MỨC NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG TỪ TRƯỜNG THEO PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ

Qua phương pháp toán tử, khi giải quyết bài toán nguyên tử hydro trong từ trường trunh bình, kết quả dự kiến sẽ đạt được:  Tìm ra mối quan hệ giữa mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hy

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ



HUỲNH NGUYỄN THANH TRÚC

Đề tài:

Giáo viên hướng dẫn:

TS NGUYỄN VĂN HOA

Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 5 năm 2009

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện và hoàn thành khóa luận này, ngoài những nỗ lực của bản thân, em đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ và động viên của quí thầy cô trong khoa Vật Lý trường ĐH Sư Phạm TP Hồ Chí Minh

Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hoa – giáo viên hướng dẫn luận văn này – thầy đã tận tình hướng dẫn, truyền thụ cho em những kiến thức bổ ích, đóng góp những kinh nghiệm quí báu để em thực hiện khóa luận này đồng thời thầy đã truyền cho em lòng nhiệt tình trong nghiên cứu khoa học

Em không thể nào quên công lao của TSKH Lê Văn Hoàng đã đưa ra những ý kiến, góp ý vô cùng có ý nghĩa giúp em hoàn chỉnh phương pháp trong khóa luận này Xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã hỗ trợ về mặt tinh thần cho Trúc hoàn thành khóa luận này

Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn

Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc

MỞ ĐẦU

1 Tình hình nghiên cứu

Ngày nay, Vật lý thực nghiệm đã có những bước phát triển mạnh mẽ, đòi hỏi phải

có những tính toán lý thuyết chính xác Trong khi đó, phương pháp gần đúng chủ yếu

sử dụng cho hệ vi mô là phương pháp nhiễu loạn không sử dụng được cho bài toán không có nhiễu loạn

Trước tình hình đó, việc tìm ra một phương pháp mới hiệu quả, có phạm vi áp dụng rộng rãi rất được quan tâm trong những năm gần đây Và phương pháp toán tử với những tính toán thuần đại số, được xây dựng cho nhóm các bài toán nguyên tử là một phương pháp đang được các nhà Vật lý lý thuyết quan tâm nghiên cứu

Ý tưởng về phương pháp toán tử xuất hiện vào những năm 1979 Tuy nhiên phương pháp toán tử (Operator Method) được đưa ra đầu tiên vào năm 1982 do nhóm nghiên cứu của giáo sư Kamarov L I thuộc trường đại học tổng hợp Belarus và được

áp dụng thành công cho một nhóm các bài toán trong vật lý chất rắn, vật lý nguyên tử,

lý thuyết trường,…

Qua việc nghiên cứu và khai thác trong nhiều bài toán cụ thể, phương pháp toán tử

đã tỏ ra là một phương pháp nổi trội hơn hẳn phương pháp truyền thống như:

 Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp mà thông thường phải tính tích phân các hàm đặc biệt Trong suốt quá trình tính toán, ta sử dụng các phép biến đổi đại số và những chương trình tính toán như Maple, Mathematica,…để tự động hóa quá trình tính toán

 Cho phép giải các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có cường độ bất kỳ Với phương pháp toán tử, bước đầu đã giải quyết một phần những khó khăn về phương pháp của Vật lý lý thuyết, góp phần vào sự phát triển không ngừng của nền khoa học kỹ thuật toàn cầu

2 Lý do chọn đề tài

Qua học phần cơ học lượng tử, em được tiếp cận bài toán nguyên tử hydro với cách giải chính xác thông qua việc xây dựng dạng và tìm trị riêng, hàm riêng của toán tử moment xung lượng, toán tử Legendre; tìm ra hàm cầu và hàm bán kính để xác định

hàm sóng của nguyên tử hydro, cùng với bài toán nguyên tử hydro trong từ trường (hiệu ứng Zeeman) đã được giải quyết khá hoàn chỉnh thông qua lý thuyết nhiễu loạn: Nếu nguyên tử hydro được đặt trong từ trường ngoài thật yếu thì tương tác Coulomb giữa hạt nhân nguyên tử và electron trong nguyên tử hydro là tương tác chính và tương tác giữa electron trong nguyên tử hydro với từ trường là thế nhiễu loạn Nếu nguyên tử hydro được đặt trong từ trường thật mạnh thì tương tác giữa electron trong nguyên tử hydro với từ trường là tương tác chính và tương tác Coulomb giữa hạt nhân nguyên tử và electron trong nguyên tử hydro là thế nhiễu loạn Bài toán này đã được Landau giải quyết

Tuy nhiên với bài toán nguyên tử hydro trong từ trường trung bình thì đã vượt quá phạm vi áp dụng của lý thuyết nhiễu loạn vì không thể coi tương tác Coulomb giữa hạt nhân nguyên tử với electron trong nguyên tử hydro hay tương tác giữa electron trong nguyên tử hydro với từ trường là thế nhiễu loạn

Phương pháp toán tử có ưu điểm vượt trội so với phương pháp truyền thống là có thể áp dụng cho trường ngoài có cường độ bất kỳ Do đó, luận văn tốt nghiệp với đề tài: “MỨC NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG TỪ TRƯỜNG THEO PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ” là bước đầu thử nghiệm của phương pháp toán tử, tìm ra một hướng giải quyết cho bài toán nguyên tử hydro trong từ trường trung bình

3 Mục tiêu của đề tài

 Bước đầu xây dựng phương pháp toán tử: cơ sở hình thành, ưu điểm,…

 Giải quyết bài toán nguyên tử hydro trong từ trường có cường độ bất kỳ, bước đầu là bài toán nguyên tử hydro

4 Phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được

Từ những khó khăn của lý thuyết nhiễu loạn khi giải quyết bài toán nguyên tử hydro trong từ trường trung bình và những ưu điểm vượt trội của phương pháp toán tử

so với phương pháp nhiễu loạn, nên phương pháp toán tử là phương pháp chính được

sử dụng trong quá trình thực hiện luận văn này

Trong suốt quá trình tính toán thực hiện luận văn, để đơn giản em đã chọn hệ đơn

vị không thứ nguyên, tức m e   e c a0 1, trong đó a0 là bán kính Born

Qua phương pháp toán tử, khi giải quyết bài toán nguyên tử hydro trong từ trường trunh bình, kết quả dự kiến sẽ đạt được:

 Tìm ra mối quan hệ giữa mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro với cường độ của từ trường, vẽ đồ thị mô tả sự phụ thuộc này và so sánh kết quả thu được với kết quả thu được bằng lý thuyết nhiễu loạn trong trường hợp từ trường yếu

 Tìm ra giá trị của từ trường ion hóa nguyên tử hydro

5 Cấu trúc của luận văn

Từ mục tiêu và dự kiến kết quả đạt được, em xây dựng cấu trúc luận văn gồm 3 phần chính:

 Phần mở đầu: Nêu lên tình hình nghiên cứu vấn đề, lý do chọn đề tài, phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được

 Phần nội dung: gồm 3 chương

 Chương 1: NHỮNG CƠ SỞ LƯỢNG TỬ CỦA BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO

Chương này trình bày những kết quả mà cơ học lượng tử đã đạt được về bài toán nguyên tử hydro, mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường qua lý thuyết nhiễu loạn

 Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO

Giới thiệu phương pháp toán tử thông qua ví dụ về bài toán dao động tử phi điều hòa, bài toán về mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro

 Chương 3: MỨC NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG TỪ TRƯỜNG

Sử dụng phương pháp toán tử để giải quyết bài toán nguyên tử hydro trong từ trường, thiết lập đồ thị mô tả sự phụ thuộc của mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro với cường độ từ trường, từ đó so sánh với đồ thị thu được bằng

lý thuyết nhiễu loạn, tìm ra được giá trị từ trường ion hóa nguyên tử hydro

 Phần kết luận: Tóm tắt lại kết quả đã đạt được của luận văn, hướng phát triển sắp tới của đề tài

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ NGUYÊN

TỬ HYDRO

1 Lý thuyết lượng tử về nguyên tử hydro

1.1 Trị riêng của phương trình Schrodinger trong bài toán nguyên tử hydro

Nguyên tử hydro gồm một electron chuyển động trong trường thế của hạt nhân có

điện tích Ze Ta đưa bài toán hai hạt: electron và hạt nhân trong nguyên tử hydro về

bài toán một hạt có khối lượng rút gọn , với:

m là khối lượng của hạt nhân

Thế năng của electron chuyển động trong trường hạt nhân có điện tích Ze có dạng:

r là khoảng cách từ electron đến hạt nhân

Có thể coi nguyên tử hydro là trường hợp riêng của bài toán thế xuyên tâm, do đó

có thể áp dụng các kết quả nhận được trong bài toán về trường thế xuyên tâm Nghiệm

tổng quát của phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian đối với thế xuyên

Y là hàm cầu theo hai biến  và 

Toán tử Hamilton trong bài toán nguyên tử hydro có dạng:

Bài toán nguyên tử hydro là một trong ba bài toán giải được nghiệm chính xác (bài

toán nguyên tử hydro, dao động tử điều hòa, hạt trong hố thế vuông góc), kết quả của

cơ học lượng tử cho ta trị riêng chính xác của phương trình Schrodinger (1.7) trong bài

toán nguyên tử hydro là:

2 4

1 2 2 2

n

Z e E

n

E

n

  Với: n1, 2, 3,

1.2 Nhận xét về các trị riêng của phương trình Schrodinger trong bài toán

nguyên tử hydro

1/ Biểu thức (1.8) cho phép xác định năng lượng của electron trong nguyên tử

hydro Theo biểu thức (1.8) thì năng lượng của electron là gián đoạn và tỉ lệ nghịch với

bình phương các số nguyên Tính gián đoạn này chính là hệ quả của điều kiện hữu hạn

đối với hàm sóng ở vô cực:

thành electron tự do

3/ Ứng với một giá trị đã cho của n thì l có thể có những giá trị l = 0, 1, 2, , n - 1

Như vậy có tất cả n giá trị của l l gọi là lượng tử số quĩ đạo và nó xác định độ lớn

của moment xung lượng

là ba số lượng tử, n là số lượng tử chính, m gọi là số lượng tử từ ứng với một giá trị đã

cho của l thì m có thể nhận các giá trị m   l, l 1, , 1, 0, 1, , l1, l Tất cả

có (2l+1) giá trị của m Lượng tử số m xác định độ lớn hình chiếu moment xung lượng

trên trục z

z

L m

Như vậy, ứng với một mức năng lượng E n có nhiều trạng thái nlm khác nhau ta

nói có sự suy biến Đối với một giá trị n xác định, số trạng thái suy biến có cùng giá trị

năng lượng E n-1 là:

1

2 0

(2 1)

n l

5/ Giá trị tuyệt đối của mức năng lượng cơ bản E0 cho biết năng lượng ion hóa

nguyên tử hydro Năng lượng này là công cần thiết để đưa electron từ trạng thái liên

kết có năng lượng thấp nhất ra ngoài nguyên tử trở thành electron tự do

Như vậy, năng lượng ion hóa nguyên tử hydro trong hệ không thứ nguyên là

1

2

i

E 

2 Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường

2.1 Toán tử Hamilton của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường

Toán tử Hamilton của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường có dạng:

Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho từ trường hướng theo trục Oz , vậy :

2.2 Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường theo lý thuyết

Khi nguyên tử hydro được đặt trong từ trường nhỏ thì năng lượng tương tác của

electron trong nguyên tử hydro với từ trường là thế nhiễu loạn

Toán tử Hamilton của electron trong nguyên tử có dạng:

là toán tử Hamilton cho bài toán nguyên tử hydro khi không có trường ngoài;

Với  khối lượng rút gọn trong bài toán hệ hai hạt electron và hạt nhân trong

ˆ ˆ

  là thế nhiễu loạn Trong hệ tọa độ cầu, thế nhiễu

loạn V ˆ được viết lại thành:

2 2

2 2 2

2.2.1 Năng lượng bậc không

Theo lý thuyết nhiễu loạn, năng lượng bậc không của mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro trong từ trường yếu chính là năng lượng ở mức cơ bản

1

n của electron trong nguyên tử hydro khi không có từ trường

Vậy, năng lượng bậc không của mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên

tử hydro trong từ trường yếu là:

2 4 (0)

4

r a

r a

4 e

a B e E

Trong hệ đơn vị không thứ nguyên m e   e c a0 1 , mức năng lượng cơ

bản của nguyên tử hydro trong từ trường theo lý thuyết nhiễu loạn xét đến bổ chính

bậc một có dạng:

2 0

1

B

Nhận xét: Theo biểu thức về sự phụ thuộc mức năng lượng cơ bản của nguyên tử

hydro trong từ trường thu được bằng lý thuyết nhiễu loạn thì mức năng lượng cơ bản

của nguyên tử hydro có dạng là hàm bậc hai của từ trường B

2.2.3 Điều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu loạn cho bài toán nguyên tử hydro trong từ

trường

Năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro ở biểu thức (1.15) thu được

bằng lý thuyết nhiễu loạn, do đó nó chỉ đúng với những từ trường yếu sao cho độ dịch

chuyển mức năng lượng cơ bản nhỏ hơn rất nhiều so với trị số hiệu mức năng lượng cơ

bản và mức kích thích thứ nhất, nghĩa là:

2

2 2 0

2 4

c e

a B e

E E

m c Một cách gần đúng ta xem từ trường yếu là từ trường có giá trị B c  , sao cho b

năng lượng tương tác giữa electron trong nguyên tử hydro với từ trường vào khoảng

mười phần trăm trị số hiệu mức năng lượng cơ bản và mức kích thích thứ nhất

Suy ra B c  b 0.3872 được xem là giá trị từ trường yếu ứng với mức năng lượng

cơ bản của electron trong nguyên tử hydro

2.3 Nhận xét kết quả thu được về mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro

trong từ trường cho bởi lý thuyết nhiễu loạn

Bằng phương pháp nhiễu loạn, ta thu được kết quả của bài toán nguyên tử hydro

trong từ trường:

 Nếu nguyên tử hydro được đặt trong từ trường thật yếu thì tương tác Coulomb giữa hạt nhân nguyên tử và electron trong nguyên tử hydro là tương tác chính và tương tác giữa electron trong nguyên tử hydro với từ trường là thế nhiễu loạn

 Nếu nguyên tử hydro được đặt trong từ trường thật mạnh thì tương tác giữa electron trong nguyên tử hydro với từ trường là tương tác chính và tương tác Coulomb giữa hạt nhân nguyên tử và electron trong nguyên tử hydro là thế nhiễu loạn Bài toán này đã được Landau giải quyết hoàn chỉnh

Như vậy, dựa vào lý thuyết nhiễu loạn ta hoàn toàn có thể giải quyết bài toán nguyên tử hydro trong từ trường thật mạnh hoặc thật yếu

Tuy nhiên, phương pháp nhiễu loạn truyền thống gặp phải khó khăn khi giải quyết bài toán nguyên tử hydro đặt trong từ trường trung bình vì không thể coi tương tác Coulomb giữa hạt nhân nguyên tử với electron trong nguyên tử hydro hay tương tác giữa electron trong nguyên tử hydro với từ trường là thế nhiễu loạn

Bằng phương pháp toán tử với ưu điểm là có thể áp dụng cho bài toán trường ngoài

có cường độ bất kỳ, ta có thể giải quyết được khó khăn trên của phương pháp nhiễu loạn truyền thống về bài toán nguyên tử hydro trong từ trường trung bình

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN

NGUYÊN TỬ HYDRO

1 Hình thức luận toán tử sinh hủy

1.1 Bài toán dao động tử phi điều hòa một chiều

1.1.1 Toán tử Hamilton trong bài toán dao động tử phi điều hòa

Toán tử Hamilton của bài toán dao động tử điều hòa một chiều không có nhiễu loạn

Kết quả của cơ học lượng tử cho ta năng lượng của dao động điều hòa ứng với mỗi

hàm riêng (0)n ( )x bị lượng tử hóa có dạng: (0) 1

2

n

E n  

  với n0, 1, 2, và các mức năng lượng này không suy biến

Khi truyền cho dao động tử thêm một năng lượng V x( )x2, toán tử Hamilton

Trong phương pháp nhiễu loạn truyền thống, để giải bài toán dao động tử có thêm

phần năng lượng bé V x( )x2 ( bé), ta đặt biến số mới: x



 Kết quả tính toán trong cơ học lượng tử cho ta năng lượng của dao động tử điều

hòa khi có thêm phần năng lượng bé V x( )x2 ( bé) là:

1.1.3 Giải bài toán dao động tử phi điều hòa bằng phương pháp toán tử

Bây giờ, ta xét bài toán dao động tử phi điều hòa, được truyền thêm phần năng

lượng V xˆ ( )xˆ 2 bằng cách đặt toán tử sinh ˆa và toán tử hủy ˆa có dạng như sau:

Trong đó  là tham số thực dương cần tìm, hai toán tử sinh ˆa và hủy ˆa là những

toán tử không thứ nguyên

Từ biểu thức của hai toán tử sinh ˆa và hủy ˆa trên, suy ra:

a a x

m m

a a a a x

1 ˆ

 nên E0 là một hàm theo tham số 

Vì E0 là mức năng lượng thấp nhất của dao động tử nên:

Thay biểu thức của tham số  vào toán tử Hamilton trong bài toán dao động tử phi

điều hòa có thế nhiễu loạn V xˆ ( )xˆ 2, ta được:

1.1.4 Nhận xét về các cách giải bài toán dao động tử phi điều hòa

So sánh kết quả biểu thức năng lượng của dao động tử khi được truyền thêm phần

năng lượng bé V x( )x2 ( bé) khi giải bằng phương pháp nhiễu loạn truyền

thống và kết quả thu được bằng phương pháp toán tử, ta nhận thấy biểu thức giá trị

năng lượng ở mức n thu được bằng phương pháp nhiễu loạn chính là sự khai triển của

biểu thức năng lượng bằng phương pháp toán tử theo các lũy thừa của 2 2

  Trong khi đó đối với phương pháp giải bài toán bằng phương pháp toán

tử cho kết quả bài toán một cách chính xác và hệ số  có thể là bất kỳ Đó chính là lợi

thế rất lớn của phương pháp toán tử

Nhưng điều kiện để chuỗi (2.18) hội tụ là 2 2 1

2 Phương pháp toán tử trong bài toán nguyên tử hydro

2.1 Toán tử Hamilton trong bài toán nguyên tử hydro

Toán tử Hamilton trong bài toán nguyên tử hydro trong hệ đơn vị không thứ

2.2 Biễu diễn toán tử

Ta định nghĩa các toán tử sinh và toán tử hủy như sau:

Trong đó x, y, z là các tham số thực dương cần tìm

Ta viết lại các toán tử sinh và hủy ở (2.23) như sau:

Các giao hoán tử trên chính là công cụ chính cho việc tính toán đại số

Biểu diễn các thành phần trong toán tử Hamilton ˆH qua các toán tử sinh và hủy

Để đơn giản cho việc tính toán ta đưa biểu thức của toán tử ˆS về dạng chuẩn, tức

là biến đổi sao cho toán tử hủy luôn về phía phải của biểu thức, toán tử sinh luôn ở

phía trái của biểu thức

Dạng chuẩn1 của biểu thức toán tử ˆS có dạng:

1

ˆ ˆ

3 0

Ta tiếp tục đặt:

0

S  S S S   (2.30) Với:

2 2

+ ˆS là toán tử chứa những số hạng không trung hòa, khi tác dụng lên vector trạng

thái sẽ làm thay đổi trạng thái đang xét, với ˆS có dạng:

Toán tử Hamilton trong bài toán nguyên tử hydro được chia thành hai thành phần:

+ Thành phần toán tử chỉ chứa các toán tử trung hòa, xem như loại toán tử

Hamilton ˆH o trong bài toán không nhiễu loạn, với:

t t

 

2 1

3 0

dt t

2.3 Năng lượng của nguyên tử hydro ở mức cơ bản n  0

Trong trường hợp không có trường ngoài, bài toán nguyên tử hydro có tính chất đối xứng trên các trục Ox Oy Oz, , nên x y z  

2.3.1 Năng lượng bậc không

Năng lượng bậc không trong bài toán nguyên tử hydro chính là năng lượng ở mức

cơ bản trong bài toán nguyên tử hydro loại không nhiễu loạn

3 ( )

Do tính chất đối xứng x y z  nên biểu thức năng lượng bậc không trở 

Kết quả tính toán cho ta mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử

hydro khi chưa có bổ chính là:

( ) 0

Bổ chính năng lượng bậc một của mức năng lượng cơ bản chính là thành phần nằm

trên đường chéo chính trong ma trận của toán tử nhiễu loạn ˆV :

(1)

0 000,000

Do toán tử nhiễu loạn ˆV chỉ chứa các phần tử không trung hòa, khi toán tử nhiễu

loạn ˆV tác dụng lên một một vector trạng thái sẽ làm thay đổi trạng thái đang xét, nên

thành phần nằm trên đường chéo chính trong ma trận của toán tử nhiễu loạn bằng

2.3.3 Bổ chính năng lượng bậc hai

Bổ chính năng lượng bậc hai được xác định bởi biểu thức:

2 (2)

 

 

neáu leõ neáu chaün 000,

 

3 2 7

 Thành phần ma trận của toán tử nhiễu loạn 000Vˆ 222

Khi không có trường ngoài, thành phần ma trận của toán tử nhiễu loạn

ˆ

000V 222 được viết thành:

5 2 9

 

5 2 9

 

7 2 11

 Các thành phần ma trận của toán tử nhiễu loạn 000Vˆ 640 , 000Vˆ 604 ,

2 ( ) ( ) ( )

E loại không nhiễu loạn

Khi không có nhiễu loạn, năng lượng của electron trong nguyên tử hydro ở mức

 2 4 6 22 ( ) ( ) ( )

( ) ( )

000 622

649839713 5

ˆ 000 ˆ

V k k k V

Vì toán tử nhiễu loạn ˆV chỉ chứa các số hạng không trung hòa nên:

2 2ˆ

 

5 2 9

Z Z

Từ biểu thức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro, nhận xét:

 Biểu thức mức lượng cơ bản E của electron trong nguyên tử hydro là một hàm 0

theo tham số thực dương 

 Năng lượng ở mức cơ bản là năng lượng thấp nhất mà electron trong nguyên tử

hydro có được Cực tiểu hóa năng lượng cơ bản giúp ta tìm được tham số :

Thay giá trị tham số  0.7052485481 vào biểu thức tính các bổ chính năng lượng của mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro, ta có:

 Mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro khi không có bổ chính: (0)

với kết quả thu được của bài toán chính xác là E0   0.5

Khi bài toán có xét thêm bổ chính năng lượng bậc hai thì giá trị năng lượng của mức cơ bản trong phương pháp toán tử tiến đến gần giá trị năng lượng ở mức cơ bản trong bài toán chính xác

Tiếp tục thực hiện việc thêm vào bổ chính năng lượng bậc ba, kết quả thu được bằng phương pháp toán tử gần như trùng với phương pháp giải bài toán nguyên tử hydro chính xác về mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro Và giá trị bổ chính bậc ba nhỏ hơn rất nhiều so với giá trị bổ chính bậc hai

Điều này chứng tỏ tính hội tụ của chuỗi bổ chính Nếu tiếp tục thêm vào các giá trị

bổ chính bậc cao hơn, ta sẽ thu được giá trị năng lượng ở mức cơ bản của nguyên tử hydro theo phương pháp toán tử chính bằng giá trị thu được trong bài toán chính xác

Dựa trên kết quả thu được về mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo phương pháp toán tử, cho phép ta khẳng định tính đúng đắn của phương pháp toán tử Điều này chính là cơ sở bước đầu tin tưởng vào phương pháp toán tử để áp dụng vào bài toán xét mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN

NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU

1 Toán tử Hamilton trong bài toán nguyên tử hydro trong từ trường đều

Khi nguyên tử hydro đặt trong từ trường hướng theo trục Oz , toán tử Hamilton có

Ở mức năng lượng cơ bản ˆL Z  , biểu thức toán tử Hamilton của bài toán nguyên 0

tử hydro đặt trong từ trường khi xét trạng thái cơ bản có dạng:

Trong hệ không thứ nguyên đang xét 1, 1, m e  e1, k 1, c1, toán tử

Hamilton được viết thành:

1

ˆ ˆ

1

S Z

t t