Khóa luận tốt nghiệp toán Một số nguyên lí cơ bản

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ===£OBŨIGS=== TRẦN THỊ THU HẰNG MỘT SỐ NGUYÊN LÍ cơ BẢN KHÓA LUÂN TỐT NGHIÊP ĐAI HOC • • • • Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học ThS. DƯƠNG THI LUYẾN HÀ NỘI - 2014 MỤC LỤC Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, khóa luận của tôi đã được hoàn thành. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo THẠC SĨ Dương THỊ LUYẾN - người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới tất cả các thầy cô giáo trong tổ Đại số, khoa Toán và thư viện trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên Trần Thị Thu Hằng Tôi xin cam đoan rằng khóa luận này là kết quả nghiên cứu tìm tòi của riêng tôi và hoàn thành trên cơ sở những kiến thức đã học và tham khảo các tài liệu. Kết quả nghiên cứu này không hoàn toàn trùng với bất cứ công trình nghiên cứu nào từng được công bố. Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên Trần Thị Thu Hằng LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Trong bộ môn Toán nói chung, trong môn Đại số nói riêng có một lớp bài toán logic mà việc giải chúng đòi hỏi phải suy luận, tư duy độc đáo. Việc giải lớp bài toán logic này giúp người thực hiện nâng cao khả năng suy luận, tư duy và nhiều khi phát hiện ra những phương pháp giải toán “độc đáo” không ngờ. Bởi vậy nhiều em học, đặc biệt là các em ở trường chuyên lớp chọn thích làm quen với loại toán này. Một trong những phương pháp để giải những bài toán thuộc dạng này, đó là dựa ưên những ứng dụng về một số nguyên lí cơ bản của đại sơ cấp đó là: nguyên lí Dirichlet, nguyên lí cực hạn, nguyên lí xuống thang. Với những lí do trên, tôi chọn đề tài “Một số nguyên lí cơ bản” 2. Mục đích, yêu cầu của đề tài Mục đích của đề tài nhằm giải quyết một số bài tập số học, hình học dựa trên những ứng dụng của Đại sơ cấp và đề xuất một số bài tập tương tự. 3. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu: Đọc tài liệu, phân tích, tổng hợp các kết quả. 4. Giả thuyết khoa học Nếu xây dựng được một hệ thống các bài toán về một số nguyên lí cơ bản: nguyên lí Dirichlet, nguyên lí cực hạn, nguyên lí xuống thang thì sẽ góp phần giúp các em học sinh, đặc biệt là giúp các em trường chuyên, lớp chọn, các bạn sinh viên và bạn đọc hiểu sâu sắc và ứng dụng “Một số nguyên lí cơ bản” trong việc giải một số bài toán Đại số. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài nghiên cứu các vấn đề sau: Chương 1. Nguyên lí Dirichlet Chương 2. Nguyên lí cực hạn Chương 3. Nguyên lí xuống thang Chương 1 NGUYÊN LÍ DIRICHLET 3 G.lejeune-Dirich tên đầy đủ là Johnn Peter Gustar Lejeune Dirichlet, sinh ra tại Duren (Đức) vào ngày 13 tháng 2 năm 1805. Nguyên lí Dirichlet được phát biểu đầu tiên vào năm 1834, đưa ra một nguyên tắc về phân chia phần tử các lớp. 1.1. Nguyên lí Dirỉchlet Nguyên lí Dirichlet còn gọi là “nguyên lí chuồng bồ câu” hoặc “nguyên lí ngăn kéo” hoặc “nguyên lí nhốt thỏ vào lồng”. Nội dung của nguyên lí này đơn giản và dễ hiểu nhưng lại có tác dụng rất lớn trong giải toán. Nhiều khi có những bài toán, người ta đã dùng rất nhiều phương pháp toán học để giải mà vẫn chưa đi đến kết quả, nhưng nhờ nguyên lí Dirichlet mà bài toán trở nên dễ dàng giải quyết. 1.1.1. Nguyên lí Dirichlet được phát biểu dưới dạng bài toán sau đây Nếu đem nhốt m- con thỏ vào n- chiếc lồng, với m > n thì ít nhất cũng có một lồng nhốt không ít hơn hai con thỏ. Hoặc là, nếu đem xếp m- đồ vật vào n- ô ngăn kéo, với m > n, thì ít nhất cũng phải có một ô ngăn kéo chứa không ít hơn hai đồ vật. 1.1.2. Nguyên líDỉrỉchlet mở rộng Nếu nhốt n- con thỏ vào m > 2 cái chuồng thì tồn tại một chuồng có ít nhất [ n+m - ] con thỏ, ở đây kí hiệu [a] để chỉ phần nguyên của số a. Nguyên lí Dirichlet tưởng chừng đơn giản như vậy nhưng nó là một công cụ rất hiệu quả dùng để chứng minh nhiều kết quả sâu sắc của Toán học. Nó đặc biệt có nhiều áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học. Nguyên lí này trong nhiều trường hợp người ta dễ dàng chứng minh được sự tồn tại mà không đưa ra được phương pháp tìm được vật cụ thể, nhưng trong thực tế ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại là đủ. Nguyên lí Dirichlet thực chất là một định lí về tập hữu hạn. Người ta chỉ có thể phát biểu chính xác nguyên lí này dưới dạng sau. 1.1.3. Nguyên lí Dỉrỉchlet dạng tập hợp 4 Cho A và В là hai tập hợp khác rỗng có số phần tử hữu hạn, mà số lượng phần tử của A nhiều hơn số lượng phần tử của B. Nếu với một quy tắc nào đó, mỗi phàn tử của A cho tương ứng với một phần tử của B, thì tồn tại ít nhất hai phần tử khác nhau của A mà chúng tương ứng với cùng một phần tử của B. Với cách diễn đạt như vậy nguyên lí Dirichlet mở rộng có dạng sau: 1.1.4. Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp mở rộng Giả sử А, В là hai tập hợp hữu hạn và S(A), S(B) tương ứng kí hiệu là số lượng phần tử của A và B. Giả sử có một số tự nhiên к nào đó mà S(A) > k.S(B) và ta có quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử của A với một phần tử của B. Khi đó tồn tại ít nhất (k+1) phần tử của A mà chúng tương ứng cùng với một phần tử của B. 1.2. Chứng minh 1.2.1. Chứng minh nguyên lí Dirichlet Ta dùng phương pháp phản chứng. Giả sử không có lồng nào nhốt hai thỏ trở lên, thế thì cho dù mỗi lồng đều có nhốt một thỏ thì tổng số thỏ bị nhốt cũng chỉ là n-thỏ, trong khi đó tổng số thỏ là m. Điều này vô lí. Vậy ít nhất cũng phải có một lồng nhốt từ hai thỏ trở lên. 5 => Điều phải chứng minh. 1.2.2. Chứng minh nguyên lí Dirichlet mở rộng Giả sử trái lại mọi chuồng thỏ không có đến [ N+M - 1 = [—- + 11 = 1 + 1 con thỏ, thì số thỏ trong mỗi chuồng m m m đều nhỏ hơn hoặc bằng [^—4 con. Từ đó suy ra tổng số con thỏ không m vượt quá m.[—-] > n-1 con. Điều này vô lí vì có n-con thỏ. Vậy giả thiết m phản chứng là sai. => Điều phải chứng minh. 1.3. Cơ sở Toán hoc ■ Nguyên lí Dirichlet đơn giản như vậy, nhưng nó là một công cụ hết sức có hiệu quả dùng để chứng mình nhiều kết quả hết sức sâu sắc của toán học. Nguyên lí Dirichlet cũng được áp dụng cho các bài toán của hình học, điều đó được thể hiện qua hệ thống bài tập sau Để sử dụng nguyên lý Dirichlet ta phải làm xuất hiện tình huống nhốt “thỏ” vào “chuồng” và thoả mãn các điều kiện : + Số ‘thỏ” phải nhiều hơn số “chuồng” + “Thỏ” phải được nhốt hết vào các “chuồng”, nhưng không bắt buộc chuồng nào cũng phải có thỏ. Thường phương pháp Dirichlet được áp dụng kèm theo phương pháp phản chứng. Ngoài ra nó còn có thể áp dụng với các phép biến hình. 1.4. Bài tập áp dụng 1.4.1. Áp dụng nguyên líDirichlet vào suy luận logic BÀI 1. Trong một lớp có 30 học sinh. Chứng minh rằng trong số học sinh ta sẽ tìm thấy 2 học sinh có tên bắt đầu bằng một chữ cái giống nhau. Giải Bảng chữ cái Tiếng Việt gồm 29 chữ cái, trong lúc đó số học sinh lớn hơn (30 học sinh). 6 Ở đây các chứ cái đóng vai trò là các “lồng”, còn các bạn học sinh đóng vai trò là các “thỏ” mà ta phải nhốt vào “lồng”, vì số thỏ lớn hơn số lồng nên ta sẽ tìm được ít nhất một lồng nhốt nhiều hơn một thỏ, tức là tìm được ít nhất hai học sinh có tên bắt đàu bằng một chữ cái. BÀI 2. Chứng minh rằng trong 2001 người bất kì, luôn có ít nhất hai người có số người quen bằng nhau (số người quen chỉ tính trong 2001 người này). Giải Ta coi 2001 người này là 2001 “thỏ”. Ta xét 2001 “lồng” sau: Lồng 0 chứa những người có 0 người quen Lồng 1 chứa những người có 1 người quen Lồng 2000 chứa những người có 2000 người quen (vì một người quen tối đa 2000 người trong số 2001 người) Nếu có một người không quen ai thì sẽ có người không quen đủ 2000 người. Vì vậy nên lồng 0 và lồng 2000 sẽ không cùng chứa người. Như vậy thực sự chỉ có nhiều nhất là 2000 lồng chứa người. Mà ta có 2001 người nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tại một lồng chứa từ 2 người ưở lên, đó là 2 người có số người quen như nhau. Hoặc ta có thể giải như sau (không theo ngôn ngữ “lồng”) Gọi số người quen của Ai là aj. Vì có 2001 người và mỗi người có thể không quen ai hoặc quen nhiều nhất 2000 người nên ta có 0 < ÃỊ < 2000, Vi=l, 2, ,2001. Nếu có một người không quen ai thì cũng sẽ không có ai quen đủ 2000 người. Khi đó ta có 0 < ÃI < 1999 tức ai nhận 2000 giá ưị i = 1, ,2001. Vậy phải tồn tại ak = a m , k, m = 1, , 2001. Nếu mỗi người đều quen ít nhất 1 người khác trong nhóm thì ta có: 1< aị < 2000, i = 1, , 2000. Do đó cũng tồn tại a k = a m . 7 Vậy trong 2001 người bất kì luôn có ít nhất 2 người có số người quen bằng nhau (số người quen chỉ tính trong số 2001 người này). BÀI 3. Giả sử có một nhóm 6 người mỗi cặp hai hoặc là bạn hoặc là thù. Chứng tỏ rằng trong nhóm có ba người là bạn lẫn nhau hoặc có ba người là thù lẫn nhau. Giải Gọi A là một trong 6 người. Trong số 5 người của nhóm hoặc có ít nhất 3 người là bạn của A hoặc có ít nhất 3 người là kẻ thù của A (điều này suy ra từ nguyên lí Dirichlet, vì những người khác chỉ có thể là bạn hoặc là thù của A) Trong trường hợp đầu ta gọi B, c, D là bạn của A. Nếu trong 3 người này có 2 người là bạn thì họ cùng với A lập thành một bộ ba người bạn lẫn nhau. Ngược lại, tức là nếu trong ba người B, c, D không có ai là bạn ai cả thì chứng tỏ họ là bộ ba người thù lẫn nhau. Tương tự có thể chứng minh trong trường hợp có ít nhất ba người là kẻ thù của A. => Điều phải chứng minh. BÀI 4. Có 10 đội bóng thi đấu với nhau trong một giải, mỗi đội phải đấu một trận với đội khác. Chứng minh rằng vào bất cứ khi nào cũng có hai đội đấu số trận như nhau. Giải Rõ ràng trong 10 đội bóng có một đội chưa đấu một trận nào thì trong các đội còn lại không có đội nào đã thi đấu 9 trận. Như vậy 10 đội chỉ có số trận đấu từ 0 đến 8 hoặc từ 1 đến 9. Vậy theo nguyên lí Dirichlet phải có ít nhất 2 đội có số ưận đấu như nhau (đội chưa đấu ừận nào số trận bằng 0). BÀI 5. Có 6 vận động viên cờ vua thi đấu với nhau (mỗi người phải đấu một trận với 5 người khác). Chứng minh rằng vào bất cứ lúc nào cũng có 3 người trong đó từng cặp đã thi đấu với nhau hoặc chưa đấu với nhau ưận nào. Giải 8 Giả sử 6 người đó là A, B, c, D, E, F. Xét A, theo nguyên lí Dirichlet ta suy ra A phải đấu hoặc không đấu với ít nhất 3 người khác. Không mất tổng quát, giả sử A đã thi đấu với B, c, D. Nếu B, c, D từng cặp chưa đấu với nhau thì bài toán được chứng minh. Nếu B, c, D có hai người đã đấu với nhau, ví dụ в với с thì А, в, с từng cặp đã đấu với nhau. Như vậy lúc nào cũng có 3 người trong đó từng cặp đã đấu với nhau hoặc chưa đấu với nhau trận nào. Bài tập đề nghị BÀI 1. Trong lớp có 30 học sinh. Khi viết chính tả em A phạm 14 lỗi, các em khác phạm lỗi ít hơn. Chứng minh rằng có ít nhất là 3 học sinh đã mắc lỗi bằng nhau (kể cả những người mắc 0 lỗi). BÀI 2. Cho 5 người tùy ý. Chứng minh rằng trong số đó có ít nhất 2 người có số người quen như nhau trong số 5 người đã chọn (hiểu rằng A và B quen nhau thì B quen A) BÀI 3. Trong một giải bóng đá có 10 đội tham gia, bất cứ hai đội nào trong số đó cũng phải đấu với nhau một trận. Chứng minh rằng tại bất cứ thời điểm nào cũng có hai đội đã đấu được cùng số trận. 1.4.2. Áp dụng nguyên líDirichlet vào bài toán chia hết Trong các phép tính trên số nguyên thì phép chia hết rất đặc biệt. Phép chia có hàng loạt các tính chất mà phép toán còn lại không có. Chẳng hạn, các phép toán cộng, ưừ, nhân đều thực hiện với số 0, còn phép chia thì không thể. Vì những lí do đặc biệt đó mà ưong Toán học xây dựng hẳn một lí thuyết về phép chia. Những bài toán sau có liên quan mật thiết giữa phép chia và nguyên lí Dirichlet. BÀI 1. Cho 7 số tự nhiên bất kì. Chứng minh rằng bao giờ cũng có thể chọn ra hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 6. Giải 9 Ta biết rằng nếu 2 số tự nhiên chia hết cho cùng một số dư thì hiệu của chúng chia hết cho số đó. Vậy để chứng minh bài toán ta phải chứng minh trong 7 số đó có ít nhất 2 số chia cho 6 có cùng số dư chỉ có thể là một trong 6 số: 0, 1,2, 3, 4, 5. Lấy 7 số tự nhiên chia cho 6 thu được 7 số dư thuộc 6 số khác nhau. Vậy theo nguyên lí Dirichlet thì ít nhất cũng có 2 số chia hết cho 6 có cùng số dư. Hiệu của 2 số này chia hết cho 6. Vậy trong 7 số tự nhiên bất kì, bao giờ cũng có thể chọn ra 2 số mà hiệu của chúng chia hết cho 6. BÀI 2. Cho dãy số 10, 10 2 , , 10 20 . Chứng minh rằng tồn tại một số chia cho 19 dư 1. Giải Ta thấy rằng dãy số 10, 10 2 , , 10 20 gồm 20 số. Lấy 20 số này chia cho 19 thì ta được 19 số dư. Theo nguyên lí Dirichlet tồn tại 2 số có cùng số dư trong phép chia cho 19. Gọi 2 số đó là 10 m , 10" (1 < n < m <20). Vậy 10” - 10" i 19 hay 10 n (10 mn ) : 19.VÌ (10 m , 19) = 1 nên (10 mn - 1) : 19 hay 10 mn chia cho 19 dư 1. Rõ ràng 10 m n là một số của dãy đã cho (vì 1 < n < m <20). Nhân xét. Qua bài toán này ta thấy tồn tại một số tự nhiên k > 1 để cho (10 k - 1) i 19. BÀI 3. Chứng minh rằng tồn tại một số là bội số của 19 và tổng các chữ số của số đó bằng 19. Giải Ta phải chứng minh tồn tại một số chia hết cho 19 và tổng các chữ số của số đó bằng 19. Theo trên ta đã chứng minh được rằng (10 k - 1) : 19. Ta có 10 2k - 1= 10 2k - 10 k +10 k - 1 = 10 fe (10 fc - 1) + 10 fc - 1 : 19 !19 => 10 2k - 1 ! 19. 1 [...]... : 19 k chữ số 0 2kchữsÔ0 19 chữ số 0 Tổng ở vế trái của 19 số hạng và tổng các chữ số của nó đúng bằng Vậy tồn tại một số là bội của 19 có tổng các chữ số bằng 19 BÀI 4 Chứng minh rằng tồn tại một bộ của 13 gồm toàn chữ SỐ 2 1 Giải Xét 14 số gồm toàn số 2 là: 2, 22, 222, ,222 222 14 chữ số 2 Mỗi số chia cho 13 có một số dư là một trong 13 số 0, 1, 2, ,12 Vậy 14 số chia cho 13 sẽ cho ta 13 số dư khác... giản như sau: Nguyên lí 1 Trong một tập khác rỗng các số tự nhiên luôn luôn có thể chọn được số bé nhất Nguyên lí 2 Trong một tập hữu hạn và khác rỗng các số thực luôn luôn có thể chọn được số bé nhất và số lớn nhất Sử dụng nguyên lí cực hạn là một phương pháp được vận dụng cho nhiều 1 lớp bài toán khác nhau, đặc biệt nó có ích khi giải các bài toán tổ họp 2.2 Nguyên tắc vận dụng Nguyên lí cực hạn thường... Chương 2 NGUYÊN LÍ cực HẠN 2.1 Nguyên lí cực hạn Song song với việc sử dụng nguyên lí khác như nguyên lí Dirichlet hay quy nạp toán học để tìm lời giải cho các bài toán khá hóc búa, nguyên lí cực hạn cũng được xem là một phương pháp rất hay, được yận dụng một cách linh hoạt trong việc khảo sát một tập hợp hữu hạn hay vô hạn phần tử mà trong nó tồn tại giá trị lớn nhất hoặc giá ưị nhỏ nhất Nguyên lí cực... nghiệm nguyên dương (còn gọi là định lí Fecmat lớn) Đe giải quyết bài toán này với một số trường hợp cụ thể của n nhiều nhà khoa học đã sử dụng phương pháp gọi là “phương pháp xuống thang” 1 Nguyên lí xuống thang là một phương pháp có hiệu quả để giải một lớp khá rộng những bài toán liên quan đến phương trình nguyên Cơ sở của phương pháp là tính sắp thứ tự các phần tử của một tập hợp và nguyên lí cực... nhau Theo nguyên lí Dirichlet tồn tại 2 số có cùng số dư trong phép chia cho 13 Gọi 2 số đó là 222 222 và 222 222 (với l . ứng dụng Một số nguyên lí cơ bản trong việc giải một số bài toán Đại số. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài nghiên cứu các vấn đề sau: Chương 1. Nguyên lí Dirichlet Chương 2. Nguyên lí cực hạn. này. Một trong những phương pháp để giải những bài toán thuộc dạng này, đó là dựa ưên những ứng dụng về một số nguyên lí cơ bản của đại sơ cấp đó là: nguyên lí Dirichlet, nguyên lí cực hạn, nguyên. 1834, đưa ra một nguyên tắc về phân chia phần tử các lớp. 1.1. Nguyên lí Dirỉchlet Nguyên lí Dirichlet còn gọi là nguyên lí chuồng bồ câu” hoặc nguyên lí ngăn kéo” hoặc nguyên lí nhốt thỏ