Trạng thái cơ bản của ngưng tụ bose einstein hai thành phần phân tách mạch

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ -------------------------------- ĐÀO THỊ DỊU TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH MẠNH Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN VĂN THỤ HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo T.S Nguyễn Văn Thụ, người tận tình nghiêm khắc hướng dẫn em để em hoàn thành khóa luận này. Em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến thầy cô giáo giảng dạy bốn năm qua, đặc biệt thầy cô Khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, giảng dạy trang bị cho em kiến thức học tập, nghiên cứu khoá luận công việc sau này. Trong trình nghiên cứu thời gian có hạn bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy, em mong nhận đóng góp quý thầy cô bạn để đề tài hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên Đào Thị Dịu LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp “Trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách mạnh” hoàn thành hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo T.S Nguyễn Văn Thụ. Tôi xin cam đoan đề tài kết nghiên cứu không trùng với kết nghiên cứu tác giả khác. Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên Đào Thị Dịu MỤC LỤC MỞ ĐẦU . 1. Lí chọn đề tài . 2. Mục đích nghiên cứu . 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu 5. Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG . CHƢƠNG LÝ THUYẾT CHUNG VỀ NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN . 1.1. Hệ hạt đồng . 1.1.1. Nguyên lý đồng . 1.1.2. Các trạng thái đối xứng phản đối xứng . 1.1.3. Nguyên lý Pauli hàm sóng hệ tương tác yếu 1.2. Thống kê Bose-Einstein 1.3. Trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein 11 1.4. Thực nghiệm Bose- Einstein 18 1.4.1. Ngưng tụ Bose- Einstein nguyên tố erbium 18 1.4.2. Loại ánh sáng tạo đột phá vật lý 20 1.4.3. Các nhà vật lý khẳng định tồn trạng thái ngưng tụ polariton 22 CHƢƠNG TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH MẠNH 26 2.1. Toán tử Hamilton 26 2.2. Phương trình Gross-Pitaevskii . 27 2.2.1 Phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian 27 2.2.2. Phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian 29 2.3. Trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein hai thành phần phân tách mạnh . 30 KẾT LUẬN . 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 MỞ ĐẦU 1. Lí chọn đề tài Albert Einstein (1897-1955) nhà vật lí lý thuyết sinh Đức. Khi bước vào nghiệp mình, Eisntein nhận học Newton không thống định luật học cổ diển với định luật trường điện từ. Từ ông phát triển thuyết tương đối đặc biệt, với báo đăng năm 1905. Tuy nhiên, ông thấy nguyên lý tương đối mở rộng cho trường hấp dẫn, đến năm 1916 ông xuất báo cáo thuyết tương đối tổng quát. Ông tiếp tục nghiên cứu toán học thống kê lý thuyết lượng tử, đưa giải thích lý thyết hạt chuyển động phân tử. Ông nghiên cứu tính chất nhiệt học ánh sáng đặt sở cho lý thuyết lượng tử ánh sáng. Năm 1917, Einstein sử dụng thuyết tương đối tổng quát để miêu tả mô hình cấu trúc toàn thể vũ trụ . Einstein công bố 300 báo cáo khoa học 150 viết chủ đề khác nhau, ông nhận nhiều tiến sĩ danh dự khoa học, y học triết học từ nhiều sở giáo dục đại học Châu Âu Bắc Mỹ. Những thành tựu tri thức lớn lao ông khiến nhân loại gọi ông nhân tài. Một thành tựu khoa học ông ý tưởng BEC năm 1924 nhà lý thuyết Ấn Độ Satyendra Nath Bose suy định luật Planck cho xạ vật đen lúc xem photon chất khí nhiều hạt đồng nhất. Satyendra Nath Bose chia sẻ ý tưởng với Einstein hai nhà khoa học tổng quát hóa lý thuyết Bose cho khí lý tưởng nguyên tử tiên đoán nguyên tử bị làm đủ lạnh, bước sóng chúng trở thành lớn đến mức chồng lên nhau. Các nguyên tử nhận dạng nhân tạo nên trạng thái lượng tử vĩ mô hay nói cách khác siêu nguyên tử - tức BEC. Mãi đến năm 1980 kỹ thuật laser đủ phát triển để làm siêu lạnh nguyên tử tới nhiệt độ thấp BEC thực được. Ngày tháng năm 1995, nhóm cách nhà vật lý phòng nghiệm JILA (Đại học Colorado Viện Tiêu Chuẩn Công nghệ Quốc gia NIST) đứng đầu Carl Wieman Eric Cornell lần thành công việc tạo nên BEC gồm 2000 nguyên tử ribidium 87 làm siêu lạnh bẫy từ sử dụng laser. Sau Wolfgang Kettle (Viện công nghệ Massachusetts tạo ta BEC từ 500000 nguyên tử sodium 23. Ba nhà vật lý ngải Nobel Vật Lý năm 2001. Trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein tạo giới (BEC- Bose- Einstein condensate) từ nguyên tử lạnh năm 1995. Điều có ý nghĩa lớn tạo lên dạng vật chất cac hạt bị giam chung trạng thái mức lượng thấp nhất, mở nhiều triển vọng nghiên cứu vật lý. Đây lĩnh vực khoa học có hướng phát triển mạnh mẽ tương lai ngành vật lý quan tâm. Chính lí mà em chọn “Trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách mạnh” làm đề tài nghiên cứu khóa luận tốt nghiệp mình. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu đóng góp ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần vật lý thống kê học lượng tử. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu “Trạng thái khí ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách mạnh” xuất phát từ hệ hạt đồng nhất, thống kê Bose-Einstein boson hạt có spin nguyên, phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc vào thời gian không phụ thuộc vào thời gian. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương trình Gross-Pitaevskii. Ngưng tụ Bose- Einstein hai thành phần phân tách mạnh. 5. Phương pháp nghiên cứu Đọc sách tra cứu tài liệu. Sử dụng thống kê cổ điển, lượng tử phép tính giải tích toán học. Phương pháp nghiên cứu lí luận. NỘI DUNG CHƢƠNG LÝ THUYẾT CHUNG VỀ NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN 1.1. Hệ hạt đồng 1.1.1. Nguyên lý đồng Chúng ta nghiên cứu hệ N hạt chuyển động phi tương đối tính.Trong trường hợp toán tử Hamilton viết dạng: ˆ2 P    Hˆ   i  Vˆ r1 , r2 , ., rn  Wˆ , i 1 2mi N (1.1) Vˆ toán tử tương tác với hạt với chất hàm tọa độ tất hạt, Wˆ toán tử đặc trưng cho tương tác spin-quỹ đạo, tương tác spin hạt trường . Hàm sóng hệ phải thỏa mãn phương trình Schrodinger   ˆ  i  H  1,2, ., N , t   0,  t  (1.2) Với toán tử Haminlton (1.1) hàm thời gian, tọa độ không gian spin hạt 1,2,3, .,N. Nếu hạt có đặc trưng điện tích, khối lượng, spin, .không phân biệt với chũng ta có hệ N hạt đồng nhất. Trong hệ ta phân biệt hạt theo trạng thái chúng, nghĩa nêu tọa độ xung lượng tường hạt. 1.1.2. Các trạng thái đối xứng phản đối xứng Ta kí hiệu toán tử hoán vị hạt i j với Pˆij kí hiệu trạng thái hệ N hạt đồng  1, ., i, ., j .N , t    i, j  . Nếu Pˆij i, j    i, j ; Pˆij  j, i    i, j . (1.3) Phương trình cho hàm riêng trị riêng toán tử Pˆij Pˆij i, j    i, j , Phương trình (1.4) có  (1.4)  Pˆij  i, j   2 i, j   Pˆij Pˆij i, j   Pˆij i, j    i, j , Từ suy trị riêng toán tử Pˆij   1 . Nên hàm riêng toán tử hoán vị Pˆij chia làm hai lớp: a) Lớp hàm đổi dấu hoán vị cặp hạt (hàm phản đối xứng) Pˆij a   a , tương ứng với trị riêng   1 . b) Lớp hàm không đổi dấu hoán vị cặp hạt (hàm đối xứng) Pˆij s   s , tương ứng với trị riêng   . Tính đối xứng phản đối xứng hạt tích phân chuyển động. Các thí nghiệm chứng tỏ rằng, tính chất đối xứng phản đối xứng hàm sóng liên quan đến tính chất nội hạt. Các hạt có hàm sóng  s đối xứng gọi hạt Bose hay Boson, chúng tuân theo thống kê Bose-Einstein. Các hạt có hàm sóng  a phản đối xứng gọi hạt fermi hay fermion, tuân theo thống kê Fermi-diac. Các Boson hạt có spin nguyên, fermi hạt có spin bán nguyên. 1.1.3. Nguyên lý Pauli hàm sóng hệ tương tác yếu Đối với Fermion có nguyên lý cấm Pauli đữa ra. Nguyên lý phát biểu sau: "Nếu có đại lượng động lực L1 , L2 , L3 , S z  đủ để đặc trưng cho trạng thái hạt, hệ Fermion có hai hạt có trạng thái đặc trưng số L1 , L2 , L3 , S z  giống nhau". Nguyên lý rút từ tính phản đối xứng hàm sóng Fermion. Ta giả sử hệ có hai hạt i j hai trạng thái giống Pˆij a i, j    a  j, i    a i, j , theo giả thiết  a i, j    a  j, i ,  a i, j    a i, j , từ 2 a i, j    a i, j   nghĩa trạng thái hệ không tồn tại. Ta xét hệ đồng mà hạt tương tác yếu với nhau, phép gần ta coi hạt không tương tác với nhau. Gải sử hàm  nl l  nghiệm phương trình Hˆ l     nl nl l   Hˆ l  toán tử Hamilton cho hạt thứ l l  1,2, ., N  , nl tập hợp số lượng tử đủ để đặc trưng cho trạng thái hạt l . Khi hàm riêng toán tử Hˆ hệ tương ứng với lượng En    nl tổ hợp l tuyến tính tích dạng n 1 n 2 .n N  . N Đối với hệ Boson, hàm sóng phải có dạng tích đối xứng hóa bẫy để tích lũy polariton. Và hệ này, trạng thái BEC đạt nhiệt độ thấp tới 4,2 K. Mặc dù nhiệt độ thấp nhiều so với nhiệt độ 19 K mà nhóm Kasprzak công bố, Snoke nói Physics Web sau xuất công trình nhóm tạo tượng nhiệt độ cao tới 32 K: " Có hàng trăm, nguyên nhân để hi vọng đạt tới nhiệt độ cao hơn, cao Dù giả thiết đạt tới nhiệt độ phòng 100 K đạt khả chúng tôi" Hơn nữa, vi cầu ( hay vi hốc-microcavity) tạo vật liệu bán dẫn phổ thông GaAs hệ bẫy tượng tự dùng khí nguyên tử mà dễ dàng chế tạo cho nhóm nghiên cứu khác. Hình 1.4: Phân bố xung lượng polariton (Science 316, 1007) Tuy nhiên, số nghi ngờ liệu có phải hệ nhóm Snoke trạng thái BEC xu hướng truyền thống hay không 24 polariton có thời gian sống ngắn hệ đạt trạng thái chuẩn cân bằng. "Một số người muốn hạn chế việc sử dụng khái niệm BEC cho hệ trạng thái cân thực sự" - Snoke nói - "Mặt khác, lại có số người khác muốn tổng quát hóa chung loại hệ hỗn hợp bao gồm laser. Thực câu hỏi mang tính chất thuật ngữ hơn" 25 CHƢƠNG TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH MẠNH 2.1. Toán tử Hamilton Dựa vào hệ tiên đề học lượng tử ta thấy, để nghiên cứu lượng hệ cần phải biết toán tử Hamilton, toán tử Hamilton tương ứng với hàm Hamilton cổ điển. Hàm Hamilton H   pk q k  L hàm tọa độ suy rộng thời k gian. Qua số biến đổi ta phương trình Hamilton: p k   H H ; q k  qk pk Cơ học cổ điển bị hạn chế, có tượng mà không giải thích lý thuyết cổ điển. Do dẫn đến hình thành môn học lượng tử. Trong học lượng tử người ta dùng toán tử để mô tả biến số động lực. Toán tử Hamilton toán tử quan trọng vào bậc học lượng tử. Trong hệ tọa độ Descartes, toán tử Hamilton hạt gồm toán tử động hàm lực: Hˆ  Kˆ  Uˆ pˆ 2    . Còn hàm lực Uˆ  U r , t  phụ Ở toán tử động Kˆ  2m 2m  thuộc vào tọa độ r thời gian t, 2 ˆ  Hˆ     U r , t  2m  Nếu Uˆ  U r , t  không phụ thuộc vào t, gọi năng. Trong trường hợp ấy: 26 2 ˆ  Hˆ     U r  2m Trường hợp tổng quát, nết hạt chuyển động trường lực phụ thuộc vào vận tốc, gia tốc ., thì: 2 ˆ Hˆ    W 2m Ở Wˆ thành phần mô tả cho chuyển động trường lực tổng quát. Đối với hệ n hạt dạng tổng quát toán tử Hamilton là: n 2 ˆ H    k  Wˆ ' 2mk k 1 Trong Wˆ ' thành phần viết cho trường lực tổng quát mô tả tương tác hạt hệ hàm vận tốc hạt thời gian . 2.2. Phương trình Gross-Pitaevskii 2.2.1 Phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian Chúng ta coi hai thành phần BEC nguyên tử với khối lượng m j , V j , số j = 1, thành phần thành phần 2. Xét hỗn hợp hai nguyên tử boson khác nhau. Ta có hàm sóng Hartree hai thành phần, ký hiệu hai tương ứng với N1 N hạt là:  r1 , ., rN ; .; r ' N2    r  r  N1 N2 i 1 i j 1 ' j (2.1) Ở trạng thái biểu diễn ri trạng thái biểu thị r j . Các hàm sóng đơn tương ứng 1  . Đối với hệ đồng nhất, lượng cho phương trình tổng quát 27 E N1 N1  1g11 N1 N g12 N N  1g 22   . 2V V 2V (2.2) 1/ Nếu đưa vào hàm sóng ngưng tụ hai thành phần với   N1 1   N 21/ 22 . Thì lượng tương ứng cho hệ thành phần sau:  2 2 2 2 E   dr    V1    V2   2m2  2m1  1 4 2 g11  g 22   g12    2  (2.3) Tại bỏ qua ảnh hưởng / N1 / N , hai giá trị nhỏ N1 N lớn, mi khối lượng hạt thứ i, Vi bên ngoài. Các số g11 , g 22 , g12  g 21 xác định độ dài tán xạ sóng s a11 , a22 a12  a21 với gij  2 aij / mij , i, j  1,2 mij  mi m j / mi  m j  khối lượng rút gọn nguyên tử i nguyên tử j. Từ (2.2) (2.3) ta thu phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian sau:    2 2 i     V1  g11  g12   1, t  2m1  (2.4)    2 2 i     V2  g 22   g12   . t  2m2  (2.5) Như vậy, ta thu phương trình Gross-Pitaevskii hai thành phần theo hình thức luận Hamilton. Chúng ta giả định số tương tác thỏa mãn g11g 22  g12 , tức hai thành phần trộn lẫn, ta xét hệ lý tưởng với 28 V1  V2  , m1  m2  m g11  g 22  g . Chuẩn hóa độ dài thời gian phương trình (2.4) (2.5)    / mgn1/  / s , n mật độ nguyên tử  2 xa bề mặt s  gn / m 1/ vận tốc âm. Khi thu phương trình (2.4) (2.5) dạng không thứ nguyên. 2   ~ V1  g12   i ~      .   t gn n g n   2   ~ V2  g12   i ~       .   t gn n g n   (2.6) Sự tiến triển hệ theo thời gian xác định cách giải số phương trình (2.4) (2.5) theo phương pháp giải phổ với điều kiện biên xác định. 2.2.2. Phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian Để tìm phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian ta đặt:    10 r e  i t /     20 r e i t /  (2.7)  10 , 20 hàm sóng trạng thái thành phần. Thay (2.8) (2.4) (2.5) ta       2   10 r e i1t /    2 i      V1  g11 10 r e i1t /   g12  20 r ei2t /    10 r ei1t /  , t  2m1   2   20 r e i1t /    2 i      V2  g 22  20 r e i2t /   g12  10 r e i1t /    20 r e i2t /  . t  2m2  29  Thực phép lấy đạo hàm theo thời gian thu 2 2     1  V1  g11   g12    0, 2m1 (2.8) 2 2      2  V2  g 22    g12    0. 2m2 (2.9) Phương trình (2.9) (2.10) gọi phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian. 2.3. Trạng thái ngƣng tụ Bose- Einstein hai thành phần phân tách mạnh Trong ngưng tụ Bose- Einstein hai thành phần phân tách yếu phương trình Hamilton mô tả hệ viết dạng sau:   2  g jj H    dr j    V j r    j  j  j j 1,  2m j   g12  dr   1 Kí hiệu ni r    i r  (2.10) (2.8) (2.9) viết lại sau:   n1 1    V1 r   g11n1  g12n2 , 2m1 n1   n2 2    V2 r   g 22n2  g12n1. 2m2 n2 (2.11) Để tìm nghiệm (2.11) cần phải làm vài biến đổi. Giả sử V1 r   V2 r  xét trường hợp độ lớn biên ngưng tụ nhỏ nhiều so với độ dài đặc trưng bẫy năng. Trong trường hợp bẫy có dạng parabol điều nghĩa là: d  RT  F . Trong 30 d kích thước biên RT  F bán kính Thomas- Fermi đám mây điện tử. Về phương diện vật lý, giúp ta loại khỏi ảnh hướng tới hình dạng biên. Để việc tính toán đơn giản nữa, giả sử phân tách diễn theo chiều, z. Như vậy, (2.11) viết lại dạng: 2 d2 1   2m1 n1 dz n1  g11n1  g12n2 , 2 d2 2   2m2 n2 dz n2  g 22n2  g12n1. (2.12) Mặc dù, tương tác không xuất (2.12) phải xét đến điều kiện lên nghiệm hệ,trong biến đổi tính đến yếu tố này. Ở giả sử phân tách diến theo trục z gọi ngưng tụ bên phải biên "1" , "2" ngưng tụ bên trái biên. Như vậy, điều kiện tiệm cận là: n1 z    n10 , n1 z    0, n2 z    n20 , n2 z    0, (2.13) n10 n20 mật độ cân ngưng tụ xa biên. Hệ phương trình (2.12) viết lại dạng sau: 2 d  j  j j   2m j d z   g jj  j  g jj '  j '   .  j  (2.14) Trong gần Thomas - Fermi có 2  j j   g jj  j  g jj  j  j .   ' ' nhân trái hai vế phương trình (2.15) với 31 (2.15)  *j thực lấy tích phân toàn miền r g   g     dr  dr   j j   jj j jj' j' * j * j  ,  j  cuối thu  j  g jj n j  g jj n j . ' (2.16) ' Khi xa biên, kết hợp với điều kiện (2.15) ta có biểu thức sau: 1  g11n10 , 2  g 22n20. (2.17) Áp suất thành phần ngưng tụ cho công thức Pj  i * j  j g jj 2   j  V j  j  j . t 2m j (2.18) Hàm sóng  j viết dạng i j  j  nj e , tách n j  n j  n j , j   g jj n j  t   j . Do đó, hàm sóng viết lại j  n j  n j e i( g jj n j  t  j ) (2.19)  j  n j  n j . Từ (2.19) có  j t  g jj n j  n j  n j e 32 i( g jj n j  t  j ) (2.20) Ngoài ra, đạo hàm bậc  j thỏa mãn   j t  g jjn j  (2.21) Thay (2.21) vào (2.20) ý tới (2.23) Pj  g jj n 2j  g jj n j 0n j (2.22) Khi xa biên n j  nên Pj  g jj n 2j . (2.23) Xuất phát từ phương trình Laplace- Young 1  P1  P2     ,  R1 R2  Trong trường hợp R1  R2   nên P1  P2 . Như 2 P1  g11n10 /  P2  g 22n20 /2 (2.24) Để giảm số lượng tham số phương trình (2.12) phải loại bỏ khác khối lượng cách thay đổi. * * g11  g11m1 / m2 , g 22  g 22m2 / m1 , n1*  n1 m2 / m1 , n2*  n2 m1 / m2 , * * * * 1*  g11 n10 ,  2*  g 22 n20 , (2.25) m*  m1m2 . Từ (2.25) có biểu thức sau: 33 * g11  g11 m1 * m2 , g 22  g 22 , m2 m1 n1  n1* m1 m2 , n2  n2* , m2 m1 1  1* m2 m1 ,    2* . m1 m2 (2.26) Thay (2.26) vào (2.12) hệ phương trình tương tự với điều kiện (2.13), (2.17), (2.24) cho đại lượng có dấu "*" với * khối lượng m . Để lời giải đơn giản sau, ta bỏ qua dấu "*".   * 2 m*   * d2 n1* dz 2 m* d2 n2* dz * * n1*  g11 n1  g 12n2* , * n2*  g 22 n2*  g 12n1* . (2.27) Chúng ta giải hệ phương trình phương pháp giải tích hai trường hợp: giới hạn cho phân tách yếu   tách mạnh   g12   . ( Chú ý: g11g 22 g12   g11g 22 g12  không phụ thuộc vào khối lượng). Trong luận văn này, phân tích trường hợp phân tách mạnh :  g12   g11g 22 Bắt đầu từ hệ phương trình mật độ (2.12).Trong trường hợp này, chúng lấy mật độ mặt phân cách gần không, tương tác hạt làm cho gần bị triệt tiêu với ngưng tụ để xuyên qua vào bên hạt khác.Để ước tính mật độ ngưng tụ biên sử dụng đạo 34 hàm bậc hai hàm sóng gần không. Khi (2.12) trở thành 1  g11n1  g12n2  g11n10 2  g 22n2  g12n1  g 22n20 g11g 22 ta Chia hai vế (2.16) cho g11 n1  n2  g 22 g11 n10 g 22 (*) g 22 n2  n1  g11 g 22 n20 g11 (**) Thay (*) vào (**) ta có g 22  n1 g11 g11 n1   g 22 g 22 g11  g11 n10 g 22    g11 g n1   n20   11 n1   g 22 g 22    g11 g n1  n20  2 11 n1  g 22 g 22  n1   g11 n10 g 22 g11 n10 g 22 g11 n10  n20 g 22 g11 (  1) g 22 1/ g  Chú ý P1  P2 nên n20   11   g 22  n1B  n2 B  có n10 n  10  n10 ,  1  n20 n  20  n20.  1  (2.29) 35 Điều cho phép gần không sử dụng đơn giản điều kiện cho mật độ: n1 z  0  n2 z  0  0. Do phương trình (2.12) viết lại sau 2 d2 1   2m1 n1 dz 2 d2 2   2m2 n2 dz n1  g11n1 , với z  n2  g 22n2 . với z  (2.30) Nghiệm dễ dàng tìm  z  n1 z  0  n10  ,  1   z  n2 z  0  n20  .  2  (2.31) n10 n20 liên hệ điều kiện phương trình áp suất (2.14),và chọn vị trí biên z=0. Kích thước biên trường hợp gần d  2 1   . Sự phụ thuộc mật độ vào khoảng cách đến biên thể hình. Nó có dạng giếng trường hợp phân tách mạnh hẹp sâu so với trường hợp phân tách yếu. 36 nj n j0 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 z 10 Hình 2.1: Phân bố mật độ trường hợp phân tách mạnh. 37 10 KẾT LUẬN Với đề tài "Trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein hai thành phần phân tách mạnh" em hoàn thành việc nghiên cứu vấn đề sau: Lý thuyết chung ngưng tụ Bose- Einstein. Toán tử Hamilton Phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian. Phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc thời gian. Trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein hai thành phần phân tách mạnh. Qua đề tài em thấy phương pháp ngưng tụ Bose- Einstein, với việc áp dụng kiến thức học lượng tử vật lý thống kê đóng góp nhiều nghiên cứu khoa học để tìm nguyên tố ngưng tụ mới, dẫn tới vô số kết đạt được. 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Vũ Thanh Khiết, Nhiệt động lực học Vật lý thống kê, nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001. [2]. R.A. Barankov, Boundary of two mixed Bose- Einstein condensates, Phys.Rev.A 66,013612 (2012) [3]. Castin Y. and Dum, R.(1996). Phy. Rev. Lett, 77, 5315 (1996) [4]. http://www.scholarpedia.org/article/Hamiltonian_systems [5]. http://vi.wikipedia.org/wiki/Ngưng_tụ_Bose-Einstein 39 [...]...  2  g12  2  1  0 2m2 (2.9) Phương trình (2.9) và (2.10) được gọi là phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian 2.3 Trạng thái cơ bản của ngƣng tụ Bose- Einstein hai thành phần phân tách mạnh Trong ngưng tụ Bose- Einstein hai thành phần phân tách yếu phương trình Hamilton mô tả hệ có thể được viết dưới dạng sau:   2 2  g jj H    dr j    V j r    j  j  j 2 j... đó  Theo (1.13) ta tìm được phân bố của các số chứa đầy trung bình nk  1    l  exp  l  1    (1.21) ta có (1.21) là công thức của thống kê Bose- Einstein Thế hóa học  trong công thức (1.21) được xác định từ điều kiện  n l 0 l N (1.22) 1.3 Trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein Ngưng tụ Bose- Einstein (BEC - Bose- Einstein condensation) là một trạng thái vật chất của khí boson loãng bị làm lạnh... ta coi hai thành phần BEC của các nguyên tử với khối lượng m j , thế năng V j , chỉ số j = 1, 2 chỉ thành phần 1 hoặc thành phần 2 Xét một hỗn hợp của hai nguyên tử boson khác nhau Ta có hàm sóng Hartree hai thành phần, ký hiệu là 1 và hai tương ứng với N1 và N 2 hạt là:  r1 , , rN ; ; r 1 ' N2    r  r  N1 N2 1 i 1 i 2 j 1 ' j (2.1) Ở đó trạng thái 1 được biểu diễn bởi ri và trạng thái. .. photton" được tạo ra khi các hạt photon bị làm lạnh tới một trạng thái vật chất được gọi tên là "trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein" Cũng giống như các chất rắn, lỏng và khí, khám phá mới thể hiện một trạng thái của vật chất Với tên gọi "trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein" , nó từng được tạo ra vào năm 1995 thông qua các nguyên tử siêu lạnh của một chất khí, nhưng các nhà khoa học từng nghĩ không thể... đạt được trạng thái chuẩn cân bằng "Một số người muốn hạn chế việc sử dụng khái niệm BEC cho một hệ ở trong trạng thái cân bằng thực sự" - Snoke nói - "Mặt khác, lại có một số người khác muốn tổng quát hóa chung trong một loại hệ hỗn hợp bao gồm cả laser Thực ra đó là một câu hỏi mang tính chất thuật ngữ thì đúng hơn" 25 CHƢƠNG 2 TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ BOSE- EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH MẠNH... nguyên tử chuyển động nhanh, màu xanh và trắng chỉ nguyên tử chuyển động chậm Bên trái là trước khi xuất hiện ngưng tụ Bose- Einstein Ở giữa là ngay sau khi ngưng tụ Bên phải là trạng thái ngưng tụ xuất hiện rõ hơn Ở trạng thái ngưng tụ, rất nhiều nguyên tử có cùng vận tốc và vị trí (cùng trạng thái lượng tử) nằm ở đỉnh màu trắng Ở nhiệt độ phòng, boson và fermion đều phản ứng rất gióng nhau, giống hạt... boson tuân theo thống kê Bose- Einstein, còn các hạt fermion tuân theo thống kê Fecmi- Dirac Ngoài ra các hạt fermion còn tuân theo nguyên lý ngoại trù Pauli, ' 'hai hạt fermion không thể cùng tồn tại trên cùng một trạng thái lượng tử'' 12 Hình 1.1: Trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein của các boso, trong trường hợp này là các nguyên tử Rubidi Hình vẽ là phân bố tốc độ chuyển động của các nguyên tử theo... Heli-4 được phép tồn tại ở cùng trạng thái lượng tử như nhau Einstein chứng minh rằng khi lành lạnh các nguyên tử boson đến nhiệt độ rất thấp thì hệ này tích tụ lại (hay ngưng tụ) trong trạng thái lượng tử thấp nhất có thể và tạo nên trạng thái mới của vật chất Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã được làm cho ngưng tụ Mười trong số những ngưng tụ này đã được tạo ra bởi mười nhóm... pha ngưng tụ Như vậy ở các nhiệt độ thấp hơn T0 , một phần các hạt của khí boson sẽ nằm ở mức năng lượng thấp nhất ( mức năng lượng không) và các hạt còn lại sẽ được phân bố trên các mức khác theo định luật 1   e 1 Hiện tượng mà ta vừa mô tả, trong đó một số hạt của khí boson sẽ chuyển xuống mức năng lượng không và hai thành phần của khí bose phân bố khác nhau theo năng lượng được gọi là "sự ngưng. .. thụ của các vật đen tuyệt đối Einstein sau đó mở rộng ý tưởng của Bose cho hệ hạt vật chất Những lỗ lực của Bose và Einstein cho kết quả về khái niệm khí 11 Bose trong khuôn khổ lý thuyết thống kê Bose- Einstein, miêu tả phân bố thống kê của những hạt đồng nhất với spin nguyên, mà sau này Paul Dirac gọi là các boson Các hạt boson bao gồm photon cũng như các nguyên tử Heli-4 được phép tồn tại ở cùng trạng . ngưng tụ Bose- Einstein hai thành phần trong vật lý thống kê và cơ học lượng tử. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu Trạng thái cơ bản của khí ngưng tụ Bose- Einstein hai thành phần phân tách. 1.4.3. Các nhà vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngưng tụ polariton 22 CHƢƠNG 2 TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ BOSE- EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH MẠNH 26 2.1. Toán tử Hamilton 26. chọn Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose- Einstein hai thành phần phân tách mạnh” làm đề tài nghiên cứu khóa luận tốt nghiệp của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu những đóng góp của ngưng