5. Phương pháp nghiên cứu
2.3. Trạng thái cơ bản trong gần đúng parabol kép, giải phương trình với điều
điều kiện biên Robin
Với sự có mặt của tường cứng tại z0, áp dụng điều kiện biên Dirichlet cho thành phần 1, tức là
(2.26a)
Với thành phần 2 ta áp dụng điều kiện biên Robin, tức là
(2.26b) với c là 1 hằng số.
Rõ ràng là khi thì điều kiện biên Robin trở thành điều kiện biên Dirichlet. Ngược lại, nếu thì điều kiện biên Robin trở thành điều kiện biên Newman.
Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng DPA để tìm trạng thái cơ bản của hệ.
Giả sử rằng mặt phân cách của hệ nằm tại vị trí , khi đó ta khai triển tham số trật tự j quanh giá trị được chuẩn hóa theo mật độ khối nj0 tức là
1 , ,
j j j j
với j j, 1, 2 khi và j j, 2,1 khi . Cần chú ý rằng j và
j
là các số thực, nhỏ và ta đã bỏ qua thừa số pha trong các khai triển này.
Ở miền ( là vị trí biên) ta đặt
(2.27) Thay vào (2.17) và (2.21) và chú ý chỉ giữ lại bậc 1 của a và b ta được hệ phương trình 2 2 0, 1 0. a a b K b (2.28) , . .
33
Thay (2.27) vào (2.28) và đặt 2, K 1, ta được phương trình Gross-Pitaevskii trong DPA
2 1 1 2 2 2 2 1 0, 0. (2.29) • Ở miền ta đặt (2.30) Thay vào (2.17) và (2.21) và chú ý chỉ giữ lại bậc 1 của a và b ta được hệ phương trình 2 1 0, 2 0. b K b a a (2.31) Do đó 2 1 1 2 2 2 2 0, ( 1) 0. (2.32)
Trong miền , nghiệm của phương trình (2.29) có dạng
(2.33)
Trong miền , do bị triệt tiêu tại vị trí đặt tường cứng nên nghiệm của (2.32) bị ràng buộc bởi điều kiện biên (2.26a) và (2.26b) có dạng
(2.34)
với A A B B1, 2, 1, 2 là các hằng số tích phân.
Trong DPA, các tác giả [10] đã chứng minh được rằng các tham số trật tự và đạo hàm bậc nhất của chúng phải liên tục tại mặt phân cách
34
(2.35)
Thay (2.33) và (2.34) vào (2.35) ta tìm được
(2.36)
Trong phân tách yếu, giới hạn khi (K tiến đến rất gần 1 nhưng
).
Trước hết với trường hợp ta thấy kết quả này trùng với những kết quả tương ứng khi sử dụng điều kiện biên Dirichlet. Hình 2.3 và 2.4 biểu diễn sự thay đổi của tham số trật tự theo z tại và .
35
Hình 2.1 Hàm sóng ở trạng thái cơ bản tại . Đường nét liền và đường nét đứt tương ứng với thành phần thứ 1 và thứ 2
( .
Hình 2.2 Hàm sóng ở trạng thái cơ bản tại Đường nét liền và nét đứt tương ứng với thành phần thứ 1 và thứ 2 .
36
Bây giờ ta sẽ tiến hành tính số với cùng giá trị tham số ở trên nhưng với . Kết quả cho thấy sự khác biệt của mật độ phân bố thành phần 2 ở gần tường cứng. Kết quả được thể hiện trên hình 2.4 và 2.5 biểu diễn sự thay đổi của tham số trật tự theo z tại và .
Hình 2.3 Hàm sóng ở trạng thái cơ bản tại . Đường nét liền và đường nét đứt tương ứng với thành phần thứ 1 và thứ 2
Hình 2.4 Hàm sóng ở trạng thái cơ bản tại Đường nét liền và nét đứt tương ứng với thành phần thứ 1 và thứ 2.
37
KẾT LUẬN
Với đề tài “Trạng thái cơ bản ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần phân tách yếu với điều kiện biên Robin” em đã hoàn thành cơ bản việc nghiên cứu các vấn đề sau:
Lý thuyết chung về ngưng tụ Bose – Einstein: thống kế Bose – Einstein cho hệ hạt đồng nhất, từ đó đưa ra ngưng tụ Bose – Einstein đối với khí Boson lý tưởng.
Phương trình Gross – Pitaevskii phụ thuộc vào thời gian.
Phương trình Gross – Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian.
Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần phân tách yếu trong gần đúng parabol kép.
38
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Trần Thái Hoa (1993), Bài giảng cơ học lượng tử, NXB ĐHSP Hà Nội 2. [2] Vũ Thanh Khiết (1988), Vật lý thống kê, NXB Giáo dục, Hà Nội.
[3] www.wikipedia.org.
Tiếng Anh
[4] A. L. Fetter and J. D. Walecka, Quantum Theory of Many – particles
Systems (McGraw – Hill, Boston, 1971).
[5] B. V. Schaeybroeck, Phys. Rev. A 78, 023624 (2008).
[6] B. Van Schaeybroeck and J. O. Indekeu, Phys. Rev. A 91, 013626
(2015).
[7] C. J. Pethick, H. Smith (2008), Bose – Einstein condensate in dilute gases, Cambridge University Press, New York.
[8] I. E. Mazets, Phys. Rev. A 65, 033618 (2002).
[9] J. O. Indekeu, C. Y. Lin, N. V. Thu, B. V. Schaeybroeck, T. H. Phat (2015), Static interfacial properties of Bose – Einstein condensate mixtures, Phys. Rev. A 91, 033615.
[10] L. Pitaevskii, S. Stringari (2003), Bose – Einstein condensation, Clarendon Press. Oxford, New York.
[11] P. Ao and S. T. Chiu, Phys. Rev. A 58, 4836 (1998). [12] R. A. Barankov, Phys. Rev. A 66, 013612 (2002).