Trạng thái cơ bản ngưng tụ bose einstein hai thành phần phân tách yếu với điều kiện biên robin

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ HÀ THỊ LY TRẠNG THÁI CƠ BẢN NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH YẾU VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ HÀ THỊ LY TRẠNG THÁI CƠ BẢN NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH YẾU VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Thụ HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Thụ, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn em để em hoàn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô giảng dạy em suốt bốn năm qua, thầy cô giáo giảng dạy chuyên nghành Vật lý lý thuyết Vật lý toán toàn thể thầy cô Khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, giảng dạy trang bị cho em kiến thức học tập, nghiên cứu khóa luận công việc sau Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện mặt trình học tập để em hoàn thành khóa luận Trong trình nghiên cứu thời gian có hạn bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài tránh khỏi thiếu xót Vì vậy, em mong nhận đóng góp quý thầy cô bạn để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 18 tháng năm 2017 Sinh viên HÀ THỊ LY LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp “Trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần phân tách yếu với điều kiện biên Robin” hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình nghiêm khắc TS Nguyễn Văn Thụ Tôi xin cam đoan đề tài kết nghiên cứu không trùng với kết nghiên cứu tác giả khác Trong nghiên cứu kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 18 tháng năm 2017 Sinh viên HÀ THỊ LY MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu CHƯƠNG TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN 1.1 Hệ hạt đồng 1.2 Thống kê Bose - Einstein 1.3 Tình hình nghiên cứu ngưng tụ Bose - Einstein 14 1.4 Thực nghiệm ngưng tụ Bose – Einstein 17 1.4.1 Ngưng tụ Bose – Einstein nguyên tố erbium 17 1.4.2 Loại ánh sáng đột phá vật lý 19 1.4.3 Các nhà Vật lý khẳng định tồn trạng thái ngưng tụ polartion 21 1.4.4 Chất siêu dẫn 24 CHƯƠNG TRẠNG THÁI CƠ BẢN NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH YẾU VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN 26 2.1 Phương trình Gross – Pitaevskii 26 2.1.1 Phương trình Gross – Pitaevskii phụ thuộc vào thời gian 26 2.1.2 Phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian 27 2.2 Gần parabol kép (Double parabola approximation - DPA) 30 2.3 Trạng thái gần parabol kép, giải phương trình với điều kiện biên Robin 32 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Albert Einstein nhà vật lý lý thuyết người Đức, người phát triển thuyết tương đối tổng quát hai trụ cột vật lý đại Mặc dù ông biết đến nhiều qua phương trình tương đương lượng - khối lượng E = mc2 ông lại trao giải Noben vật lý năm 1921 cho cống hiến ông vật lý lý thuyết, đặc biệt cho khám phá định luật hiệu ứng quang điện Khi bước vào nghiệp Einstein nhận học Newton không thống định luật học cổ điển với định luật trường điện từ Từ ông phát triển thuyết tương đối đặc biệt, mở rộng nguyên lí tương đối cho trường hấp dẫn Ông tiếp tục nghiên cứu toán học thống kê lý thuyết nguyên tử, đưa giải thích lý thuyết chuyển động hạt Ý tưởng BEC (Bose - Einstein condesation) năm 1924 nhà lý thuyết người Ấn Độ Satyendra Nath Bose suy định luật Planck cho xạ vật đen coi photon chất khí nhiều hạt đồng Satyendra Nath Bose chia sẻ ý tưởng với Einstein hai nhà khoa học tổng quát hóa lý thuyết Bose cho khí lý tưởng nguyên tử tiên đoán nguyên tử bị làm đủ lạnh, bước sóng chúng trở thành lớn đến mức chồng lên Các nguyên tử nhận dạng hạt nhân tạo nên trạng thái lượng tử vĩ mô hay nói cách khác siêu nguyên tử- tức BEC Mãi đến năm 1980 kỹ thuật laser đủ phát triển để làm siêu lạnh nguyên tử đến nhiệt độ thấp BEC thực Năm 1995 trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein tạo giới phòng thí nghiệm JILA (Đại học Colorado Viện Tiêu Chuẩn Công nghệ Quốc Gia NTST) từ nguyên tử lạnh làm siêu lạnh bẫy từ sử dụng laser Điểu có ý nghĩa lớn tạo nên dạng vật chất hạt bị giam chung trạng thái lượng thấp nhất, mở nhiều triển vọng nghiên cứu vật lý Những nghiên cứu thu hút quan tâm nhiều nhà Vật lý giới Chính lý mà em chọn đề tài “ Trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein hai thành phần phân tách yếu với điều kiện biên Robin” làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Trên sở lý thuyết ngưng tụ Bose - Einstein nghiên cứu trạng thái của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách yếu với điều kiện biên Robin Đối tượng phạm vi nghiên cứu  Các phương trình Gross- Pitaevskii  Nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách yếu với điều kiện biên Robin Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bose Einstein hai thành phần phân tách yếu với điều kiện biên Robin sở thống kê BoseEinstein, phương trình Gross- Pitaevskii Phương pháp nghiên cứu  Đọc tài liệu có liên quan  Sử dụng kiến thức Vật lý thống kê, học lượng tử phương pháp giải tích toán học  Sử dụng gần parabol kép  Giải phương trình hình phần mềm Mathematica  Phương pháp đàm thoại trao đổi với giáo viên CHƯƠNG TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN 1.1 Hệ hạt đồng Xét hệ N hạt chuyển động phi tương đối tính Trong trường hợp toán tử Hamilton viết dạng N p ˆ i2 ˆ ˆ H   Vˆ  r1, r2 , , rN   W, i 1 2mi (1.1) Vˆ toán tử tương tác hạt, hàm tọa độ tất hạt, toán tử đặc trưng cho tương tác spin – quỹ đạo, tương tác spin hạt trường ngoài, toán tử xung lượng, m khối lượng hạt Hàm sóng phương trình Schrodinger     Hˆ  1,2, , N , t   0, i  t  (1.2) với toán tử Hamilton (1.1) hàm thời gian, tọa độ không gian spin hạt 1, 2, 3,…, N Nếu hạt có đặc trưng điện tích, khối lượng, spin,…không phân biệt với có hệ N hạt đồng Trong hệ thế, làm phân biệt hai hạt với nhau? Trong vật lý học cổ điển trường hợp tương tự người ta phân biệt hạt theo trạng thái chúng, nghĩa nêu tọa độ xung lượng hạt Nhưng biện pháp áp dụng học lượng tử Chẳng hạn hai electron thời điểm đầu phân biệt cách đặt chúng hai hố khác nhau, cách rào thế, hiệu ứng đường hầm, theo thời gian, electron trao đổi trạng thái cho việc phân biệt hai electron với nghĩa Tính không phân biệt hạt đồng theo trạng thái 1.4.4 Chất siêu dẫn Mới đây, nhà khoa học thuộc Viện Tiêu chuẩn Công nghệ quốc gia phới hợp với trường đại học Colorado (Mỹ) thành công việc tạo loại chất Loại vật chất dạng cô đặc hạt bản: electron, proton neutron Đó dạng vật chất thứ sáu người khám phá sau dạng: chất khí, chất rắn, chất lỏng, khí plasma Bose – Einstein cô đặc tạo từ năm 1995 Deborah Jin (đại học Colorado) cho biết, loại vật chất mà đồng nghiệp bà vừa tạo đột phá khoa học việc cung cấp kiểu cho hoạt động học lượng tử Loại vật chất có khả tạo mối liên kết hai lĩnh vực hoạt động khoa học chất siêu dẫn Bose – Einstein, tạo sở phát triển ứng dụng thiết thực khác Hiện nay, theo ước tính có khoảng 10% lượng điện ta sản xuất bị tiêu hao đường chuyển tải, làm nóng đường dây Nếu ứng dụng vật liệu chất siêu dẫn vào làm dây dẫn điện trình chuyển tải điện không bị hao hụt điện trở Ngoài ra, chất siêu dẫn cho phép sáng chế loại xe lửa bay đệm từ trường dựa sở nguồn lượng sử dụng Do giải phóng khỏi ma sát, đoàn tàu lướt theo đường từ trường tốc độ cao Jin với hai đồng nghiệp Eric Cornell Carl Wieman đoạt giải Nobel Vật lý năm 2001 cho phát minh vật chất Bose – Einstein cô đặc Loại vật chất tạo từ tập hợp hàng nghìn phần tử cực lạnh tạo thành trạng thái lượng tử đơn, tương tự siêu nguyên tử Còn loại vật chất mà nhóm nghiên cứu bà vừa tạo khác với Bose – Einstein Nó tạo thành từ khối hạt vật chất proton, electron neutron môi trường chân không làm lạnh xuống gần tới độ không tuyệt đối Tại nhiệt độ đó, phần tử vật chất ngừng hoạt động Sau đó, từ trường tia 24 laser điều khiển để nguyên tử kết đôi lại với Loại nguyên tử có sức hút mạnh nguyên tử thông thường, đem đến cho giới nhiều ứng dụng thiết thực cho sống hàng ngày người 25 CHƯƠNG TRẠNG THÁI CƠ BẢN NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH YẾU VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN 2.1 Phương trình Gross – Pitaevskii 2.1.1 Phương trình Gross – Pitaevskii phụ thuộc vào thời gian Ta coi hai thành phần BEC nguyên tử với khối lượng , , số j = 1,2 thành phần thành phần Xét hỗn hợp hai nguyên tử boson khác Ta có hàm sóng Hartree hai thành phần, ký hiệu tương ứng với N2 (2.1) Ở trạng thái biểu diễn hàm sóng đơn tương ứng và trạng thái biểu thị Các Đối với hệ đồng lượng cho phương trình tổng quát (2.2) Nếu đưa vào hàm sóng ngưng tụ hai thành phần với Thì lương tương ứng cho hệ thành phần sau (2.3) Tại bỏ qua ảnh hưởng lớn, số , , khối lượng hạt thứ i, , hai giá trị nhỏ bên Các xác định độ dài tán xạ sóng s theo công thức (2.4) 26 khối lượng rút gọn , nguyên tử thứ i nguyên tử thứ j Từ (2.2) (2.3) ta thu phương trình Gross – Pitaevskii phụ thuộc vào thời gian   2 i     U1  g11   g12   1, t  2m1  (2.5)   2 i     U  g 22   g12   , t  2m2  (2.6) với U1,U tương tác 2.1.2 Phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian Để tìm phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian ta giả sử tự phân tách diễn dọc theo trục Oz gọi ngưng tụ bên phải mặt phân cách “1” ( z  ) ngưng tụ bên trái mặt phân cách “2” ( z  ) Biểu diễn hàm sóng dạng phân li biến số:  j   j  ze i  j t / , với  j hàm sóng trạng thái bản,  j hóa Thay (2.7) vào (2.5) (2.6) ta 27 (2.7) Thực phép lấy đạo hàm theo thời gian ta thu  d 21 2m1 dz   U1  1  1  g11 1 1  g12  1  0, d 2 2m2 dz 2 (2.8)  U  2    g 22    g12 1   (2.9) 2 Phương trình (2.8) (2.9) gọi phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian Khi trường ngoài, tức U1  U  (2.8) (2.9) trở thành   d 21 2m1 dz 2 d 2 2m2 dz 2  11  g11 1 1  g12  1  0, 2  2  g 22    g12 1   (2.10) (2.11) Như tương tác lý thuyết Gross-Pitaevskii có dạng 4 2  j   g12 1  2  (2.12) g g 2 4 2 =  1 1  2   11 1  22   g12 1  2 V    j  j j 1,2    g jj Sử dụng chiều dài tương quan (heading length) j  2m j  j , (2.13) mật độ khối hạt thứ j n j   j / g jj đưa vào đại lượng không thứ nguyên 28 z  z1,  j 2 g12 , j  ,K  , 1 n j0 g11g 22 (2.14) ta có d d dz d   , dz dz dz 1 dz d2 dz  d2 12 dz Do d 21   2m1 dz Thay biểu thức  d2 2m1 12 dz 1  n10 vào biểu thức ta được: d 21 2m1 dz   g11n10 n10 d 21 dz (2.15) Ta có: (2.16) Thay (2.15) (2.16) vào (2.10) ta được:  d 21 dz  1  13  K221  (2.17) Tương tự:  d 2 2m2 dz 2    d2  2 n20   2m2    dz 2   (2.18) Thay biểu thức 2 vào biểu thức ta được:  d 2 2m2 dz   g 22n20 n20 29 d 22 dz (2.19) Ta có (2.20) Thay (2.19) (2.20) vào (2.11) ta  d 22 dz  2  23  K122  (2.21) Lưu ý ta xét hệ trạng thái cân pha nên áp suất hai thành phần phải nhau, tức P1  P2 , Pj  g jj n 2j / 2.2 Gần parabol kép (Double parabola approximation - DPA) Để hiểu phép gần parabol kép ta xét ngưng tụ Bose – Einstein thành phần Thế tương tác phương trình Gross-Pitaevskii theo (2.12) có dạng VGP      g  (2.22) Bằng cách đưa vào đại lượng không thứ nguyên (2.14), tương tác (2.22) viết dạng VGP     (2.23) Ở gần mặt phân cách tham số trật tự  giảm dần từ nên ta đặt    a, với a số thực nhỏ Thay (2.24) vào (2.23) ta 30 (2.24) 1  a 4 =   2a  a   4a  6a  4a  a 1 =   2a  2a  a 2 VGP   1  a     Khai triển VGP giữ đến gần bậc hai ta VDPA  2a     1  , 2 (2.25) VDPA gần parabol kép Ta có đồ thị hai VGP VDPA sau: 1.5 V 1.0 0.5 0.0 0.5 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 Hình 2.1 Đồ thị VGP VDPA Đường màu nét đứt đồ thị VGP , đường nét liền đồ thị VDPA Ta thấy VGP có hai cực tiểu hình vẽ thay vào phương trình Gross-Pitaevskii ta không giải trực tiếp phương trình Do ta thay VDPA hai parabol ghép với gọi parabol kép Khi thay VDPA vào phương trình Gross-Pitaevskii ta giải phương trình 31 2.3 Trạng thái gần parabol kép, giải phương trình với điều kiện biên Robin Với có mặt tường cứng z  , áp dụng điều kiện biên Dirichlet cho thành phần 1, tức , (2.26a) Với thành phần ta áp dụng điều kiện biên Robin, tức (2.26b) với c số điều kiện biên Robin trở thành điều kiện biên Rõ ràng Dirichlet Ngược lại, điều kiện biên Robin trở thành điều kiện biên Newman Bây sử dụng DPA để tìm trạng thái hệ Giả sử mặt phân cách hệ nằm vị trí , ta khai triển tham số trật tự  j quanh giá trị chuẩn hóa theo mật độ khối n j tức  j    j , j    j  , với  j, j   1,2   j, j    2,1 Cần ý  j  j số thực, nhỏ ta bỏ qua thừa số pha khai triển  Ở miền ( vị trí biên) ta đặt (2.27) Thay vào (2.17) (2.21) ý giữ lại bậc a b ta hệ phương trình a  2a  0,  2b   K  1 b  32 (2.28) Thay (2.27) vào (2.28) đặt   2,   K  1, ta phương trình Gross-Pitaevskii DPA 1   1  1  0,  2   2  • Ở miền (2.29) ta đặt (2.30) Thay vào (2.17) (2.21) ý giữ lại bậc a b ta hệ phương trình b   K  1 b  0,  a  2a  (2.31) Do 1   21  0,  2   (2  1)  Trong miền (2.32) , nghiệm phương trình (2.29) có dạng (2.33) Trong miền , bị triệt tiêu vị trí đặt tường cứng nên nghiệm (2.32) bị ràng buộc điều kiện biên (2.26a) (2.26b) có dạng (2.34) với A1, A2 , B1, B2 số tích phân Trong DPA, tác giả [10] chứng minh tham số trật tự đạo hàm bậc chúng phải liên tục mặt phân cách 33 (2.35) Thay (2.33) (2.34) vào (2.35) ta tìm (2.36) Trong phân tách yếu, giới hạn (K tiến đến gần ) Trước hết với trường hợp ta thấy kết trùng với kết tương ứng sử dụng điều kiện biên Dirichlet Hình 2.3 2.4 biểu diễn thay đổi tham số trật tự theo z 34 Hình 2.1 Hàm sóng trạng thái Đường nét liền đường nét đứt tương ứng với thành phần thứ thứ ( Hình 2.2 Hàm sóng trạng thái nét đứt tương ứng với thành phần thứ thứ 35 Đường nét liền Bây ta tiến hành tính số với giá trị tham số với Kết cho thấy khác biệt mật độ phân bố thành phần gần tường cứng Kết thể hình 2.4 2.5 biểu diễn thay đổi tham số trật tự theo z Hình 2.3 Hàm sóng trạng thái Đường nét liền đường nét đứt tương ứng với thành phần thứ thứ Hình 2.4 Hàm sóng trạng thái Đường nét liền nét đứt tương ứng với thành phần thứ thứ 36 KẾT LUẬN Với đề tài “Trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần phân tách yếu với điều kiện biên Robin” em hoàn thành việc nghiên cứu vấn đề sau:  Lý thuyết chung ngưng tụ Bose – Einstein: thống kế Bose – Einstein cho hệ hạt đồng nhất, từ đưa ngưng tụ Bose – Einstein khí Boson lý tưởng  Phương trình Gross – Pitaevskii phụ thuộc vào thời gian  Phương trình Gross – Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian  Trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần phân tách yếu gần parabol kép 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trần Thái Hoa (1993), Bài giảng học lượng tử, NXB ĐHSP Hà Nội [2] Vũ Thanh Khiết (1988), Vật lý thống kê, NXB Giáo dục, Hà Nội [3] www.wikipedia.org Tiếng Anh [4] A L Fetter and J D Walecka, Quantum Theory of Many – particles Systems (McGraw – Hill, Boston, 1971) [5] B V Schaeybroeck, Phys Rev A 78, 023624 (2008) [6] B Van Schaeybroeck and J O Indekeu, Phys Rev A 91, 013626 (2015) [7] C J Pethick, H Smith (2008), Bose – Einstein condensate in dilute gases, Cambridge University Press, New York [8] I E Mazets, Phys Rev A 65, 033618 (2002) [9] J O Indekeu, C Y Lin, N V Thu, B V Schaeybroeck, T H Phat (2015), Static interfacial properties of Bose – Einstein condensate mixtures, Phys Rev A 91, 033615 [10] L Pitaevskii, S Stringari (2003), Bose – Einstein condensation, Clarendon Press Oxford, New York [11] P Ao and S T Chiu, Phys Rev A 58, 4836 (1998) [12] R A Barankov, Phys Rev A 66, 013612 (2002) 38 ... phần phân tách yếu với điều kiện biên Robin Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bose Einstein hai thành phần phân tách yếu với điều kiện biên Robin sở thống kê BoseEinstein, phương... thành phần phân tách yếu với điều kiện biên Robin Đối tượng phạm vi nghiên cứu  Các phương trình Gross- Pitaevskii  Nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách yếu. .. hai thành phần phân tách yếu với điều kiện biên Robin làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Trên sở lý thuyết ngưng tụ Bose - Einstein nghiên cứu trạng thái của ngưng tụ Bose - Einstein hai