Mức năng lương cơ bản của nguyên tử hiđrô theo phương pháp toán tử

Phương pháp toán tử được các nhà lý thuyết nghiên cứu gần đây gặp phải một khó khăn là chưa chọn được một không gian vectơ trực giao thích hợp cũng như còn hạn chế khi mở rộng cho bài toán phức tạp hơn. Phương pháp toán tử trình bày trong nội dung đề tài này dựa trên một hệ cơ sở trực giao trong không gian Hilbert của dao động tử điều hòa, qua đó chúng ta có thể biểu diễn Hamiltonian của bài toán nguyên tử hiđrô thông qua các toán tử sinh hủy một cách dễ dàng.

Năm học 2008 – 2009 MỨC NĂNG LƯƠNG CƠ BẢN CỦA NGUN TỬ HIĐRƠ THEO PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ Bùi Nguyễn Ngọc Thúy SV năm 4, Khoa Vật lý GVHD: TS Nguyễn Văn Hoa Đặt vấn đề Trong học lượng tử tốn ngun tử hiđrơ tốn giải xác Trong nội dung đề tài này, nghiên cứu phương pháp để tiếp cận với toán nguyên tử hiđrơ, phương pháp tốn tử Phương pháp tốn tử nhà lý thuyết nghiên cứu gần gặp phải khó khăn chưa chọn khơng gian vectơ trực giao thích hợp cịn hạn chế mở rộng cho toán phức tạp Phương pháp tốn tử trình bày nội dung đề tài dựa hệ sở trực giao   n  không gian Hilbert dao động tử điều hịa, qua biểu diễn Hamiltonian tốn ngun tử hiđrơ thơng qua tốn tử sinh hủy cách dễ dàng Ta đưa Hamiltonian nguyên tử hiđrô dạng dao động tử gồm thành phần điều hòa phi điều hòa ba chiều đẳng hướng x, y, z nghĩa tách Hamiltonian toán thành hai phần: thành phần µ H chứa số hạng trung hòa xem ứng với trường hợp dao động tử điều hịa khơng nhiễu loạn, thành phần Vµxem nhiễu loạn Từ ta áp dụng lý thuyết nhiễu loạn để giải tốn phương pháp nhiễu loạn phương pháp ưu việt để giải gần toán học lượng tử Với cách giải tìm mức lượng ngun tử hiđrô Nội dung thực Một số kết lượng hàm sóng nguyên tử hiđrơ mà học lượng tử cho ta Tìm hiểu tổng quan hình thức luận tốn tử lấp đầy (hay phương pháp toán tử) Áp dụng phương pháp toán tử cho tốn ngun tử hiđrơ, từ xác định mức lượng nguyên tử hiđrô Phương pháp nghiên cứu 207 Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH Từ kết học lượng tử ta có cơng thức tính lượng nguyên tử hiđrô En   E   me Z 2 h2 n Ta có mức lượng nguyên tử hiđrô E1  13, 6eV 3.1 Hình thức luận tốn tử số lấp đầy Ta đặt hai toán tử    m xˆ  i pˆ   aˆ   m h  2 h     m   ˆ ˆ ˆ a  x  i p    m h   h  Thỏa mãn điều kiện giao hoán tử ˆ ˆ   aˆ  aˆ  aˆ , aˆ    aa Nˆ  aˆ  aˆ Đặt Ta gọi lượng tử kích thích dao động dao động tử gọi phonon Khi thay cho hàm  n ( x) , người ta đặc trưng cho hàm hàm theo biến độc lập n số phonon trạng thái dừng cho Ký hiệu hàm n aˆ + n  n  n  Ta có aˆ n  n n  Nˆ n  n n Phép biểu diễn cho hàm toán tử gọi phép biểu diễn số lấp đầy Toán tử aˆ  tác dụng lên hàm n làm tăng số phonon thêm đơn vị nên gọi toán tử sinh phonon; toán tử aˆ tác dụng lên hàm n làm giảm số phonon đơn vị nên gọi toán tử hủy phonon Toán tử Nˆ gọi toán tử số hạt phonon 3.2 Phương pháp toán tử cho tốn ngun tử hiđrơ Xét tốn ngun tử hiđro, phương trình Schrodinger theo hệ đơn vị nguyên tử (  = m = e =1) viết Hˆ   x , y , z   E   x , y , z  208 Năm học 2008 – 2009 Hˆ  Tˆ  Uˆ Với  Tˆ     Uˆ     ,trong  2 2 2     2   x  y z  Z x2  y2  z2 Ta định nghĩa toán tử sinh hủy sau            aˆ  với  = x, y, z Với hệ thức giao hoán aˆ   [ aˆ , aˆ ]             [ aˆ , aˆ ]  [ aˆ , aˆ ]  [ aˆ , aˆ  ]  1 Tˆ      aˆ2  aˆ     ¶ N     Suy  Theo phép biến đổi Laplace U  Z Z  2  x  y z 2  Đặt    t  x2  y2  z2  e dt t  aˆ2  aˆ  aˆ aˆ  1  Aˆ   aˆ2 Aˆ  aˆ ˆ ˆ nµ   a a  t  x Sˆ   e  y  z2   e  t x e  t y e  t z  Sˆ  Sˆ  Sˆ  x y z 2 Sˆ   e  t   e  2 t ¶ Aˆ  Aˆ   n  2  với Sˆ  e  t   Đưa Sˆ dạng chuẩn ta có Sˆ  e    Aˆ  Aˆ  µ N  1 ¶ e  Sˆ  S  ln  1 2     e   2 ˆ  A   với Sˆ   e  e  ln  1 2  ˆ  A  2  e N  )  (µ  ln  1 2 N µ  e  e  Aˆ  2   Aˆ  2  209 Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH S  µ  Z U       t t   x   dt  t  t          y    z    Khai triển Taylor ta Sˆ      n µ u A  n ! n0 n  m µ v N   m ! m 0   m  l µ u A  l ! l 0 l   Với   u    2  v   ln(1  2 )   Sˆ  Sˆ0  Sˆ1 Tiến hành tách số hạng trung hòa   1 Sˆ0     vn µ N n 1   n!    n µ µ1  S v N   n n !      k µ u A k 1 k !  k  n n  i µ u A  i 1 i !  n! v n0   n  N  µ n i  µ A i k i   n     1    u2 n µ A  n!  k     n1! v  Nµ     uk µ A k 1 k !   n      1    u2 n µ A  n!  i µ u A i!    n  n  m m v  N  µ A m 1 m !  n  n0 i Ta đưa tốn ngun tử hiđrơ tốn dao động tử điều hịa ba chiều đẳng hướng x, y, z µ H µ0  Vµ H Ta viết Hamiltonian dạng µ0 chứa số hạng trung hòa, ta xem Hamiltonian Trong H ứng với tốn khơng nhiễu loạn; Vµ xem nhiễu Z µ H   µ N      x , y ,z    2 µ     a$  a$   Z V    4      210     S x0 S y0 S z0     t t   x    t    y   t    z      dt Sx0 S1y Sz1  S1x S0y Sz1  S1x S1y Sz0  Sx0 S0y Sz1  Sx0 S1y Sz0  S1x S0y Sz0  S1x S1y Sz1  t  t  t  t 1  1   1    x   y   z      dt n  Năm học 2008 – 2009 3.3 Tìm yếu tố ma trận Sˆ0 ; Sˆ1  µ k  n S  n k   2n 2 n n    2n  n1  v k     u   ( k   ). ( k  n   )   1   n1 n ! n 1  n !   1   0     2n 2  m   n  n 1 m     u   (k   ). (k  2n   )  v ( k  2n)  n1  n !   1   0  m 1 m !    1    2 2  1  2i 1 n  2k n S k   vn  ui   k      k  2i   n ,k 2i   uk  (k   )  vn kn n ,k  2k n n ! i 1 i ! k 1 k !   1  n n !   0    2k 2 1  2i 1   uk  vn  ui  ( k   ) ( k  2i   )  ( k  2i )n  n ,k  i  k k 1 k ! n n ! i k i !  1   0   3.2 Tính E0(0) µ0 000  000 µ  000  Z E0(0)  000 H  2N    x , y, z   Khi khơng có E 0(0)     trường  000 S x0 S y0 Sz0 000     t  t  t  t             x    y   z   x   y   z   , ta tính  3.3.1 Bổ bậc mức E0 E0(1)  000 V 000  (Do nhiễu V khơng chứa số hạng trung hịa nên phần tử ma trận đường chéo V 0) 3.3.2 Bổ bậc hai mức E0 xác định công thức  E0( 2)   k 1 k 2x  k 2y  k z2  000 V k x k y k z (0) E000  Ek(0)x k y kz  000 V 100  (0) (0)  E100  E000   000 V 010 (0) (0) E000  E010 2 000 V 001    (0) (0) E000  E001   211 dt Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH  000 V 200  (0) (0)  E000  E200   000 V 300  (0) (0)  E000  E300  000 V 021  (0) (0) E000  E021   000 V 020 000 V 030  (0) (0) E000  E210  000 V 003 (0) (0) E000  E201 (0) (0) E000  E110 (0) (0) E000  E003 000 V 201 000 V 110  (0) (0) E000  E002 (0) (0) E000  E030 000 V 002  (0) (0) E000  E020 000 V 210   000 V 120 000 V 101  (0) (0) E000  E101 (0) (0) E000  E120  000 V 102 (0) (0) E000  E102 000 V 011    (0) (0) E000  E011    000 V 012 (0) (0) E000  E012 000 V 111                       (0) (0) { E000  E111  { { { { { bac16  bac4 bac5 bac bac bac8 Trong q trình tính yếu tố ma trận V ta thấy 000 V k x k y k z  k lẻ Ngồi cần ý tính chất đối xứng, ví dụ 000 V 200  000 V 020  000 V 002 Từ ta suy E ( 2)  000 V 200   000 V 400 000 V 220   000 V 600 3 3  3 3 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0)  E000  E200   E000  E400 E000  E220   E000  E600 1 44 4 43  1 4 4 44 4 4 4 43   bac 2 6 000 V 420 (0) (0) E000  E420 bac 2 2 000 V 222   000 V 800 000 V 620 000 V 440 000 V 422     (0)    (0)  (0)  (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) E000  E222   E000  E800 E000  E620 E000  E440 E000  E224   1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4  bac8 2 2  000 V 1000 000 V 820 000 V 640 000 V 622 000 V 442   3 6 6 3 3 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0)  E000  E1000 E000  E820 E000  E640 E000  E622 E000  E442  1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4  bac10 2 2  000 V 1200 000 V 1020 000 V 840 000 V 660 000 V 822   6 6 3 3  (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) E000  E1200 E000  E1020 E000  E840 E000  E660 E000  E822   6 212 000 V 642 (0) (0) E000  E642 2 000 V 444   000 V 1400 3  (0) (0) (0) (0) E000  E444 E000  E1400     6 000 V 1220 (0) (0) E000  E1220 6 000 V 1040 (0) (0) E000  E1040    Năm học 2008 – 2009 6 000 V 860 3 (0) (0) E000  E860 000 V 1022 000 V 842 6 (0) (0) E000  E1022 3 (0) (0) E000  E842 000 V 662 3 (0) (0) E000  E662 000 V 644     (0) (0) E000  E644 +  000 V 1600 3 (0) (0) E000  E1600   3 000 V 1420 6 000 V 1222 6 (0) (0) E000  E1420 (0) (0) E000  E1222 2 000 V 1042 6 6 (0) (0) E000  E1042 000 V 1240 6 (0) (0) E000  E1240 000 V 862 3 (0) (0) E000  E862 000 V 1060 3 (0) (0) E000  E1060 000 V 844 3 (0) (0) E000  E844 000 V 880 S0  000 V 664 (0) (0) E000  E664  S1  n   n !v n N  µ n  i   i !u  S1  0 S0  i 1  µA  i  µ $ A  a$$ nên  a  a  Do với i  S1   i   S1  n   n !v n 0 n  Nµ  u   µ A   n   n!v n n  Nµ  u  n0  µ  0 ) (Vì với n  1thì S1  N  S1  u 0  u Ta viết lại thành phần động 000 V 200  000     a$    000 V 200    2  a$  200    x    Z x     S  S  S  x 02   t t 1    x y 00  t  1    y z 00  t  1    z     Nếu khơng có trường ngồi  x   y   z   ta có ux  u    (0) (0) E000  E880 * Trước hết ta tính yếu tố ma trận V, ví dụ ta cần tính 000 V 200 Ta có dt  t ;   2 2 213     Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 2   000 V 200      2  (1  2 ) d   2   (0) * Tính En(0)n n trường hợp khơng có trường ngồi, ví dụ ta tính E200 x y z (0) µ0 200  200 µ 1 200  Z E200  200 H  2N   x, y,z    200 Sx0Sy0Sz0 200     t   t   t  t 1  1  1    x   y   z  dt (0) Thành phần động E200 200 Ta có µ  200   5       N  x y z   x, y , z     µ S x0  1   vn N  n 1 n !   n    µA    e   u2 µ A  v  2u2  200 S x0 S y0 S z0 200  S x0 S y0 0 S z0  e2vx  2u x2 14 43 14 43 1 Nếu khơng có trường     2  2 (0)     2 (1 2) E200   d   d  7     4  0 15  (1 2)2    (1 2) * Sau thay yếu tố ma trận V mức lượng ứng với trường hợp khơng nhiễu loạn ta tính mức lượng ngun tử Hiđrơ tính đến bổ bậc hai E  E0(0)  E0(2) Ta tiến hành cực tiểu hóa lượng nguyên tử hiđrô theo thông số biến phân  d E     0, 5984563248 d Thay  vào E0 ta có mức lượng nguyên tử hiđrô hệ khơng thứ ngun Khi quy hệ có đơn vị ta có E = -0,4996721656 E   13.6eV Kết luận Như vậy, phương pháp toán tử kết hợp với việc sử dụng lý thuyết nhiễu loạn giúp xác định mức lượng ngun tử hiđrơ tới độ xác cần thiết, bước đầu cho thấy tiện dụng phương pháp Điều 214 Năm học 2008 – 2009 cho thấy khả áp dụng phương pháp toán tử cho tốn khơng nhiễu loạn ngun tử hiđrơ trường ngồi có độ lớn trung bình Do mở rộng phạm vi áp dụng phương pháp cho toán phức tạp tốn ngun tử hiđrơ từ trường - hiệu ứng Zeeman, điện trường - hiệu ứng Stark; toán phân tử nhiều nguyên tử hay toán tinh thể phương pháp nghiên cứu khác chưa tiếp cận Đây ưu điểm phương pháp toán tử Khi sử dụng phương pháp này, xem sở không gian nguyên tử hiđrơ dao động tử điều hịa tương đương nhau, từ thu kết gần tương đối xác lượng nguyên tử hiđrô Trong chương chúng tơi tính đến bổ bậc theo nhiễu loạn cho mức lượng bản, kết cho độ xác cao Từ cho thấy chuỗi bậc bổ hội tụ tính xác đến bậc tùy ý Tuy nhiên, phương pháp số vấn đề cần làm rõ giá trị mức lượng cao bậc suy biến chúng Đó hướng phát triển đề tài Ngoài xét tốn ngun tử hiđrơ trường ngồi có độ lớn trung bình, khơng thể sử dụng lý thuyết nhiễu loạn được, phương pháp tốn tử tỏ hiệu Từ kết luận trên, thời gian tới, tiếp tục nghiên cứu việc áp dụng phương pháp toán tử cho toán 215 Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Vũ Văn Hùng, Cơ học lượng tử NXB Đại học Sư phạm, 2000 [2] Đặng Quang Khang, Cơ học lượng tử NXB Khoa học Kĩ thuật, 1996 [3] Nguyễn Khắc Nhạp, Cơ học lượng tử Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, 2002 [4] Thái Khắc Định, Tạ Hưng Quý, Vật lý nguyên tử hạt nhân NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2007 [5] Vũ Hồng Cơ học lượng tử, NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2006 [6] Phạm Quý Tư, Đỗ Đình Thanh, Cơ học lượng tử Đại học Sư phạm Hà Nội, 1996 [7] L D Landau, E M Lifshitz, Course of theoretical physics Volume Quantum mechanics Non - Relativistic theory Copyright 1997 Pergamon press Ltd [8] David J Griffiths, Intoduction to Quantum Mechanics, McGraw Hill, New York, 1992 216 ... nên gọi toán tử hủy phonon Toán tử Nˆ gọi toán tử số hạt phonon 3.2 Phương pháp toán tử cho tốn ngun tử hiđrơ Xét tốn nguyên tử hiđro, phương trình Schrodinger theo hệ đơn vị nguyên tử (  =... Đây ưu điểm phương pháp toán tử Khi sử dụng phương pháp này, xem sở không gian nguyên tử hiđrô dao động tử điều hịa tương đương nhau, từ thu kết gần tương đối xác lượng nguyên tử hiđrô Trong... phạm vi áp dụng phương pháp cho toán phức tạp tốn ngun tử hiđrơ từ trường - hiệu ứng Zeeman, điện trường - hiệu ứng Stark; toán phân tử nhiều nguyên tử hay toán tinh thể phương pháp nghiên cứu