Khóa luận tốt nghiệp vật lý mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ    KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài GVHD: TS NGUYỄN VĂN HOA SVTH: NGUYỄN ĐỨC THANH TUYỀN NIÊN KHÓA: 2008 - 2009 Thành phố Hồ Chí Minh Tháng - 2009 Mức lượng nguyên tử Hydro điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa LỜI CẢM ƠN Trong trình thực luận văn này, em nhận giúp đỡ động viên nhiệt tình từ phía gia đình, thầy cô bạn bè Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến: - Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh Ban Chủ Nhiệm khoa Vật Lý tạo điều kiện cho em học tập hoàn thành khóa học - Tất quý thầy cô giáo, người tận tình truyền đạt kiến thức quý báu suốt năm học, tảng để em hoàn thành tốt luận văn - TS Nguyễn Văn Hoa – giáo viên hướng dẫn luận văn – người hết lòng hướng dẫn, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt trình thực hoàn tất luận văn - TSKH Lê Văn Hoàng đóng góp ý kiến quý báu cho luận văn - Thư viện trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện cho em đọc mượn nhà tài liệu liệu quan đến đề tài - Các bạn sinh viên lớp lý IV – khóa 31 (2005 - 2009) nhiệt tình giúp đỡ đóng góp ý kiến cho đề tài Do đề tài thực thời gian tương đối ngắn với vốn kiến thức thân hạn hẹp nên tránh khỏi hạn chế thiếu sót Kính mong nhận góp ý, phê bình, xây dựng quý thầy cô bạn Cuối em xin kính gửi đến Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh Ban Chủ Nhiệm khoa Vật Lý tất quý thầy cô giáo lời chúc sức khỏe thành công! SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức lượng nguyên tử Hydro điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa MỞ ĐẦU Tình hình chung nghiên cứu đề tài Phương pháp toán tử (Operator Method) với tính toán đại số xây dựng cho nhóm toán vật lý nguyên tử trở thành hướng nghiên cứu sôi động năm gần Phương pháp toán tử nhóm nghiên cứu giáo sư Komarov L.I đại học tổng hợp Belarus xây dựng ứng dụng thành công cho loạt toán khác vật lý nguyên tử, vật lý chất rắn toán lý thuyết trường Phương pháp phát triển Fernandez, Meson Castro, Geryva Silverman, Wistchel nhiều tác giả khác Nhóm nghiên cứu TSKH Lê Văn Hoàng có nhiều đề tài trình bày phương pháp này: Luận văn tốt nghiệp anh Nguyễn Hoàng Quốc “Phương pháp đại số sử dụng hàm Coulomb-Green cho toán hệ nhiều hạt.” (5 - 2004), Luận văn Thạc sĩ chị Hoàng Đỗ Ngọc Trầm: “Phương pháp toán tử giải phương trình Schrodinger cho Exciton hai chiều từ trường với cường độ ” (2008) Ngoài phương pháp toán tử đựợc giáo viên hướng dẫn luận văn vào nghiên cứu phát triển cho toán: hiệu ứng Stark, hiệu ứng Zeeman, toán hệ nhiều hạt… Lí chọn đề tài Hiện nay, học lượng tử, có số toán mà có lời giải xác cho phương trình Schrodinger xác định trạng thái dừng, là: toán hạt hố vuông góc, dao động tử điều hòa toán nguyên tử hydro (chuyển động hạt trường xuyên tâm) Đây hệ lí tưởng hóa gặp tự nhiên Việc nghiên cứu hệ đơn giản, lí tưởng hóa cho ta hiểu đầy đủ phương pháp học lượng tử Ngoài kết thu có tầm quan trọng đặc biệt, gần đó, chúng phản ánh tính chất hệ thực tương ứng Trong toán nguyên tử hydro toán quan trọng vật lý lượng tử Mặc dù toán có lời giải xác toán nguyên tử hydro SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức lượng nguyên tử Hydro điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa toán phức tạp Để giải toán này, ban đầu phải xây dựng hệ thống kiến thức toán tử momen xung lượng hệ tọa độ cầu; xét tính chất, trị riêng hàm riêng toán tử momen xung lượng; phương trình bán kính; lượng tử hóa không gian, phân bố electron tính chẵn lẻ hàm cầu… Đặc biệt xét nguyên tử hydro điện trường, ta thu lời giải xác điện trường yếu (cường độ điện trường Ee có giá trị không lớn 5V ( Ee 10 ), điện trường lớn (bài toán giải phương pháp cm nhiễu loạn), điện trường trung bình toán chưa có lời giải Ngoài cách giải phương trình Schrodinger để xác định hàm sóng lượng dao động tử điều hòa, toán giải gọn cách đưa vào toán tử aˆ aˆ liên hợp với (hay gọi phép biểu diễn số lấp đầy) Như vậy, dựa hệ sở trực giao biết dao động tử điều hòa, mở phương pháp giải toán cho nguyên tử hydro cách biểu diễn thông qua toán tử sinh hủy Theo cách này, toán tử tương ứng với đại lượng vật lý biểu diễn qua toán tử sinh hủy trên, nhờ mà tính toán yếu tố ma trận trạng thái nguyên tử hydro dễ dàng chuyển phép biến đổi đại số dựa vào giao hoán tử toán tử sinh hủy Khi xét nguyên tử hydro điện trường, với phương pháp toán tử áp dụng thêm phương pháp nhiễu loạn, ta đưa lời giải cho giá trị điện trường: từ điện trường yếu điện trường mạnh kể điện trường trung bình mà phương pháp trước chưa giải Qua nghiên cứu khai thác toán cụ thể, phương pháp toán tử chứng tỏ tính ưu việt hiệu so với phương pháp biết sau: Đơn giản hóa việc tính toán yếu tố ma trận phức tạp mà thông thường phải tính tích phân hàm đặc biệt Cho phép xét hệ học lượng tử với trường có cường độ SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức lượng nguyên tử Hydro điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa Cho phép xác định giá trị lượng hàm sóng hệ toàn miền thay đổi tham số trường Phương pháp phát triển để giải nhiều toán khác học lượng tử Tuy khuôn khổ cho phép luận văn tốt nghiệp giới hạn mặt thời gian nên xin trình bày phương pháp toán tử mức độ bắt đầu tìm hiểu xác định mức lượng nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp Tóm tắt đề tài luận văn a Mục tiêu đề tài Trong luận văn này, tiếp cận phương pháp toán tử công cụ với mục tiêu cụ thể là: Tìm hiểu phương pháp toán tử: sở hình thành, sơ đồ tính toán, ưu điểm… Ứng dụng phương pháp phương trình Schrodinger Kiểm tra độ tin cậy phương pháp cách giải lại toán nguyên tử hydro để xác định lại mức lượng nguyên tử hydro so sánh với lời giải xác có Việc tính toán lại toán tác dụng minh họa cho phương pháp cho thấy khả ứng dụng phát triển mạnh mẽ phương pháp Xác định mức lượng nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp toán tử b Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp toán tử hay gọi phép biểu diễn số lấp đầy Các toán tử aˆ aˆ tác động lên số lấp đầy (số phônôn) Toán tử aˆ giảm số phônôn đơn vị hay toán tử hủy phônôn Toán tử aˆ tăng số phônôn đơn vị hay toán tử sinh phônôn Ngoài ra, ta định nghĩa toán tử nˆ aˆ aˆ gọi toán tử trung hòa Toán tử nˆ tác dụng lên hàm qui việc nhân hàm với n Nói cách khác, toán tử số SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức lượng nguyên tử Hydro điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa phônôn nˆ biểu diễn số lấp đầy chéo trị riêng số phônôn có trạng thái cho c Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu – kết luận, luận văn “Mức lượng nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp toán tử”gồm có ba chương: Chương 1: Đại cương toán nguyên tử hydro Trình bày kết thu toán nguyên tử hydro cổ điển, chủ yếu xác định mức lượng nguyên tử hydro Giới thiệu toán nguyên tử hydro tác dụng điện trường Chương đóng vai trò sở cho việc so sánh kết chương kiểm tra độ tin cậy phương pháp toán tử Chương 2: Phương pháp toán tử cho toán nguyên tử hydro Trong chương bày sở phương pháp toán tử, giới thiệu sơ lược phương pháp Giải lại toán nguyên tử hydro theo phương pháp toán tử, tức biểu diễn Hamiltonian nguyên tử hydro theo toán tử, xác định mức lượng nguyên tử hydro có tính đến bổ bậc hai, bậc ba theo kiểu nhiễu loạn Chương tập trung vào việc kiểm tra lại mức độ xác phương pháp toán tử dựa kết có theo cách tính toán cổ điển chương Chương 3: Phương pháp toán tử cho toán nguyên tử hydro điện trường Chương kết luận văn Trong chương xác định lại mức lượng nguyên tử hydro có tác dụng điện trường Khi cường độ điện trường nhỏ, coi tương tác điện trường nguyên tử hydro nhiễu loạn, bổ sung thêm phần nhiễu loạn vào Hamiltonian nguyên tử hydro tìm lại kết chương với Hamiltonian điện trường So sánh kết tính toán theo phương pháp toán tử với kết tính toán cổ điển Vẽ đồ thị so sánh kết tính toán hai phương pháp SVTH: Nguyễn Đức Thanh SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức lượng nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp toán tử V 100,322 eE e r e a a 15 1r 81 32 GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa 30a sin e 2i a r 3a e zd 3x 32 eEe r 5e 162 a 13 V 4r a dr cos sin 0 Vậy: V cos2 i sin d d0 0 100,322 100,32 Tính tương tự, ta có: V 100,32 Ta có công thức bổ bậc hai 2 E2 V V V 100,200 100,210 E 01 E 2 100,310 100,311 E 01 E V100,32 E 01 E V E 01 E V 100,322 E E0 E 01 E V E 01 E V100,320 100,31 E 01 E V E2 e 100,32 E 01 E 243 ( 0,5 0,125) 32 2 E 01 E Xét hệ đơn vị không thứ nguyên ta có: 256 E V100,21 100,211 E 01 E V V100,300 E E0 V100,321 E 01 E V100,210 V100,310 E 01 E E 01 E03 E e ( 0,5 0,055555555) 1,519361334 E e Khi mức lượng nguyên tử hydro theo lý thuyết cổ điển tính đến bổ bậc hai là: E1 E1 E1 0,5 1,519361334 Ee SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức lượng nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp toán tử Phụ lục J: GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa Một số tính toán bổ sung mức lượng yếu tố ma trận bổ bậc hai theo kiểu nhiễu loạn cho nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp toán tử E 001 001 ˆ 001 001 H o nˆ Z ˆoˆoˆo S x S y Sz x , y ,z t dt 001 t 001 nˆ 001 001 ˆ o ˆ o ˆ o 001 Z S x S y Sz x , y ,z d t t t Ta có: 001 nˆ 001 x , y ,z S x S y Sz Và: t t Với: z 1e Khi (J1.1) trở thành: vN t 22 2 E dt 001 4Z Suy ra: 1 e Z t v v t ˆ e Sz dt Z d dt ˆo Z t S Z 12 ˆo Z 001 2nˆz 001 001 ˆ o ˆ o ˆ o 001 Z (J1.1) SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức lượng nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp toán tử V 000 ˆ 001 000,001 V 2 aˆ x aˆ x 000 GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa Z E aˆ z aˆ z e ˆ o ˆ oˆ 001 000 aˆ 001 z Z Suy ra: V 000,001 ˆ Sz t z Ee t t Ee 001 000 S x S y Sz t dt Ee Ee d t SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức lượng nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp toán tử Phụ lục K: GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa Một số tính toán bổ sung mức lượng yếu tố ma trận bổ bậc ba theo kiểu nhiễu loạn cho nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp toán tử ˆ V001,000 001 V 000 Theo tính chất đối xứng ta có: V V 002,001 002 ˆ 001 V 2 aˆ x aˆ x 002 Ee 001,000 Ee a Z ˆ aˆ z z 001 002 ˆ o ˆ oˆ S z 2 Sz Suy ra: t z V 002,001 ˆ Z 002 aˆ 001 001 S y Sz t t Ee x t 2Ee dt Ee 2Ee d t SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức lượng nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp toán tử Phụ lục L: GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa Phần tính số với phần mềm Maple Mức lượng nguyên tử hydro tính đến bổ bậc hai Để thực việc tính toán Malpe dễ dàng ta phải tiến hành bước sau: Bước 1: Gán tên cho biểu thức cần tính toán Quy ước : Eo : Năng lượng mức nguyên tử hydro chưa có bổ E2 : Năng lượng bổ bậc hai cho mức nguyên tử hydro E : Năng lượng mức tính đến bổ bậc hai Bước 2: Cực tiểu hóa lượng mức bản, tìm giá trị Để tính đạo hàm biểu thức Thu gọn biểu thức f theo biến số tương ứng , ta thực lệnh: d d f f dạng chuẩn hóa, ta thực lệnh: normal f Vì kết thu dạng chữ số thập phân nên ta làm tròn giữ đến 10 chữ số phần thập phân lệnh: evalf [10](biểu thức) Ta thực gộp ba yêu cầu lệnh sau: d evalf [10] normal Giải phương trình Eo E2 , nhấn Enter cho kết quả.(L1.1) d d f , thực lệnh: solve (phương trình,{biến}) d Sau thực xong (L1.1), ta lấy phần tử số biểu thức (bt) tìm đựợc giải phương trình cho tử số solve bt, , nhấn Enter cho kết nghiệm Để tính mức lượng ứng với giá trị có evalf [10] subs SVTH: Nguyễn Đức Thanh a ,bt , ta dùng lệnh: Tuyền Mức lượng nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa Mức lượng nguyên tử hydro tính đến bổ bậc ba Quy ước : E3 : Năng lượng bổ bậc ba cho mức nguyên tử hydro Các bước thực tương tự SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức lượng nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp toán tử Phụ lục M: GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa Vẽ đồ thị biểu diễn phụ thuộc lượng nguyên tử hydro vào cường độ điện trường Để vẽ hai đồ thị hệ trục tọa độ ta thực cú pháp sau: >with(plots): >plot([hàm1,hàm2],x=gt đầu gt cuối, y=gt đầu gt cuối, tùy chọn); Để vẽ ba đồ ta thực lệnh thu kết sau: SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền