khi đó, các hàm số

𝑓 𝑥 + 𝑐, 𝑘 𝑓(𝑥)(𝑘 ≠ 0) cũng tuần hoàn (chu kì 𝑇)

 Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) tuần hoàn chu kì 𝑇 Khi đó, hàm số

𝑦 = 𝑓 𝑘 𝑥 , 𝑘 ≠ 0 cũng tuần hoàn với chu kì 𝑇

𝑘

 Cho 2 hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑔(𝑥) cùng tuần hoàn với chu kì 𝑇 thì các

hàm số 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) cũng tuần hoàn với chu kì 𝑇

 Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) tuần hoàn với chu kì 𝑇1, hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥) tuần

hoàn với chu kì 𝑇2

Nếu tồn tại hàm số 𝑔: 𝑌 → 𝑋 sao cho 𝑔 = 𝑖𝑑𝑌 , 𝑔 𝑓 = 𝑖𝑑𝑋 thì 𝑔 được

gọi là hàm số ngược của hàm số 𝑓 Kí hiệu 𝑔 = 𝑓−1

1.1.2.4.2 Định lý

Định lí 1 (điều kiện cần và đủ để hàm số có hàm số ngược)

Điều kiện cần và đủ để 𝑓: 𝑋 → 𝑌 có hàm số ngược là 𝑓 là song ánh

Định lí 2

Đồ thị của 2 hàm số ngược nhau đối xứng nhau qua đường phân giác của

góc phần tư thứ nhất

Hàm hợp của 𝑓1 và 𝑓2 là hàm số 𝑓: 𝑋−> 𝑍 được định nghĩa bởi

𝑓 𝑥 = 𝑓2 𝑓1 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑅

VD: Hàm số 𝑓 𝑥 = sin⁡(𝑥2 + 2) là hàm hợp của hai hàm số 𝑓1 𝑥 = 𝑥2 + 2

và 𝑓2 𝑦 = sin 𝑦

1.1.2.6 Phân loại hàm số

Hàm số chia làm 2 dạng: hàm số sơ cấp và hàm số không sơ cấp

 Hàm số sơ cấp là tổ hợp các hàm số của các hàm số sơ cấp cơ bản bằng các phép toán hàm số Hàm số sơ cấp cơ bản là các hàm số: đa thức, phân thức, số mũ,logarit, lượng giác, lượng giác ngược, lũy thừa Hàm

số sơ cấp gồm 2 loại:

+ Hàm số đại số: là hàm số khi tính giá trị của y ta chỉ phải thực hiện một số hữu hạn các phép tính đại số cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa với các số mũ hữu tỷ của biến số

Hàm số đại số gồm 2 loại: hàm số hữu tỉ và hàm số vô tỉ Hàm số hữu tỉ

là hàm số đại số trong đó đối số không có dạng lũy thừa của phân số (có thể có lũy thừa với số mũ nguyên)

+ Hàm số siêu việt

 Hàm số không sơ cấp

Việc biểu diễn các điểm (𝑥, 𝑓 𝑥 ) thuộc đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) lên

mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦 gọi là vẽ đồ thị của hàm số

CY: Một đường 𝜏(đường cong hoặc đường thẳng) trong mặt phẳng tọa độ

8

VD2: Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥2+2𝑥−2𝑥−1

Đồ thị 2

độ O ta được mọi điểm thuộc đồ thị hàm số (𝐶′)

Với 𝑥 = 2 thì 𝑦 2 = 3

𝑦′′ = −6𝑥 + 6

𝑦′′ = 0 <=> −6𝑥 + 6 = 0 <=> 𝑥 = 1 Với 𝑥 = 1 thì 𝑦 1 = 1

=> Đồ thị hàm số nhận 𝐼(1,1) là điểm uốn

1 Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 4x − 2

Đồ thị 5

VD3: Cho hàm số sau: 𝑦 = cos 𝑥 (𝐶3)

+ Số nghiệm của phương trình 𝑔 𝑥 = 𝑕(𝑚) là số điểm chung của đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥) với đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑕(𝑚)

Với 𝑥 = 2 thì 𝑦 2 = 1

17

+ Bảng biến thiên

𝑥 -∞ 0 1 2 +∞ 𝑦′ + 0 - ║ - 0 +

 Lấy đối xứng hai tiệm cận của đồ thị 𝑦 = 𝑓(𝑥) qua gốc tọa độ

O ta được tiệm cận đứng 𝑥 = −1 và tiệm cận xiên 𝑦 = 𝑥 + 2 của đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥)

 Lấy đối xứng hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số

𝑦 = 𝑓(𝑥) qua gốc tọa độ O ta được hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥)

Từ đó ta vẽ được đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥)

+ Biện luận

Số nghiệm của phương trình (1) bằng số nghiệm của phương trình (3)

Số nghiệm của phương trình (3) là số điểm chung của đồ thị hàm số

𝑦 = 𝑔 𝑥 = 𝑥2+3𝑥+3𝑥+1 và đương thẳng 𝑦 = 𝑚

Từ đồ thị ta thấy:

19

 Với −1 < 𝑚 < 3: phương trình (3) vô nghiệm

 Với 𝑚 = −1𝑚 = 3 : phương trình (3) có nghiệm duy nhất

 Với ∈ −∞, −1 ∪ (3, +∞) : phương trình (3) có hai nghiệm

phân biệt

+ Kết luận: Vậy với

 −1 < 𝑚 < 3: phương trình (1) vô nghiệm

 𝑚 = −1

𝑚 = 3 : phương trình (1) có nghiệm duy nhất

 𝑚 ∈ −∞, −1 ∪ (3, +∞) : phương trình (1) có hai nghiệm

1 Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥 + 1

Đồ thị 8

2 Ta có:

20

𝑥3 − 3𝑥 + 2𝑚2 − 𝑚 − 2 = 0

<=> 𝑥3 − 3𝑥 − 1 = −2𝑚2 + 𝑚 + 1 + Chứng minh đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥 − 1 đối xứng với đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥 + 1 qua gốc tọa độ O

+ Biện luận: Tìm m thỏa mãn yêu cầu bài toán

+ Kết luận: ∄𝑚 để bất phương trình đã cho luôn đúng với ∀𝑥 ∈ 𝑇𝑋Đ

2.2 Phép đối xứng qua các trục tọa độ

VD: Cho hàm số sau 𝑦 =2𝑥−1𝑥−1 𝐶

25

Từ đó ta vẽ được đồ thị hàm số 𝑦 =2𝑥−11−x có tiệm cận đứng 𝑥 = 1, tiệm cận ngang 𝑦 = −2 và các điểm 𝐴(3

2, −4), 𝐵(2, −3), 𝐶(0, −1) thuộc đồ thị hàm số 𝑦 = 2𝑥−11−x.

Từ dạng 1 ta xét các bài toán cụ thể sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị của (𝐶) nằm phía trên Ox

+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (𝐶) phía dưới Ox qua Ox rồi bỏ phần đồ thị phía dưới Ox

+ Bảng biến thiên

27

+ Giữ nguyên phần đồ thị của (𝐶1) nằm phía trên Ox

+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (𝐶1) nằm phía dưới trục Ox qua Ox rồi

bỏ phần đồ thị của 𝐶1 nằm phía dưới Ox

VD2: Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥2𝑥+1−𝑥+2

HD:

Ta có 𝑦 =𝑥2 𝑥+1 −𝑥+2 =

𝑥 2 −𝑥+2 𝑥+1 𝑣ớ𝑖𝑥 ≥ −1

−𝑥 2 +𝑥−2 𝑥+1 𝑣ớ𝑖𝑥 < −1 + Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥2𝑥+1−𝑥+2(𝐶2)

+ Giữ nguyên phần đồ thị của (𝐶2) nằm bên phải đường thẳng = −1𝑥 >

−1

+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (𝐶2) nằm bên trái đường thẳng 𝑥 = −1 qua Ox rồi bỏ phần đồ thị của (𝐶2) nằm bên trái đường thẳng 𝑥 = −1

Đồ thị 13

+ Giữ nguyên phần đồ thị của (𝐶) nằm phía trên trục Ox

+ Lấy đối xứng phần đồ thị vừa giữ nguyên qua Ox rồi bỏ phần

đồ thị của (𝐶) phía dưới Ox

VD1: Cho hàm số sau 𝑦 = log2𝑥 (𝐶1)

+ Giữ nguyên phần đồ thị của (𝐶1) nằm phía trên Ox

+ Lấy đối xứng phần đồ thị vừa giữ nguyên qua Ox rồi bỏ phần đồ thị của (𝐶1) nằm phía dưới Ox

VD2: Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥2+2𝑥+2𝑥+1 (𝐶2)

3

2

-2 -3

+ Giữ nguyên phần đồ thị của (𝐶3) nằm phía trên Ox

+ Lấy đối xứng phần đồ thị vừa giữ nguyên qua Ox rồi bỏ phần đồ thị của

𝐶3 nằm phía dưới Ox

31

+ Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥)

+ Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥)

 Khi 𝑓 𝑥 = 1 thì 𝑓 𝑥 = 1 Khi 𝑓 𝑥 = 0 thì 𝑓 𝑥 = 0

 Với 𝑓 𝑥 > 1 thì 𝑓 𝑥 < 𝑓(𝑥) Với 0 < 𝑓 𝑥 < 1 thì 𝑓 𝑥 > 𝑓(𝑥) + Vẽ = − 𝑓(𝑥) : Lấy đối xứng đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) qua trục Ox ta thu được đồ thị hàm số 𝑦 = − 𝑓(𝑥)

=> Đồ thị hàm số nhận 𝐼(,0) làm điểm uốn

+ Bảng biến thiên

𝑥 -∞ 1 +∞

𝑦′ +

34

2.2.1.2.2 Dạng 2: Biện luận số nghiệm của phương trình, bất phương trình

dựa vào đồ thị hàm số đã cho Cách giải:

Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥)(𝐶)

Hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥) có đồ thị đối xứng với đồ thị (𝐶) qua trục Ox + Số nghiệm của phương trình 𝑔 𝑥 = 𝑕(𝑚) là số điểm chung của đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥) và đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑕(𝑚) + Biện luận tương tự đối với bất phương trình

1.Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 =𝑥2−3𝑥+6𝑥−1

36

<=> Đường thẳng 𝑦 = 𝑚2 + 1 cắt đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔 𝑥 = 𝑥2−3𝑥+6𝑥−1 tại 4 điểm phân biệt

<=> 𝑚2 + 1 > 5

<=> 𝑚2 − 4 > 0

<=> 𝑚 > 2𝑚 < −2 Vậy với 𝑚 > 2𝑚 < −2 phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt

VD2: Bằng phương pháp đồ thị hàm số, hãy chứng minh phương trình sau

nghiệm đúng với ∀𝑚 ∈ 𝑅:

2𝑥 − 1

𝑥 − 1 + 𝑚2− 2𝑚 + 4 > 0 HD:

VD: Cho hàm số sau 𝑦 = 2𝑥(𝐶)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

2 Từ đồ thị (𝐶) vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 12 𝑥

Lấy đối xứng các điểm 𝐴 1,2 , 𝐵 2,4 thuộc đồ thị hàm số 𝑦 = 2𝑥 qua

Oy ta được các điểm 𝐴 −1,2 , 𝐵 −2,4 thuộc đồ thị hàm số 𝑦 = 12 𝑥

+ Giữ nguyên phần đồ thị của (𝐶) nằm bên phải trục Oy + Lấy đối xứng phần đồ thị vừa giữ nguyên qua Oy rồi bỏ phần đồ thị của 𝐶 nằm bên trái trục Oy

42

𝑦′′ = −6x + 6

𝑦′′ = 0 <=> −6x + 6 = 0 <=> 𝑥 = 1 Với x = 1 thì 𝑦 1 = 0

=>𝐼 1,0 là điểm uốn của đồ thị hàm số

43

2 Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = −( 𝑥 )3 + 3𝑥2 − 4 𝑥 + 2

+ Giữ nguyên phần đồ thị của (𝐶1) nằm bên phải trục Oy

+ Lấy đối xứng phần đồ thị vừa giữ nguyên qua Oy rồi bỏ phần đồ thị của (𝐶1) nằm bên trái trục Oy

VD2: Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = sin 𝑥

HD:

+ Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = sin 𝑥 (𝐶2)

+ Giữ nguyên phần đồ thị của (𝐶2) nằm bên phải trục Oy

+ Lấy đối xứng phần đồ thị vừa giữ nguyên qua Oy rồi bỏ phần đồ thị của (𝐶2) nằm bên trái trục Oy

Đồ thị 23

44

2.2.2.2.2 Dạng 2: Biện luận số nghiệm của phương trình, bất phương trình

dựa vào đồ thị hàm số đã cho Cách giải:

Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥)(𝐶)

Hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥) có đồ thị đối xứng với đồ thị (𝐶) qua trục Oy + Số nghiệm của phương trình 𝑔 𝑥 = 𝑕(𝑚) là số điểm chung của đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥) với đồ thị hàm số

1 Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 =𝑥2−2𝑥−3𝑥−2

Giữ nguyên phần đồ thị của (𝐶1) nằm bên phải trục Oy Lấy đối xứng

phần đồ thị vừa giữ nguyên qua Oy rồi bỏ phần đồ thị của (𝐶1) nằm

bên trái trục Oy

+ Từ đồ thị ta thấy đường thẳng 𝑦 = 𝑚2 + 𝑚 + 1 luôn cắt đồ thị hàm số

𝑦 = 𝑥2−2𝑥−1𝑥−3 tại 2 điểm phân biệt với ∀𝑚

Vậy phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với ∀𝑚

VD2: Cho hàm số sau 𝑦 = −13𝑥3 + 𝑥2 −13(𝐶2)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

2 Tìm m để bất phương trình sau luôn có nghiệm:

𝑥 3 + 3x2 − m2 − 4 ≥ 0(2) HD:

1 Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = −13𝑥3 + 𝑥2 −13