Ảnh hưởng của ngoại lực stern gerlach lên trạng thái cơ bản của ngưng tụ bose einstein hai thành phần

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ -------------------------------- LẠI THÚY LINH ẢNH HƢỞNG CỦA NGOẠI LỰC STERN-GERLACH LÊN TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS. NGUYỄN VĂN THỤ HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Trƣớc tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo T.S Nguyễn Văn Thụ, ngƣời tận tình hƣớng dẫn suốt trình thực khóa luận tốt nghiệp này. Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến thầy cô giáo giảng dạy bốn năm qua, đặc biệt thầy cô Khoa Vật lý Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2, giảng dạy trang bị cho kiến thức học tập, nghiên cứu khoá luận nhƣ công việc sau này. Trong trình nghiên cứu thời gian có hạn bƣớc đầu làm quen với phƣơng pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy, mong nhận đƣợc đóng góp quý thầy cô bạn để đề tài đƣợc hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 04 năm 2015 Sinh viên Lại Thúy Linh LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp “Ảnh hưởng ngoại lực Stern-Gerlach lên trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần” đƣợc hoàn thành dƣới hƣớng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo T.S Nguyễn Văn Thụ. Tôi xin cam đoan đề tài kết nghiên cứu không trùng với kết nghiên cứu tác giả khác. Hà Nội, tháng 04 năm 2015 Sinh viên Lại Thúy Linh MỤC LỤC MỞ ĐẦU . 1. Lí chọn đề tài NỘI DUNG . CHƢƠNG TỔNG QUAN VỀ NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN 1.1. Hệ hạt đồng 1.1.1. Khái niệm hệ hạt đồng 1.1.2. Đặc điểm hàm sóng hệ lý tƣởng bao gồm hạt đồng nhất. Nguyên lý Pauli . 1.2. Thống kê Bose-Einstein . 1.3. Trạng thái ngƣng tụ Bose-Einstein 10 1.4. Thực nghiệm ngƣng tụ Bose-Einstein . 14 CHƢƠNG 18 ẢNH HƢỞNG CỦA NGOẠI LỰC STERN-GERLACH LÊN TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN 18 2.1. Lực Stern-Gerlach 18 2.1.1. Khái niệm spin 18 2.2.2. Thí nghiệm Stern-Gerlach . 20 2.2. Phƣơng trình Gross-Pitaevskii tính đến lực Stern-Gerlach . 22 2.3. Lời giải gần Thomas-Fermi . 25 KẾT LUẬN . 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO . 28 MỞ ĐẦU 1. Lí chọn đề tài Ngƣng tụ Bose-Einstein (BEC) tƣợng lƣợng tử kì lạ đƣợc quan sát thấy pha loãng khí nguyên tử lần vào năm 1995, nguyên tử ruby natri đƣợc giam thể tích nhỏ nhờ từ trƣờng sau đƣợc làm lạnh xuống gần không độ tuyệt đối laser. Đó BEC từ khí Bose. Sau không lâu BEC từ khí Fermi đƣợc thực nghiệm khẳng định. Phát kiến BEC mở ra giai đoạn phát triển nhƣ vũ bão lĩnh vực lý thuyết nhƣ thực nghiệm việc nghiên cứu hiệu ứng lƣợng tử. Thực vậy, ngƣng tụ Bose-Einstein đƣợc tạo thành túy từ hiệu ứng lƣợng tử, dựa thống kê Bose-Einstein, đƣợc coi vật chất lƣợng tử với tính chất đặc biệt: chất lỏng lƣợng tử với tính chất kết hợp cao nhƣ tia laser. Trong thập niên qua, nhờ phát triển tuyệt vời kỹ thuật dùng thực nghiệm để tạo khí siêu lạnh ngƣời ta tạo đƣợc thực nghiệm BEC thành phần từ phân tử khí gồm thành phần khí khác điều quan trọng điều khiển đƣợc cƣờng độ tƣơng tác thành phần để sinh trạng thái theo ý muốn. Đây môi trƣờng lý tƣởng để kiểm chứng phòng thí nghiệm nhiều tƣợng lƣợng tử khác nhau. Với mong muốn đƣợc nghiên cứu tìm hiểu sâu trạng thái ngƣng tụ Bose-Einstein hai thành phần chịu tác dụng ngoại lực Stern-Gerlach bƣớc đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, chọn đề tài “Ảnh hưởng ngoại lực Stern-Gerlach lên trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần” làm đề tài nghiên cứu khóa luận tốt nghiệp mình. 2. Mục đích nghiên cứu Trên sở nghiên cứu ngoại lực Stern-Gerlach để tìm hiểu trạng thái ngƣng tụ Bose-Anhxtanh hai thành phần. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu “Ảnh hưởng ngoại lực Stern-Gerlach lên trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần” xuất phát từ hệ hạt đồng nhất, thống kê Bose- Einstein hạt có spin nguyên, lực Stern-Gerlach, phƣơng trình Gross-Pitaevskii tính đến lực Stern-Gerlach, lời giải gần Thomas-Fermi. 4. Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Lực Stern-Gerlach Phƣơng trình Gross-Pitaevskii tính đến lực Stern-Gerlach Lời giải gần Thomas-Fermi Nghiên cứu “Ảnh hưởng ngoại lực Stern-Gerlach lên trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần”. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Phƣơng pháp đọc sách nghiên cứu tài liệu Phƣơng pháp giải tích toán học Phƣơng pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên 6. Cấu trúc khóa luận Chƣơng 1: Lý thuyết chung ngƣng tụ Bose- Einstein Chƣơng 2: Ảnh hƣởng ngoại lực Stern-Gerlach lên trạng thái ngƣng tụ Bose-Einstein hai thành phần. NỘI DUNG CHƢƠNG TỔNG QUAN VỀ NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN 1.1. Hệ hạt đồng 1.1.1. Khái niệm hệ hạt đồng Nếu hạt có đặc trƣng nhƣ điện tích, khối lƣợng, spin không phân biệt với ta có hệ N hạt đồng nhất. Trong hệ nhƣ ta phân biệt đƣợc hạt theo trạng thái chúng, nghĩa nêu tọa độ xung lƣợng hạt. Hệ lý tƣởng bao gồm hạt đồng nhất. 1.1.2. Đặc điểm hàm sóng hệ lý tƣởng bao gồm hạt đồng nhất. Nguyên lý Pauli Xét hệ gồm N hạt đồng độc lập, tức N hạt không tƣơng tác. Haminton hệ có dạng tổng Haminton hạt, Hˆ  Hˆ  Hˆ  Hˆ  .  Hˆ n . (1.1) Giả sử  hàm sóng mô tả trạng thái hệ, E lƣợng hệ trạng thái đó,  E đƣợc xác định hàm riêng trị riêng tƣơng ứng toán tử Hˆ , tức đƣợc xác định cách giải phƣơng trình Schödinger. Phƣơng trình hàm riêng trị riêng cho toán tử Hˆ có dạng Hˆ  n  E n (1.2) Hàm sóng  ni  xi  lƣợng  ni hạt i đƣợc xác định từ phƣơng trình Hˆ i  ni   ni  ni , (i=1,2,3….,N) trạng thái  ni đƣợc gọi trạng thái đơn hạt. Từ (1.1) (1.2) ta thấy lƣợng hệ phải tổng lƣợng hạt, hàm sóng hệ phải tích hàm sóng hạt E   n1   n2   n3  .   nN ,  n   n1  x1   n2  x2   n3  x3  . n N  xN  . (1.3) Khi viết biểu thức (1.3) ta chƣa ý tới tính đồng hạt, hàm sóng có dạng (1.3) đối xứng phản đối xứng. Pauli chứng minh hàm sóng hệ hạt boson (có spin nguyên) đối xứng, hàm sóng hệ hạt fermion (có spin bán nguyên) phản đối xứng. Hàm sóng  s  X1, X , , X n  gọi đối xứng không đổi dấu ta hoán vị hai hạt i k tùy ý  s  X1, , X i , , X k    s  X1, , X k , , X i  . Hàm sóng  s  X1, X , , X n  gọi phản đối xứng, đổi dấu ta hoán vị hai hạt i k tùy ý  s  X1, , X i , , X k    s  X1, , X k , , X i  . Từ hệ hàm sóng đơn hạt (  n1  x1  ,  n2  x2  ,  n3  x3  , .,  n N  xN  ) ta thiết lập hàm sóng hệ có tính chất đối xứng phản đối xứng. Ta kí hiệu N1 số hạt trạng thái  n1 , N số hạt trạng thái  n2 . Đối với hệ hàm boson hàm sóng phải có dạng tính đối xứng chuẩn hóa s    p N1 ! N ! .N k ! p  n1  x1  n2  x2   nN  xN  , N!   (1.4) kí hiệu lấy tổng theo hoán vị ni nk , N1, N2 , ., N s số hạt trạng thái lƣợng tử n1, n2 , ., ns , N tổng số hạt hệ thỏa mãn điều kiện N1  N2  .  N s  N . Ví dụ Xét trƣờng hợp hệ gồm hai hạt (N = 2), giả sử hạt nằm trạng thái 1  . Khi hàm sóng đối xứng hệ s    x1   x2     x2   x1  . 2 Đối với hệ Fermion, hàm sóng có dạng phản đối xứng  n  x1   n  x2  .  n  xN  a   n2  x1   n2  x2  .  n2  xN  , N ! . . . (1.5)  n  x1   n  x2  .  n  xN  N N N nhận thấy hoán vị hai số ni nk định thức đổi dấu hàm sóng đổi dấu. Nếu hạt nhiều hạt trạng thái định thức chứa nhiều cột giống nhau,  a  tức trạng thái hệ không tồn tại. Hàm sóng (1.5) thỏa mãn nguyên lý cấm Pauli “trong trạng thái đơn hạt có tối đa hạt fecmion”. 1.2. Thống kê Bose-Einstein Đối với hệ hạt đồng nhất, không cần biết cụ thể hạt trạng thái mà cần biết trạng thái đơn hạt có hạt. Xuất phát từ phân bố tắc lƣợng tử Wk    Ek  exp   gk , N!    (1.6) Ek lƣợng hệ trạng thái k,   thông số phân bố, gk độ suy biến mức lƣợng Ek. Nếu hệ gồm hạt không tƣơng tác ta có  Ek   nl l , (1.7) l 0 đây,  l lƣợng hạt riêng lẻ hệ, nl số chứa đầy mức tức số hạt hệ có lƣợng  l . Số hạt hệ nhận giá trị từ   với xác suất khác nhau. Độ suy biến gk (1.6) tìm đƣợc cách tính số trạng thái khác phƣơng diện vật lý ứng với giá trị Ek. Vì số hạt hệ bất biến nên tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp thống kê cổ điển thay cho phân bố tắc lƣợng tử ta áp dụng phân bố tắc lớn lƣợng tử hay phân bố Gibbs suy rộng. Phân bố tắc lớn lƣợng tử có dạng       N  n   l l   l 0 Wk  exp   gk , N!      (1.8)  N   nl ,  nhiệt động lớn,  hóa học. l 0 Sở dĩ có thừa số xuất công thức (1.8) có kể đến tính N! đồng hạt tính không phân biệt trạng thái mà ta thu đƣợc hoán vị hạt. Ta kí hiệu gk  G  n0 , n1 , . , N! (1.9) (1.8) đƣợc viết lại nhƣ sau        nl     l   l 0 Wk  exp   G  n0 , n1 , . .      Từ ta có hai nhận xét công thức (1.10) nhƣ sau: (1.10)   2m  Vg 2m3Vg  1/2  x N   dn     d     0 0 e x  dx  2 0 0 2 e 1 (1.30) 3/2  3/2 3/2   m  Vg m Vg x x  1/2 03  x dx  1/20  x dx.  e   e  0  3/2 Ta biết  e x x dx  2.31 , 1 nên từ (1.30) 0  kT0 , ta đƣợc 0 2/3 3,31  N  T0   2/3   . k g mk  V  (1.31) Đối với tất khí boso quen thuộc nhiệt độ nhỏ. Ví dụ nhƣ He24 có mật độ N m  0,12 g / cm3  120kg / m3 , nhiệt độ cỡ 2,190 K. Tuy V nhiên, tồn nhiệt độ T0  có ý nghĩa quan trọng. Để hiểu ý nghĩa ta xét khoảng nhiệt độ  T  T0 . Khi giảm nhiệt độ xuống tới T0 hóa học  tăng tới giá trị max  , mà   nên  giảm T nữa, khoảng nhiệt độ  T  T0   . Với nhiệt độ T  T0 số hạt có lƣợng N     2m   2 3/2 Vg      mkT  d  3/2  1/2 e kT  Vg  e x x dx  N . 1 (1.32) So sánh (1.31) (1.32) ta thấy 2/3 2/3 T  N  T  N      N   hay   . N  T0   T0  Vì số hạt toàn phần hệ không đổi, nên kết phải đƣợc đoán nhận vật lý cách đặc biệt. Khi T 0. Do giả thiết nguyên tử có khối lƣợng số tƣơng tác nhƣ cho hai thành phần, nên hệ có tính chất đối xứng  01 ( z)   02 (  z) . Trong trƣờng hợp gradien từ trƣờng, mật độ hàm sóng tìm đƣợc điều kiện phân tách yếu γ «1 là: 1 n01 ( z )  n02 ( z )  1  exp(2 2 z)  . (2.19) Chúng ta tìm hàm sóng thành phần trong hàm sóng thành phần 2. Theo phƣơng trình (2.19), độ xuyên thấu hàm sóng hai thành phần với độ dài đặc trƣng Z p  , điều có nghĩa  012 2 z  Z p . Hàm sóng khối đƣợc mô tả gần Thomas-Fermi (TPA) 25 cho thấy  022   bz z  Z p . Với gần này, phƣơng trình (2.17) trở thành: d 2 01        b0 z  01 dz . (2.20) Các dạng gần phƣơng trình (2.20) thay đổi theo suy giảm theo quy luật hàm mũ thành dao động không gian z  Z0     .     b0 2b0 Nghiệm phƣơng trình (2.20) là:     zb        01  z   C.Bi  ,       Bi(z) hàm Airy loại C số. 26 (2.21) KẾT LUẬN Với đề tài “Ảnh hưởng ngoại lực Stern-Gerlach lên trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần” em hoàn thành việc nghiên cứu vấn đề sau: - Tổng quan ngƣng tụ Bose-Einstein - Trạng thái ngƣng tụ Bose-Einstein - Phƣơng trình Gross-Pitaevskii tính đến lực Stern-Gerlach - Lời giải gần Thomas-Fermi Qua đề tài em thấy phƣơng pháp ngƣng tụ Bose- Einstein, với việc áp dụng kiến thức học lƣợng tử vật lý thống kê đóng góp nhiều nghiên cứu khoa học để tìm nguyên tố ngƣng tụ mới, dẫn tới vô số kết đạt đƣợc. Tuy nhiên thời gian có hạn, mặt khác kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên chắn đề tài em nhiều thiếu sót, mong nhận đƣợc góp ý thầy cô giáo bạn để khóa luận em đƣợc hoàn thiện hơn. 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Thái Hoa, Cơ Học Lượng Tử, NXB Đại học Sƣ phạm, 2014. [2] Vũ Thanh Khiết, Nhiệt động lực học Vật lý thống kê, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội, 2011. [3] Nguyễn Văn Thụ, Giáo trình Vật Lý Nguyên Tử, NXB Đại học Sƣ phạm, 2009. [4] D. Kobyakov, V. Bychkow, E. Lundh, Physical Review A83, 043623, 2011. 28 [...]... luật hàm mũ thành dao động trong không gian khi z  Z0      2    b0 2b0 Nghiệm của phƣơng trình (2.20) là:      zb  2      01  z   C.Bi 2  2 , 3  2 2   3    trong đó Bi(z) là hàm Airy loại 2 C là hằng số 26 (2.21) KẾT LUẬN Với đề tài Ảnh hưởng của ngoại lực Stern- Gerlach lên trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose- Einstein hai thành phần em đã hoàn thành cơ bản việc nghiên... 17 CHƢƠNG 2 ẢNH HƢỞNG CỦA NGOẠI LỰC STERN- GERLACH LÊN TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ BOSE- EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN 2.1 Lực Stern- Gerlach 2.1.1 Khái niệm spin Bài toán về cấu trúc nguyên tử đã đƣợc cơ học lƣợng tử giải quyết khá trọn vẹn Tuy nhiên lại xuất hiện những vẫn đề mà những lí thuyết trên vẫn chƣa giải quyết đƣợc Có thể có hai hiện tƣợng: +)Vấn đề về cấu trúc tinh tế của các vạch quang phổ Khi... Tổng quan về ngƣng tụ Bose- Einstein - Trạng thái cơ bản của ngƣng tụ Bose- Einstein - Phƣơng trình Gross-Pitaevskii khi tính đến lực Stern- Gerlach - Lời giải trong gần đúng Thomas-Fermi Qua đề tài em thấy phƣơng pháp ngƣng tụ Bose- Einstein, cùng với việc áp dụng kiến thức cơ học lƣợng tử và vật lý thống kê đã đóng góp rất nhiều trong nghiên cứu khoa học để tìm ra những nguyên tố ngƣng tụ mới, dẫn tới... hiện ngưng tụ Bose- Einstein Ở giữa là ngay sau khi ngưng tụ Bên phải là trạng thái ngưng tụ xuất hiện rõ hơn Ở trạng thái ngưng tụ, rất nhiều nguyên tử có cùng vận tốc và vị trí (cùng trạng thái lượng tử) nằm ở đỉnh màu trắng Đầu những năm 1970 tại phòng thí nghiệm nhiệt độ thấp ở Đại học Cornell, Lee, Osheroff và Richardson đã phát hiện thấy rằng một đồng vị của heli (He) là heli-3 có thể trở thành. .. 0) tất cả các hạt Bose sẽ nằm trên mức không 1.4 Thực nghiệm về ngƣng tụ Bose- Einstein Ngƣng tụ Bose- Einstein là một trạng thái đặc biệt của hệ Boson giới hạn trong một điện thế ngoài Các nguyên tử đƣợc làm lạnh tới nhiệt độ rất gần không độ Theo điều kiện này, một phần lớn Boson chiếm mức năng lƣợng thấp nhất, đó là khi các Boson giảm đến trạng thái không vận tốc Trạng thái mới này của vật chất lần... Satayendra Nath Bose, ông cho rằng sự phân bố nhiệt của các photon không phải là phân bố Maxwell Boltzmann mà là phân bố Plank Albert Einstein mở rộng điều này với một hệ lớn hạt bose không tƣơng tác và trình bày ý cơ bản của một ngƣng tụ Bose- Einstein vào năm 1925 Ông nhận ra rằng một phần lớn của các hạt chiếm trạng thái năng lƣợng thấp nhất ở nhiệt độ thấp Sau khi phát hiện ra tính siêu lỏng của Heeli... hai thành phần BEC trong trƣờng hợp không bị nhiễu loạn là một mặt phẳng (x,y) tại z = 0 cho thấy mặt phẳng này là mặt phẳng đối xứng của hệ (xem hình 2.2) Các thành phần 1 và 2 đƣợc đặc trƣng bởi hình chiếu moomen từ nguyên tử trên trục x tƣơng ứng: mF  1 Ta có thể sử dụng các trạng thái F , mF  1, 1 và 1,1 của các nguyên tử làm để tạo nên lực Stern- Gerlach, tác dụng vào các thành phần theo hai. .. là pha ngưng tụ Nhƣ vậy ở các nhiệt độ thấp hơn T0, một phần các hạt của khí bose sẽ nằm ở mức năng lƣợng thấp nhất (mức năng lƣợng không) và các hạt còn lại sẽ đƣợc phân bố trên các mức khác theo định luật 1   Hiện tƣợng mà ta e 1 vừa mô tả, trong đó một số hạt của khí bose chuyển xuống mức năng lƣợng không và hai phần của khí Bose phân bố khác nhau theo năng lƣợng đƣợc gọi là “sự ngưng tụ bose ... Bohr Hình 2.2: Sơ đồ BEC hai thành phần khi chịu tác dụng của lực ngoài Thế hóa học μj trong phƣơng trình (2.9) xác định bằng sự chuẩn hóa trạng thái dừng của hàm sóng trạng thái dừng  j và bằng với năng lƣợng của mỗi hạt của thành phần thứ j, nó bao gồm cả năng lƣợng tán xạ sóng-s và năng lƣợng tƣơng tác với trƣờng ngoài Để nghiên cứu các quá trình động học ở năng lƣợng thấp của BEC chúng ta giả sử rằng... giải trong gần đúng Thomas-Fermi Ở đây chúng ta sẽ nghiên cứu các trạng thái động học của BEC một chiều, khi hằng số ngoại lực Stern- Gerlach là b0 Giả sử rằng một trạng thái nhƣ vậy đã đƣợc tạo ra bởi sự nhiễu loạn đoạn nhiệt của các trƣờng ngoài và không hình thành nhiễu loạn tác động lên mặt phân cách Khi đó, hàm sóng mô tả trạng thái là hàm thực  0 j (z) và hệ thỏa mãn phƣơng trình GP không thứ . cứu ngoại lực Stern-Gerlach để tìm hiểu trạng thái cơ bản của ngƣng tụ Bose-Anhxtanh hai thành phần. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu Ảnh hưởng của ngoại lực Stern-Gerlach lên trạng thái cơ bản. Trạng thái ngƣng tụ Bose-Einstein 10 1.4. Thực nghiệm về ngƣng tụ Bose-Einstein 14 CHƢƠNG 2 18 ẢNH HƢỞNG CỦA NGOẠI LỰC STERN-GERLACH LÊN TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH. luận tốt nghiệp Ảnh hưởng của ngoại lực Stern-Gerlach lên trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn tận tình và nghiêm khắc của thầy giáo