Khoá luận tốt nghiệp sức căng mặt ngoài của ngưng tụ bose einstein

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ PHẠM THANH NHÀN sức CĂNG MẶT NGOÀI c CỦA NGƯNG TỤ BOSE EINSTEIN Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết ĐÈ CƯƠNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • Ngưòi hưóng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN THỤ HÀ NỘI 2015 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học TS. Nguyễn Văn Thụ, thầy đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và nghiêm khắc hướng dẫn em để em có thể hoàn thành khóa luận này. Trong quá trình học tập, trưởng thành và đặc biệt là giai đoạn thực hiện khóa luận, em nhận được sự dạy dỗ ân cần, những lời động viên và chỉ bảo của các thầy cô. Qua đây cho phép em bày tỏ sự biết ơn chân thành tới các thầy cô trong tố lý thuyết, khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Xin chân thành cảm ơn các bạn trong nhóm chuyên đề: “Ngưng tụ Bose - Einstein”, những người đã cùng em san sẻ kiến thức, hun đúc quyết tâm và cộng tác hiệu quả trong quá trình thực hiện khóa luận. Một lần nữa em xỉn chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2015 Sinh viên Phạm Thanh Nhàn LỜI CAM ĐOAN Khóa luận và những nghiên cứu của em dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc của thầy TS Nguyễn Văn Thụ. Bên cạnh đó em cũng được sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Vì vậy em xin cam đoan nội dung của đề tài Sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose - Einstein” là kết quả nghiên cứu, thu thập của riêng em. Các kết quả trong đề tài là trung thực, không có sự trùng lặp vói các đề tài khác. Hà Nội, thảng 5 năm 2015 Sinh viên Phạm Thanh Nhàn MỤC LỤC MỞ Đ Ầ U ............................................................................................................................ 1 CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT CHUNG VỀ NGƯNG TỤ BOSE - E IN ST E IN . 3 1.1. Hệ hạt đồng nhất................................................................................................... 3 1.2. Thống kê Bose - Einstein................................................................................... 4 1.3.Ngưng tụ Bose - Einstein đối với khí Bose lý tưởng.................................... 8 1.4. Quá trình thực nghiệm hình thành một ngưng tụ Bose - Einstein.15 CHƯƠNG 2: SỨC CĂNG M ẶT NGOÀI CỦA N G ƯNG TỤ BOSEE IN S T E IN .......................................................................................................................16 2.1. Hệ phương trình Gross - Pitaevskii hai thành phần.................................... 16 2.2 Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách mạnh............................................................................................................................... 18 2.3 Khái niệm về sức căng mặt ngoài.................................................................... 24 2.4. Sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách mạnh......................................................................................................................28 KÉT L U Ậ N ..................................................................................................................... 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 34 MỎ ĐẦU 1.Lý do chọn đề tài Vàođầu thế kỉ 20, Bose gửi một bài báođến Einstein về thống kê lượng tử của lượng tửánh sáng. Einstein sau đó mởrộng ý tưởng của Bose cho hệ hạt vật chất trong hai bài báo sau đó. Những nỗ lực của Bose và Einstein cho kết quả về khái niệm khí Bose trong khuôn khổ lý thuyết thống kê Bose - Einstein, miêu tả phân bố thống kê của những hạt đồng nhất với spin nguyên, mà sau này Paul Dirac gọi là các boson.Nóđã tạo ra một bước ngoạt mới trong nghiên cứu hệ lượng tử. Khi từ công thức lý thuyết trong ngưng tụ Bose-Einstein dự đoán sẽ xuất hiện trạng thái BEC và mới chỉ nêu được tính chất cơ bản của nó. Ke từ đó tiên đoán của Einstein đã đượcứng dụng giải thích các hiện tượng vật lý như hiện tượng siêu dẫn, siêu chảy,... và thu hút được rất nhiều nhà vật lý trên thế giới quan tâm. Cho đến nay, có tất cả 13 nguyên tố đã được làm cho ngưng tụ.Vào năm 2001, Eric Cornell, Wolfgang Ketterle và Carl Wieman đã giành Giải Nobel Vật lí cho việc tạo ra ngưng tụ Bose-Enstein đầu tiên. Nguyên tố mới nhất được làm ngưng tụ làerbium, lầnđầu tiên được tạo ra ở Innsbruck. Những phát minh này đã mở ra các công nghệ mới cho khoa học. Chính vì những lí do trên màtôi chọn đề tài“ Sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose - Einstein”. 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứusức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose - Einstein. 3. Đối tượng nghiên cứu -Ngưng tụ Bose - Einstein trong khí một thành phần và hai thành phần. 1 4. Phưong pháp nghiên cứu - Đọc, tra cứu tài liệu. -Sử dụng thống kê cổ điển, lượng tử và các phép tính giải tích toán học - Phương pháp nghiên cứu lí luận 5. Bố cục của khóa luận - Chương 1: Lý thuyết chung về ngưng tụ Bose - Einstein - Chương 2: Sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose - Einstein 2 CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT CHUNG VÊ NGƯNG TỤ BOSE EINSTEIN Trong chương này giới thiệu phần lý thuyết để mô tả ngưng tụ Bose Einstein. Đầu tiên một số khái niệm về thống kê bose được trình bày trên cơ sở khí bose lý tưởng trong khuôn khố của môn cơ học lượng tử sẽ đượcáp dụng để xử lý vàáp dụng cho thống tương tác nhiều hạt. Cụ thểáp dụng thống kê Bose - Einstein để tìm ra tính chất ngưng tụ Bose - Einstein của các boson. 1.1. Hệ hạt đồng nhất. Hệ hạt đồng nhất được hiểu là hệ gồm các hạt có các đặc trưng nhưđiện tích, khối lượng, spin,... không phân biệt được với nhau. Trong một hệ như thế, làm thế nào có thể phân biệt được hai hạt với nhau? Trong vật lý cổđiển đối với trường hợp tương tự người ta có thể phân biệt các hạt theo các trạng thái của chúng, nghĩa là nêu ra các tọa độ và xung lượng của từng hạt. Nhưng biện pháp này không thếáp dụng được trong cơ học lượng tử. Chang hạn hai electron ở thờiđiểm đầu có thể phân biệt được bằng cách đặt chúngở hai hố thế khác nhau, cách nhau bởi một “ rào thế ”, thì do hiệuứng đường hầm, theo thời gian, các electron có thế trao đối các trạng thái cho nhau và việc phân biệt hai electron mất hếtý nghĩa. Tính không phân biệt được các hạt đồng nhất theo các trạng thái trong cơ học lượng tử dẫn tới nguyên lý về tính đồng nhất: Trong hệ các hạt đổng nhất chỉ tồn tại những trạng thái không thay đôi khỉ đổi chỗ các hạt đồng nhất cho nhau. Dựa vào tính chất có spin nội tại người ta chia hệ hạt đồng nhất thành hai nhóm cụ thể là: Hệ fecmion: hệ này bao gồm các hạt fecmi, đó là các hạt có spin bán nguyên 13 ví dụ như electron, proton, neutron,... Hệ này bị chi phôi 3 bởinguyên lý loại trừ Pauli: “hai fermion cùng loại không bao giờ được tìm thấy ở tại cùng một vị tr í”. Nguyên lý này được rút ra từ tính phản đối xứng của hàm sóng của các Fermion. Hệ boson: hệ này bao gồm các hạt bose, đó là các hạt có spin nguyên 1,2,...; ví dụ như photon, phonon,... Hệ này không bị chi phối bởi nguyên lý loại trừ Pauli, các boson có thể tìm thấyở cùng một vị trí. Do hệ Boson tuân theo thống kê Bose - Einstein nên người ta đãáp dụng thống kê Bose - Einstein tìm được tính chấtđiển hình của boson là ngưng tụ Bose - Einstein trong đó nhiều hạt giống nhau đóng vai trò như nhau như một hạt - điều mà các fermion nằm tại các vị trí khác nhau không làm được. 1.2. Thống kê Bose - Einstein. Trong khi tìm các phân bố chính tắc lượng tử và phân bo Maxwell Bolzoman lượng tử chúng ta chưa chúý đến toàn bộ đặc tính của hệ lượng tử như tính đồng nhất như nhau của các hạt vi mô, tính đối xứng của hàm sóng. Neu chúý đến toàn bộ đặc tínhđó chúng ta sẽ tìm ra loại thống kê quan trọngđó là thống kê Bose - Einstein. Đe tìm ra loại thống kêđó sẽ xuất phát từ phân bố chính tắc lượng tử: ( 1. 1) trong âỏEk là năng lượng của hệở trạng thái k, Vị/ và0 là các thông số của phân bố, Qỵ là độ suy biến của mức năng l ư ợ n g ^ . Neu hệ gồm các hạt không tương tác thì ta có: ( 1.2 ) Ek - n l £l 1=0 trong đó Eị là năng lượng của một hạt riêng lẻ của hệ, 71/ là số chứa đầy tức là số hạt có cùng mức năng lượng q. 4 số hạt trong hệ có thế nhận các giá trị từ 0—>00 . Độ suy biếng^ trong công thức (1.6) sẽ tìm được bằng cách tìm số các trạng thái khác nhau về phương diện vật lýứng với cùng một giá trị năng ẢuợngEk, đó chính là số các hoán vị của các hát tương ứng với các trạng thái mới. Vì số hạt trong hệ không phải là bất biến nên tương tự như trong thống kê cổđiển, thay thế cho phân bố chính tắc lượng tử ta phải dùng phân bố chính tắc lớn lượng tử. Phân bố chính tắc lớn lượng tử có dạng: Í co n + JUN - 2^ \ (1.3) Щ £t i g k 1=0 ' Trong đó (1.4) oo w=2> 1=0 Q là thế nhiệt động lớn, JUlà thế hóa học. Kí hiệu GO.0. » ! - . ) = S I ( l '5) Thì (1.3) được viết lại như sau: w (tIq, ĩlị ... ) (1.6) (7 2+ ỵỉ°=on i ( ự - £Ù = e x p ị -------------- Q------------- 0 (710, 71! ...) Nhận xét: Một là vế phải của (1.6) có thể coi là hàm củaП/ nên ta có thểđoán nhận công thứcđó như là xác suất để cho nó córiQ hạt nằm trên mức£o, П/ hạt nằm trên mức£ /...nghĩa là, đó là xác suất các số chứa đầy; do đó ta có thể tìm được số hạt trung bình nằm trên các mức năng lượng: nk = v v . „ 2^ 2_ , w n0 nx .. > V V .... f í 2 + 2 / = 0 n ( < > - 3 )1 .. 4 (n 0' n i - ) = 2 j Z j exp I ----------- в ------------- Ị G(no . " i •••) n0 n1 5 ( 1.7 ) Hai làđại lượngG (no,rii...) xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện các trạng thái vật lý mới khi hoán vị( về tọa độ) các hạt. Đối với hệ các hạt Boson và các hạt Fermion được mô tả bởi hàm sóng đối xứng và phản đối xứng thì các phép hoán vị đều không đưa đến một trạng thái vật lý mới nào của hệ, khi đó hàm sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu hoặc đổi dấu nghĩa là diễn tả cùng một trạng thái lượng tử. Nên, đối với hệ các hạt Boson và hạt Fermion ta có: 0(710,71!...)= 1 (1.8) Trong thống kê Maxwell Bolzoman, khi mà các hạt là khác biệt nhau về phương diện hoán vị tọa độ, ta có G(n 0, n ị . . . ) ( 1.9 ) 1 ĩlQÌĩlịì ... Từđó tìmg^: Trong thống kê Maxwell Bolzoman tất cả các phép hoán vị khả dĩ của các tọa độ của các hạt( tức là N!) đều sẽ cho các trạng thái mới, trừ các phép hoán vị của các tọa độ của các hạt có cùng một năng lượngé}. Do đó, số tổng cộng các trạng thái khác nhau về phương diện vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng n! chia cho số hoán vị trong các nhóm có cùng năng lượng, tức là: 9k ~ ( 1. 10) N\ Ị Ị ĩiQinil ... Thay giá trịđó củagỵ vào (1.5) ta thu được (1.9). Đe tính trị trung bình của các số chứa đầy ta gắn cho đại lượng// trong công thức (1.10) chỉ số 1, nghĩa là ta coi rằng hệ taxét hình như không phải chỉ có một thế hóa học// mà có cả một tậphợp các thế hóa họcỊẦV Và cuối phép toán ta sẽ đặt tất cả các/Ẩị bằng nhau và bằng//. Khi đó ta cóđiều kiện chuẩn hóa: 6 ^ ^ 14/( 710, 71! , . . . ) = exp|^Ịz = 1 n 0 ĩlị Trong đó = Z Z exp( n0 n x ĩ>r=on i (Mi - £Ù e ( 1. 12) GiiĩQ.nị ...) Nghĩa làQ = -01nZ. Ta xétđạo hàm củaQ theo juk : ÔQ d ịik 1 âl = -0 z ânk (^+ĩ,ĩ=oniifii ~ £ủ ) V V = - 2_, - nkxexpi------ ị------ 1G(n0'ni-) ( • 3) n 0 nj nếu trong biếu thức (1.6) ta đặt//j = Jiỉ, thì theo (1.9), vế phải của công thức (1.13) cóý nghĩa là giá trị trung bình của số chứa đầyttk, nghĩa là: nk = - díì = ụ dVk (1.14) Đối với hệ hạt Boson, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kì (O^-oo) và G(ĩiQ,ni...) = 1, cho nên theo (1.12) ta có: f li" oni o í - £1) ì z = Z Z e exp Ị : n0 n1 oo oo = n Ị > p { ( O; - sl) 1=0 71=0 0 n (1.15) 00 “ ỏ1=0- - 1 —- e x p 1 Từđó: 7 CO n= ữ ị m ị l-e x p № Ợ ± ] (1.16) 1=0 Theo (1.14) ta tìm được phân bố của các số chứa đầy trung bình: 1 (1.17) Đó là công thức của thống kê Bose - Einstein. Thế hóa học// trng phân bố (1.17) được xácđịnh từđiều kiện 00 (1.18) 1=0 Khi đó hàm phân bố năng lượng có dạng: g{è ) (1.19) 1.3.Ngưng tụ Bose - Einstein đối với khí Bose lý tưởng. Ngưng tụ Bose-Einstein (BEC - Bose-Einstein condensation) là một trạng thái vật chất của khí boson loãng bị làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ không tuyệt đối ( hay rất gần giá trị 0 K hay -273° c ) . Dưới những điều kiện này, một tỷ lệ lớn các boson tồn tại ở trạng thái lượng tử thấp nhất, tại điểm mà các hiệu ứng lượng tử trở nên rõ rệt ở mức độ vĩ mô. Những hiệu ứng này được gọi là hiện tượng lượng tử mức vĩ mô. Hiện tượng này được Einstein dự đoán vào năm 1925 cho các nguyên tử với spin toàn phần có những giá trị nguyên. Dự đoán này dựa trên ý tưởng về một phân bố lượng tử cho các photon được đưa ra bởi Bose trước đó một năm để giải thích phổ phát xạ hà hấp thụ của các vật đen tuyệt đối. Einstein sau đó mở rộng ý tưởng của Bose cho hệ hạt vật chất. Những lỗ lực của Bose và Einstein cho kết quả về khái niệm khí Bose trong khuôn khố lý thuyết thống kê Bose-Einstein, miêu tả phân bố thống kê của những hạt đồng nhất với spin nguyên, mà sau này Paul Dirac gọi là các boson. 8 Các hạt boson bao gồm photon cũng như các nguyên tử Heli-4 được phép tồn tại ở cùng trạng thái lượng tử như nhau. Einstein chứng minh rằng khi lành lạnh các nguyên tử boson đến nhiệt độ rất thấp thì hệ này tích tụ lại (hay ngưng tụ) trong trạng thái lượng tử thấp nhất có thể và tạo nên trạng thái mới của vật chất. Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã được làm cho ngưng tụ. Mười trong số những ngưng tụ này đã được tạo ra bởi mười nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau. Năm 1938, Fritz London đề xuất trạng thái BEC như là một cơ chế giải thích cho tính siêu chảy của Heli-4 cũng như tính siêu dẫn ở nhiệt độ thấp của một số vật liệu. Năm 1995, khí ngưng tụ đầu tiên đã được tạo ra bởi nhóm của Eric Cornell và Carl Wieman ở phòng thí nghiệm JILA thuộc Viện Công nghệ Tiêu chuấn Quốc gia (NIST) tại Đại học Colorada ở Boulder, khi họ làm lạnh khí nguyên tử Rubidi đến nhiệt độ 170 nanokelvin (nk). Cũng trong thời gian này, Wolfgang Ketterle ở Học viện Công nghiiej Massachusetts tạo ra được ngưng tụ Bose- Einstein đối với nguyên tử Natri và duy trì được hệ 2000 nguyên tử này trong thời gian lâu cho phép nghiên cứu những tính chất của hệ. Vì vậy mà Cornell, Wieman, Ketterle được nhận giải Nobel Vật lý năm 2001. 9 Hình 1.1: Trạng thải ngưng tụ Bose-Einstein của các boso, trong trường hợp này là các nguyên tử Rubidỉ. Hình vẽ là phân bố tốc độ chuyên động của các nguyên tử theo từng vị trí. Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyên động nhanh, màu xanh và trang chỉ nguyên tử chuyên động chậm. Bên trái là trước khi xuất hiện ngưng tụ Bose-Einstein. Ớ giữa là ngay sau khi ngưng tụ. Bên phải là trạng thái ngưng tụ xuất hiện rõ hơn. ơ trạng thái ngưng tụ, rất nhiều nguyên tử cố cùng vận tốc và vị trí (cùng trạng thái lượng tử) nằm ở đỉnh màu trắng. Ởnhiệt độ phòng, boson và fermion đều phản ứng rất gióng nhau, giống hạt cổ điển tuân theo gần đúng thống kê Macxoen- Bonzoman (bởi cả thống kê B-A và thống kê F-D đều tiệm cận đến thống kê M-B ở nhiệt độ phòng). Có thế khắng định rằng ở nhiệt độ thấp khí Bose có tính chất khác hắn khí Fermion ( chẳng hạn như khí điện tử tự do trong kim loại). Thật vậy vì các hạt Boson không chịu sự chi phối của nguyên lý cấm Pauli nên ở nhiệt độ không tuyệt đối tất cả đều có năng lượng £- = 0, do đó trang thái cơ bản của tất cả chất khí là trạng thái có E = 0. Còn đối với khí fermion thì khác, ở nhiệt độ T = 0°K các hạt lần lượt chiếm các trạng thái có năng lượng từ 0 đến mức fermion, do đó năng lượng của cả hệ khác không (E # 0). Xét việc áp dụng thống kê Bose-Einstein vào hệ hạt có spin nguyên hay spin bằng không ( ví dụ như các photon, các mezon, các nguyên tử trong đó các electron và nucleon là chẵn,...) được gọi là các hạt Boson hay khí Bose. Đối với khí Bose lý tưởng, theo công thức của thống kê Bose - Einstein, số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng từe đếns + de là bằng: d n (e ) = M e ) d N ( s ) - dN(è) ' — exp P f * j - 1 ( ị . 20) trong đó dN(è) là số các mức năng lượng trong khoảng từ £ đến 8 + ds. Ta hãy tìmđiV( 0 , do đó các biểu thức dưới dấu tích phân ở vế phải của(1.31) là luôn luôn dương với mọi giá trị của £ , và vì vậy (1.32) ậ í< a 06 Do đó, khi nhiệt độ hạ xuống ỊUCỎ thế tăng từ một giá trị âm đến giá trị lớn hơn (nhưng vẫn âm) và có thể đạt tới giá trị cực đại bằng không ( ỊẤ= 0), từ phương trình (1.29) 'ĩ ẽ d e N = J0 e x p í ^ 4 - 1 „3/22/ ?r yỊxd: _ m V2Vg M \fx d x 0 0 ex e — (1.33) biết rằng \fxd. ĩ^ - 2 ,3 1 . J0 ex - 1 (1.34) Đối với tất cả các khí boson quen thuộc, nhiệt độ đó là rất nhỏ. Như đối với 4He , ngay cả đối với khối lượng riêng của chất lỏng Hêli vào cỡ 120kg/m3 ta được Tq = 2,19 K. 13 Khi nhiệt độ đó khác không và vì vậy sẽ tồn tại một khoảng nhiệt độ nào đó thấp hơn nhiệt độ tới hạn To, nghĩa là 0 < ỡ < O ữ, (1.35) Trong khoảng nhiệt độ đó hiển nhiên // = 0. Nhưng khi đó, với ớ < ớ 0điều kiện (1.29) chỉ có thế thỏa mãn khi số hạt N ' < N . Thực vậy, với ỡ < 6 () và jU = 0 điều kiện (1.29) có dạng phương trình (1.14), từ đó N' ( OK nào đó. Có thể được diễn tả như sau: Xét một hệ khí boson lý tưởng tức là các hệ có spin nguyên và không tương tác lẫn nhau. Khi nhiệt độ của hệ khá lớn so với OK thì tất cả các hạt của hệ đều ở mức năng lượng lớn hơn 0. Giảm dần nhiệt độ của hệ thì các hạt trong hệ cũng dần ở những mức năng lượng thấp hơn. Giảm dần nhiệt độ Toĩiầo đó thì bắt đầu có những hạt (phải) có năng lượng bằng 0 tăng dần và khi tới nhiệt độOK thì toàn bộ số hạt của hệ đều nằm ở mức có năng lượng bằng O.Quá trình này là quá trình chuyển pha từ pha chuyến động nhiệt về pha không có chuyến động nhiệt. Đó chính là quá trình ngưng tụ Bose-Einstein Việc tạo ra ngưng tụ đó được tiến hành cụ thế như sau: Người ta giảm nhiệt độ bằng cách làm lạnh. Sử dụng cách làm lạnh cho bay hơi các nguyên tử còn nóng, sau đó cho khối khí loãng nguyên tử này giam trong một bẫy từ mạnh đế các nguyên tử không thế va chạm vào thành bình mà chỉ quanh quấn ở khu trung tâm. Đe cho các nguyên tử còn nóng có thể bay thoát khỏi bẫy,người ta dùng một từ trường yếu hoặc một sóng điện từ yếu tác động lên khối các nguyên tử. Khi đó chỉ còn lại khối các nguyên tử chuyển động rất chậm, tức là nhiệt độ khối nguyên tử đã hạ xuống rất rất thấp vào khoảng vài chục phần tỉ kenvil cách 0K. Như thế là ta tạo ra được ngưng tụ Bose-Einstein với khối khí đó. 15 CHƯƠNG 2: SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƯNG TỤ BOSEEINSTEIN Trong chương này chúng ta sẽ Pitaevskii, hiện tượng căng mặt ngoài tìm hiểu về phương trình Gross - của chất lỏng để từđó nghiên cứu sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose - Einstein. 2.1. Hệ phưong trình Gross - Pitaevskii hai thành phần. Chúng ta coi hai thành phần BEC của các nguyên tử với khối lượng rrij, thế năng Vj, chỉ số j= 1,2 chỉ thành phần 1 hoặc thành phần 2. Xét một hỗn hợp của hai nguyên tử Boson khác nhau. Ta có hàm sóng Hartree hai thành phần, ký hiệu là 1 và 2 tương ứng với N] và N 2 hạt là: N2 N, ụ/ựỉ,...,rNr...rN2) = Y ị ọ ](ri)Yị(p2(rj ), %] ị=ị (2.1) Ở đó trạng thái 1 được biểu diễn bởi Tị và trạng thái 2 biểu thị bởi ĩj . Các hàm sóng đơn tương ứng là^! và 0, ĩĩii là hằng số tương tác, mô tả tương tác giữa các hạt bên trong của mỗi ngưng tụ. TTLị + m 2 2 U12 = 27ĩh d ị 2 m 1m 2 > 0, mô tả tương tác giữa các hạt trong hai thành phần ngưng tụ, a.ij là chiều dài tán xạ sóng s. Từ (2.2) và (2.3) ta thu được phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian như sau: ... PỈ = Pl m2 (2.27) m 7“ ỉệc iịc —— >1*2 = U22PỈ = M2 rrLị niị m2 m* = Vm i m 2Từ (2.27) chúng ta có các biểu thức sau: m2 U ị i = u*n rriị —— , 1*22 = u 22 ~ ~ ĩìiị m2 771! p 1 - Pỉ N m2 m2 ' P2 - p 2 rriị mi m2 ịix = MỈ — ,/*2 = MỈ Tĩiị m2 21 (2.28) Thay (2.28) vào (2.11) chúng ta được một hệ phương trình tương tự với các điều kiện (2.12), (2.16), (2.26) nhưng cho các đại lượng có dấu * và với khối lượng m*. Đe các lời giải về sau đơn giản, chúng ta bỏ dấu *. h2 * _ d 2 ,— / _* I * _* I Uí2p2 ĩlp l , h * _ _* , d. (2.29) /f— _* I * _* I ~ 2~ \ f Ỵ d * z _* 12 Đối với trường hơp phân tách manh A= - Ul2 » 1, chúng ta bắt đầu từ V« 11*22 phương trình mật độ (2.11). Trong trường hợp này chúng ta lấy mật độ trên mặt phân tách gần đúng bằng không vì sự tương tác giữa các hạt làm cho nó gần như bị triệt tiêu với với một ngưng tụ để xuyên qua vào bên trong hạt khác. Đe ước tính mật độ ngưng tụ trên mặt phân cách chúng ta sử dụng đạo hàm bậc hai của hàm sóng gần bằng không đV — Tdz2 0 Khi đó (2.14) trở thành = u l l P l + U12P2 = u 11p 10 (2.30) ụ-2 — u 2lP2 + u 12Pl = u 22PlO Chia cả hai vế của (2.15) cho -\JUịU2 ta được uu u 22 p 1 + ^ P i = U llP lo í* ) u 22 un p 2 + Api = U2 2 P 20 22 (**) Thay (*) vào (**) ta có un Aui yị «11 Pl + A N u 22 uu = u 22 u 22 P 10 Mu un u 22 un un U11 N Pi + AP 20 - A w 22 7 un u 22 u 22 Pl = u 22 p 10 un p1 = u 22 P 10 Ji5 Pl0 ■ Ap20 =>Pi = ------ ?= ■ 1 Wi1 — (A2 — 1) ( —V.Ỵ \ 1 /2 c húng ta có u 22 ' p 10 P 10 p 20 p 20 p 1 — -------- ~ ---- « P 1 n> P 2 — ~ ^ P 20 A +l A P1U A+ l A (2.31) Điều này cho phép chúng ta trong gần đúng bằng không sử dụng đơn giản điều kiện cho mật độ P i ( z < 0) = p 2(z > 0) = 0. Do đó phương trình (2.11) viết lại như sau h2 Mi = đ2 + unP i vớíz — 2 m ly[~p > 0 h2 ụ-2 = (2.32) d2 2 m 2y f p ^ dz2 yỊPi + w222 p 2 v ớ i z < 0 23 Nghiệm dễ dàng tìm được P i ( z > 0) = p ị Q Í a n h 2 (2.33) p2{z < 0 ) = P ỉ d t a n h 2 z ở đây, Piq và P 20 được liên hệ bởi điều kiện của phương trình áp suất (2.13) và chọn vị trí của biên tại z = 0. Kích thước của biên trong trường hợp này là gần đúng d w 2ypĩ{^Ẹ1 + ệ2). 2.3 Khái niệm về sức căng mặt ngoài. Trước tiên ta xét khái niệm sức căng mặt ngoài ở chất lỏng.Ta tưởng tượng tách riêng được một phân tử A nào đó trong khối chất lỏng và nghiên cứu tác dụng của tất cả các phân tử khác lên nó. Ta hãy vẽ một hình cầu bán kính r có tâm là tâm phân tử A. Ta chỉ cần nghiên cứu tác dụng của tất cả những phân tử có tâm nằm trong hình cầu bán kính r lên phân tử A. Khoảng cách r gọi là bán kính tác dụng phân tử, hình cầu có bán kính r là hình cầu tác dụng phân tử. Phân tử A nằm trong lòng khối chất lỏng nên lực hút giữa các phân tử trong hình cầu tác dụng của phân tử A lên phân tử A hướng theo mọi phía và tính trung bình thì chúng cân bằng nhau ( hình 2.1), do đó lực tương tác tổng hợp của các phân tử chất lỏng lên phân tử A bằng không. Đối với một phân tử nằm gần mặt thoáng thì lại khác. Ta hãy xét phân tử B ( hình 2.1) nằm cách mặt thoáng một khoảng cách nhỏ hơn r. Một phần của hình cầu bán kính r nằm ngoài khối lỏng. 24 Giả sử phần trên mặt thoáng của khối lỏng là thể khí ( thí dụ hơi của chất lỏng ở thể lỏng đó). Vì số các phân tử ở pha hơi nằm trong hình cầu tác dụng của phân tử В là ít nên tác dụng của chúng lên в rất nhỏ ta không cần chú ý tới. Ta chỉ cần chú ý tới tác dụng của các phân tử thuộc khối lỏng nằm trong hình cầu. Rõ ràng là các lực hỗ trợ tác dụng lên в theo mọi phương không thể cân bằng nhau và phân tử в chịu tác dụng của một hợp lực f hướng vào trong khối lỏng. Độ lớn của lực này càng tăng lên khi phân tử в càng đến gần mặt giới hạn ( mặt thoáng). Tuy nhiên cần chú ý rằng tuy có lực / tác dụng lên nhưng phân tử в không chuyển động vào trong lòng chất lỏng mà vẫn thực hiện dao động nhiệt chung quanh vị trí cân bằng. Đó là vì khi phân tử в dưới tác dụng của lực / tiến theo hướng đi vào trong lòng chất lỏng để lại gần các phân tử khác hơn nữa thì sẽ xuất hiện lực đẩy chống lại lực / . Đối với các phân tử khác nằm trong lớp mặt ngoài có chiều dài d = r cũng chịu tác dụng của những lực / hướng vào trong khối lỏng tương tự như phân tử B. Hình ảnh chuyển động nhiệt của các phân tử nằm ở lớp mặt ngoài cũng như đối với các phân tử ở trong lòng chất lỏng nghĩa là dao động hỗn loạn chung quanh các vị trí cân bằng một thời gian nào đó và sau đó do sự tương tác với các phân tử chung quanh thỉnh thoảng lại thay đổi vị trí cân bằng. Nói cách khác nếu bỏ qua dao động nhiệt thì tuy 25 chịutác dụng của lực / nhưng phân tử ở lớp mặt ngoài vẫn được coi như nằm tại vị trí cân bằng. Ta biết, hợp lực / vuông góc với mặt thoáng chất lỏng không dịch chuyển phần tử B theo phương vuông góc cũng như phương nằm ngang đối với mặt thoáng. Bây giờ, chúng ta chú ý đến các thành phần theo phương nằm ngang ( tức theo phương tiếp tuyến với mặt thoáng) của lực tương tác của phân tử chất lỏng lên phân tử B. D ĩ nhiên các thành phần này của lực theo hai chiều ngược nhau phải có độ lớn bằng nhau \fị\ = I/ 2 I ( hình 2 ) vì vậy chúng cân bằng nhau. Khác với trường hợp của lực / đã nhận xét ở trên, độ lớn của lực f i hoặc / 2 sẽ càng giảm khi phân tử B càng đến gần mặt giới hạn (mặt thoáng). Neu giả sử vì một lí do nào đó một phía của phân tử B không có chất lỏng nữa thì dưới tác dụng của lực thành phần theo phương tiếp tuyến với mặt thoáng (f ị hoặc / 2 ) phân tử B sẽ chuyến động ngang. Ta tưởng tượng các phân tử nằm trong lớp mặt ngoài tạo thành một đoạn cong nguyên tố A l thì tổng hợp tất cả các lực thành phần lên các phân tử này theo phương tiếp tuyến với mặt phân cách và ở về một phía xác định của đoạn cong Al được gọi là lực cong mặt ngoài kí hiệu là A /. Vì Al đủ nhỏ nên có thể coi như lực căng mặt ngoài A /vuông góc với ầl. Vậy rõ ràng là dưới tác dụng các lực cong mặt ngoài A /, lớp mặt ngoài luôn luôn muốn co về diện tích nhỏ nhất. Tính chất này làm cho lớp mặt ngoài của chất lỏng gần giống như một màng căng (chẳng hạn màng cao su), vì vậy hiện tượng mà ta đang xét được gọi là hiện tượng căng mặt ngoài. Ta cần chú ý sự khác nhau căn bản giữa lớp mặt ngoài chất lỏng với màng cao su. Lớp mặt ngoài khối lỏng tăng diện tích là do có những phân tử đi từ trong lòng khối lỏng ra mặt ngoài và do đó bề dày của nó không đối (d=r), 26 còn đối với màng cao su thì sự tăng diện tích là nhờ có sự giảm bề dày của màng. Như đã trình bày, mỗi phân tử ở lớp mặt ngoài có chiều dày r chịu một lực hướng vào trong khối lỏng. Việc di chuyến phân tử trong lòng chất lỏng ra lớp mặt ngoài đòi hỏi phải tiêu thụ một công để thắng lực cản nói trên. Trong trường hợp khối lỏng không trao đổi năng lượng với vật ngoài thì công này được thực hiện là do sự giảm động năng của phân tử nhờ đó mà thế năng phân tử sẽ tăng lên, tương tự như trường hợp công được thực hiện khi một vậ chuyển động trong trọng trường từ dưới lên trên (động năng của vật giảm, thể năng của vật tăng). Ngược lại khi phân tử đi từ lớp mặt ngoài vào trong lòng chất lỏng, nó sẽ thực hiện một công do sự giảm thế năng của phân tử để chuyển thành động năng cả phân tử.Vậy mỗi phân tử ở lớp mặt ngoài khác với phân tử ở trong lòng khối lỏng là có một thế năng phụ. Tông thế năng phụ của các phân tử ở lớp mặt ngoài được gọi là năng lượng tự do. Năng lượng tự do chính là một phần nội năng của khối lỏng. Khi có nhiều phân tử di chuyến từ trong lòng chất lỏngra lớp mặt ngoài (tức diện tích mặt ngoài khối lỏng tăng) thì năng lượng tự do tăng. Sự tăng năng lượng này hoặc do sự giảm động năng của các phân tử hoặc do công của ngoại vật thực hiện lên chất lỏng hoặc do cả hai nguyên nhân vừa kể. Ngược lại khi chất lỏng giảm diện tích mặt ngoài, năng lượng tự do giảm đi làm cho chất lỏng hoặc sẽ nóng lên hoặc sẽ sinh công cho ngoại vật hoặc sẽ xảy ra đồng thời cả hai hiện tượng vừa kể. Và người ta định nghĩa: năng lượng bề mặt trên một đơn vị diện tích là sức căng mặt ngoài. Trong đóA£s là năng lượng bề mặt, s là diện tích mặt phân cách. 27 2.4. Sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách mạnh. Chúng ta có hàm Hamiltonian (2.1) cho ngưng tụ Bose - Einstein ở nhiệt độ không, cùng vớiđiều k iệ n / d 3xpiQfị2 = Nị chúng ta sẽ xácđịnh được tổng năng lượng của hệ rồi lấy năng lượngđó trừđi tổng năng lượng trong giai đoạn cô lập mà không có sự tác động củađiều k iệ n / đ 3xpjo/j2 = Nị thì ta thu được năng lượng bề mặt. Ta có năng lượng bề mặt được xácđịnh bởi công thức: (2.35) £=1,2 Khi đó, sức căng mặt ngoài có dạng: Công thức (2.36) là công thức tống quát đế tính sức căng bề mặt Đối với ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách mạnh, trạng thái cơ bản thỏa mãn Với Ẹ. gọi là độ dài đặc trưng. Xét sự táchđiễn ra theo một chiều nên sức căng mặt ngoài có dạng: 28 1 T í í h 2 d.2f { \ « = - 2 j đ* Pu>h ( ~ ỵ y p ( h 2 d 2f 2\ ] ĨOf 2 { - ~ Ệ y —co +00 0 - ị Ị j d z P20f 2 ị - ^ 0 - ^ —00 = h + h Tính: + 00 1 f ( h 2 d 2f { \ dzP i o A ( - ^ ^ 7 j h = ị 0 =ỉ / dzpwh -& iỉ-z[tanh{-^ỷ) Ta có: l \ - z[ tanh / z —= — w dị = V V 2^ ;J [ — z —— 2 tanh V 2^ 1 [...]... (1.16) 1=0 Theo (1.14) ta tỡm c phõn b ca cỏc s cha y trung bỡnh: 1 (1.17) ú l cụng thc ca thng kờ Bose - Einstein Th húa hc// trng phõn b (1.17) c xỏcnh tiu kin 00 (1.18) 1=0 Khi ú hm phõn b nng lng cú dng: g{ố ) (1.19) 1.3.Ngng t Bose - Einstein i vi khớ Bose lý tng Ngng t Bose- Einstein (BEC - Bose- Einstein condensation) l mt trng thỏi vt cht ca khớ boson loóng b lm lnh n nhit rt gn khụng tuyt... mc v mụ Hin tng ny c Einstein d oỏn vo nm 1925 cho cỏc nguyờn t vi spin ton phn cú nhng giỏ tr nguyờn D oỏn ny da trờn ý tng v mt phõn b lng t cho cỏc photon c a ra bi Bose trc ú mt nm gii thớch ph phỏt x h hp th ca cỏc vt en tuyt i Einstein sau ú m rng ý tng ca Bose cho h ht vt cht Nhng l lc ca Bose v Einstein cho kt qu v khỏi nim khớ Bose trong khuụn kh lý thuyt thng kờ Bose- Einstein, miờu t phõn... nng lng t 0 n mc fermion, do ú nng lng ca c h khỏc khụng (E # 0) Xột vic ỏp dng thng kờ Bose- Einstein vo h ht cú spin nguyờn hay spin bng khụng ( vớ d nh cỏc photon, cỏc mezon, cỏc nguyờn t trong ú cỏc electron v nucleon l chn, ) c gi l cỏc ht Boson hay khớ Bose i vi khớ Bose lý tng, theo cụng thc ca thng kờ Bose - Einstein, s ht trung bỡnh cú nng lng trong khong te ns + de l bng: d n (e ) = M e ) d... nguyờn t ó h xung rt rt thp vo khong vi chc phn t kenvil cỏch 0K Nh th l ta to ra c ngng t Bose- Einstein vi khi khớ ú 15 CHNG 2: SC CNG MT NGOI CA NGNG T BOSEEINSTEIN Trong chng ny chỳng ta s Pitaevskii, hin tng cng mt ngoi tỡm hiu v phng trỡnh Gross - ca cht lng tú nghiờn cu sc cng mt ngoi ca ngng t Bose - Einstein 2.1 H phong trỡnh Gross - Pitaevskii hai thnh phn Chỳng ta coi hai thnh phn BEC ca... trong ú mt s ht ca khớ boson chuyn xung mc nng lng khụng v hai phn ca khớ boson phõn b 14 khỏc nhau theo nng lng c gi l s ngng t Bose nhit khụng tuyt i (T = 0) tt c cỏc ht ca khớ boson s nm mc khụng 1.4 Quỏ trỡnh thc nghim hỡnh thnh mt ngng t Bose - Ensten Quỏ trỡnh ngng t Bose- Einstein l quỏ trỡnh chuyn pha: t mt h khụng cú dao ng nhit (ch cú dao ng lng t) nhit T q> OK no ú Cú th c din t nh sau: Xột... Cng trong thi gian ny, Wolfgang Ketterle Hc vin Cụng nghiiej Massachusetts to ra c ngng t Bose- Einstein i vi nguyờn t Natri v duy trỡ c h 2000 nguyờn t ny trong thi gian lõu cho phộp nghiờn cu nhng tớnh cht ca h Vỡ vy m Cornell, Wieman, Ketterle c nhn gii Nobel Vt lý nm 2001 9 Hỡnh 1.1: Trng thi ngng t Bose- Einstein ca cỏc boso, trong trng hp ny l cỏc nguyờn t Rubid Hỡnh v l phõn b tc chuyờn ng ca... V ngi ta nh ngha: nng lng b mt trờn mt n v din tớch l sc cng mt ngoi Trong úAÊs l nng lng b mt, s l din tớch mt phõn cỏch 27 2.4 Sc cng mt ngoi ca ngng t Bose - Einstein hai thnh phn phõn tỏch mnh Chỳng ta cú hm Hamiltonian (2.1) cho ngng t Bose - Einstein nhit khụng, cựng viiu k i n / d 3xpiQf2 = N chỳng ta s xỏcnh c tng nng lng ca h ri ly nng lngú tri tng nng lng trong giai on cụ lp m khụng cú s... ngng t Bose- Einstein gia l ngay sau khi ngng t Bờn phi l trng thỏi ngng t xut hin rừ hn trng thỏi ngng t, rt nhiu nguyờn t c cựng vn tc v v trớ (cựng trng thỏi lng t) nm nh mu trng nhit phũng, boson v fermion u phn ng rt giúng nhau, ging ht c in tuõn theo gn ỳng thng kờ Macxoen- Bonzoman (bi c thng kờ B-A v thng kờ F-D u tim cn n thng kờ M-B nhit phũng) Cú th khng nh rng nhit thp khớ Bose cú... ớ^il2\ p up tin trin ca h theo thi gian (2-8) u p (2.9) ) y/2 ) L cú th xỏc nh bng cỏch gii s cỏc phng trỡnh (2.4) v (2.5) theo phng phỏp gi ph vi cỏc iu kin biờn xỏc nh 2.2 Trng thỏi CO bn ca ngng t Bose- Einstein hai thnh phn phõn tỏch mnh Chỳng ta ó thu c phng trỡnh Gross - Pitaevskii hai thnh phnChỳng ta quan tõm n nghim dng ca h phng trỡnh (2.4),(2.5).Gi s r n g y/.^expớiit) vi l l th húa hc Chỳng... cú nng lng bng 0 tng dn v khi ti nhit OK thỡ ton b s ht ca h u nm mc cú nng lng bng O.Quỏ trỡnh ny l quỏ trỡnh chuyn pha t pha chuyn ng nhit v pha khụng cú chuyn ng nhit ú chớnh l quỏ trỡnh ngng t Bose- Einstein Vic to ra ngng t ú c tin hnh c th nh sau: Ngi ta gim nhit bng cỏch lm lnh S dng cỏch lm lnh cho bay hi cỏc nguyờn t cũn núng, sau ú cho khi khớ loóng nguyờn t ny giam trong mt by t mnh cỏc ... chung v ngng t Bose - Einstein - Chng 2: Sc cng mt ngoi ca ngng t Bose - Einstein CHNG 1: Lí THUYT CHUNG Vấ NGNG T BOSE EINSTEIN Trong chng ny gii thiu phn lý thuyt mụ t ngng t Bose Einstein u tiờn... ngng t Bose - Einstein giỳp chỳng ta hiu rừ bn cht ca hin tng ngng t Bose - Einstein Trong bi ó a h ht ng nht,ngng t Bose - Einstein i vi khớ Bose lớ tng, quỏ trỡnh thc nghim hỡnh thnh ngng t Bose. .. NGNG T BOSE - E IN ST E IN 1.1 H ht ng nht 1.2 Thng kờ Bose - Einstein 1.3.Ngng t Bose - Einstein i vi khớ Bose lý tng 1.4 Quỏ trỡnh thc nghim hỡnh thnh mt ngng t Bose