Phương pháp toán tử FK cho ion phân tử H2 phẳng trong điện trường đều

Bài viết đề cập việc khảo sát bài toán ion phân tử trong điện trường tĩnh có cường độ bất kì, bằng cách phát triển phương pháp toán tử FK. Kết quả thu được các yếu tố ma trận của Hamiltonian cho phép tính toán nghiệm số (năng lượng và hàm sóng) của bài toán.

TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE Tập 16, Số (2019): 301-308  ISSN: 1859-3100  Vol 16, No (2019): 301-308  Website: http://journal.hcmue.edu.vn Bài báo nghiên cứu PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK CHO ION PHÂN TỬ H +2 PHẲNG TRONG ĐIỆN TRƯỜNG ĐỀU Nguyễn Thị Ý Nhi, Hoàng Đỗ Ngọc Trầm* Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Tác giả liên hệ: Hoàng Đỗ Ngọc Trầm – Email: tramhdn@hcmue.edu.vn Ngày nhận bài: 10-01-2019; ngày nhận sửa: 05-4-2019; ngày duyệt đăng: 18-5-2019 * TĨM TẮT Trong cơng trình chúng tơi đề cập việc khảo sát toán ion phân tử điện trường tĩnh có cường độ bất kì, cách phát triển phương pháp toán tử FK Kết thu yếu tố ma trận Hamiltonian cho phép tính tốn nghiệm số (năng lượng hàm sóng) tốn Từ khóa: ion phân tử hydro hai chiều, phương pháp toán tử FK, yếu tố ma trận, numerical solution Mở đầu Ion phân tử H +2 (molecular hydrogen ion, viết tắt MHI) đối tượng nghiên cứu lí thuyết lẫn thực nghiệm, toán kinh điển liên quan đến nhiều hiệu ứng Phổ lượng cấu trúc tinh tế, siêu tinh tế MHI tính toán từ năm 30 đến (Bates, Ledsham, & Stewart, 2006; Vladimir I Korobov, Koelemeij, Hilico, & Karr, 2016) Đó sở để xác định số số bản, ví dụ tỉ số khối lượng hạt proton electron, số Rydberg, bán kính proton (Karr, Hilico, Koelemeij, & Korobov, 2016; Korobov, Danev, Bakalov, & Schiller, 2018) Việc xác định phổ lượng cho MHI trường hợp hai chiều có ý nghĩa có nhiều hiệu ứng hiệu ứng giảm số chiều; đồng thời, mơ hình đơn giản hóa hệ vật lí có cấu trúc tương tự quan tâm nay, exciton vật liệu hai chiều (Patil, 2003) Với phát triển công nghệ chế tạo laser xung cực ngắn, việc trích xuất thơng tin phân tử từ phổ sóng điều hòa quan tâm, hàm sóng xác phương trình Schrưdinger dừng thơng tin đầu vào cần thiết, việc xác định nghiệm cho phương trình Schrưdinger MHI hai chiều tác dụng trường laser có ý nghĩa Cite this article as: Nguyen Thi Y Nhi, & Hoang Do Ngoc Tram (2019) FK operator for two-dimensional H molecular hydrogen ion in a uniform electric field Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science, 16(9), 301-308 301 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số (2019): 301-308 (Avanaki, Telnov, Jooya, & Chu, 2015; Du, Wang, Li, Zhou, & Zhao, 2018; Ivanov & Schinke, 2004); đó, tốn MHI hai chiều điện trường bước trung gian để phát triển phương pháp giải phương trình Schrưdinger cho hệ nêu Với mục tiêu phát triển phương pháp toán tử FK (FK Operator Method, viết tắt FK-OM), phương pháp phi nhiễu loạn áp dụng thành công cho hệ nguyên tử hai chiều từ trường (Hoang-Do, Pham, & Le, 2013); báo này, phát triển phương pháp cho MHI hai chiều điện trường Quy trình giải cơng thức cần thiết cho việc xác định nghiệm số xác tốn trình bày cụ thể Phương pháp đại số cho MHI hai chiều điện trường Chúng ta xét mơ hình MHI phẳng gần Born-Oppenheimer, hai hạt nhân xem cố định vị trí  0,0   R,0  , với R khoảng cách liên hạt nhân Khi phương trình Schrưdinger khơng thứ nguyên cho MHI hai chiều điện trường có dạng sau: Hˆ  x, y   E  x, y  , (1)     2  1       1 x   y  1R    ,   2  y  x2  y ( x  R)  y R   x  đây, đơn vị lượng số Rydberg hiệu dụng R*  bán kính Bohr hiệu dụng a  e4  * 16 2 02  (2) , đơn vị độ dài 4  Cường độ điện trường không thứ nguyên 1, 2 e2  * ea1 ea , 2  * * R R Ta giải phương trình (1)-(2) FK-OM, ý tưởng tương tự lí thuyết nhiễu loạn với thành phần dao động tử điều hòa Các nghiên cứu trước (Hoang-Do et al., 2013) mối liên hệ tốn ngun tử khơng gian xác định biểu thức: 1   x, y  với tốn dao động tử phi điều hòa không gian  u , v  thông qua phép biến đổi Levi-Civita:  x  u  v2 ,   y  2uv,  (3)  với dxdy  x  y dudv , r  x  y  u  v Do đó, chọn hàm sóng sở khơng gian  u, v  dao động tử điều hòa tương ứng với hàm sóng ngun tử khơng gian  x, y  302 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Ý Nhi tgk Mặt khác, số hạng tương tác Coulomb có chứa biến động lực học mẫu số, ta cần tìm cách đưa biến khỏi mẫu số để sử dụng tính tốn đại số FK-OM Đối với tốn ngun tử hydro, phép biến đổi Levi-Civita ngồi việc đưa toán dạng dao động tử phi điều hòa đồng thời giải khó khăn Đối với tốn xét, số hạng tương tác Coulomb cần phải xử lí, ta sử dụng phép biến đổi Fourier ngược y  ( x  R) 2   2   dt1dt t1  t 2 e it1  x  R   it2 y  2    dt1dt t1  t 2 e   it1 u  v  R  it uv (4) Khi ta viết lại phương trình Schrưdinger cho MHI hai chiều điện trường không gian  u, v  sau:     r Hˆ  E   hay H R  ERˆ   , (5)  2 2  H R         u  v   1  u  v  u  v   u v  R 2   u  v  uv  1  u  v 2 2  u R  v   dt1dt2 it1 u  v2  R   2it2 uv ,  t t 2e 2  2 (6) Rˆ  u  v Phương pháp đại số sử dụng để giải phương trình Schrưdinger (5), (6) thơng qua tốn tử sinh, hủy Dirac định nghĩa sau đây:    u  u  , u  2    v   v  , v  2     u  u  , u  2     v   v  , v  2 (7)   các toán tử thỏa mañ ̣ thức giao hoán u , u   1, v , v       Khi sử dụng FK-OM, tính đối xứng toán thường quan tâm để giảm bớt khối lượng tính tốn Trong tốn exciton hai chiều, exciton hai chiều từ trường vng góc… hình chiếu moment động lượng quỹ đạo lên trục Oz bảo toàn, nghĩa tốn tử Hamilton tốn tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo lên trục Oz ( Lˆ ) giao hốn với Vì ta sử dụng hàm sóng sở hàm riêng toán z tử Lˆ z Cách đơn giản nhấ t để thực hiê ̣n điề u này là đinh ̣ nghıã toán tử sinh hủy mới là tổ hơ ̣p tuyế n tı́nh của toán tử sinh hủy cũ cho Lˆ z có da ̣ng trung hòa Mặc dù toán này, ảnh hưởng điện trường nên đại lượng khơng bảo tồn, để thống 303 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số (2019): 301-308 với cơng trình trước thuận tiện phân tích vật lí, ta sử dụng hàm sóng sở hàm riêng tốn tử Lˆ để tính tốn z Ta định nghĩa tốn tử sinh hủy nhằm chéo hóa Lˆ z sau:    1 uˆ  ivˆ     1  uˆ   ivˆ    ,  2    1 uˆ  ivˆ     1  uˆ   i vˆ    , aˆ    2  aˆ  (8)   1 uˆ  ivˆ     1  uˆ  ivˆ   ,  2     1 uˆ  i vˆ     1  uˆ   i vˆ    b   2  bˆ      Các toán tử này cũng thỏa mañ ̣ thức giao hoán:  a , a   1, b , b       Ở đây, ta đưa vào toán tử (8) tham số tự do, đóng vai trò điều chỉnh tốc độ hội tụ Tham số không ảnh hưởng đến kết tốn khơng có mă ̣t toán tử Hamilton toàn phầ n mà xuấ t hiê ̣n thành phần chıń h và thành phầ n nhiễu loa ̣n, đóng vai trò điều chỉnh chênh lệch độ lớn hai thành phần nhằm thỏa mãn điều kiện nhiễu loạn, làm tăng tốc độ hội tụ toán Ta viết lại Hamiltonian toán sau:   R 1  ˆ   R 1  ˆ       H R   N M  Mˆ          R  R  1 2 i  22 2   N  M  M   a  aˆ  N  M  M   a  aˆ Nˆ  Mˆ  Mˆ          2a bˆ  2ab   2     2a  bˆ  bˆ  bˆ   2ab  2  bˆ  bˆ         dt1 dt2 t t 2   (9)  e 2i Rt1 O  ˆ Rˆ  N  Mˆ  Mˆ  ,  toán tử   Oˆ  exp  t12  t22  Aˆ   2iKˆ  Aˆ    (10) 304 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Ý Nhi tgk với it  t it1  t2 ˆ2 Aˆ  aˆ  b, t12  t2 t12  t2 it1  t2 2 it  t Aˆ   aˆ  12 2 bˆ2 , 2 t1  t2 t1  t2 (11) i  it1  t2  ˆ i  it1  t2     ˆ  ab Kˆ  a b t12  t2 t12  t2 Toán tử (9) dạng chuẩn thuận lợi cho tính tốn đại số (Nguyen, & Hoang, 2018): Oˆ  e  it1  t2 t12  t2  1 aˆ  e    t12  t2   1  it1  t2 t12   t 1  nˆ  Nˆ  /  4 t12  t22 bˆ e    Mˆ t12  t22 1   e t12  t22 mˆ  4 t12  t22 e 2    Mˆ 2 t12  t22 mˆ t1  t2 1 e e   it1  t2   t12  t22 1 aˆ e  (12)  it1  t2   t12  t22 1 bˆ2 ,  it  t   it  t  (13) ˆ ˆ  , nˆ  aˆ  aˆ  bˆ  bˆ mˆ     aˆ  bˆ, mˆ     ab  t2  t2   t2  t2      Kết Sử dụng hàm sóng sở dao động tử điều hòa (Nguyen et al., 2018), ta tính yếu tố ma trận toán tử (9), kết sở để xác định nghiệm số xác cho tốn thơng qua việc giải phương trình (5) theo sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn giải trực tiếp hệ phương trình tuyến tính Để thuận tiện, ta viết lại (14) H R  H R  H R , với   R 1  ˆ   R1  ˆ     H 1R   N  M  Mˆ   1,      R  R       1          2a bˆ N  M  M a  aˆ   bˆ  bˆ   2ab 2 i          2a bˆ  22 N  M  M a  aˆ   bˆ  bˆ   2ab 2   Nˆ  Mˆ  Mˆ   H 2R         dt1 dt2 t t 2 e 2i Rt1 Oˆ Ta tính yếu tố ma trận khác không sau: 305   (15) Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số (2019): 301-308  Yếu tố ma trận R Rn1 , n1   n1  n2  1 ,  n2 , n2 Rn1 , n1 1  n2 , n2 1 (16)  n1  1 n2  1   Yếu tố ma trận H 1R  H    1   2i   H    1   2i  R n1 , n1 1 n2 , n2 1 R n1 , n1  n2 , n2  H  R n1 , n1 n2 , n2    H 1R n1 , n1  n2 , n2 1  H  R n1 , n1 1 n2 , n2  2  n1  n2  1  n1  3n2  3 2   1   2i   3n1  n2  3 2   1   2i    1   2i   n1  3! 2 n1 !  n2  3! 2 n2 ! n1  n2  1 ,  n1  1 n1   ,  n2  1 n2   , (17)  n2  1 ,  n1  1  Yếu tố ma trận H 2R  H  R n1 , n1  s n2 , n2  s  ss  2  n1  s  1 n2  s  2ss  1 Fn , n  s 1 1 n2 , n2  s  ss 1 2  n1  n2  s  2ss  1 Fn1 , n1  s 2 n2 , n2  s  ss  n1  s  n2  s  2ss  Fn , n  s 1 1 , (18) n2 , n2  s  ss 1 Fn1 , n1  s  l n1 ! n ! n1  s  l ! n  s  l  ss !  n , n  s  ss  l   n1  s  l   n  s  l  ss   n   n1     n  i  i  n  i , n  i      2      1 2   i6    i5  i4  i3 I i2 i1 ss s  l  ss  i1  i2  i3  i4  i6 , n  s  l  ss  i1  i3  i4  1/  R  ss  i1  i2  i5  i6 i1 !i2 !i3 !i4 !i5 !i6 ! ss  i1  i2  i4  i5  i6 ! s  l  ss  i1  i2  i3  i5  i6 !  n2  2i2  i3  i4 !  n2  2i2  i3 ! n2  ss  i1  i2  i3  i5  i6 ! n1  i1  i3  i4 ! , (19) 306 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Ý Nhi tgk với  2 e 2i Rt1 dt1dt2  4  t1  t2    it1  t2     t t 1   t12  t2        1    J  x   2 2     I ,   R   2  e   r   2   4r  i  x sin     1  (20) J   2 Rr  dr , d (21)  hàm Bessel Các yếu tố ma trận khác không khác xác định dựa vào tính chất toán tử hermit Rn , n'  Rn' , n , 1 n2 , n2' 1 n2' , n2 H nR , n'  ( H nR' , n )* 1 n2 , n2' 1 n2' , n2 (22) Kết luận Chúng xác định phần tử ma trận phương trình Schrưdinger cho tốn MHI điện trường lập trình tính tốn Kết áp dụng cho toán exiton dương điện trường Và sở để phát triển phương pháp cho giải toán MHI trường phức tạp hơn, hệ phức tạp điện trường  Tuyên bố quyền lợi: Các tác giả xác nhận hồn tồn khơng có xung đột quyền lợi  Lời cảm ơn: Nghiên cứu tài trợ Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đề tài sở mã số CS2016.19.13 TÀI LIỆU THAM KHẢO Avanaki, K N., Telnov, D A., Jooya, H Z., & Chu, S I (2015) Generation of below-threshold even harmonics by a stretched H 2 molecular ion in intense linearly and circularly polarized laser fields Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics, 92(6), 063811063818 https://doi.org/10.1103/PhysRevA.92.063811 Bates, D R., Ledsham, K., & Stewart, A L (2006) Wave Functions of the Hydrogen Molecular Ion Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 246(911), 215-240 https://doi.org/10.1098/rsta.1953.0014 Du, L L., Wang, G L., Li, P C., Zhou, X X., & Zhao, Z X (2018) Interference effect in loworder harmonic generation of H 2 in intense laser fields Physical Review A, 97(2), 023404023406 https://doi.org/10.1103/PhysRevA.97.023404 Hoang-Do, N T., Pham, D L., & Le, V H (2013) Exact numerical solutions of the Schrodinger equation for a two-dimensional exciton in a constant magnetic field of arbitrary strength 307 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số (2019): 301-308 Physica B: Condensed Matter, 423, 31-37 https://doi.org/10.1016/j.physb.2013.04.040 Ivanov, M V., & Schinke, R (2004) Two-dimensional analogs of the H 2 + ion in stationary electric fields Physical Review B - Condensed Matter and Materials Physics, 69(16), 1-9 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.69.165308 Karr, J P., Hilico, L., Koelemeij, J C J., & Korobov, V I (2016) Hydrogen molecular ions for improved determination of fundamental constants Physical Review A, 94(5), 6-10 https://doi.org/10.1103/PhysRevA.94.050501 Korobov, V I., Danev, P., Bakalov, D., & Schiller, S (2018) Laser-stimulated electric quadrupole transitions in the molecular hydrogen ion H 2 Physical Review A, 97(3), 032505–032508 https://doi.org/10.1103/PhysRevA.97.032505 Korobov, Vladimir I., Koelemeij, J C J., Hilico, L., & Karr, J P (2016) Theoretical Hyperfine Structure of the Molecular Hydrogen Ion at the ppm Level Physical Review Letters, 116(5), 1-5 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.116.053003 Nguyen, Phuong Duy Anh, Hoang, Do Ngoc Tram (2018) Matrix elements for two-dimensional heli atom Ho Chi Minh City Unviversity of Education Journal of Science (Special Issue: Natural Sciences and Technology, 15(9), 22-34 Patil, S H (2003) Hydrogen molecular ion and molecule in two dimensions Journal of Chemical Physics, 118(5), 2197-2205 https://doi.org/10.1063/1.1531103 FK OPERATOR FOR TWO-DIMENSIONAL MOLECULAR HYDROGEN ION H 2 IN A UNIFORM ELECTRIC FIELD Nguyen Thi Y Nhi, Hoang Do Ngoc Tram* * Ho Chi Minh City University of Education Corresponding author: Hoang Do Ngoc Tram – Email: tramhdn@hcmue.edu.vn Received: January 10, 2019; Revised: April 05, 2019; Accepted: May 18, 2019 ABSTRACT The article shows how the Schrödinger equation of two-dimensional molecular hydrogen ion H 2 in a uniform electric field was solved by using the FK operator method Matrix elements of Hamiltonian are obtained, which allows calculating numerical solutions (wave functions and energy) of the problem Keywords: two-dimensional molecular hydrogen ion, FK operator method, matrix elements, numerical solution 308 ... triển phương pháp giải phương trình Schrưdinger cho hệ nêu Với mục tiêu phát triển phương pháp toán tử FK (FK Operator Method, viết tắt FK- OM), phương pháp phi nhiễu loạn áp dụng thành công cho. .. cho tốn MHI điện trường lập trình tính tốn Kết áp dụng cho toán exiton dương điện trường Và sở để phát triển phương pháp cho giải toán MHI trường phức tạp hơn, hệ phức tạp điện trường  Tuyên bố... thành công cho hệ nguyên tử hai chiều từ trường (Hoang-Do, Pham, & Le, 2013); báo này, phát triển phương pháp cho MHI hai chiều điện trường Quy trình giải cơng thức cần thiết cho việc xác định nghiệm