Khóa luận tốt nghiệp toán Một số phép đối xứng của đồ thị hàm số

TRƯỜNG ĐAI HOC sư PHAM HÀ NÔI 2 • • • • KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ KHUYÊN MÔT SỐ PHÉP ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THI HÀM SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • Chuyên ngành: Đại số HÀ NÔI - 2014 LỜI CẢM ƠN Trên thực tế không có sự thành công nào mà không gắn liền với sự giúp đỡ cũng như hỗ trợ từ người khác dù ít hay nhiều, dù trực tiếp hay gián tiếp. Trong suốt 4 năm học tập trên giảng đường trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ và chỉ bảo tận tình của các quý thầy cô, gia đình và bạn bè. Với lòng biết ơn sâu sắc nhất, em xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu Trường đại học Sư phạm Hà Nội 2, ban chủ nhiệm khoa toán đã tạo điều kiện cho em được làm khóa luận. Đặc biệt em xin chân thành cám ơn ThS Nguyễn Thị Bình tận tình quan tâm, hướng dẫn, giảng giải cho em những kiến thức cần thiết để em hoàn thành bài khóa luận này. Do hạn chế về điều kiện thời gian, bài khóa luận của em không tránh khỏi sai sót rất mong được nhận được nhiều ý kiến đóng góp của các thày, cô giáo để bài khóa luận của em được hoàn chỉnh hơn. LỜI CAM ĐOAN Bài khóa luận "Một số phép đối xứng của đồ thị hàm số" được hoàn thành dựa trên sự tổng hợp kiến thức của bản thân trong 4 năm học tập tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Đồng thời khóa luận cũng khai thác các kiến thức trong tài liệu tham khảo đã được nêu rõ trong phần tài liệu tham khảo. Tôi xin cam đoan khóa luận "Một sổ phép đổi xứng của đồ thị hàm số" là kết quả nghiên cứu của bản thân. Khóa luận hoàn toàn không sao chép từ các tài liệu khác. MỤC LỤC MỞ ĐẦU MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong nhà trường phổ thông, môn toán giữ một vị trí hết sức quan ttọng. Nó giúp học sinh học tốt các môn học khác, là công cụ của nhiều ngành khoa học và cũng là công cụ để hoạt động trong đời sống thực tế. Môn toán có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy Đại số là một bộ phận lớn trong toán học, ừong đó hàm số là một khái niệm cơ bản và quan trọng, không những là đối tượng nghiên cứu của đại số mà còn liên quan chặt chẽ tới các chủ đề khác như phương trình, bất phương trình Phép đối xứng của đồ thị hàm số là một khía cạnh kiến thức cơ bản trong chủ đề hàm số. Nó giúp chúng ta nghiên cứu về mối quan hệ giữa một số hàm số với nhau cũng như giúp giải quyết một số bài toán liên quan về hàm số một cách dễ dàng và nhanh chóng. Tuy nhiên, những tài liệu nghiên cứu về các phép đối xứng này chưa có nhiều. Các dạng bài tập còn chưa được phân loại rõ ràng, hệ thống hóa chưa đa dạng, đầy đủ. Vì vậy, việc nghiên cứu chúng gặp nhiều khỏ khăn, gây ảnh hưởng tới việc nắm bắt kiến thức và giải bài tập. Với những lí do trên cùng niềm say mê nghiên cứu và sự chỉ bảo tận tình của ThS Nguyễn Thị Bình, em đã mạnh dạn chọn đề tài "Một số phép đối xứng của đồ thị hàm số" để làm khóa luận tốt nghiệp nhằm phân loại hệ thống một số bài toán liên quan đến đề tài này. Từ đó giúp các em học sinh có thêm tài liêu học tập để có cái nhìn toàn diện nhất về các phép đối xứng của đồ thị hàm số và các bài toán liên quan đồng thời cũng cho thấy vai trò quan trọng của hàm số trong môn toán ở trường phổ thông. 2. Mục đích nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu một số kiến thức cơ bản về hàm số và đồ thị hàm số. Nghiên cứu chủ yếu về một số phép đối xứng của đồ thị hàm số và ứng dụng của chúng vào việc giải các bài toán liên quan. 3. Đổi tượng nghiên cứu Một số phép đối xứng của đồ thị hàm số và các bài toán liên quan. 4 4. Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu sau đó phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa. 5. Ỷ nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài + về mặt lí luận, đề tài "Một sổ phép đối xứng của đồ thị hàm số" đã nghiên cứu, đào sâu thêm một khía cạnh kiến thức của chủ đề hàm số. Đề tài này giúp chúng ta có một cái nhìn bao quát, tổng thể và rõ ràng về phép đối xứng của đồ thị. + về mặt thực tiễn, đề tài "Một số phép đối xứng của đồ thị hàm số" giúp các em học sinh phổ thông có thêm tài liệu nghiên cứu về đồ thị của một số hàm số đặc biệt như hàm giá trị tuyệt đối, hàm mũ, hàm logarit, Đồng thời những kiến thức này giúp các em giải quyết một số các bài toán liên quan về đồ thị hàm số. CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC cơ SỞ 1.1Hàm số 1.1.1 Khái niệm hàm số Cho D с R, D фф. Một quy tắc / cho tương ứng mỗi X e D với một và chỉ một у Ẽ R gọi là một hàm số. Kí hiệu : f\D-*R X -> у Tập D được gọi là tập xác định của hàm số.Phần tử X gọi là đối số (biến số). Phần tửy E R tương ứng với X gọi là giá trị của hàm số tại X, kí hiệu У = /00- Tập hợp Tf = {f(x)\Vx G D} gọi là tập giá trị của hàm số. 1.1.2 Các tính chất của hàm số 1.1.2.1 Hàm sổ đơn điêu ■ 1.1.2.1.1 Định nghĩa Cho hàm số y = f(pc) xác định trên D, (а, Ъ) с D. Ta nói f(x) là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên (a, b) nếu x 2 G (a, b) sao cho Xị < x 2 thì/(*i)</(* 2 ) (/(*i)>/(*2))- Hàm số đồng biến và nghịch biến gọi chung là hàm số đơn điệu. 1.1.2.1.2 Tính chất 5 • Cho hàm số y = f(pc) đồng biến (nghịch biến) trên (a, b). Khi đó Vc e R, hàm số f(x') + с cũng đồng biến (nghịch biến) ữên (а, b). • Cho 2 hàm số y = f{x), у = д(х) cùng đồng biến (nghịch biến) trên (a, b) thì các hàm số f(pc) + g(x) cũng đồng biến (nghịch biến) trên (a, b). Hơn nữa, nếu (x) > 0, Vx € (a, b) thì hàm số f(x).g(x) cũng đồng biến (nghịch biến) trên (a, b). • Cho hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên (a, b). Khi đó hàm số k.f(pc) đồng biến (nghịch biến ) trên (a, b) nếu к > 0 và hàm số k.f(pc) nghịch biến (đồng biến) trên (а, b) nếu к < 0. • Đồ thị hàm số đồng biến (nghịch biến) là một đường đi lên từ trái qua phải (đi xuống từ trái qua phải) theo Ox. Từ đây suy ra đồ thị của một hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến cùng trên (а, b) sẽ cắt nhau tại không quá một điểm. 1.1.2.2 Hàm số chẵn, hàm số lẻ 1.1.2.2.1 Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. T л 1 Ä , Л T - J * í V x E D = > - x E D • Ta nói fix) la hàm sô chăn trên D nêu jy g £ Д ) • Ta nói/(%) là hàm số lẻ trên D nếu Ị Vx ^ /(-x)*- -fix') 1.1.2.2.2 Tính chất • Đồ thị của hàm số chẵn nhận Oy làm trục đối xứng. • Đồ thị của hàm số lẻ nhận о làm tâm đối xứng. 1.1.2.3 Hàm sổ tuần hoàn 1.1.2.3.1 Định nghĩa Cho hàm số у = f(pc) xác định trên D. Ta nói f(x) tuần hoàn trên D nếu m , fVx G D => X ± T G D ЭТ > 0 sao c h o Ị e D => f(x ±T) = № SỐ T > 0 nhỏ nhất (nếu có) thỏa mãn điều kiện trên gọi là chu kì tuần hoàn của hàm số fix'). 1.1.2.3.2 Tính chất 6 • Cho hàm số y = f(x) tuần hoàn (chu kì T) trên D. Khi đó, các hàm số f{x) + c, k.f(x)(k Ф 0) cũng tuần hoàn (chu kì T). • Cho hàm số y = f(x) tuần hoàn chu kì T. Khi đó, hàm số T y = f(k. x), к 0 cũng tuần hoàn với chu kì — I к I • Cho 2 hàm số y = f{x), у = g(x) cùng tuần hoàn với chu kì г thì các hàm số f{p c) ± g{pc ) cũng tuần hoàn với chu kì T. • Cho hàm số y = f(x) tuần hoàn với chu kì r ls hàm số y = g(x) tuần hoàn với chu kì T 2 . + Nếu— = - G Q thì f(x) ± g(x) cũng tuần hoàn với chu kì Î2 4 qT\ = pT 2 . r T - 1 + Nêu — Ệ: Q thì các hàm sô này không tuân hoàn. T 2 1.1.2.4Hàm số ngược 1.1.2.4.1 Định nghĩa Cho hàm số /: X -> Y (X, Y с Я). Nếu tồn tại hàm số g:Y -» X sao cho . g = idy , g.f = idỵ thì g được gọi là hàm số ngược của hàm số /. Kí hiệu g = / -1 . 1.1.2.4.2 Định lý Định lí 1 (điều kiên cần và đủ để hàm số cổ hàm số ngươc) Điều kiện càn và đủ để /: X -^Y có hàm số ngược là / là song ánh. Đinh lí 2 Đồ thị của 2 hàm số ngược nhau đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. Hê quả Đồ thị của 2 hàm số ngược nhau nếu cắt nhau thì phải cắt nhau ttên đường thẳng y = X. 1.1.2.5 Hàm sổ họp ĐN: Cho các hàm số A : X-> X f 2 :Y->Z với X, Y, Zthuôc/?. Hàm hợp của fl và / 2 là hàm số /: X—> z được định nghĩa bởi /00 = /2 ( / 1 (*)).* e R - 7 VD: Hàm số fix') = sinl'pc 2 + 2) là hàm hợp của hai hàm số fị (X) = X 2 + 2 và/ 2 (y) = siny. 1.1.2.6 Phân loại hàm số Hàm số chia làm 2 dạng: hàm số sơ cấp và hàm số không sơ cấp • Hàm số sơ cấp là tổ hợp các hàm số của các hàm số sơ cấp cơ bản bằng các phép toán hàm số. Hàm số sơ cấp cơ bản là các hàm số: đa thức, phân thức, số mũ,logarit, lượng giác, lượng giác ngược, lũy thừa. Hàm số sơ cấp gồm 2 loại: + Hàm số đại số: là hàm số khi tính giá trị của y ta chỉ phải thực hiện một số hữu hạn các phép tính đại số cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa với các số mũ hữu tỷ của biến số. Hàm số đại số gồm 2 loại: hàm số hữu tỉ và hàm số YÔ tỉ. Hàm số hữu tỉ là hàm số đại số ừong đó đối số không có dạng lũy thừa của phân số (có thể có lũy thừa với số mũ nguyên). + Hàm số siêu việt Hàm số không sơ cấp 1.2Đồ thỉ hàm số ■ 1.2.1. Khái niệm đồ thị hàm số KN: Cho hàm số y = f(pc) xác định trên D. Ta gọi tập hợp các điểm (pc,f (я)) với Vx Ẽ D là đồ thị của hàm số У = /00- Việc biểu diễn các điểm (x, fipc)) thuộc đồ thị của hàm số y = f(x) lên mặt phẳng tọa độ Oxy gọi là vẽ đồ thị của hàm số. CY: Một đường T(đường cong hoặc đường thẳng) trong mặt phẳng tọa độ Oxy chỉ có thể là đồ thị của một hàm số. 1.2.2 Môt số ví du về đồ thi hàm số « • ĩ VD1: Vẽ đồ thị hàm số у = X + 2 (Q) Đồ thị hàm số (Cl) gồm tập họp các điểm có tọa độ (x,x + 2) với 8 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHÉP ĐỐI XỨNG 2.1Phép đổi xứng qua gốc tọa độ 2.1.1 Khái niệm KN: Đồ thị (С): y = f(pc) là hình đối xứng của đồ thị (c'):y = g{x) qua gốc tọa độ О khi f(—x) — — g(x) với Ух. VD: Cho hàm số у = fix') = X 2 (С) У = /О) = -X 2 (СО 9 VD2: Vẽ đồ thị hàm số y = * 2+ ^* - 2.1.2 Một số ví dụ và bài toán liên quan 2.1.2.1Dang 1: Từ đồ thị hàm sổ (C) vẽ đồ thị hàm sổ (с *) đối xứng với (C) qua gốc tọa độ o. Cách giải: Cho hàm số у = f(x) (C). Đồ thị hàm số у = д{х){С) nhận được từ đồ thị hàm số (C) bằng cách lấy đối xứng mọi điểm thuộc đồ thị hàm số (C) qua gốc tọa độ О ta được mọi điểm thuộc đồ thị hàm số (C'). VD1: Cho hàm số у = —X 3 + 3x z — 1 (C) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 2. Từ đồ thị hàm số (C) vẽ đồ thị hàm số у = —X 3 + Зх 2 + 1 BL: 1. у = —X 3 + 3x 2 — 1 + TXĐ: D = R + Ta có: y' = —3x 2 + 6x y' = 0 <=> —3x z + 6x = 0 <=> — ^ Lx = 2 1 0 Đồ thị 3 [...]... có đồ thị hàm số đối xứng với đồ thị hàm số (C) qua gốc tọa độ o + Số nghiệm của phương trình д(х) = /i(m) là số điểm chung của đồ thị hàm số у = д(х) với đồ thị hàm số у = h(nì) • Vẽ đồ thị hàm số у = д(рс) đối xứng với đồ thị hàm số у = f(pc) qua gốc tọa độ o • Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số trên + Biện luận tương tự đối vói bất phương trình 1 4 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm. .. đồ thị hàm số (Ci) qua gốc t ọ a độ o + Lấy đối xứng một số điểm đặc biệt thuộc đồ thị (Cl) qua gốc tọa độ o + Ta nói các điểm vừa lấy đối xứng thuộc đồ thị (C2) từ đó ta vẽ được đồ t h ị hàm số (C2) VD3: Cho hàm số sau: y = C O S X (c3) 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C3) 2 Xác định hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị (C3) qua gốc tọa độ o Vẽ đồ thị hàm số đã tìm được HD: 1 3 r Л 1 Vẽ đô thị hàm sô... hàm số: Dựa vào định nghĩa phép đối xứng qua gốc tọa độ f(—x) = —g(x) để tìm hàm số g(x) + Lấy đối xứng một số điểm đặc biệt thuộc đồ thị (C3) qua gốc tọa độ o + Ta nói các điểm vừa lấy đối xứng thuộc đồ thị y = COS X từ đó ta vẽ được đồ thị hàm số y = — COS X 2.1.2.2Dạng 2: Biện luận sổ nghiệm của phương trình, bat phương trình dựa vào đồ thị hàm số đã cho Cách giải: Cho hàm số y = /(я) (С) Hàm số. .. > Đồ thị hàm số y = g ( p c ) đối xứng với đồ ứiị hàm số y = f ( x ) qua gốc tọa độ o + Vẽ đồ thị hàm số y = g ( x ) = x +^+3 • Lấy đối xứng hai tiệm cận của đồ thị y = f(x) qua gốc tọa độ cận đứng X = — 1 và tiệm cận xiên у = X + 2 • О ta được tiệm của đồ thị hàm số у = g(pc) Lấy đối xứng hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y = f(x) qua gốc tọa độ о ta được hai điểm cực đại và cực tiểu của. .. đó đồ thị hàm số у = g Ç p c ' ) = — X 3 — З х 2 + 1 nhận A ' là điểm cực đại, В ’ là điểm cực tiểu và г là điểm uốn Từ đó ta vẽ được đồ thị hàm số у = —X3 — Зх2 + 1 VD2: Cho hàm số sau у = X 3 1 — 3x 2 + 4x — 2 (Cj) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (Cj) 2 Từ đồ thị hàm số (Cj) vẽ đồ thị hàm số (c2)y = X 3 + 3x2 + 4x + 2 HD: 1 2 2 y = X 3 + З х 2 + 4x + 2 + Chứng minh đồ thị hàm số (C2) đối xứng với đồ thị. .. Chứng minh đồ thị hàm số y = g(pc) = X3 — Зх — 1 đối xứng với đồ hàm s ố у = thị fix) = X 3 — З х + 1 q u a g ố c t ọ a đ ộ о + Vẽ đồ thị hàm số у = д(?с) = X3 — 3x — 1 + Biện luận Số nghiệm của phương trình đã cho là số điểm chung của đồ thị hàm số у = X 3 — 3x — 1 và đường thẳng у = —2m2 + 771 + 1 => Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt Đường thẳng у = —2m2 + m + 1 cắt đồ thị hàm số у = 2... (C) qua trục Ox Cách giải: Cho hàm số у = fix') (С) Đồ thị hàm số у = д(х) nhận được tò đồ thị hàm số у = f(pc) bằng cách lấy đối xứng mọi điểm thuộc đồ thị (C) qua trục Ox ta thu được mọi điểm thuộc đồ thị hàm sốy = _ , VD: Cho hàm số sau у = g(x) 2 x —1 _1 (C) 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2 Từ đồ thị (C) vẽ đồ thị (CO của hàm số y = 2*_ - BL: 1 у = _ 2x-l -, X—1 + TXĐ: D = R\{ 1} + Ta có:... các bài toán cụ thể sau: Bài toán 1: Vẽ đồ thị hàm sổ y = 1/0*01 Cách giải: Ch o hà m số y = / (x) (C ) rr f(x )nế uf( x) > 0 Ta có y = f( x) =J • K J K J \— f(x)nể uf{x) Đồ thị hàm số y = /(*) đối xứng với đồ thị hàm số y = g(x) qua gốc t ọ a độ o Từ đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y = g ( x ) = — X 3 — 3x2 + 1 + Gọi A(0, —1); ß(2,3); /(1,1) + Lấy đối xứng các . với đồ thị hàm số у = h(nì). • Vẽ đồ thị hàm số у = д(рс) đối xứng với đồ thị hàm số у = f(pc) qua gốc tọa độ o. • Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số trên. + Biện luận. giải: Cho hàm số y = /(я) (С) Hàm số у = д{х) (C9 có đồ thị hàm số đối xứng với đồ thị hàm số (C) qua gốc tọa độ o. + Số nghiệm của phương trình д(х) = /i(m) là số điểm chung của đồ thị hàm số у = д(х). nghiên cứu Tìm hiểu một số kiến thức cơ bản về hàm số và đồ thị hàm số. Nghiên cứu chủ yếu về một số phép đối xứng của đồ thị hàm số và ứng dụng của chúng vào việc giải các bài toán liên quan. 3.