Vị trí mặt phân cách của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần dưới ảnh hưởng của điều kiện biên Robin

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHAN THỊ OANH VỊ TRÍ MẶT PHÂN CÁCH CỦA NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN DƯỚI ẢNH HƯỞNG CỦA ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Thụ người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Vật lý lý thuyết Vật lý Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ tơi suốt q trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện mặt q trình học tập để tơi hồn thành luận văn Hà Nội, ngày 01 tháng 06 năm 2017 Tác giả Phan Thị Oanh LỜI CAM ĐOAN Dưới hướng dẫn nghiêm khắc TS Nguyễn Văn Thụ luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Vật lý lý thuyết Vật lý tốn với đề tài “Vị trí mặt phân cách ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần ảnh hưởng điều kiện biên Robin” hoàn thành nhận thức thân, khơng trùng với luận văn khác Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 01 tháng 06 năm 2017 Tác giả Phan Thị Oanh MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chon đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Những đóng góp đề tài Phương pháp nghiên cứu Chương 1:TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN 1.1 Thống kê Bose – Einstein 1.2.Tổng quan nghiên cứu ngưng tụ Bose – Einstein 10 1.2.1 Thực nghiệm ngưng tụ Bose - Einstein 10 1.2.2 Một số ứng dụng ngưng tụ Bose – Einstein 15 Chương 2: LÝ THUYẾT GROSS - PITAEVSKII 23 2.1 Gần trường trung bình 23 2.2 Phương trình Gross-Pitaevskii 26 Chương 3: VỊ TRÍ MẶT PHÂN CÁCH CỦA NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN DƯỚI ẢNH HƯỞNG CỦA ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN 28 3.1 Gần Parabol kép (Double parabola approximation - DPA) 28 3.2 Trạng thái gần Parabol kép 30 3.3 Vị trí mặt phân cách ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần ảnh hưởng điều kiện biên Robin 34 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 MỞ ĐẦU Lý chon đề tài Nói đến vật lý đại nghĩ đến Albert Einstein (1897 1955) nhà Vật lý lý thuyết người Đức Ông coi nhà khoa học có ảnh hưởng kỉ 20 – cha đẻ Vật lý đại Nói tới Einstein khơng thể khơng nhắc tới hàng loạt cơng trình nghiên cứu ơng, số ngưng tụ Bose – Einstein (Bose – Einstein condensate – BEC) tạo giới từ nguyên tử lạnh năm 1995 Trong lĩnh vực nghiên cứu hệ ngưng tụ BEC hai thành phần (BECs) việc tìm vị trí măt phân cách thành phần đóng vai trò quan trọng Khi biết vị trí mặt phân cách nghiên cứu tính chất khác hệ sức căng bề mặt, chuyển pha dính ướt,…Ngồi thơng số đặc trưng hệ mật độ hạt, số tương tác,…thì vị trí mặt phân cách phụ thuộc vào điều kiện biên đặt vào hệ Điều kiện biên nghiên cứu gồm điều kiện biên Neuman [6] điều kiện biên Dirichlet [8] Theo chúng tơi biết chưa có nghiên cứu cho điều kiện Robin Trong lý thuyết trường trung bình, vị trí mặt phân cách xác định thơng qua giải hệ phương trình Gross - Pitaevskii Tuy nhiên, tính chất phi tuyến mà trường hợp tổng quát ta giải giải tích hệ phương trình Hiện có nhiều phương pháp gần đưa phương pháp nội suy [5], phương pháp gần parabol kép [6],…Xuất phát từ lí trên, nên tơi chọn đề tài “Vị trí mặt phân cách ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần ảnh hưởng điều kiện biên Robin” làm đề tài nghiên cứu 2 Mục đích nghiên cứu Trên sở lý thuyết ngưng tụ Bose - Einstein nghiên cứu vị trí mặt phân cách ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần ảnh hưởng điều kiện biên Robin Vật lý thống kê học lượng tử nói riêng Vật lý lý thuyết nói chung Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu vị trí mặt phân cách ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần ảnh hưởng điều kiện biên Robin sở thống kê Bose – Einstein, phương trình Gross - Pitaevskii tổng quát Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Phương trình Gross - Pitaevskii - Vị trí mặt phân cách ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần ảnh hưởng điều kiện biên Robin Những đóng góp đề tài Vị trí mặt phân cách ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần ảnh hưởng điều kiện biên Robin có đóng góp quan trọng Vật lý thống kê học lượng tử nói riêng, Vật lý lý thuyết nói chung Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng gần parabol kép - Sử dụng phần mềm Mathermatica tính số vẽ hình Chương TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN 1.1 Thống kê Bose – Einstein Đối với hệ hạt đồng nhất, không cần biết cụ thể hạt trạng thái mà cần biết trạng thái đơn hạt có hạt Từ cơng thức tắc lượng tử [2], , với (1.1) độ suy biến Nếu hệ gồm hạt khơng tương tác ta có (1.2) lượng hạt riêng lẻ hệ, số chứa đầy tức số hạt có lượng Số hạt hệ nhận giá trị từ suy biến với xác suất khác Độ (1.1) tìm cách tính số trạng thái khác phương diện Vật lý ứng với giá trị số số hạt hệ khơng phải bất biến nên tương tự trường hợp thống kê cổ điển thay cho phân bố tắc lượng tử ta áp dụng phân bố tắc lớn lượng tử hay phân bố Gibbs suy rộng Phân bố tắc lớn lượng tử có dạng , , Ở có thừa số nhiệt động lớn, (1.3) hóa xuất cơng thức (1.3) có kể đến tính đồng hạt tính khơng phân biệt trạng thái mà ta thu hoán vị hạt Ta kí kiệu (1.4) Khi (1.4) viết lại sau (1.5) Ta có hai nhận xét công thức (1.5) sau: Một vế phải (1.5) coi hàm nhận cơng thức xác suất có nên ta đốn hạt nằm mức , hạt nằm trê mức , nghĩa là, xác suất chứa đầy Do nhờ cơng thức ta tìm số hạt trung bình nằm mức lượng Hai đại lượng (1.6) xuất ta kể đến khả xuất trạng thái Vật lý hoán vị (về tọa độ) hạt Đối với hệ boson hệ fermion, tức hệ mơ tả hàm sóng đối xứng phản đối xứng, phép hốn vị không đưa đến trạng thái Vật lý cả, hàm sóng hệ không đổi dấu, đổi dấu nghĩa diễn tả trạng thái lượng tử Do hạt boson hạt fermion ta có (1.7)  Tìm Trong phân bố Maxwell – Boltzmann tất phép hoán vị tọa độ hạt có lượng Do số tổng cộng trạng thái khác phương diện Vật lý số hoán vị tổng cộng chia cho số hoán vị nhóm có lượng tức chia cho Khi , thay giá trị (1.8) vào (1.4) ta thu (1.7) Để tính trị trung bình số chứa đầy (số hạt trung bình nằm mức lượng khác nhau) ta gắn cho đại lượng công thức (1.5) số , tức ta coi hệ ta xét có hóa học phép tính ta cho mà ta có tập hợp hóa học Và cuối Tiến hành phép thay ta viết điều kiện chuẩn hóa sau , với (1.9) , nghĩa Khi đạo hàm theo (1.10) (1.11) dựa vào (1.10) (1.11) (1.12) Nếu biểu thức (1.12) ta đặt theo (1.6) vế phải cơng thức (1.12) có nghĩa giá trị trung bình số chứa đầy tức ta thu (1.13) Đối với hệ hạt boson, số hạt mức có trị số (từ ) theo (1.9) ta có 28 Chương VỊ TRÍ MẶT PHÂN CÁCH CỦA NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN DƯỚI ẢNH HƯỞNG CỦA ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN 3.1 Gần Parabol kép (Double parabola approximation - DPA) Để hiểu phép gần parabol kép, ta xét ngưng tụ Bose – Einstein thành phần Thế tương tác phương trình Gross - Pitaevskii (2.21) có dạng VGP      g  (3.1) Ta đưa vào đại lượng không thứ nguyên z  z1,  j 2 g12 , j  ,K  1 n j0 g11g 22 (3.2) (3.3) Sử dụng chiều dài tương quan j   , 2m j  j (3.4) mật độ khối toàn phần thứ j n j   j / g jj Thế tương tác (3.1) viết dạng VGP     (3.5) Ở gần mặt phân cách tham số trật tự  giảm dần từ nên ta đặt    a, với a số thực nhỏ Thay (3.6) vào (3.5) ta (3.6) 29 1  a 4 =   2a  a   4a  6a  4a  a 1 =   a  2a  a 2 VGP   1  a     Khai triển VGP giữ đến gần bậc hai ta VDPA  2a     1  , 2 (3.7) VDPA gần parabol kép Ta có đồ thị hai VGP VDPA sau Hình 3.1 Đồ thị VGP VDPA Đường màu xanh đồ thị VGP , đường màu đỏ đồ thị VDPA Ta thấy VGP có hai cực tiểu hình vẽ thay vào phương trình Gross-Pitaevskii ta khơng giải trực tiếp phương trình Do ta thay VDPA hai parabol ghép với gọi parabol kép Khi thay VDPA vào phương trình Gross - Pitaevskii ta giải phương trình 30 3.2 Trạng thái gần Parabol kép Trạng thái hệ BECs mô tả hệ phương trình GP thơng qua (2.19) (2.20) Trước hết ta chuyển phương trình dạng khơng thứ ngun Ta có d d dz d ,   dz dz dz 1 dz d2 d2    d2 ,    dz 12 dz    dz  d 1 2 d =>   1 n10 2m1 dz 2 m1 12 dz  Thay 1   (3.8)  vào (3.8) ta 2m11  d 1  2m11 d   1 n10 2m1 dz 2m1 2 dz    1 d2 1 n10 dz    g11n10   d2 n10 1 dz ta có 11  g11n10 n101 , g11 1 1  g11n10 1 2 n101  g11n10 n10 1 1 , g12  1  g12n20 n0 2 1 , thay chúng vào (2.17) ta 31 d 21   1  13  K221  dz (3.9) Tương tự ta có  d 2 2    d    2 n20 ,   2m2 dz 2m2    dz  với    (3.10)  2m2  thay vào (3.10) ta  2 d 2 2  d2   m  2 n20 2 2m2 dz 2m2  dz     n20  d2 2 dz   g 22 n20 n20 d2 2 dz Ta có 2  g22n20 n202 , 2 g 22    g 22n20 n20 2 2 , 2 g12 1   g12n10 n20 1 2 , thay vào (2.18) ta d 22   2  23  K122  , dz (3.11) khảo sát hệ trạng thái cân pha, tức P1  P2 , với Pj  g jj n 2j / Bây cách sử dụng DPA tìm trạng thái hệ [6] Giả sử mặt phân cách hệ nằm vị trí z   , ta khai 32 triển tham số trật tự  j quanh giá trị chuẩn hóa theo mật độ khối n j0 Xét miền z >  1   a, 2  b, (3.12) ý giữ lại bậc a b ta hệ phương trình a ''  a  0,  2b ''  2b  0, Thay hệ vào (3.12) ta 1 ''  (1  1)  ,  22 ''  22  , với điều kiện biên Robin 1 (0)  2 ()  0, 1 ()  1, 2 (0)  c2 '(0),c  const , (3.13) ta thu nghiệm phương trình 1   1e  z ,  z 2  1e  (3.14) Xét miền z<  , ta khai triển ngược lại 1  a , 2   b, (3.15) thay (3.15) vào (2.9) (2.11) ý giữ lại bậc a b ta hệ phương trình a ''  2a  0, 33  2b ''  2b  0, thay hệ phương trình vào (3.15) ta 1 ''  21  ,  22 ''  (2  1)  0, với điều kiện biên Robin 1 (0)  2 ()  0, 1 ()  1, 2 (0)  c2 '(0),c  const ta thu nghiệm phương trình 1  A2 sinh( z ),  z  2   B2e  B2e z   z ( c   )  e c    (3.16) với   2;   K  ,  vị trí biên Trong DPA, tác giả [6] chứng minh tham số trật tự đạo hàm bậc chúng phải liên tục mặt phân cách 1 (   )   j (   ) d j dz   d i dz , (3.17)  Từ (3.14), (3.16) (3.17) ta hệ số A1, A2, B1, B2 sau 1  2  e  ,         cosh     2 sinh    , 34  (   ) 2e   (1   cosh( 1    )  c sinh(   )) ,   (   )(c   )  e (   )(c   )  2      e   (c   )  (   )(c   )  e      (c   ) 3.3 Vị trí mặt phân cách ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần ảnh hưởng điều kiện biên Robin Thế hóa học  j hệ xác định qua số hạt N j sau  N j   2j dr (3.18) Chúng ta tính số hạt tương ứng với thành phần hai Công thức (3.18) lúc có dạng  N  1  22 dr , (3.19) hay:  N 20  1  22 dz      1    dz    22 dz  ,  0  (3.20) N 20 số hạt thành phần hai đơn vị độ dài theo trục Oz Thay (3.14), (3.16) vào (3.20) ta 2 2      B e  e M  N 20    , 2 2     c       với (3.21) 35  M  {4 B2 e   2  (c   )  B e   (c   )  4e   (c   )(1  B2 (c   ))   (1  B2 (c   )) 2  e  [  2(c  (c  B2 (1  B2 c )) (3.22)  (2 B2   c (2  B2  2 ))  (2  B2  B2 c    B22 (c  ) )  B2 )]}, hệ số B1 B2 tính phần Sử dụng (3.21) khảo sát phụ thuộc vị trí mặt phân cách vào thông số hệ số hạt N20 , số tương tác K tỉ lệ độ dài đặc trưng  , số c Trong [1] tác giả khảo sát vị trí mặt phân cách ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần ảnh hưởng điều kiện biên Dirichlet Trong kết mà thu được, cho c  ta thu kết tương ứng [1] Để tiến hành tính số trường hợp này, tức ứng với điều kiện biên Robin, sử dụng kết c   mà tác giả tìm  [9] c tìm ứng với cực tiểu lượng mặt ngồi 36  Hình 3.2 Sự phụ thuộc  vào K với N20 101 , c  (nét liền), c   (nét gạch)   (đỏ), 0.6 (xanh lá) 0.2 (xanh lục) Kết hoàn toàn phù hợp với quy luật vật lý Sự phụ thuộc vị trí mặt phân cách vào K vẽ hình 3.2, đường màu đỏ, xanh lá, xanh lục ứng với   , 0.6, 0.2 Các đường nét liền kết thu từ điều kiện biên Robin, đường nét đứt kết tương ứng với điều kiện biên Dirichlet Trong hình vẽ số hạt thành phần ngưng tụ cố định giá trị N20 101 Từ đồ thị ta có ba nhận xét: - Đối với hệ phân tách mạch, vị trí phân cách phụ thuộc vào K yếu - Khi K  vị trí mặt phân cách thay đổi nhanh Điều phù hợp với chất vật lý hệ: K  hệ dần chuyển sang trạng thái mà hai thành phần trộn lẫn vào K  mặt phân cách khơng tồn - Giữa hai điều kiện biên khác vị trí mặt phân cách có 37 thay đổi đáng kể Hình 3.3 Sự phụ thuộc  vào  K  với c   (nét liền), c   (nét gạch) N20 101 (đỏ), 151 (xanh lá) 201 (xanh lục) Hình 3.4 Sự phụ thuộc  vào N20 K  với c   (nét liền), c   (nét gạch)   (đỏ), 0.6 (xanh lá) 0.2 (xanh lục) 38 Hình 3.3 3.4 phụ thuộc  vào giá trị  N20 K  Rõ ràng phụ thuộc gần tuyến tính vị trí mặt phân cách bị ảnh hưởng với thay đổi tham số Hơn từ hình 3.2, 3.3, 3.4 cho thấy vị trí mặt phân cách phụ thuộc vào điều kiện biên mà xét Dựa vào kết thu được, hình 3.5, 3.6 3.7 vẽ đồ thị tham số trật tự theo tọa độ z ứng với số tham số 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 10 15 20 z Hình 3.5 Sự phụ thuộc vị trí mặt phân cách ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần ảnh hưởng điều kiện biên Robin ứng với K = 3,   39 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 10 15 20 25 z Hình 3.6 Sự phụ thuộc vị trí mặt phân cách ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần ảnh hưởng điều kiện biên Robin ứng với K = 3,   1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 10 15 20 z Hình 3.7 Sự phụ thuộc vị trí mặt phân cách ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần ảnh hưởng điều kiện biên Robinứng với K = 3,   0.5 40 KẾT LUẬN Luận văn “Vị trí mặt phân cách ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần ảnh hưởng điều kiện biên Robin” việc tổng quan ngưng tụ Bose – Einstein đưa ngưng tụ Bose – Einstein khí Bose lý tưởng, hệ thống lý thuyết Gross – Pitaevskii, tìm trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần gần parabol kép, thu hai kết sau: - Khảo sát phụ thuộc vị trí mặt phân cách vào thông số đặc trưng hệ như: số hạt, độ dài đặc trưng, cường độ tương tác - Chứng minh vị trí mặt phân cách phụ thuộc rõ vào điều kiên biên áp dụng vị trí đặt tường cứng 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Thụ, Phạm Thu Hương, Nguyễn Vân Anh (2016), Vị trí mặt phân cách ngưng tụ Bose – Einstein không gian nửa vô hạn, Tạp chí khoa học Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, số 43, 57 [2] Vũ Thanh Khiết (1988), Vật lý thống kê, NXB Giáo dục, Hà Nội Tiếng Anh [3] A L Fetter and J D Walecka, Quantum Theory of Many – particlesSystems (McGraw – Hill, Boston, 1971) [4] C J Pethick, H Smith (2008), Bose – Einstein condensate in dilute gases, Cambridge University Press, New York [5] D A.Takahashi, M Kobayashi, M Nitta (2015), Nambu Goldstone modes propagating along topological defects Kelvin and ripple mode from small to large system, Phys Rev B 91, 184501 [6] J O Indekeu, C Y Lin, N V Thu, B V Schaeybroeck, T H Phat (2015), Static interfacial properties of Bose – Einstein condensate mixtures, Phys Rev A91, 033615 [7] L.Pitaevskii, S Stringari (2003), Bose – Einstein condensation, Clarendon Press Oxford, New York [8] Nguyen Văn Thu (2016), Static propertics of Bose – Einstein condensatemixturesin semi-infinite space, Phys Lett A 380, 2920 [9] Nguyen Van Thu, Tran Huu Phat, Hoang Van Quyet (2017), In preparation 42 ... - Pitaevskii - Vị trí mặt phân cách ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần ảnh hưởng điều kiện biên Robin Những đóng góp đề tài Vị trí mặt phân cách ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần ảnh. .. chọn đề tài Vị trí mặt phân cách ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần ảnh hưởng điều kiện biên Robin làm đề tài nghiên cứu 2 Mục đích nghiên cứu Trên sở lý thuyết ngưng tụ Bose - Einstein nghiên... trí mặt phân cách ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần ảnh hưởng điều kiện biên Robin sở thống kê Bose – Einstein, phương trình Gross - Pitaevskii tổng quát Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Phương