MỨC NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG ĐIỆN TRƯỜNG THEO PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ    KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài GVHD: TS NGUYỄN VĂN HOA SVTH: NGUYỄN ĐỨC THANH TUYỀN NIÊN KHÓA: 2008 - 2009 Thành phố Hồ Chí Minh Tháng - 2009 Mức lượng nguyên tử Hydro điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa LỜI CẢM ƠN Trong trình thực luận văn này, em nhận giúp đỡ động viên nhiệt tình từ phía gia đình, thầy cô bạn bè Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến: - Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh Ban Chủ Nhiệm khoa Vật Lý tạo điều kiện cho em học tập hoàn thành khóa học - Tất quý thầy cô giáo, người tận tình truyền đạt kiến thức quý báu suốt năm học, tảng để em hoàn thành tốt luận văn - TS Nguyễn Văn Hoa – giáo viên hướng dẫn luận văn – người hết lòng hướng dẫn, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt trình thực hoàn tất luận văn - TSKH Lê Văn Hoàng đóng góp ý kiến quý báu cho luận văn - Thư viện trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện cho em đọc mượn nhà tài liệu liệu quan đến đề tài - Các bạn sinh viên lớp lý IV – khóa 31 (2005 - 2009) nhiệt tình giúp đỡ đóng góp ý kiến cho đề tài Do đề tài thực thời gian tương đối ngắn với vốn kiến thức thân hạn hẹp nên tránh khỏi hạn chế thiếu sót Kính mong nhận góp ý, phê bình, xây dựng quý thầy cô bạn Cuối em xin kính gửi đến Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh Ban Chủ Nhiệm khoa Vật Lý tất quý thầy cô giáo lời chúc sức khỏe thành công! SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức lượng nguyên tử Hydro điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa MỞ ĐẦU Tình hình chung nghiên cứu đề tài Phương pháp toán tử (Operator Method) với tính toán đại số xây dựng cho nhóm toán vật lý nguyên tử trở thành hướng nghiên cứu sôi động năm gần Phương pháp toán tử nhóm nghiên cứu giáo sư Komarov L.I đại học tổng hợp Belarus xây dựng ứng dụng thành công cho loạt toán khác vật lý nguyên tử, vật lý chất rắn toán lý thuyết trường Phương pháp phát triển Fernandez, Meson Castro, Geryva Silverman, Wistchel nhiều tác giả khác Nhóm nghiên cứu TSKH Lê Văn Hoàng có nhiều đề tài trình bày phương pháp này: Luận văn tốt nghiệp anh Nguyễn Hoàng Quốc “Phương pháp đại số sử dụng hàm Coulomb-Green cho toán hệ nhiều hạt.” (5 - 2004), Luận văn Thạc sĩ chị Hoàng Đỗ Ngọc Trầm: “Phương pháp toán tử giải phương trình Schrodinger cho Exciton hai chiều từ trường với cường độ ” (2008) Ngoài phương pháp toán tử đựợc giáo viên hướng dẫn luận văn vào nghiên cứu phát triển cho toán: hiệu ứng Stark, hiệu ứng Zeeman, toán hệ nhiều hạt… Lí chọn đề tài Hiện nay, học lượng tử, có số toán mà có lời giải xác cho phương trình Schrodinger xác định trạng thái dừng, là: toán hạt hố vuông góc, dao động tử điều hòa toán nguyên tử hydro (chuyển động hạt trường xuyên tâm) Đây hệ lí tưởng hóa gặp tự nhiên Việc nghiên cứu hệ đơn giản, lí tưởng hóa cho ta hiểu đầy đủ phương pháp học lượng tử Ngoài kết thu có tầm quan trọng đặc biệt, gần đó, chúng phản ánh tính chất hệ thực tương ứng Trong toán nguyên tử hydro toán quan trọng vật lý lượng tử Mặc dù toán có lời giải xác toán nguyên tử hydro SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức lượng nguyên tử Hydro điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa toán phức tạp Để giải toán này, ban đầu phải xây dựng hệ thống kiến thức toán tử momen xung lượng hệ tọa độ cầu; xét tính chất, trị riêng hàm riêng toán tử momen xung lượng; phương trình bán kính; lượng tử hóa không gian, phân bố electron tính chẵn lẻ hàm cầu… Đặc biệt xét nguyên tử hydro điện trường, ta thu lời giải xác điện trường yếu (cường độ điện trường Ee có giá trị không lớn 5 V  ( Ee  10   ), điện trường lớn (bài toán giải phương pháp  cm  nhiễu loạn), điện trường trung bình toán chưa có lời giải Ngoài cách giải phương trình Schrodinger để xác định hàm sóng lượng dao động tử điều hòa, toán giải gọn cách đưa vào  toán tử aˆ aˆ liên hợp với (hay gọi phép biểu diễn số lấp đầy) Như vậy, dựa hệ sở trực giao biết dao động tử điều hòa, mở phương pháp giải toán cho nguyên tử hydro cách biểu diễn thông qua toán tử sinh hủy Theo cách này, toán tử tương ứng với đại lượng vật lý biểu diễn qua toán tử sinh hủy trên, nhờ mà tính toán yếu tố ma trận trạng thái nguyên tử hydro dễ dàng chuyển phép biến đổi đại số dựa vào giao hoán tử toán tử sinh hủy Khi xét nguyên tử hydro điện trường, với phương pháp toán tử áp dụng thêm phương pháp nhiễu loạn, ta đưa lời giải cho giá trị điện trường: từ điện trường yếu điện trường mạnh kể điện trường trung bình mà phương pháp trước chưa giải Qua nghiên cứu khai thác toán cụ thể, phương pháp toán tử chứng tỏ tính ưu việt hiệu so với phương pháp biết sau:  Đơn giản hóa việc tính toán yếu tố ma trận phức tạp mà thông thường phải tính tích phân hàm đặc biệt  Cho phép xét hệ học lượng tử với trường có cường độ SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức lượng nguyên tử Hydro điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa  Cho phép xác định giá trị lượng hàm sóng hệ toàn miền thay đổi tham số trường Phương pháp phát triển để giải nhiều toán khác học lượng tử Tuy khuôn khổ cho phép luận văn tốt nghiệp giới hạn mặt thời gian nên xin trình bày phương pháp toán tử mức độ bắt đầu tìm hiểu xác định mức lượng nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp Tóm tắt đề tài luận văn a Mục tiêu đề tài Trong luận văn này, tiếp cận phương pháp toán tử công cụ với mục tiêu cụ thể là:  Tìm hiểu phương pháp toán tử: sở hình thành, sơ đồ tính toán, ưu điểm…Ứng dụng phương pháp phương trình Schrodinger  Kiểm tra độ tin cậy phương pháp cách giải lại toán nguyên tử hydro để xác định lại mức lượng nguyên tử hydro so sánh với lời giải xác có Việc tính toán lại toán tác dụng minh họa cho phương pháp cho thấy khả ứng dụng phát triển mạnh mẽ phương pháp  Xác định mức lượng nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp toán tử b Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp toán tử hay gọi phép biểu diễn số lấp đầy Các toán tử aˆ aˆ  tác động lên số lấp đầy (số phônôn) Toán tử aˆ giảm số phônôn đơn vị hay toán tử hủy phônôn Toán tử aˆ  tăng số phônôn đơn vị hay toán tử sinh phônôn Ngoài ra, ta định nghĩa toán tử nˆ  aˆ  aˆ gọi toán tử trung hòa Toán tử nˆ tác dụng lên hàm  qui việc nhân hàm với n Nói cách khác, toán tử số SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức lượng nguyên tử Hydro điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa phônôn nˆ biểu diễn số lấp đầy chéo trị riêng số phônôn có trạng thái cho c Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu – kết luận, luận văn “Mức lượng nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp toán tử”gồm có ba chương: Chương 1: Đại cương toán nguyên tử hydro Trình bày kết thu toán nguyên tử hydro cổ điển, chủ yếu xác định mức lượng nguyên tử hydro Giới thiệu toán nguyên tử hydro tác dụng điện trường Chương đóng vai trò sở cho việc so sánh kết chương kiểm tra độ tin cậy phương pháp toán tử Chương 2: Phương pháp toán tử cho toán nguyên tử hydro Trong chương bày sở phương pháp toán tử, giới thiệu sơ lược phương pháp Giải lại toán nguyên tử hydro theo phương pháp toán tử, tức biểu diễn Hamiltonian nguyên tử hydro theo toán tử, xác định mức lượng nguyên tử hydro có tính đến bổ bậc hai, bậc ba theo kiểu nhiễu loạn Chương tập trung vào việc kiểm tra lại mức độ xác phương pháp toán tử dựa kết có theo cách tính toán cổ điển chương Chương 3: Phương pháp toán tử cho toán nguyên tử hydro điện trường Chương kết luận văn Trong chương xác định lại mức lượng nguyên tử hydro có tác dụng điện trường Khi cường độ điện trường nhỏ, coi tương tác điện trường nguyên tử hydro nhiễu loạn, bổ sung thêm phần nhiễu loạn vào Hamiltonian nguyên tử hydro tìm lại kết chương với Hamiltonian điện trường So sánh kết tính toán theo phương pháp toán tử với kết tính toán cổ điển Vẽ đồ thị so sánh kết tính toán hai phương pháp SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức lượng nguyên tử Hydro điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa Để đơn giản việc tính toán nên công thức luận văn viết hệ đơn vị không thứ nguyên hay gọi hệ đơn vị nguyên tử với m  e    SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức lượng nguyên tử Hydro điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa Chương ĐẠI CƯƠNG VỀ BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO Trong chương trình bày lại kết tính toán toán nguyên tử hydro theo phương pháp cổ điển để làm sở cho việc so sánh kết tính toán sau (mức lượng bản) Ngoài ra, trình bày thay đổi mức lượng nguyên tử hydro đặt điện trường nguyên nhân gây thay đổi 1.1 Bài toán hạt trường xuyên tâm Chuyển động electron trường lực Coulomb hạt nhân nguyên tử toán quan trọng học lượng tử Chúng ta chủ yếu nghiên cứu chuyển động hạt trường xuyên tâm hạt nhân Thế hạt có khối lượng m0 chuyển động trường lực đối xứng xuyên tâm phụ thuộc vào khoảng cách r từ hạt đến tâm lực: U U r  (1.1.1) Do Hamlitonian hạt có dạng: 2 ˆ   U r H  m0 (1.1.2) Trong nguyên tử hydro, tương tác electron hạt nhân phụ thuộc vào khoảng cách r1  r2 chúng Như biết từ học giải tích, toán chuyển động hai hạt với định luật tương tác U  r1  r2  rút toán chuyển động hạt có khối lượng rút gọn  trường lực U  r  Trong trường hợp nguyên tử hydro, ta có:  SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền me m p me  m p Mức lượng nguyên tử Hydro điện trường theo phương pháp toán tử Vì m p GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa me nên   me Nếu bỏ qua kích thước proton, nguyên tử hydrro coi gồm hạt e chuyển động trường Coulomb gây tâm đứng yên Một trường trường hợp riêng đối xứng xuyên tâm, phụ thuộc vào khoảng cách đến tâm lực Chúng ta khảo sát chuyển động e trường lực đối xứng xuyên tâm dạng tổng quát nhất, sau chuyển sang trường hợp trường Coulomb Do tính đối xứng xuyên tâm, để tiện lợi ta giải toán tọa độ cầu Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng hạt trường hợp có dạng:   me  E  U  r    2  (1.1.3) Thay toán tử Laplace tọa độ cầu vào (1.1.3), ta được: me       E  U  r     r      ,   r  r r r  2  (1.1.4) Trong tọa độ cầu r , , toán tử hình chiếu bình phương momen xung lượng có dang:  lˆz   i   (1.1.5)      cot g  cos  lˆx  i   sin       (1.1.6)      cot g  sin  lˆy   i   cos       (1.1.7) Lˆ2    22 , (1.1.8) Dựa vào (1.1.8) ta có:    r  r r r  2m  Lˆ    e  E  U  r     2    r SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền (1.1.9) Mức lượng nguyên tử Hydro điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa Chúng ta biết rằng, chuyển động trường đối xứng xuyên tâm, định luật bảo toàn lượng, có hai định luật bảo toàn nữa, định luật bảo toàn momen xung lượng toàn phần định luật bảo toàn hình chiếu momen lên trục z định hướng tùy ý không gian Do khảo sát trạng thái với giá trị cho ba đại lượng Một cách tương ứng, ta viết nghiệm phương trình (1.1.9) dạng:  n l m  r , ,   Rn  r  Yl m  ,  (1.1.10) Ta nhớ lại rằng, lượng hạt đặc trưng số lượng tử n, trị riêng toán tử Lˆ2 lˆz đặc trưng số lượng tử quỹ đạo l số lượng tử từ m Thay (1.1.10) vào (1.1.9) ý rằng: Lˆ2 Ylm   l  l  1 Ylm Ta tới phương trình sau cho phần xuyên tâm Rnl  r  hàm sóng  n l m  r , ,   : d  dR  me   l  l  1   Rr    E U r   r  me r  r dr  dr    (1.1.11) 1.2 Chuyển động trường Coulomb Năng lượng nguyên tử hydro Chuyển động hạt electron trường Coulomb hạt nhân nguyên tử ví dụ quan trọng chuyển động trường xuyên tâm Có thể coi nguyên tử hydro trường hợp riêng toán xuyên tâm, gồm hạt nhân eletron, iôn nguyên tử electron, nguyên tử hydro mêzô gồm có prôtôn mêzôn tích điện âm Thế electron chuyển động trường hạt nhân có điện tích Ze ( Z: số prôtôn hạt nhân, e điện tích nguyên tố) có dạng: Z e2 U  r SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền (1.2.1) Mức lượng nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa V200,400  200 Vˆ 400 Z  200   aˆ 2y  aˆ y 400    Z    200 aˆ x2  aˆ x2 400         Z    200 aˆ x2 400   Z      Z   2     t   t 1    Sˆ x  t   t 1      ue 2v  u3   3    2  dt dt  dt t 2  t 1     d  47   47  2  Z    210   420  V200,400   Vậy: 200 Sˆ x Sˆ oy Sˆ zo 400 47   Z 210  Tính V220,400 V220,400  220 Vˆ 400 Z  220   aˆ 2y  aˆ y 400     0 Z   0  Sˆ x Sˆ y t   t 1     SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền   220 Sˆ x Sˆ y Sˆ zo 400 t   t 1     dt   Z   0   ue 2v dt  u3   t   t 1     2u  dt Mức lượng nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp toán tử   Z  2    2 4     2  V220,400   Vậy:  67   67 2  Z    1260   1260  Z d   GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa  67  Z 1260  Tính V022,400 V022,400  022 Vˆ 400 Z  022   aˆ 2y  aˆ y 400     0   Vậy: Z   0 Z     022 Sˆ x Sˆ y Sˆ z 400 t   t 1    0 Sˆ x Sˆ y Sˆ z t   t 1     12   2 11   2  V022,400   SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền d    Z 36  dt   Z  Z   0 2 dt 3u  2u t   t 1       2  12  Z    36   144  dt Mức lượng nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa Phụ lục I: Mức lượng nguyên tử hydro điện trường theo lý thuyết cổ điển Khi nguyên tử hydro chịu tác dụng điện trường toán tử Hamiltonian xuất số hạng nhiễu loạn:   ˆ V  - pˆ e Ee   e Ee z Năng lượng electron nguyên tử Hidro với: n  : E01  13,6  eV   13,6e  J  n  : E02  3,4  eV   3,4e  J  n  : E03  1,5111111111  eV   1,5111111111e  J  Xét hệ không thứ nguyên ta có: E01  0,5  J  E02  0,125  J  E03  0,055555555  J  Các hàm sóng tương ứng với E01 , E02 , E03 (trong hệ tọa độ cầu hàm sóng  nlm  r , ,   Rnl  r  Ylm  ,   ): N l m 0 0   100 r        e a   a   4    200    2a -1  211 SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền e  r  r     2a  1     a   4    r  e    6a a r 2a   sin  e  i       8 Mức lượng nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp toán tử 0 -1 1 -2 -1  210  r  e    6a a  211  r  e   a a  2 r 2a r 2a GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa   co s       4     i sin e       8    r r2     e   3 a 27 a 3a     300    311   1r  1 e    a   27 6a  r 3a r 3a        4    sin  e  i       8  310     27 6a 1r   e   a   r 3a   cos       4  311     27 6a 1r   1 a  e   r 3a   sin  e i       8  32    81 30a  r  a e   r 3a   15 sin  e 2 i      32    321  r  e   81 30a  a   r 3a   15 cos sin e  i      8    320    81 30a  r  a e    321    81 30a  r  a e   SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền 2 r 3a r 3a  3cos 2     16         15  cos sin e i     8   Mức lượng nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp toán tử  322  r  e   81 30a  a   r 3a GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa   15  sin  e i     32   Trong a bán kính quỹ đạo N.Bohr Bổ bậc Theo công thức lí thuyết nhiễu loạn ta có:  1 * E0  V11    100 V   100   eEe    s  rco   e   a    2    0 eE  e 4    d x   eEe  z    e  a    2   0    r3   e  a   r a       4     cos sin d     Suy ra: Theo công thức lí thuyết nhiễu loạn ta có: E0   V1k k E0 k 1  E0k Tính toán yếu tố ma trận nhiễu loạn V100,200 SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền sin  drd d Bổ bậc  2      d x      cos sin d   2 r r 2  a  drd  Mà : r a  1 E0   Mức lượng nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp toán tử V100,200      eEe    e a    2eEe  4 a 3 r e  r a     e    4   2a 3 r 2 a dr  0  d  cos r 2a GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa r      z d3x 1    2a    4    sin d  V100,200  Vậy: V100,210 V100,210 r a      eEe    e a  eEe  2 a   r e  r     e    4   6a a r 2 a dr  0 4    3   2 a e  eEe  d  cos    r e  3r a dr  r 2a    co s z d3x       4   sin d eEe 2 a   r e  3r a dr Thực tích phân toàn phần ta có: V100,210   256  256  a eEe a     243  2 a  81 eEe V100,211    V100,211   eEe    e a   eEe 8 a   r e  r a    r  e    4   6a a r  2 a dr   cos Vậy: 0 V100,211 SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền  3 i   sin e  z d x    8   sin 2  cos  isin  d d  V100,211 = Tính tương tự, ta có: r 2a V100,211  Mức lượng nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa V100,300 V100,300      eEe    e a   eEe 3 a   r a       4   3a  r r2   e     a 27 a   4r 2  a dr d  r r2   r 1 e    a 27 a     cos r 3a       4   z d x  sin d  0 V100,310 V100,310       eEe    e a  2eEe 27 a   r a       4   27 6a 1r  r 1 e 6a  3 4r 2  a dr d   cos  0 4r   3a e dr  2eEe  4    1r r       a  27 a    V100,310   Vậy: 1r     e 6a   r 3a    co s   z d x    4   sin d 2eEe  243  a eEe a     32 81a  256  eEe a 32 V100,311    V100,311   eEe    e a   2eEe 27 a   r a 1r  r 1 e a   3 r r   3a      1  e   6a   4   27 6a     sin  e i  z d x   8  4r  2 a dr Vậy: SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền   cos sin 2  cos  isin  d d  0 V100,311  Mức lượng nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa V100,311 V100,311  Tính tương tự, ta có: V100,320 V100,320      eEe    e a  r a r  r   3a       e     4   81 30a  a     3cos 2   z d x   16    eEe 81 6 a   r e  4r  2 a dr d   cos 0    sin 3cos 2  d  V100,320  Vậy: 10 V100,321    V100,321   eEe    e a   eEe 81 a   r e  r a 4r  2 a dr r  r   3a       e     4   81 30a  a    15  cos sin e i  z d x   8    cos  sin 2  cos  i sin   d d 0 Vậy: V100,321  11 V100,32 1 Tính tương tự, ta có: 12 V100,322 SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền V100,32 1  Mức lượng nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp toán tử V100,322   eEe 162 a  r e  r  r   3a       e     4   81 30a  a    15  sin  e i  z d x   32  r a      eEe    e a  4r 2  a dr sin 3  cos2  i sin 2  d d    cos GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa 0 V100,322  Vậy: 13 V100,32  V100,32   Tính tương tự, ta có: Ta có công thức bổ bậc hai  2 E V  V   V    100,200 2 100,32 1  3 E0  E0 V   V   2 V  V   V   100,211  1 2 E0   E0  E0   E0  100,311 E0   E0   1  100,210 E0   E0  100,310 V  100,311 E0   E0  100,322  1  3 E0  E0 100,32  100,211  3 E0  E0  2 E0   E0  V   V  100,320 E0   E0   1 V  100,210  1  V   V   100,300 E0   E0  100,321 E0   E0   V   2 E0  E0 E0   E0  100,310  1 E0  E0  Xét hệ đơn vị không thứ nguyên ta có: 256   Ee   243  2  E1   ( 0,5  0,125) 3  Ee    32    1,519361334 Ee2 ( 0,5  0,055555555) Khi mức lượng nguyên tử hydro theo lý thuyết cổ điển tính đến bổ bậc hai là:  0  2 E1  E1  E1  0,5  1,519361334 Ee2 SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức lượng nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp toán tử Phụ lục J: GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa Một số tính toán bổ sung mức lượng yếu tố ma trận bổ bậc hai theo kiểu nhiễu loạn cho nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp toán tử E001  001 Hˆ o 001 Z  001   nˆ  1     x , y ,z  Sˆ xo Sˆ oy Sˆ zo   t   t 1     Z  001   nˆ  1 001     x , y ,z  Ta có: 001  Và:  dt 001 001 Sˆ xo Sˆ oy Sˆ zo 001 t   t 1    1   nˆ  1 001   001  2nˆ z   001           x , y ,z 4  Z  0 001 Sˆ xo Sˆ oy Sˆ zo 001 t   t 1     dt   Z   0 Sˆ zo t   t 1     dt ˆ Sˆ zo  e vN  e v Với: Khi (J1.1) trở thành:   Suy ra:  Z dt  0 Z  ev t   t 1    dt   Z   2  2  2   Z  3   E001    Z  SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền 2      2  d (J1.1) Mức lượng nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa V000,001  000 Vˆ 001 Ee Z  000   aˆ x2  aˆ x2  aˆ z  aˆ z 001   2 z   Suy ra: Ee 2  000 aˆ z 001  V000,001   SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền  Z   0 Ee 2  Sˆ z t 2  t 1    dt     Ee 2 000 Sˆ o Sˆ oy Sˆ z 001 x t   t 1    0 Ee 2 dt Mức lượng nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp toán tử Phụ lục K: GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa Một số tính toán bổ sung mức lượng yếu tố ma trận bổ bậc ba theo kiểu nhiễu loạn cho nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp toán tử V001,000  001 Vˆ 000 Theo tính chất đối xứng ta có: Ee V001,000   2 V002,001  002 Vˆ 001 Ee Z aˆ z  aˆ z 001   002   aˆ x2  aˆ x2   2 z   Suy ra: Ee 2  002 aˆ z 001   Z   0 V002,001   SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền  Sˆ z t   t 1    Ee  dt  2   Ee 2 002 Sˆ o Sˆ oy Sˆ z 001 x t   t 1    0 2 Ee  dt Mức lượng nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp toán tử Phụ lục L: GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa Phần tính số với phần mềm Maple Mức lượng nguyên tử hydro tính đến bổ bậc hai Để thực việc tính toán Malpe dễ dàng ta phải tiến hành bước sau: Bước 1: Gán tên cho biểu thức cần tính toán Quy ước :  Eo : Năng lượng mức nguyên tử hydro chưa có bổ  E : Năng lượng bổ bậc hai cho mức nguyên tử hydro  E : Năng lượng mức tính đến bổ bậc hai Bước 2: Cực tiểu hóa lượng mức bản, tìm giá trị  tương ứng  Để tính đạo hàm biểu thức  f  theo biến số  , ta thực lệnh: d f d  Thu gọn biểu thức  f  dạng chuẩn hóa, ta thực lệnh: normal  f   Vì kết thu dạng chữ số thập phân nên ta làm tròn giữ đến 10 chữ số phần thập phân lệnh: evalf [10] (biểu thức) Ta thực gộp ba yêu cầu lệnh sau:    d evalf [10] normal   Eo  E    , nhấn Enter cho kết quả.(L1.1)  d    Giải phương trình d  f   , thực lệnh: solve (phương trình,{biến}) d Sau thực xong (L1.1), ta lấy phần tử số biểu thức (bt) tìm đựợc giải phương trình cho tử số solve  bt ,    , nhấn Enter cho kết nghiệm   Để tính mức lượng ứng với giá trị có  , ta dùng lệnh: evalf [10] subs    a , bt   SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức lượng nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa Mức lượng nguyên tử hydro tính đến bổ bậc ba Quy ước : E : Năng lượng bổ bậc ba cho mức nguyên tử hydro Các bước thực tương tự SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức lượng nguyên tử hydro điện trường theo phương pháp toán tử Phụ lục M: GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa Vẽ đồ thị biểu diễn phụ thuộc lượng nguyên tử hydro vào cường độ điện trường Để vẽ hai đồ thị hệ trục tọa độ ta thực cú pháp sau: >with(plots): >plot([hàm1,hàm2],x=gt đầu gt cuối, y=gt đầu gt cuối, tùy chọn); Để vẽ ba đồ ta thực lệnh thu kết sau: SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền [...]... đổi SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa Chương 2 PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO Chương 2 giới thiệu cơ sở của phương pháp toán tử, cách tính toán, ưu điểm của phương pháp Biểu diễn lại phương trình Schrodinger cho nguyên tử hydro thông qua các toán tử sinh aˆ  , hủy aˆ và trung hòa... Tuyền Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa  Khi có điện trường đều tác dụng, nếu kí hiệu cường độ điện trường là E và chiều e của cường độ điện trường được chọn là dọc theo chiều dương của trục Oz Tương tác của điện trường Ee với điện tử tương đương với tương tác của một lưỡng cực điện với điện trường Điều này dẫn đến trong toán tử. .. đến mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi đặt trong điện trường sẽ có sự thay đổi Các toán tử định lượng về độ biến thiên của các mức năng lượng nguyên tử khi có điện trường tác dụng có thể được tiến hành bằng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn, nếu cường độ của trường đủ nhỏ, nghĩa là trong trường hợp độ biến thiên của các mức nhỏ so với khoảng cách giữa các mức lân cận nhau của nguyên tử khi... ta chú ý rằng, toán tử Hamiltonian của nguyên tử ở trong từ trường bất biến đối với các phép quay quanh phương của trường và SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa không bất biến đối với các phép phản chiếu trong các mặt phẳng đi qua phương của trường Do đó, đối với nguyên tử ở trong từ trường, không có... Đức Thanh Tuyền (2.1.1.2) Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa Trong đó: pˆ x2 1 ˆ  m 2 x 2 Ho  2m 2 (2.1.1.3) Bài toán về dao động tử điều hòa có thể được giải rất gọn gàng bằng cách sử dụng phương pháp toán tử Phương pháp toán tử dựa trên ý tưởng sau: Ta thấy năng lượng của các hệ lượng tử bao gồm những mức rời rạc, gián đoạn... cả trong những điện trường yếu, vì khoảng cách giữa các mức quay tương ứng nhỏ so với năng lượng của các phân tử ở trong điện trường và năng lượng nhiệt Vì giới hạn của đề tài nên ta chỉ lưu ý xác định sự thay đổi của mức năng lượng cơ bản khi nguyên tử hydro được đặt trong điện trường  Kết luận cuối chương Như vậy trong chương này ta sẽ quan tâm đến hai vấn đề quan trọng: - Mức năng lượng cơ bản của. .. trung hòa nˆ Kiểm tra lại tính chính xác của phương pháp toán tử bằng cách xác định lại mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo phương pháp này và so sánh với kết quả đã có trong chương 1 2.1 Cơ sở của phương pháp toán tử 2.1.1 Bài toán dao động tử điều hòa một chiều Để khảo sát bài toán dao động tử điều hòa một chiều trong cơ học lượng tử ta cần giải phương trình Schrodinger: 2  2 d   x ... bản của nguyên tử hydro trong hệ đơn vị nguyên tử là 0,5 Trong chương 2, khi dùng phương pháp toán tử để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro, ta sẽ dựa vào kết quả này làm cơ sở để so sánh - Khi nguyên tử hydro được đặt trong điện trường ngoài thì trong Hamiltonian xuất hiện thêm số hạng nhiễu, sự đối xứng xuyên tâm được thay thế bằng sự đối xứng trục, dẫn đến mức năng lượng cơ bản sẽ có... toán tử sinh, còn aˆ là toán tử hủy Nếu hình dung phổ năng lượng như một chiếc thang, thì ta cũng có thể gọi aˆ  toán tử lên thang, còn aˆ là toán tử xuống thang, vì SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS Nguyễn Văn Hoa nhờ những toán tử này ta có thể chuyển lên (hoặc xuống) những nấc thang cao hơn (hoặc thấp hơn) trong. .. được chính xác nhưng việc giải phương trình Schrodinger cho bài toán nguyên tử hydro theo cách cổ điển khá phức tạp, do đó trong các phần tiếp theo ta sẽ sử dụng phương pháp toán tử ứng dụng vào phương trình Schrodinger để xác định mức năng lượng của nguyên tử hydro ở trạng thái cơ bản Xét bài toán nguyên tử hydro, ta có phương trình Schrodinger theo hệ đơn vị nguyên tử Hˆ   x , y , z   E   x