MỨC NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG ĐIỆN TRƯỜNG THEO PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ

Lí do chọn đề tài Hiện nay, trong cơ học lượng tử, chỉ có một số ít bài toán mà chúng ta có lời giải chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái dừng, đó là: bài toán

KHOA VẬT LÝ   

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài

GVHD: TS NGUYỄN VĂN HOA SVTH: NGUYỄN ĐỨC THANH TUYỀN NIÊN KHÓA: 2008 - 2009

Thành phố Hồ Chí Minh

- Tất cả quý thầy cô giáo, những người đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu trong suốt 4 năm học, đó là nền tảng để em có thể hoàn thành tốt luận văn

- TS Nguyễn Văn Hoa – giáo viên hướng dẫn luận văn này – người đã hết lòng hướng dẫn, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình thực hiện và hoàn tất luận văn

- TSKH Lê Văn Hoàng đã đóng góp ý kiến quý báu cho luận văn

- Thư viện trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho

em được đọc và mượn về nhà các tài liệu liệu quan đến đề tài

- Các bạn sinh viên lớp lý IV – khóa 31 (2005 - 2009) đã nhiệt tình giúp đỡ và đóng góp ý kiến cho đề tài

Do đề tài được thực hiện trong thời gian tương đối ngắn và với vốn kiến thức của bản thân còn hạn hẹp nên không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Kính mong nhận được sự góp ý, phê bình, xây dựng của quý thầy cô và các bạn

Cuối cùng em xin kính gửi đến Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư phạm thành phố

Hồ Chí Minh và Ban Chủ Nhiệm khoa Vật Lý cùng tất cả quý thầy cô giáo lời chúc sức khỏe và thành công!

MỞ ĐẦU

1 Tình hình chung về nghiên cứu đề tài

Phương pháp toán tử (Operator Method) với các tính toán thuần đại số xây dựng cho nhóm các bài toán vật lý nguyên tử đang trở thành một hướng nghiên cứu sôi động trong những năm gần đây Phương pháp toán tử do nhóm nghiên cứu của giáo sư Komarov L.I ở đại học tổng hợp Belarus xây dựng và đã ứng dụng thành công cho một loạt các bài toán khác nhau trong vật lý nguyên tử, vật lý chất rắn cũng như các bài toán

lý thuyết trường Phương pháp này được phát triển bởi Fernandez, Meson và Castro, Geryva Silverman, Wistchel và rất nhiều tác giả khác Nhóm nghiên cứu của TSKH Lê Văn Hoàng cũng đã có nhiều đề tài trình bày về phương pháp này: Luận văn tốt nghiệp của anh Nguyễn Hoàng Quốc “Phương pháp đại số sử dụng hàm Coulomb-Green cho bài toán hệ nhiều hạt.” (5 - 2004), Luận văn Thạc sĩ của chị Hoàng Đỗ Ngọc Trầm: “Phương pháp toán tử giải phương trình Schrodinger cho Exciton hai chiều trong từ trường đều với cường độ bất kì ” (2008) Ngoài ra phương pháp toán tử cũng đang đựợc giáo viên hướng dẫn luận văn này đi vào nghiên cứu và phát triển cho các bài toán: hiệu ứng Stark, hiệu ứng Zeeman, bài toán hệ nhiều hạt…

2 Lí do chọn đề tài

Hiện nay, trong cơ học lượng tử, chỉ có một số ít bài toán mà chúng ta có lời giải chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái dừng, đó là: bài toán hạt trong hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và bài toán về nguyên tử hydro (chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm) Đây là các hệ đã lí tưởng hóa được gặp trong tự nhiên Việc nghiên cứu các hệ đơn giản, lí tưởng hóa cho ta hiểu được đầy đủ hơn các phương pháp của cơ học lượng tử Ngoài ra các kết quả thu được có một tầm quan trọng đặc biệt, vì trong một sự gần đúng nào đó, chúng phản ánh những tính chất của hệ thực tương ứng

Trong đó bài toán về nguyên tử hydro là một bài toán quan trọng của vật lý lượng

bài toán khá phức tạp Để giải được bài toán này, ban đầu phải xây dựng một hệ thống kiến thức về toán tử momen xung lượng trong hệ tọa độ cầu; xét các tính chất, trị riêng và hàm riêng của toán tử momen xung lượng; phương trình bán kính; sự lượng tử hóa không gian, sự phân bố electron và tính chẵn lẻ của các hàm cầu…

Đặc biệt khi xét nguyên tử hydro trong điện trường, ta chỉ thu được lời giải chính

xác khi điện trường yếu (cường độ điện trường Ee có giá trị không lớn lắm

(Ee 10 5 cm V 

  ), hoặc điện trường rất lớn (bài toán này có thể giải bằng phương pháp

nhiễu loạn), còn đối với điện trường trung bình thì bài toán vẫn chưa có lời giải

Ngoài cách giải phương trình Schrodinger để xác định hàm sóng và năng lượng của dao động tử điều hòa, bài toán này còn có thể được giải rất gọn bằng cách đưa vào các toán tử và liên hợp với nhau (hay còn gọi là phép biểu diễn các số lấp đầy)

Như vậy, dựa trên hệ cơ sở trực giao đã biết của dao động tử điều hòa, có thể mở

ra phương pháp giải bài toán cho nguyên tử hydro bằng cách biểu diễn thông qua các toán

tử sinh hủy Theo cách này, các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lý đều có thể biểu diễn qua các toán tử sinh hủy trên, nhờ đó mà các tính toán yếu tố ma trận giữa các trạng thái của nguyên tử hydro có thể dễ dàng chuyển về các phép biến đổi đại số dựa vào các giao hoán tử của các toán tử sinh hủy

Khi xét nguyên tử hydro trong điện trường, với phương pháp toán tử và áp dụng thêm phương pháp nhiễu loạn, ta có thể đưa ra lời giải cho bất kì giá trị nào của điện trường: từ điện trường yếu cho đến điện trường mạnh kể cả trong điện trường trung bình

mà các phương pháp trước chưa giải quyết được

Qua nghiên cứu và khai thác trong các bài toán cụ thể, phương pháp toán tử đã chứng tỏ tính ưu việt và hiệu quả của nó so với các phương pháp đã biết như sau:

 Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp mà thông thường phải tính tích phân của các hàm đặc biệt

 Cho phép xét các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có cường độ bất kì

 Cho phép xác định giá trị năng lượng và cả hàm sóng của hệ trong toàn miền thay đổi tham số trường ngoài

Phương pháp này có thể được phát triển để giải quyết nhiều bài toán khác trong cơ học lượng tử Tuy vậy trong khuôn khổ cho phép của một luận văn tốt nghiệp và giới hạn về mặt thời gian nên chúng tôi chỉ xin được trình bày phương pháp toán tử ở mức độ bắt đầu tìm hiểu và chỉ xác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp này

3 Tóm tắt đề tài luận văn

a Mục tiêu của đề tài

Trong luận văn này, chúng tôi tiếp cận phương pháp toán tử như một công cụ mới với mục tiêu cụ thể là:

 Tìm hiểu về phương pháp toán tử: cơ sở hình thành, sơ đồ tính toán, ưu điểm…Ứng dụng của phương pháp này trong phương trình Schrodinger

 Kiểm tra độ tin cậy của phương pháp bằng cách giải lại bài toán nguyên tử hydro để xác định lại mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro và so sánh với lời giải chính xác đã có Việc tính toán lại bài toán này ngoài tác dụng minh họa cho phương pháp còn có thể cho thấy khả năng ứng dụng và phát triển mạnh mẽ của phương pháp

 Xác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

b Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp toán tử hay còn gọi là phép biểu diễn các số lấp đầy Các

toán tử ˆa và ˆatác động lên các số lấp đầy (số phônôn) Toán tử ˆa giảm số phônôn 1 đơn vị hay toán tử hủy phônôn Toán tử ˆa tăng số phônôn 1 đơn vị hay toán tử sinh

phônôn Ngoài ra, ta còn định nghĩa toán tử ˆn a a ˆ ˆ gọi là toán tử trung hòa Toán tử ˆn

tác dụng lên hàm  qui về việc nhân hàm này với n Nói một cách khác, toán tử số

phônôn ˆn trong biểu diễn các số lấp đầy là chéo và các trị riêng của nó bằng số phônôn

có trong trạng thái đã cho

c Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu – kết luận, luận văn “Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử”gồm có ba chương:

Chương 1: Đại cương về bài toán nguyên tử hydro

Trình bày các kết quả thu được của bài toán nguyên tử hydro cổ điển, chủ yếu là xác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro Giới thiệu về bài toán nguyên tử hydro dưới tác dụng của điện trường Chương này sẽ đóng vai trò cơ sở cho việc so sánh kết quả của các chương tiếp theo và kiểm tra độ tin cậy của phương pháp toán tử

Chương 2: Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro

Trong chương này sẽ bày cơ sở của phương pháp toán tử, giới thiệu sơ lược về phương pháp Giải lại bài toán nguyên tử hydro theo phương pháp toán tử, tức là biểu diễn Hamiltonian của nguyên tử hydro theo các toán tử, xác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro có tính đến bổ chính bậc hai, bậc ba theo kiểu nhiễu loạn Chương 2 tập trung vào việc kiểm tra lại mức độ chính xác của phương pháp toán tử dựa trên kết quả đã có theo cách tính toán cổ điển trong chương 1

Chương 3: Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro trong điện trường

Chương 3 là các kết quả chính của luận văn Trong chương này sẽ xác định lại mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi có tác dụng của điện trường Khi cường độ điện trường nhỏ, có thể coi tương tác giữa điện trường và nguyên tử hydro là nhiễu loạn,

bổ sung thêm phần nhiễu loạn này vào trong Hamiltonian của nguyên tử hydro và tìm lại các kết quả của chương 2 với Hamiltonian mới trong điện trường So sánh kết quả tính toán được theo phương pháp toán tử với kết quả tính toán cổ điển

Vẽ được đồ thị so sánh kết quả tính toán của hai phương pháp

Để đơn giản trong việc tính toán nên các công thức trong luận văn sẽ được viết trong hệ đơn vị không thứ nguyên hay còn gọi là hệ đơn vị nguyên tử với

1

m e  

Chương 1

ĐẠI CƯƠNG VỀ BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO

Trong chương này sẽ trình bày lại các kết quả tính toán được của bài toán

nguyên tử hydro theo phương pháp cổ điển để làm cơ sở cho việc so sánh kết

quả của các tính toán sau này (mức năng lượng cơ bản) Ngoài ra, còn trình

bày về sự thay đổi của mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi được

đặt trong điện trường và nguyên nhân gây ra sự thay đổi đó

1.1 Bài toán hạt trong trường xuyên tâm

Chuyển động của electron trong trường lực Coulomb của hạt nhân nguyên tử là một bài toán quan trọng trong cơ học lượng tử Chúng ta chủ yếu nghiên cứu chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm của hạt nhân

Thế năng của một hạt có khối lượng m0 chuyển động trong một trường lực đối xứng xuyên tâm chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r từ hạt đến tâm lực:

ˆ 2

Vì m p m enên m e Nếu bỏ qua kích thước của proton, nguyên tử hydrro sẽ được coi như gồm hạt e chuyển động trong trường Coulomb gây bởi một tâm đứng yên Một trường như vậy là trường hợp riêng đối xứng xuyên tâm, trong đó thế năng chỉ phụ thuộc vào khoảng cách đến tâm lực Chúng ta khảo sát chuyển động của e trong trường lực đối xứng xuyên tâm dưới dạng tổng quát nhất, sau đó chuyển sang trường hợp trường Coulomb.

Do tính đối xứng xuyên tâm, để tiện lợi ta giải bài toán trong tọa độ cầu Phương trình Schrodinger cho các trạng thái dừng của hạt trong trường hợp này có dạng:

Chúng ta biết rằng, đối với chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm, ngoài định luật bảo toàn năng lượng, còn có hai định luật bảo toàn nữa, đó là định luật bảo toàn momen xung lượng toàn phần và định luật bảo toàn hình chiếu của momen lên trục z định hướng tùy ý trong không gian

Do đó chúng ta sẽ khảo sát các trạng thái với giá trị đã cho của ba đại lượng này

Một cách tương ứng, ta viết nghiệm của phương trình (1.1.9) dưới dạng:

1

0 2

e

e

l l m

1.2 Chuyển động trong trường Coulomb Năng lượng của nguyên tử hydro

Chuyển động của một hạt electron trong trường Coulomb của hạt nhân nguyên tử

là một ví dụ quan trọng nhất của chuyển động trong trường xuyên tâm Có thể coi nguyên tử hydro là trường hợp riêng của bài toán thế xuyên tâm, gồm hạt nhân và một eletron, hoặc iôn của một nguyên tử bất kì trong đó chỉ còn một electron, hoặc cũng có thể là nguyên tử hydro mêzô gồm có một prôtôn và mêzôn tích điện âm

Thế năng của electron chuyển động trong trường hạt nhân có điện tích Ze ( Z: số prôtôn trong hạt nhân, e là điện tích nguyên tố) có dạng:

2

Z e U

r

Với Z = 1, biểu thức (1.2.1) là thế năng (hệ đơn vị Gau  ) của electron trong

nguyên tử hydro, với Z > 1, biểu thức đó là thế năng của electron trong iôn đồng dạng

hydro Dễ dàng thấy rằng hàm (1.2.1) thỏa mãn các điều kiện :

 

2 0

ˆ 1

L r

.

o

e

e o

Thực hiện các phép biến đổi như trong [2- trang 241] ta có công thức truy toán cho các hệ số a k

Với các giá trị k lớn, có thể bỏ qua Z ở tử số và l l  ở mẫu số trong công thức 1

(1.2.8) Khi đó hệ thức truy toán có dạng:

1

2 2

2

n

Z n

Công thức (1.2.10) xác định năng lượng trong hệ đơn vị nguyên tử Để biểu diễn

năng lượng trong hệ CGS, ta cần nhân n với:

m e Z E

e n

o

m Z e E

1 9.10

Nm C

o

 Nhận xét về các trị riêng

Công thức (1.2.14) cho phép xác định năng lượng của electron trong nguyên tử

hydro Theo (1.2.14) thì năng lượng gián đoạn và tỉ lệ nghịch với bình phương các số

nguyên Tính gián đoạn này chính là hệ quả của điều kiện hữu hạn đối với hàm sóng ở

vô cực

1 Đối với thế Coulomb, Z hữu hạn, ta có một số vô hạn các trạng thái liên

kết, bắt đầu ứng với năng lượng

2 4 2

2 Ứng với một giá trị đã cho của n thì l có thể có những giá trị l = 0, 1, 2,

…, n-1 Như vậy có tất cả n giá trị của l và l xác định độ lớn của momen xung

gọi là ba số lượng tử, m gọi là số lượng tử từ

Ứng với một giá trị đã cho của l thì m có thể nhận các giá trị

Tất cả có

, l 2l giá trị của m Lượng tử số 1

m xác định độ lớn hình chiếu momen xung lượng trên trục z:

z

L   m

Như vậy, ứng với một mức năng lượng E có nhiều trạng thái khác nhau n nlm,

ta nói có sự suy biến Đối với một giá trị n xác định, số trạng thái suy biến có cùng giá trị năng lượng E là: n

1

2 0

Như vậy, ở trạng thái cơ bản, năng lượng không bị suy biến, còn ở mức kích thích đầu tiên, năng lượng suy biến bậc 4

4 Phổ năng lượng của nguyên tử hydro (Z = 1, me là khối lượng electron) xác định bởi phương trình (1.2.14) được chỉ ra trên hình vẽ

Khi so sánh các tính toán năng lượng từ (1.2.14) với các số liệu thực nghiệm, ta

thấy có một vài điểm khác nhau vì ta đã bỏ qua các tương tác khác trong nguyên tử hydro Ứng với n = 1, năng lượng có giá trị thấp nhất: E o  13,6eV, n càng tăng thì các mức E liên tiếp càng gần nhau hơn Khi n n   thì E n 0

Giá trị tuyệt đối của E o cho biết năng lượng ion hóa nguyên tử hydro Năng lượng này là công cần thiết để đưa electron từ trạng thái liên kết có năng lượng thấp nhất ra ngoài nguyên tử trở thành electron tự do

1.3 Nguyên tử Hidro trong điện trường

Khi không có điện trường ngoài tác dụng lên nguyên tử, các trạng thái dừng njm

tương ứng với một năng lượng Enj(sự suy biến theo số lượng tử m)

Khi có điện trường đều tác dụng, nếu kí hiệu cường độ điện trường là E e

và chiều của cường độ điện trường được chọn là dọc theo chiều dương của trục Tương tác của điện trường

Trong đó p e e r là toán tử mômen lưỡng cực điện của electron

Khi đó toán tử Hamiltonian cho nguyên tử hydro có dạng:

2 2 0

Như vậy khi có điện trường ngoài tác dụng:

- Trước hết sự đối xứng của hệ thay đổi: Sự đối xứng xuyên tâm được thay thế bằng sự đối xứng trục

- Thứ hai là, tính chất của thế năng thay đổi khi Do thế năng giảm khi

(e<0), nên sẽ xuất hiện xác suất của electron truyền qua hàng rào thế, nghĩa là sự ion hóa tự phát của nguyên tử dưới ảnh hưởng của điện trường ngoài có thể được thực hiện Khả năng của electron truyền qua hàng rào thế xuất hiện trong sự mở rộng của các mức Sự mở rộng này càng lớn nếu n càng lớn Với các n đủ lớn (các sự kích thích mạnh của nguyên tử), xác suất iôn hóa gần bằng 1 Đối với các mức kích thích đầu tiên trong các trường không mạnh lắm, hiệu ứng này rất nhỏ và trong phép gần đúng bậc nhất, hiệu ứng đó có thể

bỏ qua

Toán tử (1.3.2) bất biến đối với phép quay một góc tùy ý quanh phương của trường

và phép phản chiếu trong một mặt phẳng bất kì đi qua trục đó Trong một phép phản chiếu như thế, dấu của hình chiếu momen xung lượng thay đổi: Do đó trong

hệ có toán tử Hamiltonian (1.3.2) các mức năng lượng của các trạng thái có m và –m sẽ

trùng nhau, nghĩa là có suy biến bậc hai Chúng ta chú ý rằng, toán tử Hamiltonian của nguyên tử ở trong từ trường bất biến đối với các phép quay quanh phương của trường và

không bất biến đối với các phép phản chiếu trong các mặt phẳng đi qua phương của trường Do đó, đối với nguyên tử ở trong từ trường, không có sự suy biến tương tự (m và -m)

Chính những thay đổi này dẫn đến mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi đặt trong điện trường sẽ có sự thay đổi

Các toán tử định lượng về độ biến thiên của các mức năng lượng nguyên tử khi có điện trường tác dụng có thể được tiến hành bằng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn, nếu cường độ của trường đủ nhỏ, nghĩa là trong trường hợp độ biến thiên của các mức nhỏ so với khoảng cách giữa các mức lân cận nhau của nguyên tử khi không có trường

Trong phép gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn, số hiệu chính cho năng lượng của hệ không nhiễu loạn được xác định bởi giá trị trung bình của toán tử nhiễu loạn trong trạng thái đó Độ biến thiên năng lượng trong trạng thái njm dưới ảnh hưởng của nhiễu loạn (1.3.1) bằng:

có hàm sóng dưới dạng tổ hợp tuyến tính như sau:

Vì giới hạn của đề tài nên ta chỉ lưu ý xác định sự thay đổi của mức năng lượng cơ bản khi nguyên tử hydro được đặt trong điện trường

 Kết luận cuối chương

Như vậy trong chương này ta sẽ quan tâm đến hai vấn đề quan trọng:

- Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong hệ đơn vị nguyên tử là

0,5

 Trong chương 2, khi dùng phương pháp toán tử để tính mức năng lượng

cơ bản của nguyên tử hydro, ta sẽ dựa vào kết quả này làm cơ sở để so sánh

- Khi nguyên tử hydro được đặt trong điện trường ngoài thì trong Hamiltonian xuất hiện thêm số hạng nhiễu, sự đối xứng xuyên tâm được thay thế bằng sự đối xứng trục, dẫn đến mức năng lượng cơ bản sẽ có sự thay đổi

Chương 2

NGUYÊN TỬ HYDRO

Chương 2 giới thiệu cơ sở của phương pháp toán tử, cách tính toán, ưu

điểm của phương pháp Biểu diễn lại phương trình Schrodinger cho nguyên tử

hydro thông qua các toán tử sinh ˆa, hủy và trung hòa Kiểm tra lại tính chính xác của phương pháp toán tử bằng cách xác định lại mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo phương pháp này và so sánh với kết quả đã có trong chương 1

2.1 Cơ sở của phương pháp toán tử

2.1.1 Bài toán dao động tử điều hòa một chiều

Để khảo sát bài toán dao động tử điều hòa một chiều trong cơ học lượng tử ta cần giải phương trình Schrodinger:

2 2

2 2

E là năng lượng của nguyên tử

Trong đó hàm sóng   x phải thỏa những điều kiện cần thiết Tuy đây là phương trình vi phân bậc hai đối với hệ số là hàm của biến x, nhưng lại có thể giải một cách chính xác

Trước hết, ta viết lại phương trình Schrodinger dưới dạng:

2

2mp x  m x  x  E x (2.1.1.2)

Để tìm cơ chế trên, ta đưa ra hai toán tử ˆ ˆa a,  liên hợp với nhau (xem phụ lục A2.4-iii), được xây dựng bằng các hệ thức:

1

2 1

p p

(2.1.1.4)

Ta đưa vào biến không thứ nguyên  x m



 , các biểu thức ở (2.1.1.4) được viết lại đơn giản hơn:

nghĩa là như thể giảm năng lượng của dao động tử một lượng  Do đó được gọi là 

toán tử hủy hay toán tử hấp thụ (xem phụ lục A2.2 - ii)

nghĩa là như thể năng lượng của dao động tử tăng lên  Do đó  được gọi là toán tử

sinh (xem phụ lục A2.3 - iii)

ˆa toán tử lên thang, còn là toán tử xuống thang, vì ˆa

nhờ những toán tử này ta có thể chuyển lên (hoặc xuống) những nấc thang cao hơn (hoặc thấp hơn) trong phổ năng lượng của dao động tử điều hòa

Để tính phần tử chéo của toán tử Hˆ , ta xuất phát từ dạng (2.1.1.10)

2

1 1

n

E n  

Dựa vào các biểu thức (2.1.1.12) và (2.1.1.13) ta có thể ứng dụng liên tiếp toán tử

để thu được hàm sóng của trạng thái n từ hàm sóng của trạng thái không

Cũng bằng cách ứng dụng liên tiếp (2.1.1.12) và (2.1.1.13), ta có thể chứng minh

(Xem cụ thể trong phụ lục A2.1 - ii)

Như vậy, các trị riêng của các tích những toán tử ˆ ˆaavà lần lượt bằng (n+1)

và n Do đó các ma trận của những toán tử này trong biểu diễn riêng của chúng là những

aa  n m n a a n (2.1.1.22)

Số lượng tử n nói trên hoàn toàn đặc trưng cho trạng thái dừng của dao động tử Chỉ số n xác định năng lượng nên được gọi là số lượng tử năng lượng Người ta qui ước gọi kích thích một lượng tử là kích thích một phônôn (n = 1), kích thích 2 lượng tử là kích thích 2 phônôn v.v…Nói cách khác, mỗi lượng tử kích thích dao động của dao động tử được gọi là một phônôn Khi đó số lượng tử n sẽ xác định số các phônôn trong một trạng thái tương ứng Tất cả các phônôn đều có năng lượng như nhau Trạng thái dừng hoàn toàn được xác định bằng việc nêu lên số các phônôn, do đó thay cho hàm  n , người

ta có thể đặc trưng cho nó bằng một hàm, trong đó biến độc lập là các số phônôn Ký hiệu

hàm đó bằng n Tác dụng của các toán tử và ˆa ˆa lên hàm này được xác định bằng các đẳng thức:

ˆa ˆa

ˆa

ˆa tăng số phônôn một đơn

vị và được gọi là toán tử sinh phônôn

Ta định nghĩa toán tử ˆn a aˆ ˆ

Ta có là toán tử Hermite vì: ˆn

H   do đó vectơ riêng của n Hˆo cũng là vectơ riêng của toán tử n ˆ

Do là toán tử Hermite nên nó chỉ có trị riêng thực và luôn chéo hóa được ˆn

Do chuyển động bị hạn chế về cả hai phía, phổ của là gián đoạn và không suy biến Từ đó suy ra, phổ của cũng gián đoạn và không suy biến

ˆ

H ˆn

Gọi vectơ riêng chuẩn hóa tương ứng với giá trị riêng  của Nˆ là  , ta có:

2

Như vây, giá trị riêng của là không âm nˆ

Mặt khác, ta có toán tử Hamiltonian và các toán tử sinh hủy thỏa mãn các hệ thức giao hoán:

Do đó ˆa n k a aˆ ˆ sẽ tương ứng với giá trị riêng  k

Bằng cách lần lượt tác dụng lên ˆa  với k đủ lớn, nếu:

ˆk ˆ ˆ 0

Nó sẽ là vectơ riêng tương ứng với trị riêng  âm, điều này trái với tính không k

âm của giá trị riêng của Để điều này không thể xảy ra, điều kiện (2.1.1.20), sẽ không

xảy ra với mọi k Gọi n là giá trị riêng nhỏ nhất của k, sao cho:

Naˆ ˆ n n aˆ n a aˆ ˆ n1  0

Như vậy, giá trị riêng của  phải là số nguyên và bằng n Từ lí do đó, toán tử

được gọi là toán tử số hạt Hàm riêng của nó có thể diễn tả số dao động có năng lượng

ˆn



 Toán tử hủy đi một dao động còn toán tử ˆa ˆasinh thêm một dao động

Dùng (2.1.1.18) ta có thể chứng minh được rằng toán tử tác động lên hàm ˆn

 qui về việc nhân hàm này với Nói cách khác, toán tử số phônôn trong biểu diễn các số lấp đầy là chéo và các trị riêng của nó

1 ˆ 2

Trong biểu diễn các số lấp đầy, nếu hàm riêng của trạng thái cơ bản (trạng thái

không có phônôn) được ký hiệu bằng 0 , thì khi ứng dụng liên tiếp n lần toán tử sinh ˆa

ta có thể thu được hàm sóng của trạng thái có n phônôn

Trong biểu diễn các số lấp đầy, người ta thường giả thiết 0 = 1, khi đó hàm n

xác định (2.1.1.24) bởi sẽ cũng được chuẩn hóa về 1 Trạng thái cơ bản của hệ mô tả bởi

hàm 0 thường được gọi là trạng thái vacum Trạng thái vacum có thể được xác định bởi

2.1.2 Bài toán dao động tử điều hòa một chiều với nhiễu loạn V

Xét dao động tử điều hòa một chiều với thế năng được truyền thêm một năng lượng phụ nhỏ với V x2 ( là hằng số thực dương)

Khi đó Hamiltonian của dao động tử không nhiễu loạn có dạng:

2.2 Bài toán nguyên tử hydro theo phương pháp toán tử

Bắt đầu từ phần này của luận văn trở đi, ta chỉ xét trong hệ đơn vị nguyên tử

Trong bài toán nguyên tử hydro theo phương pháp toán tử ta sẽ thực hiện lần lượt 3 bước như sau:

 Bước 1: Đưa toán tử Hamiltonian ˆH về biểu diễn dưới dạng các toán tử sinh-hủy

 Bước 2 : Tách toán tử Hamiltonian ˆH thành hai thành phần:

- Thành phần trung hòa H a aˆ 0ˆ ˆ, ,chỉ chứa các thành phần ˆn a a ˆ ˆ , các thành phần này được gọi là các toán tử “trung hòa” nghĩa là các số hạng chứa

số toán tử sinh và số toán tử hủy bằng nhau Trong đó phương trình Schrodinger 0

- Phần còn lại kí hiệu là V a aˆ ˆ ˆ , ,, được xem như là thành phần “nhiễu loạn”, chứa số toán tử sinh và số toán tử hủy khác nhau, sẽ được điều chỉnh “đủ nhỏ”

để thỏa điều kiện của lý thuyết nhiễu loạn thông qua việc chọn tham số 

 Bước 3 : Tính các bổ chính năng lượng ở mức cơ bản cho nguyên tử hydro Tính

năng lượng E ở mức cơ bản và so sánh kết quả với bài toán nguyên tử hydro theo o

phương pháp cổ điển

2.2.1 Phương trình Schrodinger cho bài toán nguyên tử hydro

Như chúng ta đã biết, tất cả các bài toán chuyển động của hệ trong thế giới vi mô đều dẫn đến việc giải phương trình động học của cơ học lượng tử đó là phương trình Schrodinger Đây là một phương trình đạo hàm riêng tuyến tính phức tạp mà nghiệm chính xác của nó chỉ có thể xác định trong một số ít trường hợp đơn giản với thế năng đã được lý tưởng hóa (nguyên tử hydro, bài toán dao động tử điều hòa, chuyển động trong hố thế vuông góc,…) Tuy có thể giải được chính xác nhưng việc giải phương trình Schrodinger cho bài toán nguyên tử hydro theo cách cổ điển khá phức tạp, do đó trong các phần tiếp theo ta sẽ sử dụng phương pháp toán tử ứng dụng vào phương trình Schrodinger để xác định mức năng lượng của nguyên tử hydro ở trạng thái cơ bản

Xét bài toán nguyên tử hydro, ta có phương trình Schrodinger theo hệ đơn vị nguyên tử

Z H

là thành phần thế năng của Hamiltonian

2.2.2 Biểu diễn toán tử cho bài toán nguyên tử hydro

Dựa trên cơ sở của phương pháp toán tử ta định nghĩa các toán tử sinh hủy như sau:

1 ˆ

2

x x

2

x x

2

y y

2

y y

2

z z

2

z z

số thực dương, được đưa thêm vào để tối ưu hóa quá trình tính toán, ta sẽ xác định các tham số này sau

, ,

Ox Oy Oz

Một cách tổng quát ta có thể viết:

1 ˆ

Ta dễ dàng kiểm chứng được các hệ thức giao hoán:

;

ˆ ˆ [a a x, x] 1 [ ,a aˆ ˆy y] 1 ; [ ,a aˆ ˆz z] 1

;

ˆ ˆ [a a, ] 0 [a aˆ ˆ, ] 0 (2.2.2.7)

[a a, ] 0Các giao hoán tử này sẽ là công cụ chính cho các tính toán đại số

Theo cách này, các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lí đều có thể biểu diễn qua các toán tử sinh hủy trên, nhờ đó mà các tính toán yếu tố ma trận giữa các trạng thái của nguyên tử hydro có thể dễ dàng chuyển về các phép biến đổi đại số dựa vào các giao hoán tử của các toán tử sinh hủy

Chúng ta viết lại các thành phần trong Hamiltonian qua biểu diễn các toán tử sinh - hủy này Sau đó thực hiện bước 2: tách Hamiltonian thành hai thành phần

2.2.2.2 Thành phần Hamiltonian liên quan đến thế năng

Với số hạng liên quan đến tương tác Culoumb (thế năng) thì các toán tử sinh hủy

sẽ nằm ở dưới mẫu số và trong dấu căn nên cần tìm cách đưa về dạng chuẩn (normal), để

 Nếu toán tử ˆalàm giảm bậc của vector trạng thái đi n lần thì toán tử ˆAsẽ

làm giảm bậc của vector trạng thái đi 2n lần

 Nếu toán tử ˆa làm tăng bậc của vector trạng thái lên n lần thì toán tử ˆAsẽ làm tăng bậc của vector trạng thái lên 2n lần

 Toán tử ˆN vẫn không làm thay đổi bậc của vector trạng thái

Bây giờ xét riêng thành phần hàm e mũ etx2

ˆ

S Z

dt t

Để đơn giản, ta sẽ tạm thời bỏ dấu chỉ số ở các toán tử x Sˆx Ta sẽ đưa toán tử

trên về dạng chuẩn theo quy trình gồm 4 bước (xem cụ thể trong phụ lục D2 - ix )

A A N x

x y z U

Thực hiện khai triển chuỗi Taylor để xác định ˆS, Sˆo

(Xem chi tiết phần khai triển trong phụ lục D3 - xiii)

Từ kết quả khai triển Taylor ta có:

ˆo

S chứa các số hạng trung hòa

ˆS chứa các số hạng không trung hòa

Từ (2.2.2.2.24) ta có:

2 2

2 2

2 2

là thành phần thế năng chứa các số hạng không trung hòa

Vậy ta đã tách toán tử Hamiltonian thành hai thành phần: Thành phần trung hòa và thành phần nhiễu loạn

Năng lượng của nguyên tử hydro ở mức cơ bản được xác định theo công thức của

lí thuyết nhiễu loạn:

E : Bổ chính bậc ba cho mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro

Để đảm bảo tính chính xác của việc tính toán mức năng lượng cơ bản của nguyên

tử hydro nên ta sẽ tính đến bổ chính bậc ba

Khi tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro, trong biểu thức toán vẫn còn chứa tham số  Như đã nói, đây là tham số được đưa vào để tối ưu hóa quá trình tính toán, ta xác định  từ điều kiện:

đây chính là điều kiện cực tiểu hóa năng lượng theo thông số biến phân

Từ phương trình (2.2.3.2) xác định được, thế vào biểu thức củaE0, ta sẽ thu được giá trị cần tìm của E0

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi chưa có bổ chính:

(Xem chi tiết phần tính toán trong phụ lục E - xv)

Vì mức E0 0 là mức năng lượng thấp nhất nên ta tiến hành cực tiểu hóa năng lượng:

 0 000

3

0 4

3

4

E Z Z

4 0,4244131814 3

E



    (2.2.3.5)

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro tính đến bổ chính bậc nhất theo lí thuyết nhiễu loạn

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro tính đến bổ chính bậc hai theo

lí thuyết nhiễu loạn