Khoá luận tốt nghiệp trạng thái cơ bản của ngưng tụ bose einstein hai thành phần phân tách yếu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ Hí PHÙNG THỊ HUYÈN TRẠNG THÁI C ơ BẢN CỦA NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN HAI THÀNH PHÀN PHÂN TÁCH YÉU KHÓA LUẬN TÓT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • C h u yên n gàn h : V ậ t lý lý th u y ết HÀ NỘI 2015 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo hướng dẫn tôi TS. Nguyễn Văn Thụ, người đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp này. Thầy cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng thầy. Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến những thầy cô giáo đã giảng dạy tôi trong bốn năm qua, đặc biệt là các thầy cô trong Khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã giảng dạy và trang bị cho tôi những kiến thức cơ bản trong học tập, nghiên cún khoá luận cũng như trong công việc sau này. Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp của các quý thầy cô và các bạn để đề tài này được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 05 thảng 05 năm 2015 Sinh viên Phùng Thị Huyền LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp “Trạng thải cơ bản của ngưng tụ Bose-Eỉnstein hai thành phần phấn tách yếu” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của thầy giáo TS. Nguyễn Văn Thụ. Tôi xin cam đoan đề tài này là kết quả nghiên cứu của tôi và không trùng với bất kì kết quả nghiên cứu của tác giả nào khác. Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2015 Sinh viên Phùng Thị Huyền M ỤC LỤC M Ở ĐÀ U 1. Lý do chọn đề tài.................................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu............................................................................................ 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu............................................................................................2 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.......................................................................2 5. Phương pháp nghiên cứu......................................................................................2 6. Bố cục của khóa luận..........................................................................................3 NỘI DUNG CHƯƠNG 1: TỎNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN 1.1. Hệ hạt đồng nhất................................................................................................4 1.2. Làm lạnh nguyên tử .......................................................................................... 6 1.3. Thống kê Bose - Einstein................................................................................ 8 1.4. Trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein đối với khí boso lý tưởng............... 12 CHƯƠNG 2: TRẠNG THÁI cơ BẢN CỦ A NGƯNG TỤ BO SE - E IN S T E IN H A I T H À N H PH Ầ N PH Â N T Á C H YÉU 2.1. Mô tả hệ. Phương trình Gross - Pitaevskii.................................................17 2.2. Lời giải của phương trình Gross - Pitaevskii trong trường họp phân tách yếu............................................................................................................................ 18 KÉT L U Ậ N ........................................................................................................ 29 TÀ I L IỆ U T H A M K H Ẳ O ............................................................................ 30 MỞ ĐÀU 1. Lý do chọn đề tài Trên thế giới, vào năm 1995 đã xảy ra một đột biến mới trong công nghệ. Đó là việc tạo ra ngưng tụ Bose - Einstein (BEC) - một hiện tượng lượng tử kì lạ, được quan sát thấy ở khí nguyên tử loãng. Đầu thế kỉ 20 (1924) khi từ công thức lý thuyết trong ngưng tụ Bose-Einstein dự đoán sẽ xuất hiện trạng thái BEC và mới chỉ nêu được tính chất cơ bản của nó. Đó là một khối các hạt đồng nhất và có spin nguyên, chúng đều ở trong cùng trạng thái cơ bản như nhau. Dừng lại ở đó cho tới khi chế tạo được BEC trong thực tế, một loạt tính chất quan trọng chưa từng biết đến trước đây đã được phát hiện. Đây là trạng thái của vật chất hoàn toàn mới, không giống với trạng thái vật chất nào mà con người được biết. Mối quan hệ giữa BEC và một phần vật chất thông thường cũng giống như mối quan hệ giữa một chùm laze và ánh sáng phát ra từ một bóng đèn điện. Ngưng tụ Bose-Einstein đã được quan sát thành công bằng thực nghiệm năm 1995, trong đó các nguyên tử ruby và natri được giam trongmột thể tích nhỏ nhờ một tù' trường và sau đó được làm lạnh xuống gần không độ tuyệt đối bằng laser. Đó là BEC từ khí Bose. Sau đó không lâu BEC từ khí Fermi cũng đã được thực nghiệm khẳng định. Phát kiến BEC đã mở ra một giai đoạn phát triến như vũ bão cả trong lĩnh vực lý thuyết cũng như thực nghiệm trong việc nghiên cứu các hiệu ứng lượng tử. Thực vậy, ngưng tụ Bose-Einstein được tạo thành thuần túy tù’ hiệu ứng lượng tử, dựa trên thống kê Bose-Einstein, vì thế nó được coi là vật chất lượng tử với các tính chất rất đặc biệt: là một chất lỏng lượng tử với tính kết họp rất cao như các tia laser. Trong một thập niên qua, nhờ sự phát triển hết sức tuyệt vời của các kỹ thuật dùng trong thực nghiệm để tạo ra khí siêu lạnh người ta đã tạo ra được trên thực nghiệm các BEC hai thành phần từ phân tử khí gồm hai thành phần khí khác nhau và điều quan trọng là có thể điều khiển được cường độ tương 1 tác giữa hai thành phần này để sinh ra một trạng thái bất kì theo ý muốn. Đây chính là một môi trường lý tưởng để kiểm chứng trong phòng thí nghiệm nhiều hiện tượng lượng tử khác nhau, chẳng hạn sự hình thành các xoáy Abrikosov, các vách ngăn giữa hai thành phần, các trạng thái soliton, các đơn cực. Sự ngưng tụ Bose-Einstein trong các khí loãng đã đưa ra những khả năng rất phong phú đế nghiên cứu các quá trình cơ học lượng tử cơ bản. Các chất lỏng lượng tử quen thuộc mà thực nghiệm đã phát hiện từ lâu là 3He và 4He. Hiện nay thực nghiệm cũng đã khắng định được các BEC cũng là chất lỏng lượng tử và trong điều kiện nhất định cũng có tính siêu lỏng.Từ đó phát triển một phương hướng nghiên cứu đầy triến vọng. Xuất phát từ việc tìm hiếu triển vọng ứng dụng BEC tôi lựa chọn đề tài “ Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách yếu ” 2. Mục đích nghiên cứu Trên cơ sở lý thuyết ngưng tụ Bose - Einstein nghiên cứu trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách yếu. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiếu “Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách yếu” xuất phát từ hệ các hạt đồng nhất, thống kê Bose-Einstein đối với các boso là những hạt có spin nguyên, phương trình Gross-Pitaevskii. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cún - Hệ khí Bose tương tác yếu một thành phần. - Các phương trình Gross-Pitaevskii. 5. Phương pháp nghiên cún - Đọc, tra cứu tài liệu. - Sử dụng thống kê cổ điển, lượng tử và các phép tính giải tích toán học - Phương pháp nghiên cứu lí luận - Phương pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giảng viên. 2 6. Bố cục của khóa luận - Chương 1: Tổng quan về ngưng tụ Bose - Einstein - Chương 2: Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách yếu. 3 CHƯƠNG 1 TỐNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN 1.1. Hệ hạt đồng nhất • Định nghĩa hệ hạt đồng nhất Neu các hạt có các đặc trưng như điện tích, khối lượng, Spin không phân biệt với nhau thì ta có một hệ N hạt đồng nhất. Hệ lý tưởng bao gồm các hạt đồng nhất. • Đặc điểm hàm sóng của hệ lý tưởng bao gồm các hạt đồng nhất. Nguyên lý Pauli Xét hệ gồm N hạt đồng nhất độc lập, tức là N hạt không tương tác. Haminton của hệ có dạng tống các Haminton của từng hạt, yv ZV yv /V yr H = H l + H 2 + H i +... + H„. ( 1 . 1) Giả sử ¥ là hàm sóng mô tả trạng thái của hệ, £ là năng lượng của hệ trong trạng thái đó, khi đó ¥ và E được xác định là hàm riêng và trị riêng tương ứng của toán tử H , tóc là được xác định bằng cách giải phương trình Schodinger. Phương trình hàm riêng và trị riêng cho toán tử H có dạng ( 1.2) Hàm sóng ) và năng lượng £nỉ của hạt ỉ được xác định từ phương trình (/=1,2,3....,AO các trạng thái Wni được gọi là trạng thái đơn hạt. Từ (1.1) và (1.2) ta thấy năng lượng của hệ phải bằng tống năng lượng của từng hạt, còn hàm sóng của hệ phải bằng tích hàm sóng của từng hạt 4 Khi viết biếu thức (1.3) ta chưa chú ý tới tính đồng nhất của các hạt, vì vậy hàm sóng có dạng (1.3) không phải là đối xứng và cũng không phải là phản đối xúng. Pauli đã chứng minh rằng hàm sóng của hệ các hạt boson (có spin nguyên) là đối xứng, còn hàm sóng của hệ các hạt fermion (có spin bán nguyên) là phản đối xứng. Hàm sóng vPs(X ,,X 2,....,X aỉ) gọi là đối xứng nếu nó không đối dấu khi ta hoán vị hai hạt i và k tùy ý ..........V ......... ..V J -M M A -......... , x t ,........ , x , ) . Hàm sóng vF s(Z ,,X 2,....,X tt) gọi là phản đối xứng, nếu nó đổi dấu khi ta hoán vị hai hạt / và k tùy ý ....................... ,X t ) = - T 5( X „ ........ ................ , x t ). Từ hệ các hàm sóng đơn hạt ( x¥ n ( x , ) , ^ ( j c 2),'P n (x3) ,...... ta có thể thiết lập hàm sóng của hệ có tính chất đối xứng hoặc phản đối xứng. Ta kí hiệu Nị là số hạt ở trạng thái , N 2 là số hạt ở trạng thái Ỹ ... Đối với hệ các hàm boson hàm sóng phải có dạng tính đối xứng đã chuấn hóa ■ ^ (^ ). (1-4) trong đó ^ là kí hiệu lấy tổng theo mọi hoán vị Uị và nk, NịĩN1,...,Nỵ là số (p) các hạt ở trong các trạng thái lượng tử nv n2,...,ns, N \ k tổng số hạt của hệ và thỏa mãn điều kiện N l + N ĩ +... + N s = N . 5 Ví dụ Xét trường họp hệ gồm hai hạt (N = 2), giả sử mỗi hạt có thể nằm trong trạng thái 'Pị hoặc ^ 2 . Khi đó hàm sóng đối xứng của hệ là = j j | V i ( * 1 ( *2) + V\ ( * 2 ) ^ 2 ( * 1 ) ] • Bây giờ ta thiết lập hàm sóng phản đối xứng. Ta dễ dàng thấy rằng hàm sóng phản đối xứng của hệ íermion độc lập là 'P . = ^ ,( • * 1 ) V » X x 2) ............ M * * ) VnM ) V n M i) ......... vẠ*») V n M i) ......... ^ .» ( x" ) (1.5) ■W\ nhận thấy rằng nếu hoán vị hai chỉ số bất kỳ Yiị và nk thì định thức trên sẽ đổi dấu và do đó hàm sóng cũng đổi dấu. Neu một hạt hoặc nhiều hạt ở cùng trong một trạng thái thì định thức sẽ chứa 2 hoặc nhiều cột giống nhau, do đó y/u = 0 tức là ở trạng thái đó thì hệ không tồn tại. Hàm sóng (1.5) thỏa mãn nguyên lý cấm của Pauli “trong mỗi trạng thái đơn hạt chỉ có tối đa một hạt fecmion”. 1.2. Làm lạnh nguyên tử Ngưng tụ Bose-Einstein được trích dẫn như một hiện tượng quan trọng trong nhiều lĩnh vực vật lí, nhưng cho đến gần đây chỉ có bằng chứng cho ngưng tụ đến tù’ nghiên cứu về Hêli siêu lỏng. Trong trường hợp của Hêli siêu lỏng, tương tác mạnh tồn tại trong chất lỏng làm thay đổi bản chất của quá trình chuyển đổi, mục đích lâu dài trong vật lí nguyên tử là đạt được BEC trong khí nguyên tử loãng, thách thức là làm mát khí tới nhiệt độ xung quanh hoặc dưới 1ỊLiK đồng thời ngăn chặn nguyên tò ngưng tụ trở thành chất rắn hoặc chất lỏng. Nỗ lực để có được ngưng tụ Bose bắt đầu với Hydro, trong thí nghiệm nguyên tử Hydro đầu tiên được làm lạnh trong tủ lạnh thành pha 6 loãng, sau đó bị mắc kẹt bởi một từ trường và tiếp tục làm mát bằng bay hơi, cách tiếp cận này đã tiến đến rất gần quan sát BEC, nhưng bị giới hạn bởi sự tương tác tái tổ hợp của từng nguyên tử với các phân tử cùng dạng và bị giới hạn bởi tính hiệu quả của việc phát hiện ngưng tụ. Những kĩ thuật làm mát bang laser, làm mát phân cực gradient và bẫy tù’ tính quang học đã được phát hiện để làm lạnh và bẫy nguyên tử. Những kĩ thuật này đã thay đối sâu sắc bản chất làm lạnh. Nguyên tử ở nhiệt độ dưới mK hiện nay thường được sử dụng trong một loạt các thí nghiệm, nguyên tử kiềm là rất thích hợp với các phương pháp dựa trên laser bởi vì quá trình có quang học có thể được kích thích bởi laser có sẵn và bởi chúng có thuận lợi là có cấu trúc mức năng lượng dễ làm mát ở nhiệt độ thấp, tuy nhiên nhiệt độ thấp nhất mà làm mát bang laser kĩ thuật có thể đạt được bị giới hạn bởi năng lượng photon đơn. Các con đường thành công để ngưng tụ Bose-Einstein là sự kết hợp hài hòa của phát triển kĩ thuật làm lạnh cho Hydro và kiềm, một kim loại kiềm bốc hơi lần đầu tiên làm lạnh và sau đó làm lạnh bằng bay hơi, làm mát bằng bay hơi nguyên tử, năng lượng cao được phép thoát ra khỏi mẫu nguyên tử vì vậy năng lượng trung bình của nguyên tử còn lại giảm. Sự va chạm đàn hồi làm phân bố năng lượng giữa các nguyên tử thay đối, phân bố vận tốc của các nguyên tử này tuân theo hình thức Maxwell-Boltzmann nhưng ở nhiệt độ thấp hơn, các mẫu nguyên tử được làm lạnh bởi nhiều bậc cường độ với nhược điểm duy nhất là số lượng của các nguyên tử bị mắc kẹt giảm. Thách thức trong việc làm mát cho kim loại kiềm là câu hỏi là: làm thế nào mật độ nguyên tử trong khi làm mát không thay đổi hoặc thay đổi không đáng kể, phương pháp quang học làm việc tốt nhất ở mật độ thấp, nơi mà ánh sáng laser không hấp thụ hoàn toàn mẫu nguyên tử. Mặt khác đòi hỏi phải có mật độ nguyên tử cao để đảm bảo làm mát nhanh chóng, cần sản xuất tỉ lệ va chạm đàn hồi cao, điều này phải đạt được trong một buồng chân không để kéo dài tuổi thọ của các khí bị mắc kẹt. 7 Cho bay hơi làm mát để làm việc, nguyên tử mất đi phải được cách li nhiệt từ môi trường xung quanh, điều này phải được thực hiện với các lĩnh vực điện, vì ở nhiệt độ cực lạnh nguyên tử dính ở tất cả các bề mặt, phương pháp tốt nhất cho chất kiềm là giam bằng từ trường. Sau khi nguyên tử bị mắc kẹt và làm lạnh bằng laser, tất cả ánh sáng được tắt và một điện thế được xây dựng xung quanh nguyên tử với một từ trường đồng nhất. Điều này hạn chế các nguyên tử chỉ ở trong một khu vực nhỏ của không gian. Nguyên tử chỉ có thể làm mát bằng bay hơi nếu thời gian cần thiết là ngắn hơn nhiều so với thời gian sống của một nguyên tử trong bẫy, điều này đòi hỏi một cái bẫy giam kín chứa mật độ cao. Các thí nghiệm lần đầu tiên quan sát BEC là sử dụng bẫy cực từ tuyến tính. 1.3. Thống kê Bose-Einstein Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở trạng thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt. Xuất phát từ phân bố chính tắc lượng tử ( 1.6 ) trong đó Ek là năng lượng của hệ ở trạng thái k, y/ và 6 là các thông số của phân bố, gk là độ suy biến là độ suy biến của mức năng lượng Ek. Neu hệ gồm các hạt không tương tác thì ta có 00 (1.7) 1=0 ở đây, Sị là năng lượng của một hạt riêng lẻ của hệ, nl là số chứa đầy mức £ị tức là số hạt trong hệ có cùng năng lượng £j. Số hạt trong hệ có thể nhận giá trị từ 0 —» 00 với xác suất khác nhau. Độ suy biến gk trong (1.6) sẽ tìm được bằng cách tính số các trạng thái khác nhau về phương diện vật lý ứng với cùng một giá trị Ek. Vì số hạt trong hệ không 8 phải là bất biến nên tương tự như trường hợp thống kê cổ điển thay thế cho phân bố chính tắc lượng tử ta có thể áp dụng phân bố chính tắc lớn lượng tử hay phân bố Gibbs suy rộng. Phân bố chính tắc lớn lượng tử có dạng 00 Q + juN 1=0 W, = ——exp * Nl в ( 1 .8 ) 00 trong đó N = , Q là thế nhiệt động lớn, /LI là thế hóa học. Sở dĩ có thừa /=0 số — xuất hiện trong công thức (1.8) là vì có kể đến tính đồng nhất của các hạt và tính không phân biệt của các trạng thái mà ta thu được do hoán vị các hạt. Kí hiệu (1.9) thì (1.8) được viết lại như sau fi + £ r e , (/< -£ ,) Wk = exp 1=0 ( 1. 10) в Từ đây ta có hai nhận xét về công thức (1.10) như sau: Một là vế phải của (1.10) có thể coi là hàm của các nt nên ta có thể đoán nhận công thức đó như là xác suất đế cho có n0 hạt nằm trên mức s ữ, Щ hạt nằm trên mức Sị, nghĩa là, đó là xác suất các số chứa đầy, và ta viết lại nó như sau oo Cl + Ỵ ^ n ^ - s , ) W(/20,/7,,...) = exp 1=0 ______________________ в 9 Từ đó theo lý thuyết xác suất ta có thể tìm được số hạt trung bình nằm trên các mức năng lượng bất kỳ đối với các thống kê lượng tử khác nhau 00 n + Z " < { v ~ si) 1=0 ” í = X Z - " * w ( " o- ” i - ) = «0 «I exp «0 «I ___________ G(w0,wp ...). Hai là đại lượng G(/Îü,/Î1,...)xuat hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện các trạng thái vật lý mới hoán vị (về tọa độ) các hạt. Đối với hệ boso và hệ fecmion, tức là hệ được mô tả bằng hàm sóng đối xứng và phản đối xứng, thì các phép hoán vị đều không đưa đến một trạng thái vật lý mới nào cả, bởi vì khi đó hàm sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu, hoặc đổi dấu nghĩa là diễn tả cùng một trạng thái lượng tử. Do đó đối với các hạt boso và hạt fecmion ta có G( w0, = 1, (1.11) nhưng trong thống kê Mawsxoen - Bonzoman, khi mà các hạt hoán vị có thể xuất hiện trạng thái mới, ta có 1 G (« 0, • ( 1. 12) Tìm gt Trong phân bố Macxoen-Bonzoman tất cả các phép hoán vị khả dĩ của tọa độ của các hạt đều sẽ cho ta các trạng thái mới trừ các phép hoán vị của các tọa độ của các hạt có cùng một năng lượng £{. Do đó số tổng cộng các trạng thái khác nhau về phương diện vật lý sẽ bằng số hoán vị tống cộng Nỉ chia cho số hoán vị trong các nhóm có cùng năng lượng tức là chia cho nữ\nx!.... Khi đó N\ n0 \ n ! Tì 10 thay giá trị của gk vào (1.9) ta thu được (1.12). Đe tính trị trung bình của các số chứa đầy (số hạt trung bình nằm trên mức năng lượng khác nhau) ta gắn cho đại lượng JU trong công thức (1.10) chỉ số /, tức là ta sẽ coi hệ ta xét hình như không phải chỉ có một thế hóa học jn t . Và cuối phép tính ta cho JU mà có cả một tập hợp thế hóa học J U = ỊẤ . Khi đó điều kiện chuẩn hóa như sau (1.13) với oc 1=0 __________ z = X Z exP nghĩa là (1.14) e Q = -ớ ln z . Đạo hàm của Q theo /uk dựa vào (1.14) và (1.15) GO ỠQ — £ị) 1 ÕZ = - ớ —— = - 2 , 2 , ~ ' v exP z õfik 1=0 ____________ 6 >G(n0nv ..). (1.16) Nếu trong biếu thức (1.10) ta đặt juk = // thì theo (1.10) vế phải của công thức (1.15) có nghĩa là giá trị trung bình của số chứa đầy nk tức là ta được ỠQ nk = - =M (1.17) Đối với hệ hạt boson, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kỳ (từ 0 —^°o) và ơ(w 0w,...) = 1 do đó theo (1.14) ta có 11 00 00 ® ^ j ni { M l ~ £l) z = Z Z - exp — Ơ f = n Z exp 1=0 /1=0 I ' h -zli' n 0 (1.18) n/=0 J ________ 1- exp ịlị —sị r * 7 khi đó n =ớ |ln [l-e x p |^ Ị' (1.19) Theo (1.12) ta tìm được phân bố của các số chứa đầy trung bình 1 n, = exp ( 1-20) \ 1 [ o r (1.20) là công thức của thống kê Bose-Einstein. Thế hóa học // trong công thức này được xác định từ điều kiện 00 (1.21) ỵ * ,= N . 1=0 1.4. Trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein đối với khí boso lý tưởng Theo công thức của thống kê Bose-Einstein, số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng từ s đến e + d e là bằng dn{s) = exp dN (s) £ —jj (1.22) -1 trong đó (ỈN(s) là số các mức năng lượng trong khoảng từ £ đến s + c ỉs . Ta đi tìm d N ( s ) . Theo quan điếm lượng tử, các hạt Boson chứa trong thể tích V có thể xem như các hạt sóng dừng De Broglie. Vì vậy có thể xác 12 ÔN k 2V đinh dN (s) băng cách áp dung công thức dN(k) = ——dk = - —T-dk cho ta sô õk 2n các sóng dừng có chiều dài (mô đun) của vecto k từ k đến k + d k k 2dk dN{k) = ^_zỉz_y In (1.23) Theo hệ thức De Broglie giữa xung lượng p và véctơ sóng k p = hk (1.24) Ta có thể viết công thức (1.23) dưới dạng dN(p) =^ ĩV 2/Ttỉ ( 1.25) Nhưng đối với các hạt phi tương đối tính 2 s = -!— 2m (1.26) Từ đó p 2dp = 'J ĩn ĩẼ d e (1-27) dN(£) =^Ẹ^-Jẽd£ ( 1.28) do đó theo (1.25) ta được 2x h Bởi vìcác hạt có thể định hướng spin khác nhau, chonên sốtrạng thái khả dĩ ứng với cùng giá trịcủa spin 5 của hạt g = 2s +1. Do đó, sốcác mức năng lượng trong khoảng 8 đến € + d s bằng d N (s) = ^ ộ ^ - s f ẽ d e 2 jĩ ti (1.29) Như vậy theo công thức (1.2) số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng từ s đến s + d s 13 dn{€)= 4 ĩ^ v g 2/r2ft3 'Ịẽ d e \ s - ju\ (1.30) “ p{ 9 } ■ ' VÌ số hạt toàn phần là N , cho nên ta có phương trình sau đây 00 yY= J cln{s) = 4 ĩ m ĩVg r y/sdi í 0 ( 1.31) Phương trình này về nguyên tắc cho ta xác định thế hóa học ỊẤ . Ta xét một số tính chất tổng quát của thế hóa học ju đối với khí Bose lí tưởng. Đầu tiên ta chứng minh rằng JU < 0 (1.32) Thực vậy, hạt trung bình dn (s) chỉ có thể là một số dương, do đó, theo (1.30), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu ở (1.30) là luôn luôn dương (nghĩa là khi JU< 0 , để cho e x p ị———ị luôn luôn nhỏ hơn 1 với mọi giá trị của s ). Tiếp theo chúng ta có thế chứng minh rằng, JU giảm dần khi nhiệt độ tăng lên. Thực vậy, áp dụng quy tắc lấy vi phân các hàm ấn vào (1.31), ta được 0 , do đó các biểu thức dưới dấu tích phân ở vế phải của (1.33) là luôn luôn dương với mọi giá trị của £ , và vì vậy 14 ậ£ Omô tả tương tác giữa các cặp hạt trong mỗi 27TỲ12an (mx+m 2) thành phần ngưng tụ, #12 = mô tả tương tác giữa các hạt m,m2 trong hai thành phần ngưng tụ, mj là khối lượng của một hạt; ữjj, a]2 là chiều dài tán xạ sóng s, Vcxt ( r ) là thế năng tương tác ngoài. Từ Hamiltonian (2.11) chúng ta có hệ phương trình Gross-Pitaevskii cho hàm sóng ngưng tụ ih õl//' ôt ih 2 m, r n 2V 2 ẽt 2 m, + V\(r) + gịị \y/\ + g |2|^ 2| + v ,( r ) + g u \iỵl\2+ g n \iỵ1\ Vì. W\ (2.2) Chúng ta quan tâm đến nghiệm dừng của hệ phương trình (2.2). Giả sử rằng ĩpj oc exp(—iịijt), ở đâyfij là thế hóa học, chúng ta thu được hệ phương trình phi tuyến cho mật độ khí Tij(r) = \'ộj('ĩ')\2 h M \ — 0 2 2 m, I-^2, 17 + S\ \ n \ ■*" £ 12^2 h /^2 2 0 2m9 v 2 ^ 7 f— Jn0 T 7 ~l~ ^2 V ) £22^2 £ 12 ^ 1 ( 2 .3 ) 2.2. Lời giải của phương trình Gross - Pitaevskii trong trường họp phân tách yếu Đe tìm nghiệm của (2.3) chúng ta cần phải làm một vài biến đổi. Giả sử rằng Vị (r) = V2 (r) = 0 và xét trường họp khi độ lớn của biên giữa các ngưng tụ nhỏ hơn nhiều độ dài đặc trưng của bẫy thế năng. Trong trường hợp này bẫy thế có dạng parabol, điều này nghĩa là d « RTF , ở đây d là độ lớn của biên và Rt f là bán kính Thomas - Fermi của đám mây điện tử. về phương diện vật lý, nó giúp ta loại bỏ ảnh hưởng của thế năng tới hình dạng của biên. Đe việc tính toán đon giản hơn nữa, chúng ta cũng giả sử rằng sự phân tách chỉ diễn ra theo một chiều O z . Như vậy (2.3) được viết lại dưới dạng sau h2 d2 I- (2.4) Mặc dù, thế năng tương tác ngoài không xuất hiện trong (2.4) nhưng chúng ta vẫn phải xét đến các điều kiện ngoài lên nghiệm của hệ, trong các biến đổi vẫn tính đến các yếu tố này. Ở trên chúng ta giả sử sự phân tách diễn ra dọc theo trục O z , và gọi ngưng tụ bên phải mặt phân cách là “ 1”, ngưng tụ bên trái mặt phân cách là “2”. Như vậy, các điều kiện biên sẽ là «! ( z - » + 00 ) - » n 10, n , ( z —> - O o ) (2.5) trong đó nị0, n20 là mật độ cân bằng của ngưng tụ khi ở xa biên. 18 Hệ phương trình trong (2.4) có thể viết lại dưới dạng sau ế2 d \ -TT- + (S y/ ì + z « V2 m---: dzẨ Jr J )¥, .(2 .6) Trong gần đúng Thomas - Fermi chúng ta có M j¥ j = (8 jì ¥ i 2+ 5 (2 .7) W: )Vj nhân trái hai vế phương trình (2.7) với ròi thực hiện lấy tích phân trong toàn miền r J A = J dry'j ( g M\ựí |2 + g , IV,- cuối cùng chúng ta được (2.8) V i = Siini + S ii n i Khi ở xa mặt phân cách, kết họp với điều kiện (2.5) ta có biểu thức sau —£h^10’/^2 —§22^20 (2.9) Áp suất của mỗi thành phần ngưng tụ được cho bởi công thức ^ * õ y /■ h 2 _ |2 £ jị y/ 4 p. = ihlự _ — Vỉ//. - V -ìự . —j 7 dt 2m. 77 Hàm sóng có thể viết dưới dạng tl>j = y / r q é * , chúng ta tách = Ílj0 + ổ n j , ậ J = Ề J Ễ J lt + 5 ệ l Do đó, hàm sóng được viết lại 19 (2 .10) i = J I------n J0 + ổ5 n-j e (v - ^ H (2.11) = rij0 + ỏĩij. Và Từ (2.11) chúng ta có _ gjjnjữ r ,— d t =~ h ~ ^ H l ữ ì (2-12) Ngoài ra, đạo hàm bậc nhất của ỗ ộ j thỏa mãn ÔSỘ. n - ^ - + g JjS n J = 0 . (2.13) Thay (2.11) vào (2.10) và chú ý tới (2.13) chúng ta được (2.14) Khi ở xa mặt phân cách ỗrij = 0 nên Xuất phát từ phương trình Young - Laplace p ' - p’ - “ ( à + i } trong trường hợp này R} = R2 00 nên Pị = P2 . Như vậy Đe làm giảm các tham số trong công thức (2.4) chúng ta phải loại bỏ sự khác nhau của khối lượng bằng cách thay đổi * [...]... ca khớ Bose s nm mc nng lng thp nht (nng lng khụng) v cỏc ht cũn li s c phõn b trờn cỏc mc khỏc theo nh lut e x p {|-l Hin tng m chỳng ta va mụ t, trong ú, mt s ht ca khớ Bose chuyn xung mc nng lng khụng v hai phn ca khớ Bose phõn b khỏc nhau theo nng lng c gi l s ngng t Bose nhit khụng tuyt i ( T = 0) tt c cỏc ht ca khớ Bose s nm mc khụng 16 CHNG 2: TRNG THI c BN CA NGNG T BOSE EINSTEIN HAI THNH... ca hai thnh phn ngmg t trong phõn tỏch yu A = 0.1,or = 0 ng nột lin ng vi Wj, ng nột t ng vi n2 Nhỡn vo hỡnh 2.1 chỳng ta thy dng ca rc, v n2 hon ton phự hp vi cỏc iu kin biờn 28 KT LUN Vi ti Trng thỏi c bn ca ngng t Bose- Einsten hai thnh phn phõn tỏch yu em ó hon thnh c bn vic nghiờn cu cỏc vn sau: - Tng quan v ngng t Bose- Einstein: xõy dng thng kờ BoseEinstein cho h ht ng nht, t ú a ra ngng t Bose- Einstein. .. (1.19) Theo (1.12) ta tỡm c phõn b ca cỏc s cha y trung bỡnh 1 n, = exp ( 1-20) \ 1 [ o r (1.20) l cụng thc ca thng kờ Bose- Einstein Th húa hc // trong cụng thc ny c xỏc nh t iu kin 00 (1.21) * ,= N 1=0 1.4 Trng thỏi ngng t Bose - Einstein i vi khớ boso lý tng Theo cụng thc ca thng kờ Bose- Einstein, s ht trung bỡnh cú nng lng trong khong t s n e + d e l bng dn{s) = exp dN (s) Ê jj (1.22) -1 trong ú (N(s)... 2.1 Mụ t h Phng trỡnh Gross - Pitaevskii Trong ngng t Bose - Einstein hai thnh phn phõn tỏch yu, toỏn t Hamilton mụ t h cú th c vit di dng sau h2V 2 Ê v } 2 j=1,2 2 J J Ơ, + g i2\ d rƠ * Ơ l Ơ iƠ i , (2.1) trong ú, g Ji= 4 x h 2aj j / m j > Omụ t tng tỏc gia cỏc cp ht trong mi 27T12an (mx+m 2) thnh phn ngng t, #12 = mụ t tng tỏc gia cỏc ht m,m2 trong hai thnh phn ngng t, mj l khi lng ca mt ht; jj, a]2... quan v ngng t Bose- Einstein: xõy dng thng kờ BoseEinstein cho h ht ng nht, t ú a ra ngng t Bose- Einstein i vi khớ Boso lý tng - Phng trỡnh Gross-Pitaevskii ph thuc thi gian - Phng trỡnh Gross-Pitaevskii khụng ph thuc thi gian - Li gii ca phng trỡnh Gross-Pitaevskii - Trng thỏi c bn ca ngng t Bose- Einstein hai thnh phn phõn tỏch yu - Tớnh s cho mt trng hp c th a = 0, A = 0.1 ng vi slRb 29 ... hi nu thi gian cn thit l ngn hn nhiu so vi thi gian sng ca mt nguyờn t trong by, iu ny ũi hi mt cỏi by giam kớn cha mt cao Cỏc thớ nghim ln u tiờn quan sỏt BEC l s dng by cc t tuyn tớnh 1.3 Thng kờ Bose- Einstein i vi cỏc h ht ng nht, chỳng ta khụng cn bit c th ht no trng thỏi no m ch cn bit trong mi trng thỏi n ht cú bao nhiờu ht Xut phỏt t phõn b chớnh tc lng t ( 1.6 ) trong ú Ek l nng lng ca h ... laser cú sn v bi chỳng cú thun li l cú cu trỳc mc nng lng d lm mỏt nhit thp, tuy nhiờn nhit thp nht m lm mỏt bang laser k thut cú th t c b gii hn bi nng lng photon n Cỏc con ng thnh cụng ngng t Bose- Einstein l s kt hp hi hũa ca phỏt trin k thut lm lnh cho Hydro v kim, mt kim loi kim bc hi ln u tiờn lm lnh v sau ú lm lnh bng bay hi, lm mỏt bng bay hi nguyờn t, nng lng cao c phộp thoỏt ra khi mu... lý thuyt xỏc sut ta cú th tỡm c s ht trung bỡnh nm trờn cỏc mc nng lng bt k i vi cỏc thng kờ lng t khỏc nhau 00 n + Z " < { v ~ si) 1=0 ớ = X Z - " * w ( " o- i - ) = ô0 ôI exp ô0 ôI _ G(w0,wp ) Hai l i lng G(/ẻỹ,/ẻ1, )xuat hin vỡ ta k n kh nng xut hin cỏc trng thỏi vt lý mi hoỏn v (v ta ) cỏc ht i vi h boso v h fecmion, tc l h c mụ t bng hm súng i xng v phn i xng, thỡ cỏc phộp hoỏn v u khụng... (1.8) l vỡ cú k n tớnh ng nht ca cỏc ht v tớnh khụng phõn bit ca cỏc trng thỏi m ta thu c do hoỏn v cỏc ht Kớ hiu (1.9) thỡ (1.8) c vit li nh sau fi + Ê r e , (/< -Ê ,) Wk = exp 1=0 ( 1 10) T õy ta cú hai nhn xột v cụng thc (1.10) nh sau: Mt l v phi ca (1.10) cú th coi l hm ca cỏc nt nờn ta cú th oỏn nhn cụng thc ú nh l xỏc sut cho cú n0 ht nm trờn mc s , ht nm trờn mc S, ngha l, ú l xỏc sut cỏc s... xa biờn 18 H phng trỡnh trong (2.4) cú th vit li di dng sau 2 d \ -TT- + (S y/ ỡ + z ô V2 m -: dz Jr J )Ơ, (2 6) Trong gn ỳng Thomas - Fermi chỳng ta cú M jƠ j = (8 jỡ Ơ i 2+ 5 (2 7) W: )Vj nhõn trỏi hai v phng trỡnh (2.7) vi rũi thc hin ly tớch phõn trong ton min r J A = J dry'j ( g M\ớ |2 + g , IV,- cui cựng chỳng ta c (2.8) V i = Siini + S ii n i Khi xa mt phõn cỏch, kt hp vi iu kin (2.5) ta cú ... BEC tụi la chn ti Trng thỏi c bn ca ngng t Bose - Einstein hai thnh phn phõn tỏch yu Mc ớch nghiờn cu Trờn c s lý thuyt ngng t Bose - Einstein nghiờn cu trng thỏi c bn ca ngng t Bose - Einstein. .. ngng t Bose- Einsten hai thnh phn phõn tỏch yu em ó hon thnh c bn vic nghiờn cu cỏc sau: - Tng quan v ngng t Bose- Einstein: xõy dng thng kờ BoseEinstein cho h ht ng nht, t ú a ngng t Bose- Einstein. .. khụng v hai phn ca khớ Bose phõn b khỏc theo nng lng c gi l s ngng t Bose nhit khụng tuyt i ( T = 0) tt c cỏc ht ca khớ Bose s nm mc khụng 16 CHNG 2: TRNG THI c BN CA NGNG T BOSE EINSTEIN HAI