Năng lượng chính xác cao cho trạng thái cơ bản của nguyên tử Hydro ở môi trường Plasma trong từ trường đều

Gần đây, phương pháp toán tử FK đã được áp dụng thành công cho bài toán nguyên tử hydro trong từ trường đều với cường độ bất kì. Trong công trình này, các kết quả đó được phát triển cho trường hợp tổng quát hơn khi có tính đến thế màn chắn. Trong các đo đạc vật lí thiên văn, nguyên tử hydro có thể tồn tại một thời gian ngắn trong môi trường plasma khi mà thế màn chắn có vai trò quan trọng. Phương pháp toán tử FK được sử dụng cùng với phép biến đổi tọa độ Kustaanheimo-Stiefel và hàm sóng được khai triển theo bộ hàm cơ sở của dao động tử điều hòa bốn chiều. Tuy nhiên, để tính được yếu tố ma trận cho thành phần tương tác có thế màn chắn, cần phát triển phương pháp đại số. Điều này được làm trong bài báo với kết quả là biểu thức giải tích cho yếu tố ma trận thu được tường minh dưới dạng chuỗi cho phép xây dựng một chương trình FORTRAN tính toán năng lượng với độ chính xác cao, lên đến 32 chữ số thập phân. Giá trị số đưa ra minh họa trong bài báo với tham số màn chắn từ 0 đến 1 a.u. và cho trạng thái 1s.

TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE Tập 17, Số (2020): 1019-1029 ISSN: 1859-3100 Vol 17, No (2020): 1019-1029 Website: http://journal.hcmue.edu.vn Bài báo nghiên cứu * NĂNG LƯỢNG CHÍNH XÁC CAO CHO TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO Ở MÔI TRƯỜNG PLASMA TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU Lý Duy Nhất1,2*, Hoàng Đỗ Ngọc Trầm1 Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam Viện Năng lượng Nguyên tử Việt Nam * Tác giả liên hệ: Lý Duy Nhất – Email: nhatld@hcmue.edu.vn Ngày nhận bài: 31-3-2020; ngày nhận sửa: 21-5-2020, ngày chấp nhận đăng: 10-6-2020 TÓM TẮT Gần đây, phương pháp toán tử FK áp dụng thành cơng cho tốn ngun tử hydro từ trường với cường độ Trong cơng trình này, kết phát triển cho trường hợp tổng qt có tính đến chắn Trong đo đạc vật lí thiên văn, nguyên tử hydro tồn thời gian ngắn môi trường plasma mà chắn có vai trị quan trọng Phương pháp tốn tử FK sử dụng với phép biến đổi tọa độ Kustaanheimo-Stiefel hàm sóng khai triển theo hàm sở dao động tử điều hòa bốn chiều Tuy nhiên, để tính yếu tố ma trận cho thành phần tương tác chắn, cần phát triển phương pháp đại số Điều làm báo với kết biểu thức giải tích cho yếu tố ma trận thu tường minh dạng chuỗi cho phép xây dựng chương trình FORTRAN tính tốn lượng với độ xác cao, lên đến 32 chữ số thập phân Giá trị số đưa minh họa báo với tham số chắn từ đến a.u cho trạng thái 1s Từ khóa: phương pháp đại số; nguyên tử hydro; chắn; hệ nguyên tử ba chiều; toán tử sinh; hủy; hàm sở Giới thiệu Ngun tử hydro tốn đơn giản, có lời giải xác giải tích, nên thường dùng để kiểm chứng phát triển phương pháp khác trước áp dụng cho toán nguyên tử phức tạp Cho đến nay, có nhiều cơng trình nghiên cứu liên quan đến ngun tử hydro, nguyên tử hydro từ trường (Cao, Ly, Hoang, & Le, 2019; Sasmal, 2014; Thirumalai, & Heyl, 2009), nguyên tử hydro điện trường (Bahar, & Soylu, 2014; Main, Schwacke, & Wunner, 1998) Trong năm qua, nguyên tử hydro plasma nghiên cứu nhiều tác giả (Bahar, & Soylu, Cite this article as: Ly Duy Nhat, & Hoang Do Ngoc Tram (2020) Highly accurate numerical energy for the ground state of a hydrogen atom in a plasma with the presence of a uniform magnetic field Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science, 17(6), 1019-1029 1019 Tập 17, Số (2020): 1019-1029 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM 2014, 2015, 2016; Kar, & Ho, 2005; Lin, & Ho, 2011; Paul, & Ho, 2009, 2010, 2011; Saha, Mukherjee, & Diercksen, 2002; Saha, Mukherjee, Mukherjee, Fricke, 2011; Soylu, 2012) Cơng trình Saha (2002) nghiên cứu đặc tính nguyên tử hydro plasma Debye phương pháp nhiễu loạn, mơ hình chắn Coulomb tĩnh (Static Screened Coulomb – SSC) sử dụng với dạng Yukawa cho phần chắn Sau đó, Paul (2009) dùng chắn SSC để tìm trị riêng lượng hàm sóng cho trạng thái phương pháp Ritz (Ritz variation method) Paul (2011) dựa mơ hình chắn Coulomb tổng quát dạng mũ cosine (Generalized Exponential Cosine Screened Coulomb – GECSC) để tính trị riêng lượng phương pháp Ritz Thế GECSC lấy từ mô hình ECSC Shukla đề xuất năm 2008 (Shukla, & Eliasson, 2008) Sau đó, Soylu (2012) đề xuất mơ hình tổng qt (More Generalized Exponential Cosine Screened Coulomb – MGECSC) để nghiên cứu đặc tính nguyên tử hydro plasma Các kết tiếp tục tác giả phát triển có mặt điện trường cho mơ hình hai chiều (Bahar, & Soylu, 2014, 2015, 2016) Trong cơng trình nêu trên, tác giả giải số phương trình Schrưdinger chắn với độ xác đến chữ số thập phân Trong đó, lượng mức kích thích bậc cao gần nhau, đặc biệt xét đến chắn, cần phải giải số phương trình Schrưdinger với độ xác cao Phương pháp toán tử FK giới thiệu chuyên khảo (Feranchuk, Ivanov, Le, & Ulyanenkov, 2015) có ưu điểm cho nghiệm hội tụ nhanh có độ xác cao Các ưu điểm thể cơng trình (Cao, Ly, & Hoang, 2016; Cao et al., 2019; Hoang, Nguyen, Hoang, & Le, 2016; Le, Hoang, & Le, 2017; Le, & Hoang, 2017) Trong cơng trình này, chúng tơi áp dụng phương pháp toán tử FK phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel (xem (Bartsch, 2003)) để tính phổ lượng nguyên tử hydro đặt từ trường mơi trường plasma theo mơ hình chắn SSC Kết thu nghiệm xác số có độ hội tụ đến 32 chữ số thập phân cho trạng thái 1s Cấu trúc báo gồm ba phần chính: phương trình Schrưdinger cho tốn ngun tử hydro chắn, yếu tố ma trận chắn, kết thảo luận, kết luận Phương trình Schrưdinger cho tốn ngun tử hydro chắn Phương trình Schrưdinger cho ngun tử hydro từ trường có xét đến chắn Yukawa hệ nguyên tử viết dạng Hˆ ψ = εψ , (1) ∂2 ∂2  i  ∂ ∂  Ze − λ x + y + z  ∂2 −  + +  − γ  x − y  + γ x2 + y − Hˆ = , ∂z   ∂y ∂x   ∂x ∂y x2 + y + z ( ) 2 với λ tham số chắn Do mối liên hệ với bán kính Debye theo hệ thức D = 1/ λ (B Saha et al., 2002) nên tham số λ phụ thuộc vào nhiệt độ mật độ plasma Đơn vị độ 1020 Lý Duy Nhất tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM dài bán kính Bohr a0 4= = πε  / me e 0.5292 Å; đơn vị lượng Hartree / ea02 2.3505 ×10 T Trong cơng trình = B0 = = Eh = / me a02 27.21 eV; đơn vị từ trường này, chúng tơi tính tốn cho ngun tử hydro nên số hiệu nguyên tử Z = Phương trình (1) giải thành cơng phương pháp tốn tử FK trường hợp khơng chắn, λ = , công bố cơng trình (Cao et al., 2019) Bằng cách tương tự, cơng trình chúng tơi giải phương trình (1) cho trường hợp λ theo bước sau: (i) Qua phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel v v x =+ 2u1u2 2v1v2 , y =− 2u1v2 2u2 v1 , z = u12 − u22 + v12 − v22 , φ = arctan + arctan , u1 u2 phương trình (1) viết thành   ∂ m  2 ∂2 ∂2 ∂2   2 −  + + +  −  ε − γ  u1 + v1 + u2 + v2    ∂u1 ∂v1 ∂u2 ∂v2   (2) 2 2 λ u v u v − + + + 2  ( ) + γ u1 + v1 u22 + v22 u12 + v12 + u22 + v22 − Ze 1 2 ψ (u , v) =  ( ( )( )( ) ) Ở đây, góc φ : → 2π đưa vào biến số thêm, chuyển từ không gian (u , v) không gian ( x, y, z ) ta cần điều kiện ∂ψ / ∂φ = để xác định (ii) Biểu diễn Hamiltonian phương trình (2) qua tốn tử sinh, hủy aˆs , aˆs+ , bˆs , bˆs+ ( s = 1, 2) sau ( ) ( ) 1 aˆs = αˆ s − i βˆs , aˆs+ = αˆ s+ + i βˆs+ , 2 1 αˆ s + i βˆs , bˆs+ = αˆ s+ − i βˆs+ , bˆs = 2 đó, tốn tử sinh, hủy αˆ s , αˆ s+ , βˆs , βˆs+ định nghĩa (  αˆ s = ω  us +   βˆs = ω  vs +  ) ( ) ∂ ω ∂us   ∂  + ω  us −  , αˆ s = , ω ∂us    ∂ ω ∂vs  ˆ+  ∂  ω  vs −  , βs =  ω ∂vs    (3) Việc tổ hợp biểu thức (3) giúp cho moment động lượng theo trục Oz: lˆz trở thành toán tử chéo để dễ dàng áp dụng tính chất bảo tồn đại lượng vật lí Ta thu Hamiltonian dạng đại số 1021 Tập 17, Số (2020): 1019-1029 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM ( ) Hˆ = − ω aˆ1bˆ1 + aˆ2bˆ2 + aˆ1+ bˆ1+ + aˆ2+ bˆ2+ − aˆ1+ aˆ1 − bˆ1+ bˆ1 − aˆ2+ aˆ2 − bˆ2+ bˆ2 − m  ˆ  + ˆ+ + + ˆ+ + ˆ+ ˆ ˆ ˆ+ ˆ −  ε − γ  aˆ1b1 + aˆ1 b1 + aˆ1 aˆ1 + b1 b1 + aˆ2b2 + aˆ2 b2 + aˆ2 aˆ2 + b2 b2 + 2ω   + γ aˆ1bˆ1 + aˆ1+ bˆ1+ + aˆ1+ aˆ1 + bˆ1+ bˆ1 + aˆ2bˆ2 + aˆ2+ bˆ2+ + aˆ2+ aˆ2 + bˆ2+ bˆ2 + 16ω × aˆ bˆ + aˆ + bˆ + + aˆ + aˆ + bˆ + bˆ + aˆ bˆ + aˆ + bˆ + + aˆ + aˆ + bˆ + bˆ + ( ) ( ( )( 1 − Ze 1 1 1 2 ) 2 λ − aˆ1bˆ1 + aˆ1+ bˆ1+ + aˆ1+ aˆ1 + bˆ1+ bˆ1 + aˆ2bˆ2 + aˆ2+ bˆ2+ + aˆ2+ aˆ2 + bˆ2+ bˆ2 + 2ω ( ) 2 (4) ) Ở đây, biểu thức (4), nhờ vào tính chất bảo tồn moment động lượng theo trục Oz, ta thay toán tử lˆ trị riêng theo phương trình lˆ ψ (u , v) = m ψ (u , v) z z (iii) Sau đó, chúng tơi sử dụng hàm sở hàm dao động tử điều hòa dạng đại số thực tương tác đại số để tính yếu tố ma trận cách dễ dàng (xem chi tiết hàm sở (Cao et al., 2019)) Tuy nhiên, phương trình (4) có thành phần mà tốn tử sinh, hủy dạng mũ việc tính yếu tố ma trận tầm thường Trong bước này, tập trung tính yếu tố ma trận Vk1k2 , j1 j2 (ω , λ ) = − Z k1k2 m e − λ 2ω ( aˆ bˆ + aˆ bˆ 1 + + + + ˆ+ + ˆ+ ˆ ˆ ˆ+ ˆ 1 + aˆ1 aˆ1 + b1 b1 + aˆ2 b2 + aˆ2 b2 + aˆ2 aˆ2 + b2 b2 + ) j1 j2 m (5) (iv) Giải phương trình hàm riêng, vector riêng để thu phổ lượng hàm sóng Yếu tố ma trận chắn 3.1 Dạng chuẩn tốn tử dạng e mũ Chúng tơi sử dụng toán tử sinh, hủy aˆ (ω ), aˆ + (ω ), bˆ (ω ), bˆ + (ω ) ( s = 1, 2) , s s s s định nghĩa biểu thức (3), với giao hốn tử chúng cho việc tính tốn yếu tố ma trận phương pháp đại số Trước hết, xét toán tử λ − ( a1b1 + a1 b1 + a1 a1 + b1 b1 + a2b2 + a2 b2 + a2 a2 + b2 b2 + ) Sˆ = e 2ω , ta thấy tách thành Sˆ = Sˆ Sˆ với ˆ ˆ ˆ + ˆ+ ˆ + ˆ ˆ+ ˆ ˆ ˆ ˆ + ˆ+ ˆ + ˆ ˆ+ ˆ (6) λ λ − ( a1b1 + a1 b1 + a1 a1 + b1 b1 +1) − ( a2b2 + a2 b2 + a2 a2 + b2 b2 +1) Sˆ1 = e 2ω Sˆ2 = e 2ω ˆ ˆ ˆ + ˆ+ ˆ + ˆ ˆ+ ˆ ˆ ˆ ˆ + ˆ+ ˆ + ˆ ˆ+ ˆ Điều dễ dàng thấy toán tử sinh, hủy với số toán tử với số giao hốn với Để tính tốn, toán tử Sˆ1 , Sˆ2 đưa dạng chuẩn theo nghĩa tích, toán tử sinh bên phải, toán tử hủy bên trái tốn tử trung hịa Do Sˆ Sˆ có dạng nên ta trình bày chi tiết bước chuẩn hóa tốn tử Sˆ1 Để tinh gọn toán tử hàm e mũ, chúng tơi đặt tốn tử Mˆ = aˆ bˆ , Mˆ + = aˆ + bˆ + , Nˆ = aˆ + aˆ + bˆ + bˆ + , 1 1 1 1 1 1022 (7) Lý Duy Nhất tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM −η ( M1 + M1 + N1 ) qua viết lại toán tử Sˆ1 = e với η = λ / 2ω Dễ dàng kiểm chứng toán tử ˆ ˆ+ ˆ (7) tạo nên đại số kín thể qua hệ thức giao hốn: ˆ ,  Mˆ , Nˆ  Mˆ=  Mˆ , Mˆ 1+  N=  ˆ ˆ +  Mˆ 1+ = (8) 1 ,  N1 , M     1 Sử dụng giao hoán tử (8) thực bước chuẩn hóa tốn tử trình bày chi tiết biểu thức (6.41 ̶ 6.44) trang 232 tài liệu chuyên khảo (Feranchuk et al., 2015), ta thu kết −η ( M1 + M1 + N1 ) Sˆ1 e= e = ˆ ˆ+ ˆ − η 1+η Mˆ 1+ e η ˆ M1 − − ln (1+η ) Nˆ1 1+η e (9) Tương tự vậy, ta thu −η ( M + M + N ) = Sˆ2 e= e ˆ ˆ+ ˆ − η 1+η Mˆ 2+ e − ln (1+η ) Nˆ − e η 1+η Mˆ 3.2 Tính yếu tố ma trận Một cách để giải phương trình Schrưdinger tìm hàm sóng dạng khai triển tuyến tính theo hàm sở cho trước Khi thay giải phương trình vi phân đạo hàm riêng bậc hai ta giải hệ phương trình tuyến tính với hệ số khai triển hàm sóng lượng ẩn số cần tìm Trong này, sử dụng hàm sở hàm sóng nguyên tử hydro đối xứng trụ nguyên tử hydro từ trường đối xứng cầu giữ nguyên đối xứng trụ theo trục dọc theo véc-tơ từ trường Bộ hàm sở qua phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel hàm sóng dao động tử điều hịa bốn chiều viết dạng đại số qua toán tử sinh, hủy xây dựng (Feranchuk et al., 2015) dạng: k1 k2 (10) 0, 0, m (ω ) k1 , k2 , m (ω ) = Mˆ 1+ Mˆ 2+ k1 !k2 !( k1 + m ) !( k2 + m ) ! ( )( ) Ở đây, ta có 0, 0, m (ω ) = (aˆ1+ bˆ2+ ) m (ω ) với m ≥ 0,0, m (ω ) = (aˆ2+bˆ1+ ) 0(ω ) m với m < Trạng thái chân không (ω ) định nghĩa từ phương trình: = aˆ1 (ω ) 0, aˆ2 (ω ) = , bˆ1 (ω ) 0,= bˆ2 (ω ) (11) với điều kiện chuẩn hóa 0 (ω ) = Dùng biểu thức quen thuộc toán tử sinh, hủy tác dụng lên véc-tơ trạng thái, có sách giáo khoa lượng tử, ta thu biểu thức tác dụng sau: Mˆ k1 , k2 , m = k1 ( k1 + m ) k1 − 1, k2 , m , Mˆ 1+ k1 , k2 , m = ( k1 + 1) ( k1 + m + 1) Nˆ k1 , k2 , m = ( 2k k1 + 1, k2 , m , + m + 1) k1 , k2 , m Ta có biểu thức tương tự cho tác dụng toán tử Mˆ , Mˆ 2+ , Nˆ 1023 (12) Tập 17, Số (2020): 1019-1029 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Ta tính yếu tố ma trận Vk1k2 , j1 j2 cách khai triển thành phần dạng mũ toán tử Sˆ1 Sˆ2 theo chuỗi Taylor Tiếp theo, tương tác đại số toán tử Mˆ s , Mˆ s+ , Nˆ s với ( s = 1, ) lên hàm sở j1 j2 m theo biểu thức (12) Các bước tính tốn chi tiết tương tự trình bày phụ lục (Cao et al., 2019) Kết thu ∞ ∑ ( −1) = (i) Sˆ1 j1 j2 m η k− j k − j1 (1 + η ) k =0 j1 + m + k +1 Akj1m (η ) k , j2 m , (13) l l + m  k     p p  k − l + l ∑ Aklm (η ) = p max ( 0,l − k ) =  k + m  p k − l +  2p η p (14) (ii) = Sˆ2 Sˆ1 j1 j2 m = ∞ ∞ ∑ ( −1) η k− j k − j1 (1 + η ) k =0 ∑ ( −1) Akj1m (η ) Sˆ2 k , j2 m (15) η k − j +l − j k − j1 + l − j2 (1 + η ) k ,l = j1 + m + k +1 j1 + k + j2 + l + m + Akj1m (η ) Alj2 m (η ) k , l , m (iii) Vk1k2 , j1 j2 (η ) = − Z k1k2 m Sˆ2 Sˆ1 j1 j2 m ∞ = − Z k1k2 m ∑ ( −1) η k − j +l − j k − j1 + l − j2 k ,l = (1 + η ) j + k + j2 + l + m + Akj1m (η ) Alj2 m (η ) k , l , m (16) ( −η ) −Z Ak j m (η ) Ak j m (η ) j +k + j +k +2 m +2 (1 + η ) k1 − j1 + k2 − j2 = 1 2 1 2 Trong trường hợp riêng, khơng chắn, λ = , ta có kết Vk1k2 , j1 j2 ( ) = − Z δ k1 , j1δ k2 , j2 Khi khơng có từ trường, toán túy nguyên tử hydro với nghiệm giải tích Các hàm sóng Rn ( r ) Ylm (ϕ , θ ) ứng với mức lượng 1, 2,3 ) En = −1/ 2n , ( n = Các yếu tố ma trận lại hồn tồn tốn ngun tử hydro từ trường khơng chắn đưa Phụ lục (Cao et al., 2019) Ví dụ với yếu tố ma trận ω = K j1 j2 ,k1k2 j1 j2 m Nˆ + Nˆ + − Mˆ − Mˆ − Mˆ 1+ − Mˆ 2+ k1k2 m , ta dễ dàng tính sau: ( ) 1024 Lý Duy Nhất tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM K k1k2 , j1 j2 = (ω ) ω  ( j1 + j2 + m + 1) δ k1 , j1δ k2 , j2 − 4 − j2 ( j2 + m ) δ k2 , j2 −1δ k1 , j1 − − j1 ( j1 + m ) δ k1 , j1 −1δ k2 , j2 ( j1 + 1) ( j1 + m + 1) δ k , j +1δ k , j 1 (17) ( j2 + 1) ( j2 + m + 1) δ k , j +1δ k , j  2 1 Kết thảo luận Với yếu tố ma trận tính theo biểu thức (16), (17), chương trình giải số phương pháp tốn tử FK viết ngơn ngữ FORTRAN có sử dụng thư mục “subroutine DSYGVX” gói LAPACK (Netlib.org LAPACK: Linear Algebra PACKage, n.d.) với biến số thực viết lại REAL*16 tương đương độ xác 32 chữ số thập phân Chương trình cung cấp miễn phí theo yêu cầu người dùng công bố tạp chí tương ứng Một điểm bật phương pháp tốn tử FK có đưa vào tham số tự ω qua biểu thức (3) định nghĩa toán tử sinh, hủy Chọn giá trị thích hợp cho tham số ta thu độ xác cao tính lượng Điều tương đương với tốc độ hội tụ cao tính lượng với độ xác cho trước Tuy tính chất tham số tự quan sát nhiều hệ khác nhau, xem ví dụ (Feranchuk et al., 2015), với trường hợp ta cần kiểm chứng lại số Với tốn xét ta tìm miền giá trị tham số cho tốc độ hội tụ cao Trên Hình 1, thể cho ví dụ với tham số chắn λ = 0.01 (Hình 1a) λ = 0.1 (Hình 1b) cho trường hợp khơng có từ trường lượng trạng thái 1s tính với độ xác đến 15 chữ số thập phân (đường màu đỏ) 10 chữ số thập phân (đường màu đen) Trục tung biểu diễn số bậc gần cần phải tính để đạt độ xác cho ứng với giá trị tham số tự khác nhau, biểu diễn trục hồnh Hình cho thấy vùng tham số tự tối ưu tồn gần với độ xác 10 hay 15 chữ số thập phân Thử cho nhiều độ xác khác ta kết luận miền tham số tối ưu khơng phụ thuộc vào độ xác cần tính Điều cho phép ta tính lượng với độ xác thấp, ví dụ đến 10 chữ số thập phân, với tham số tự khác qua xác định miền tham số tối ưu Sau sử dụng tham số để tính lượng với độ xác lên đến 32 chữ số thập phân Trong chương trình tính tốn, giá trị tham số tối ưu tính trước cho số trường hợp ứng với cường độ từ trường khác từ γ = → 100 với bước nhảy 0.05 Các trường ∆γ = 0.1× (γ + 1) tham số chắn λ= → với bước nhảy ∆λ = hợp khác thu nội suy Như vậy, chương trình tính tốn tích hợp giá trị tối ưu tham số tự 1025 Tập 17, Số (2020): 1019-1029 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Hình Độ hội tụ thể qua bậc gần s theo tham số tự ω cho nghiệm tính với độ xác đến 15 chữ số thập phân (đường màu đỏ) 10 chữ số thập phân (đường màu đen) cho γ = hai trường hợp tham số chắn: (a) λ = 0.01 (b) λ = 0.1 Chương trình kiểm chứng cho giá trị lượng 1s xác đến 32 chữ số thập phân với tham số chắn λ có giá trị từ đến 1.0 a.u ứng với từ trường γ có giá trị từ đến 100 Để minh họa, Bảng đưa số kết cho trường hợp khơng có từ trường, kết so sánh với cơng trình khác (Paul, & Ho, 2009; Saha et al., 2002; Soylu, 2012) Bảng cho trường hợp từ trường γ = Trong trường hợp λ > 0.02 bậc gần ( s) hàm sóng phải chọn lên đến 180, tương đương với số lượng phần tử ma trận lên tới 8281× 8281 hàm sở đối xứng Chương trình phát triển cho trạng thái kích thích cho dạng chắn khác GECSC công bố công trình Bảng Các giá trị lượng mức 1s theo tham số chắn λ hệ đơn vị nguyên tử trường hợp từ trường γ = λ Tài liệu (Soylu, 2012) ε Tài liệu (Paul, & Ho, 2009) Tài liệu (Saha et al., 2002) -0.50000 0.000 -0.5000000000000000000000000000000 0.010 -0.4900745067466941718092082523330 -0.490075 -0.490075 -0.49008 0.050 -0.4518164285245055438562170757554 -0.451816 -0.451816 -0.45182 0.100 -0.4070580306134031567545070703611 -0.407058 -0.405705 -0.40705 1.000 -0.0102857899900176968047742153111 1026 0.16598 Lý Duy Nhất tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Bảng Các giá trị lượng mức 1s theo tham số chắn λ hệ đơn vị nguyên tử trường hợp từ trường γ = λ ε 0.000 0.010 0.050 0.100 1.000 -0.3311688967331580356102982 -0.3212281942984668084487882 -0.2826224109660852632933711 -0.2368473261576955381981450 0.2593299390848640488750535 Kết luận Qua phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel, áp dụng thành cơng phương pháp tốn tử FK cho tốn ngun tử hydro mơi trường plasma với chắn Yukawa Chúng tơi giải phương trình Schrưdinger cho ngun tử hydro từ trường có xét chắn thu lượng với độ xác đến 32 chữ số thập phân cho trạng thái 1s so sánh với kết tính số trước cho thấy vượt trội độ xác Một chương trình FORTRAN viết để tự động hóa hồn tồn tính tốn cho người dùng Chương trình phát triển kiểm chứng tiếp cho trạng thái kích thích cao, độ thay đổi từ trường rộng miền tham số chắn mở rộng Ngồi ra, phát triển cho tốn heli nguyên tử cao  Tuyên bố quyền lợi: Các tác giả xác nhận hoàn toàn khơng có xung đột quyền lợi  Lời cảm ơn: Bài báo nghiên cứu tài trợ Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh qua Đề tài trọng điểm cấp sở mã số CS.2019.19.43TĐ Các tác giả chân thành cám ơn GS TSKH Lê Văn Hoàng hướng dẫn, đặt vấn đề góp ý, chỉnh sửa cho báo TÀI LIỆU THAM KHẢO Bahar, M K., & Soylu, A (2014) The hydrogen atom in plasmas with an external electric field Physics of Plasmas, 21(9), 092703 https://doi.org/10.1063/1.4894684 Bahar, M K., & Soylu, A (2015) Confinement effects of magnetic field on two-dimensional hydr-ogen atom in plasmas Physics of Plasmas, 22(5), 052701 https://doi.org/10.1063/1.4919613 Bahar, M K., & Soylu, A (2016) Probe of hydrogen atom in plasmas with magnetic, electric, and Aharonov-Bohm flux fields Physics of Plasmas, 23(9), 092712 https://doi.org/10.1063/1.4963772 Bartsch, T (2003) The Kustaanheimo–Stiefel transformation in geometric algebra Journal of Physics A: Mathematical and General, 36(25), 6963-6978 https://doi.org/10.1088/03054470/36/25/305 Cao, H T X., Ly, D N., & Hoang, D N T (2016) Nang luong trang thai co ban cua nguyen tu hydro tu truong deu co cuong bat ki [Ground state energy of a hydrogen atom in a uniform magnetic field with arbitrary strength] Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science, 12, 39-51 1027 Tập 17, Số (2020): 1019-1029 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Cao, T X H., Ly, D N., Hoang, N.T D., & Le, V H (2019) High-accuracy numerical calculations of the bound states of a hydrogen atom in a constant magnetic field with arbitrary strength Computer Physics Communications, 240, 138-151 https://doi.org/10.1016/j.cpc.20 19.02.013 Feranchuk, I., Ivanov, A., Le, V.-H., & Ulyanenkov, A (2015) Non-perturbative Description of Quantum Systems (Vol 894) Cham: Springer International Publishing https://doi.org/10.1007/978-3-319-13006-4 Hoang, N T D., Nguyen, D A P., Hoang, V H., & Le, V H (2016) Highly accurate analytical energy of a two-dimensional exciton in a constant magnetic field Physica B: Condensed Matter, 495, 16-20 https://doi.org/10.1016/j.physb.2016.04.038 Kar, S., & Ho, Y K (2005) Electron affinity of the hydrogen atom and a resonance state of the hydrogen negative ion embedded in Debye plasmas New Journal of Physics, 7, 141-141 https://doi.org/10.1088/1367-2630/7/1/141 Le, D N., Hoang, N.T D., & Le, V.H (2017) Exact analytical solutions of a two-dimensional hydrogen atom in a constant magnetic field Journal of Mathematical Physics, 58(4), 042102 https://doi.org/10.1063/1.4979618 Le, D N., & Hoang, D N T (2017) Binding Energy of Exciton in Monolayer Semiconductor Ws With Yukawa-Like Screening Potential Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science, 14(9), 43-50 Retrieved from http://journal.hcmue.edu.vn/index.php/hcmuejos/issue/archive Lin, C Y., & Ho, Y K (2011) The photoionization of excited hydrogen atom in plasmas Computer Physics Communications, 182(1), 125-129 https://doi.org/10.1016/j.cpc.20 10.06.013 Main, J., Schwacke, M., & Wunner, G (1998) Hydrogen atom in combined electric and magnetic fields with arbitrary mutual orientations Physical Review A, 57(2), 1149-1157 https://doi org/10.1103/PhysRevA.57.1149 Netlib.org LAPACK: Linear Algebra PACKage (n.d.) Subroutine DSYGVX.f Retrieved from http://www.netlib.org/lapack/explore-ht-ml/d2/d97/dsyevx-8f.html Paul, S., & Ho, Y K (2009) Hydrogen atoms in Debye plasma environments Physics of Plasmas, 16(6), 063302 https://doi.org/10.1063/1.3152602 Paul, S., & Ho, Y K (2010) Two-colour three-photon transitions in a hydrogen atom embedded in Debye plasmas Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics, 43(6), 065701 https://doi.org/10.1088/0953-4075/43/6/065701 Paul, S., & Ho, Y K (2011) Solution of the generalized exponential cosine screened Coulomb potential Computer Physics Communications, 182(1), 130-133 https://doi.org/10.1016/j cpc.2010.06.014 Saha, B., Mukherjee, P K., & Diercksen, G H F (2002) Energy levels and structural properties of compressed hydrogen atom under Debye screening Astronomy & Astrophysics, 396(1), 337–344 https://doi.org/10.1051/0004-6361:20021350 Saha, J K., Mukherjee, T K., Mukherjee, P K., & Fricke, B (2011) Hyperpolarizability of hydrogen atom under spherically confined Debye plasma The European Physical Journal D, 62(2), 205-211 https://doi.org/10.1140/epjd/e2011-10668-4 1028 Lý Duy Nhất tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Sasmal, G P (2014) On computation for a hydrogen atom in arbitrary magnetic fields using finite volume method Journal of Atomic and Molecular Sciences, 5(3), 187-205 https://doi.org/10 4208/jams.110813.021414a Shukla, P K., & Eliasson, B (2008) Screening and wake potentials of a test charge in quantum plasmas Physics Letters A, 372(16), 2897-2899 https://doi.org/10.1016/j.physleta.2007.12 067 Soylu, A (2012) Plasma screening effects on the energies of hydrogen atom Physics of Plasmas, 19(7), 072701 https://doi.org/10.1063/1.4736947 Thirumalai, A., & Heyl, J S (2009) Hydrogen and helium atoms in strong magnetic fields Physical Review A, 79(1), 012514 https://doi.org/10.1103/PhysRevA.79.012514 HIGHLY ACCURATE NUMERICAL ENERGY FOR THE GROUND STATE OF A HYDROGEN ATOM IN A PLASMA WITH THE PRESENCE OF A UNIFORM MAGNETIC FIELD Ly Duy Nhat1,2*, Hoang Do Ngoc Tram2 Ho Chi Minh City University of Education, Vietnam Vietnam Atomic Energy Institute, Vietnam * Corresponding author: Ly Duy Nhat – Email: nhatld@hcmue.edu.vn Received: March 31, 2020; Revised: May 21, 2020; Accepted: June 10, 2020 ABSTRACT The FK operator method has been recently applied successfully to the problem of a hydrogen atom in a magnetic field with any intensity In this work, this method is applied more generally, considering the screening effect Screening effect plays an important role in practical astronomy research on hydrogen atom in a plasma environment In this paper, the FK operator method is combined with the Kustaanheimo-Stiefel transformation, so the wavefunction is expanded in terms of the eigenfunctions of a four-dimensional harmonic oscillator There is an improvement in algebraic calculations to obtain the matrix elements of the screening term in the Hamiltonian, which results in the explicit expressions of the matrix elements in the series expansion These results help to build a FORTRAN program finding highly accurate numerical energies with the precision up to 32 decimal places For an illustration purpose, energies for the ground state with the screening parameter ranging from to a.u are shown in the paper Keywords: algebraic method; hydrogen atom; screened Coulomb potential; annihilation and creation operators; basic set 1029 ... tử FK cho toán nguyên tử hydro môi trường plasma với chắn Yukawa Chúng tơi giải phương trình Schrưdinger cho ngun tử hydro từ trường có xét chắn thu lượng với độ xác đến 32 chữ số thập phân cho. .. đơn vị từ trường này, chúng tơi tính tốn cho ngun tử hydro nên số hiệu nguyên tử Z = Phương trình (1) giải thành cơng phương pháp tốn tử FK trường hợp khơng chắn, λ = , cơng bố cơng trình (Cao. .. chứng cho giá trị lượng 1s xác đến 32 chữ số thập phân với tham số chắn λ có giá trị từ đến 1.0 a.u ứng với từ trường γ có giá trị từ đến 100 Để minh họa, Bảng đưa số kết cho trường hợp từ trường,