Khóa luận tốt nghiệp toán Một số phép đối xứng của đồ thị hàm số

LỜI CAM ĐOAN Bài khóa luận "Một số phép đối xứng của đồ thị hàm số" được hoàn thành dựa trên sự tổng hợp kiến thức của bản thân trong 4 năm học tập tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2..

TRƯỜNG ĐAI HOC sư PHAM HÀ NÔI 2

• • • •

KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ KHUYÊN

MÔT SỐ PHÉP ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THI HÀM SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

• • • • Chuyên ngành: Đại số

HÀ NÔI - 2014

LỜI CẢM ƠN

Trên thực tế không có sự thành công nào mà không gắnliền với sự giúp đỡ cũng như hỗ trợ từ người khác dù ít haynhiều, dù trực tiếp hay gián tiếp Trong suốt 4 năm học tậptrên giảng đường trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, em đãnhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ và chỉ bảo tận tìnhcủa các quý thầy cô, gia đình và bạn bè

Với lòng biết ơn sâu sắc nhất, em xin chân thành cám ơnBan giám hiệu Trường đại học Sư phạm Hà Nội 2, ban chủnhiệm khoa toán đã tạo điều kiện cho em được làm khóa luận.Đặc biệt em xin chân thành cám ơn ThS Nguyễn ThịBình tận tình quan tâm, hướng dẫn, giảng giải cho em nhữngkiến thức cần thiết để em hoàn thành bài khóa luận này

Do hạn chế về điều kiện thời gian, bài khóa luận của emkhông tránh khỏi sai sót rất mong được nhận được nhiều ýkiến đóng góp của các thày, cô giáo để bài khóa luận của emđược hoàn chỉnh hơn

LỜI CAM ĐOAN

Bài khóa luận "Một số phép đối xứng của đồ thị hàm số" được hoàn thành dựa trên sự tổng hợp kiến thức của bản thân trong 4 năm học tập tại trường Đại học Sư

phạm Hà Nội 2 Đồng thời khóa luận cũng khai thác các kiến thức trong tài liệu tham khảo đã được nêu rõ trong

phần tài liệu tham khảo Tôi xin cam đoan khóa luận "Một

sổ phép đổi xứng của đồ thị hàm số" là kết quả nghiên cứu của bản thân Khóa luận hoàn toàn không sao chép từ các tài liệu khác.

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong nhà trường phổ thông, môn toán giữ một vị trí hết sức quan ttọng

Nó giúp học sinh học tốt các môn học khác, là công cụ của nhiều ngành khoa học vàcũng là công cụ để hoạt động trong đời sống thực tế Môn toán có tiềm năng to lớntrong việc khai thác và phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện các thao tác vàphẩm chất tư duy

Đại số là một bộ phận lớn trong toán học, ừong đó hàm số là một khái niệm cơbản và quan trọng, không những là đối tượng nghiên cứu của đại số mà còn liênquan chặt chẽ tới các chủ đề khác như phương trình, bất phương trình Phép đốixứng của đồ thị hàm số là một khía cạnh kiến thức cơ bản trong chủ đề hàm số Nógiúp chúng ta nghiên cứu về mối quan hệ giữa một số hàm số với nhau cũng nhưgiúp giải quyết một số bài toán liên quan về hàm số một cách dễ dàng và nhanhchóng

Tuy nhiên, những tài liệu nghiên cứu về các phép đối xứng này chưa có nhiều.Các dạng bài tập còn chưa được phân loại rõ ràng, hệ thống hóa chưa đa dạng, đầy

đủ Vì vậy, việc nghiên cứu chúng gặp nhiều khỏ khăn, gây ảnh hưởng tới việc nắmbắt kiến thức và giải bài tập

Với những lí do trên cùng niềm say mê nghiên cứu và sự chỉ bảo tận tình củaThS Nguyễn Thị Bình, em đã mạnh dạn chọn đề tài "Một số phép đối xứng của

đồ thị hàm số" để làm khóa luận tốt nghiệp nhằm phân loại hệ thống một số bài toánliên quan đến đề tài này Từ đó giúp các em học sinh có thêm tài liêu học tập để cócái nhìn toàn diện nhất về các phép đối xứng của đồ thị hàm số và các bài toán liênquan đồng thời cũng cho thấy vai trò quan trọng của hàm số trong môn toán ởtrường phổ thông

2 Mục đích nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu một số kiến thức cơ bản về hàm số và đồ thị hàm số Nghiên cứuchủ yếu về một số phép đối xứng của đồ thị hàm số và ứng dụng của chúng vàoviệc giải các bài toán liên quan

3 Đổi tượng nghiên cứu

Một số phép đối xứng của đồ thị hàm số và các bài toán liên quan

4

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu sau đó phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa

5 Ỷ nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

+ về mặt lí luận, đề tài "Một sổ phép đối xứng của đồ thị hàm số"

đã nghiên cứu, đào sâu thêm một khía cạnh kiến thức của chủ đề hàm số

Đề tài này giúp chúng ta có một cái nhìn bao quát, tổng thể và rõ ràng vềphép đối xứng của đồ thị

+ v ề mặt thực tiễn, đ ề t ài "Một số phép đối xứng của đ ồ thị hàm

s ố" giúp các em học sinh phổ thông có thêm tài liệu nghiên cứu về đồ thị của một số hàm số đặc biệt như hàm giá trị tuyệt đối, hàm mũ, hàm

logarit, Đồng thời những kiến thức này giúp các em giải quyết một số

các bài toán liên quan về đồ thị hàm số

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC cơ SỞ

Tập D được gọi là tập xác định của hàm số.Phần tử X gọi là đối số (biến số) Phần

tửy E R tương ứng với X gọi là giá trị của hàm số tại X, kí hiệu

Cho hàm số y = f(pc) xác định trên D, (а, Ъ) с D Ta nói f(x) là hàm số đồng biến

(nghịch biến) trên (a, b ) nếu x 2 G (a, b ) sao cho X ị < x 2

thì/(*i)</(*2)

(/(*i)>/(*2))-Hàm số đồng biến và nghịch biến gọi chung là hàm số đơn điệu

5

• Cho hàm số y = f(pc) đồng biến (nghịch biến) trên (a, b). Khi đó Vc e R, hàm

số f(x') + с cũng đồng biến (nghịch biến) ữên (а, b)

• Cho 2 hàm số y = f{x), у = д(х) cùng đồng biến (nghịch biến) trên (a, b) thì cáchàm số f(pc) + g(x) cũng đồng biến (nghịch biến) trên

(a, b) Hơn nữa, nếu (x) > 0, Vx € (a, b) thì hàm số f(x).g(x) cũng đồng biến(nghịch biến) trên (a , b )

• Cho hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên (a, b). Khi đó hàm số k.f(pc)đồng biến (nghịch biến ) trên (a, b) nếu к > 0 và hàm số k.f(pc) nghịch biến(đồng biến) trên (а, b) nếu к < 0

• Đồ thị hàm số đồng biến (nghịch biến) là một đường đi lên từ trái qua phải (đixuống từ trái qua phải) theo Ox Từ đây suy ra đồ thị của một hàm số đồngbiến và một hàm số nghịch biến cùng trên (а, b) sẽ cắt nhau tại không quá mộtđiểm

1.1.2.2 Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Cho hàm số y = f(x) xác định trên D.

T л 1 Ä , Л T - J * í V x E D = > - x E D

• Ta nói/(%) là hàm số lẻ trên D nếu ỊVx ^ /(-x)*- -fix')

SỐ T > 0 nhỏ nhất (nếu có) thỏa mãn điều kiện trên gọi

của hàm số fix').

1.1.2.3.2 Tính chất

6

• Cho hàm số y = f(x) tuần hoàn (chu kì T) trên D. Khi đó, các hàm số f{x) + c, k.f(x)(k Ф 0) cũng tuần hoàn (chu kì T).

• Cho hàm số y = f(x) tuần hoàn chu kì T. Khi đó, hàm số

T

y = f(k x), к 0 cũng tuần hoàn với chu kì —

I к I

• Cho 2 hàm số y = f{x), у = g(x) cùng tuần hoàn với chu kì г thì các hàm số

f { p c ) ± g { p c ) cũng tuần hoàn với chu kì T

• Cho hàm số y = f(x) tuần hoàn với chu kì rls hàm số y = g(x) tuần hoàn với chu

Điều kiện càn và đủ để /: X -^Y có hàm số ngược là / là song ánh

VD: Hàm số fix') = sinl'pc2 + 2) là hàm hợp của hai hàm số fị (X) = X 2 + 2 và/2(y) =siny.

1.1.2.6 Phân loại hàm số

Hàm số chia làm 2 dạng: hàm số sơ cấp và hàm số không sơ cấp

• Hàm số sơ cấp là tổ hợp các hàm số của các hàm số sơ cấp cơ bản bằng cácphép toán hàm số Hàm số sơ cấp cơ bản là các hàm số: đa thức, phân thức,

số mũ,logarit, lượng giác, lượng giác ngược, lũy thừa Hàm số sơ cấp gồm 2loại:

+ Hàm số đại số: là hàm số khi tính giá trị của y ta chỉ phải thực hiện một sốhữu hạn các phép tính đại số cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa với các số mũ hữu

tỷ của biến số

Hàm số đại số gồm 2 loại: hàm số hữu tỉ và hàm số YÔ tỉ Hàm số hữu tỉ làhàm số đại số ừong đó đối số không có dạng lũy thừa của phân số (có thể cólũy thừa với số mũ nguyên)

VD2: Vẽ đồ thị hàm số y = * ^* -2+

2.1.2 Một số ví dụ và bài toán liên quan

Đồ thị 3

2 + Xác định hàm số: Dựa vào định nghĩa phép đối xứng qua gốc tọa độ f(—x) =

+ Số nghiệm của phương trình д(х) = /i(m) là số điểm chung của đồ thị hàm số у =

д(х) với đồ thị hàm số у = h(nì).

• Vẽ đồ thị hàm số у = д(рс) đối xứng với đồ thị hàm số у = f(pc) qua gốc tọa độo

• Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số trên.

+ Biện luận tương tự đối vói bất phương trình

14

1 Vẽ đô thị hàm sô y = COS X

=> Đồ thị hàm số nhận X = 1 làm tiệm cận đứng

X

2 — 3x + 3

- (x - 2) lim

Với X = 0 thì y(0) = —3 Với X = 2 thì y(2) = 1

Từ bảng biến thiên ta thấy:

• Đồ thị hàm số đ ồ n g biến ttên (—0 0 ,0) và (2, +0 0 )

• Đồ thị hàm số nghịch biến trên (0,2)

15

X 2 —

Зх+З х — 1

= 0

= 0

X — 1

r

+ Bảng biên thiên

• Đồ thị h à m số đạt cực đại tại X = 0, y CĐ = — 3

• Đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại X = 2, y C T = 1

16

2 Ta có:

17

2 : phương trình (3) có nghiệm duy nhất.

• Với G (-00,-1) u (3,+oo) : phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt

+ Kết luận: Vậy với

• — 1 < m < 3: phương trình (1) vô nghiệm.

^

• [ _ 2 : phương trình (1) có nghiệm duy nhất

• m € (—00, —1) u (3, +oo) : phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

18

VD2: Cho hàm số sau y = X 3 — 3x + l(Ci)

2 Ta có:

20

=> Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt <=> Đường thẳng у

= —2m 2 + m + 1 cắt đồ thị hàm số у = X 3 — 3x — 1 tại hai điểm phân biệt.

-3

<=>

<=>

2 - m2 _ 1 > 0

x—l

+ Vẽ đồ thi hàm số y = -—_* +1

+ Biện luận: Tìm m ứiỏa mãn yêu cầu bài toán

+ Kết luận: đểbất phương trình đã cho luôn đúng vớiVx G TXĐ.

2.2 Phép đổi xứng qua các trục tọa độ

2.2.1 Phép đối xứng qua trục Ox

2.2.1.1 Khái niêm

KN: Đồ thị (C): y = f(x) là hình đố xứng của đồ thị (CQ: y = g(x) qua trục Ox khi /(x) = —g(x) với Vx

VD: Cho hàm số y = f(x) = x(C)

Đồ thị 9

2.2.1.2 Một số ví dụ và bài toán liên quan

2.2.1.2.1 Dang 1: T ừ đ ồ t h ị

h à m sổ (C) v ẽ đ ồ t h ị h à m số (CO đ ố i xứng với

(C) qua trục Ox.

Cách giải:

Cho hàm số у = fix') (С)

Đồ thị hàm số у = д(х) nhận được tò đồ thị hàm số у = f(pc) bằngcách lấy đối xứng mọi điểm thuộc đồ thị (C) qua trục Ox ta thuđược mọi điểm thuộc đồ thị hàm sốy = g ( x )

trục Ox tađượctiệmcậnngang y

= —2

của đồthị hàm

số y =

Gọiv4(-,4),

-уз-ß(2,3),С(ОД)quatrục Ox

ta đượci4(-,—4), B(2,

— 3), С(0, —1)thuộc

đồ thị

hàm số

у = *_2

Từ đó

ta vẽđược

đô thịhàm

sô y =có

tiệmcận

đứng

X = 1,

tiệm

y = —

cácđiểmi4(-,

—4),ß(2,

— 3),C(0,

— 1)thuôc đồ thihàm số y = 2 *

Từ dạng 1 ta xét các bài toán

cụ thể sau:

Bài toán 1 :

Vẽ đồ thị hàm sổ y

= 1/0*01

Cách giải:

y

= /(x)(C)rr

f(x )nế uf(

x)

>0

Ta có y

phàn đồthị của(C) nằmphía trênOx.+ Lấy đốixứng phàn

đồ thị của (C) phía dưới

Ox qua

Ox rồi

bỏ phần

đồ thị phía dưói Ox

VD1: Cho hàm số sau y = X 2

— 2x(C{)

1 Khảosát và

vẽ đồthị

2 x

+

T X Đ :

D

=

R

Với

X

=1

thì

=

—1.+ Bảngbiến thiên

Từ bảng biến thiên

ta thấy

• Hàm

0)

• H

à m

số ng

hịc h

bi ế n tr ê n

(— 00,

1 )

• Hàmsốđạ

X

=1,

yC T

=

—1

2 Ta có y = \x 2

— 2x\ = Ị x _

Đồ thị 12 2

— 2xvớix € (—00,0) u (2,+00)

X 2 + 2»:với

0 < X < 2

Vẽ đồ thịhàm số y =

\x 2 — 2x\

+ Giữ nguyê

n phần

đồ thị của (Ci) nằm phía trên Ox.+ Lấy đối xứn

g phà

n đồthị của (Ci) nằmphíadướitrục

Ox qua

Ox rồi

bỏ phầ

X 2 — x+2

\x+\\

Ta có y = vớix > — 1

vớix < — 1

- —( ^

2 )+ Giữnguyê

n phà

n đ

ồ th

ị củ

a (

C2

) nằmbê

n phả

i đườn

g

đồ thị của (C2) nằm

bên ừái đườngthẳng

X = — 1

Bài toán 2:

Vẽ đồ thị hàm số

ly I = f ( x ) Cách giải:

Chohàmsố

y =/(%)(£

■)

y =

±f( pc) với f(x)

>0.Đồ

thịh

số

y

=

g ( x )

n

được

từ

đồt

số

y

=

f ( x

bằng

cách:+ Giữ

phànđồ

của

(C)

nằm

trên

trụcO

x.+ Lấy

đối

xứng

đồ

thị

vừa

nguyên

quaO

rồi

bỏ

phầnđồ

của

(C)

phí

dưói

Ox

VD1: Chohàm số sau y

= log2X (Cị)

1 Khảosát và

vẽ đồ

2 Từ đồthịhàmsố

( C i )

vẽ đồthịhàm

số ly I

= log2

X

BL:

l y = ỉ o g 2 x

+

T

XĐ:

luôn

đồng

biế

trên

D.+

Bảng

ế

n

t

hi

ê

n

+00

0

y' +

y ^ > +0 0

-0 0

+ Vẽ đồ thị

+ Giữnguyênphàn đồthị của(C3) nằmphía trênOx.+ Lấy đối xứn

g phầ

n đồthị vừa giữ

nguyên qua

Ox rồi

bỏ phà

n đồthị của (C3)nằmphíadướ

i Ox

Bài toán 3:

Vẽ đồ thị

Đồ thị 15

hàm số y 2 = f

(*)

Cách giải:

Chohàmsố

y l

= /00

>y

= \

I V/00

+ Vẽ = —y/TÕÕ : Lấy đối xứng đồ thị hàm số y = sjfipc) qua trục

85

• + Lấy đối xứng đố thị hàm số у = л/х 2 — 4x + 3 qua trục Ox ta thu được

•

2.2.1.2.2 Dang 2: Biện luận s ố nghiệm của phương trình, bất phương trình

• dựa vào đồ thị hàm so đã cho

• Cho hàm số y = f(x) (C)

• Hàm số y = д(х) có đồ thị đối xứng với đồ thị (с) qua trục Ox

• + Số nghiệm của phương trình д(х) = h(ni) là số điểm chung của

(Cl)

X 2 —3 x + 6 X

— 1

•

• Đồ thị 18

• x 2 — 3x+

—1

•

• Vậy với [ 2 phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.

• VD2: Bằng phương pháp đồ thị hàm số, hãy chứng minh phương trình sau nghiệm đúng với Vm G R :

22.2.2 Một sổ ví dụ và bài toán liên quan

2.2.2.2.1 Dang 1: Từ đồ thị hàm số (C) vẽ đồ thị hàm sổ (C') đổi xứng với

• Cho hàm số y = fix').

• Đồ thị hàm số y = д(рс) nhận được tò đồ thị hàm số y = f(x) bằngcách lấy đố xứng mọi điểm thuộc đồ thị (C)qua trục Oy ta đượcmọi điểm thuộc đồ thị hàm số у = д(х).

• VD: Cho hàm số sau у = 2 х (С)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

•

2 Từ đồ thị (C) vẽ đồ thị hàm số y = Q)

• Đô thị hàm sô y = 1 ^ 1 nhận y = 0 là tiệm cận ngang.

• Lấy đối xứng các điểm i4(l,2),fí(2,4) thuộc đồ thị hàm số y

• + Giữ nguyên phàn đồ thị của (C) nằm bên phải trục Oy.

• + Lấy đối xứng phàn đồ thị vừa giữ nguyên qua Oy rồi bỏ phàn đồ thị của (C) nằm bên trái trục Oy

•

2 Vẽ đồ thị hàm số y = — (|x|)3 + 3x 2 — 4\x\ + 2

• + Giữ nguyên phần đồ thị của (Ci) nằm bên phải trục Oy

• + Lấy đối xứng phàn đồ thị vừa giữ nguyên qua Oy rồi bỏ phàn đồ thị của (Cl) nằm bên trái trục Oy

• VD2: Vẽ đồ thị hàm số y = sin|%|

• + Vẽ đồ thị hàm số y = sin X (C2)

• + Giữ nguyên phần đồ thị của (C2) nằm bên phải trục Oy

• + Lấy đối xứng phần đồ thị vừa giữ nguyên qua Oy rồi bỏ phần đồ thị của

•

2.2.2.2.2. Dang 2 : Biện luận sổ nghiệm của phương trình, bất phương trình

• Cho hàm số y = f(x) (C)

•

• Đồ thị 23

• Hàm số y = д(х) có đồ thị đối xứng với đồ thị (C) qua trục Oy.

• + Vẽ đô thi hàm sô у = —— гЧ —

• ^ |3C|-1

bên phải trục Oy Lấy đối xứng

bỏ

phần đồ thị của (Ci) nằm

• bên trái trục Oy

• + Từ đồ thị ta thấy đường thẳng y = m 2 + m + 1 luôn cắt đồ thị hàm số

• У = ~ I 2 ị-i3 tậi 2 điểm phân biệt với Vm

• Vậy phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với Vrn

• + Số nghiệm của bất phương trình (2) là số điểm chung của đồ thị hàm

• Vậy bất phương trình đã cho luôn có nghiệm với Vm 6 R.

• 2.3 Phép đổi xứng qua đường phân giác thứ nhất

2.3.2 Một sẩ ví dụ và bài toán liên quan

• Bài toán : Từ đồ thị hàm sổ (C) vẽ đồ thị hàm sổ (C') đổi xứng

với (C) qua đường phân giác thứ nhất y = X.

• => у = о là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

• + Mặt khác ỳ = e x ln e > 0 Vx G D => Hàm số luôn đồng biến trên D

106

• g ( x ) = ln%(C2)

• Ta thấy f g { x ) = g f ( p c ) = X vói Vx € (0, +oo).

• => Đồ thị (Ci) đối xứng với đồ thị (C2) qua đường phân giác thứ nhất У = ЛГ

• + Chứng minh đồ thị hàm số у = xĩ đối xứng với đồ thị hàm số у = X 3

• qua đường phân giác thứ nhất у = X.

• + Vẽ đô thị hàm sô у = X*.

+ Bảng biến thiên

107

• CHƯƠNG 3: TÍCH CÁC PHÉP ĐỐI XỨNG

3.1 Đổi xứng tâm và đối xứng trục Ox

3.1.1 Dạng l:Từ đồ thị hàm sổ (C) vẽ đồ thị hàm sổ (C') dựa vào phép đổi

• xứng tâm và đối xứng trục Ox.

•

thìy(l) = 3 => Đồ thị hàm số nhận 7(1,3) làm điểm uốn.

•

+ Bảng biến thiên

109

•

•

• Đồ thị 29

• Vẽ đồ thị hàm số + y = |x 3 + 3x 2 + 3x — 21

• Giữ nguyên phàn đồ thị của (C2) nằm phía trên trục Ox Lấy đốixứng phần đồ thị của (C2) nằm phía dưới trục Ox qua Ox rồi bỏ phàn đồthị của (C2) nằm phía dưới trục Ox