Trạng thái cơ bản ngưng tụ bose einstein hai thành phần phân tách mạnh với điều kiện biên robin

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ TRẦN THỊ THANH NGA TRẠNG THÁI CƠ BẢN NGƢNG TỤ BOSE - EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH MẠNH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN KHÓA LUẬN TÔT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2017 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ TRẦN THỊ THANH NGA TRẠNG THÁI CƠ BẢN NGƢNG TỤ BOSE - EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH MẠNH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TÔT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS.Nguyễn Văn Thụ HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Trước tiên em xin dành lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến TS.Nguyễn Văn Thụ - người thầy hướng dẫn tận tình bảo tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em suốt trình thực khoá luận Em xin bày tỏ lời lòng biết ơn chân thành đến thầy cô giáo giảng dạy em bốn năm qua, đặc biệt thầy cô Khoa Vật lý bạn sinh viên trình học tập trau dồi kiến thức trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy cho em nhiều kiến thức học tập, nghiên cứu khoá luận công việc sau Trong trình nghiên cứu thời gian có hạn bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận đóng góp quý thầy cô bạn để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày 17 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Trần Thị Thanh Nga LỜI CAM ĐOAN Khoá luận tốt nghiệp “Trạng thái ngưng tụ Bose-Einsstein hai thành phần phân tách mạnh với điều kiên biên Robin” hoàn thành hướng dẫn tận tình TS.Nguyễn Văn Thụ Tôi xin cam đoan đề tài kết nghiên cứu riêng không trùng với khoá luận khác Hà Nội, ngày 17 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Trần Thị Thanh Nga MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đ ch nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đóng góp đề tài CHƢƠNG LÝ THUYẾT CHUNG VỀ NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN 1.1 Hệ hạt đồng 1.1.1 Nguyên lí đồng 1.1.2 Các trạng thái đối xứng phản đối xứng 1.1.3 Nguyên lí Pauli hàm sóng hệ tương tác yếu 1.2 Thống kê Bose-Einsstein 1.3 Tình hình nghiên cứu ngưng tụ Bose-Einsstein 17 1.4 Thực nghiệm ngưng tụ Bose-Einstein 21 1.4.1 Ngưng tụ Bose- Einstein nguyên tố erbium 21 1.4.2 Loại ánh sáng tạo đột phá vật lý 22 1.4.3 Các nhà vật lý khẳng định tồn trạng thái ngưng tụ polartion .24 CHƢƠNG TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH MẠNH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN 28 2.1 Phương trình Gross-Pitaevskii 28 2.1.1 Phương trình Gross- Pitaevskii phụ thuộc vào thời gian 28 2.1.2 Phương trình Gross- Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian 29 2.2 Gần parabol kép (Double parabola approximation - DPA) 32 2.3 Trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách mạnh gần parabol kép, giải phương trình với điều kiện biên Robin 34 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trước đây, t nghĩ tạo ngưng tụ Bose - Einstein chất ngưng tụ lại hứa hẹn có nhiều ứng dụng khoa học công nghệ Ngưng tụ Bose – Einstein công trình khoa học tiếng Einstein tạo giới (BEC- Bose- Einstein Condensation) từ nguyên tử lạnh năm 1995 Ngưng tụ Bose- Einstein trạng thái vật chất kh boson loãng bị làm lạnh đến nhiệt độ gần độ 0oK tuyệt đối (hay gần giá trị 0oK hay 273oC) Dưới điều kiện này, tỉ lệ lớn boson tồn trạng thái lượng tử trở lên rõ rệt mức vĩ mô Những hiệu ứng gọi tượng lượng tử mức vĩ mô Trạng thái vật chất lần Bose- Einsstein tiên đoán tồn năm 1924- 1925 Bose gửi báo đến Einstein thống kê lượng tử lượng tử ánh sáng Einstein sau mở rộng ý tưởng Bose cho hệ hạt vật chất chứng minh làm lạnh nguyên tử boson đến nhiệt độ thấp hệ t ch tụ lại (hay ngưng tụ) trạng thái lượng tử thấp tạo nên trạng thái vật chất Với việc tạo trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein, có ý nghĩa lớn vật lý giải th ch nhiều tượng vật lý siêu dẫn, siêu chảy, Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein chọn đề tài “ Trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein hai thành phần phân tách mạnh với điều kiện biên Robin“ làm đề tài nghiên cứu Mục đ ch nghiên c u Trên sở lý thuyết ngưng tụ Bose – Einstein nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần phân tách mạnh điều kiện biên Robin vật lý thống kê học lượng tử Đối tƣợng phạm vi nghiên c u - Các phương trình Gross-Pitavskii - Nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách mạnh ảnh hưởng điều kiện biên Robin Nhiệm vụ nghiên c u Tìm hiểu “ Trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần phân tách mạnh với điều kiện biên Robin“ xuất phát từ hệ hạt đồng chất, thống kê Bose-Einstein boson hạt có spin nguyên, phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc vào thời gian không phụ thuộc vào thời gian Phƣơng pháp nghiên c u - Đọc sách tra cứu tài liệu - T nh số vẽ hình phần mềm Mathematica - Sử dụng gần parabol kép - Sử dụng kiến thức Vật lý thống kê, học lượng tử phương pháp giải t ch toán học Đóng góp đề tài Làm tài liệu tham khảo cho sinh viên CHƢƠNG LÝ THUYẾT CHUNG VỀ NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN 1.1 Hệ hạt đồng 1.1.1 Nguyên lí đồng Chúng ta nghiên cứu hệ N hạt chuyển động phi tương đối t nh Trong trường hợp toán tử Hamilton viết dạng: (1.1) toán tử tương tác hạt, hàm toạ độ tất hạt; toán tử đặc trưng cho tương tác spin-quỹ đạo, tương tác spin hạt trường ngoài; toán tử xung lượng; m khối lượng hạt Hàm sóng phương trình Schrodinger (1.2) với toán tử Hamilton (1.1) hàm thời gian, tọa độ không gian spin hạt 1, 2, 3,…, N Nếu hạt có đặc trưng điện tích, khối lượng, spin,…không phân biệt với có hệ N hạt đồng Trong hệ thế, làm phân biệt hai hạt với nhau? Trong vật lý học cổ điển trường hợp tương tự người ta phân biệt hạt theo trạng thái chúng, nghĩa nêu tọa độ xung lượng hạt Nhưng biện pháp áp dụng học lượng tử Chẳng hạn hai electron thời điểm đầu phân biệt cách đặt chúng hai hố khác nhau, cách “rào thế”, hiệu ứng đường hầm, theo thời gian, electron trao đổi trạng thái cho việc phân biệt hai electron với nghĩa Tính không phân biệt hạt đồng theo trạng thái học lượng tử dẫn tới nguyên lý t nh đồng nhất: Trong hệ hạt đồng tồn trạng thái không thay đổi đổi chỗ hạt đồng cho 1.1.2 Các trạng thái đối xứng phản đối xứng Ta k hiệu toán tử hoán vị hạt i j với hạt đồng chất (1,…,i,…,j,…,N,t) ≡ ij k hiệu trạng thái hệ N (i,j) Nếu ; (1.3) ; Phương trình cho hàm riêng trị riêng toán tử ij (1.4) Chú ý đến (1.4) Từ suy trị riêng toán tử là λ= Thành thử hàm riêng toán tử hoán vị a) chia làm hai lớp: Lớp hàm đổi dấu hoán vị cặp hạt Hình 1.4: Phân bố xung lượng polariton (Science 316, 1007) Tuy nhiên, số nghi ngờ liệu có phải hệ nhóm Snoke trạng thái BEC xu hướng truyền thống hay không polariton có thời gian sống ngắn hệ đạt trạng thái chuẩn cân “Một số người muốn hạn chế việc sử dụng khái niệm BEC cho hệ trạng thái cân thực sự” – Snoke nói – “Mặt khác, lại có số người khác muốn tổng quát hóa loại hệ hỗn hợp bao gồm laser Thực câu hỏi mang tính chất thuật ngữ hơn” 27 CHƢƠNG TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH MẠNH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN 2.1 Phƣơng trình Gross-Pitaevskii 2.1.1 Phương trình Gross- Pitaevskii phụ thuộc vào thời gian Xét hệ ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần, hàm tác dụng S có dạng S 1,    dtL   dtdrL1, (2.1) với mật độ hàm Lagrangian phương trình Gross-Pitaevskii [7,9] L1  1,    j j 1 t  i  j    1,  , (2.2) hàm Hamilton có dạng  g   1,       j  2 j  jj  j j 1   2m j 4 2   g12   ,  (2.3) đây, hạt j ,  j    r , t  hàm sóng trạng thái bản; m j khối lượng hạt; g jj , g12 số tương tác dương, chúng xác định qua độ dài tán xạ sóng s theo công thức g jj  2  1    a  m j m j   jj    (2.4) Bằng cách cực tiểu hóa hàm tác dụng S theo  j S  0,  j (2.5) ta thu phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian 28 trường (2.6) (2.7) 2.1.2 Phương trình Gross- Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian Để tìm phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian ta giả sử tự phân tách diễn dọc theo trục Oz gọi ngưng tụ bên phải mặt phân cách “1” ( z  ) ngưng tụ bên trái mặt phân cách “2” ( z  )  j   j  ze i  j t / , (2.8) với Ψj hàm sóng trạng thái bản, μj hóa Thay (2.8) vào (2.6) (2.7), thực phép lấy đạo hàm theo thời gian ta thu   d 21 2m1 dz 2 d 2 2m2 dz 2  11  g11 1 1  g12  1  0, (2.9) 2  2  g 22    g12 1   (2.10) Phương trình (2.9) (2.10) gọi phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian Như tương tác lý thuyết Gross-Pitaevskii có dạng g jj 4  2  j   g12 1    j  j   j 1,2  2 g g 2 =  1 1  2   11 1  22   g12 1  2 (2.11) V  29 Sử dụng chiều dài tương quan (healing lergth) j  2m j  j , (2.12) mật độ khối hạt thứ j n j   j / g jj đưa vào đại lượng không thứ nguyên z  z1,  j 2 g12 , j  ,K  , 1 n j0 g11g 22 (2.13) ta có d d dz d   , dz dz dz 1 dz d2 dz  d2 12 dz Do  d 21 2m1 dz  d2 2m1 12 dz 1  n10 Thay biểu thức 1 vào biểu thức ta được:  d 21 2m1 dz   g11n10 n10 d 21 dz (2.14) Ta có: (2.15) 30 Thay (2.14) (2.15) vào (2.9) ta được: (2.16) Áp suất thành phần ngưng tụ xa biên cho công thức Xuất phát từ phương trình Laplace-Young Ta xét hệ trạng thái cân pha nên nên (2.17) Thay (2.17) vào (2.16) ta được:  d 21 dz  1  13  K221  (2.18) Ta có:  d 2 2m2 dz 2    d2  2 n20   2m2    dz 2 31   (2.19) Thay biểu thức  vào biểu thức ta được:  d 2 2 2m2 dz   g 22n20 n20 d 22 dz (2.20) Ta có (2.21) Thay (2.20) (2.21) vào (2.10) ta Chứng minh tương tự, ta  2.2 d 22 dz  2  23  K122  (2.22) Gần parabol kép (Double parabola approximation - DPA) Để hiểu phép gần parabol kép ta xét ngưng tụ Bose – Einstein thành phần Thế tương tác phương trình Gross-Pitaevskii theo (2.11) có dạng VGP      g  (2.23) Bằng cách đưa vào đại lượng không thứ nguyên (2.13), tương tác (2.23) viết dạng VGP     Ở gần mặt phân cách tham số trật tự  giảm dần từ nên ta đặt 32 (2.24)    a, (2.25) với ɑ số thực nhỏ Thay (2.25) vào (2.24) ta 1  a 4 =   2a  a   4a  6a  4a  a 1 =   2a  2a  a 2 VGP   1  a     Khai triển VGP giữ đến gần bậc hai ta VDPA  2a     1  , 2 (2.26) VDPA gần parabol kép Ta có đồ thị hai VGP VDPA sau 1.5 V 1.0 0.5 1.5 1.0 0.5 0.5 0.5 33 1.0 1.5 Hình 2.1 Đồ thị VGP VDPA Đường nét liền đồ thị VGP, đường nét đứt đồ thị VDPA Ta thấy VGP có hai cực tiểu hình vẽ thay vào phương trình GrossPitaevskii ta không giải trực tiếp phương trình Do ta thay VGPA hai parabol ghép với gọi parabol kép Khi thay VGPA vào phương trình Gross-Pitaevskii ta giải phương trình 2.3 Trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách mạnh gần parabol kép, giải phương trình với điều kiện biên Robin Với có mặt tường cứng z  , ta áp dụng điều kiện biên Dirichlet cho thành phần 1, điều kiện biên Robin áp dụng cho thành phần 2, tức (2.26) c số Bây sử dụng DPA để tìm trạng thái hệ Giả sử mặt phân cách hệ nằm vị trí z=l, ta khai triển tham số trật tự quanh giá trị chuẩn hóa theo mật độ khối tức  j    j , j    j  , với Cần ý  j  j số thực, nhỏ ta bỏ qua thừa số pha khai triển 34 • Ở miền (Ɩ vị trí mặt phân cách) ta đặt (2.28) Thay vào (2.18) (2.22) ý giữ lại bậc a b ta hệ phương trình a  2a  0, (2.29)  2b   K  1 b  Thay (2.28) vào (2.29) đặt ta phương trình Gross-Pitaevskii DPA 1   1  1  0,  22   22  • Ở miền (2.30) ta đặt (2.31) Thay vào (2.18) (2.22) ý giữ lại bậc a b ta hệ phương trình b   K  1 b  0,  2a  2a  (2.32) Do 1   21  0,  22   (2  1)  Trong miền (2.33) , nghiệm phương trình (2.30) có dạng 1   A1e z , 2  B1e  z  35 (2.34) Trong miền , bị triệt tiêu vị tr đặt tường cứng nên nghiệm (2.34) bị ràng buộc điều kiện biên (2.27) có dạng (2.35) với A1, A2 , B1, B2 số tích phân Trong DPA, tác giả [9] chứng minh tham số trật tự đạo hàm bậc chúng phải liên tục mặt phân cách  j     j  , d j dz   d j dz (2.36)  Thay (2.34) (2.35) vào (2.36) ta tìm (2.37) Xét phân tách mạnh, giới hạn K   từ (2.34) (2.37) ta có 36 (2.38) Từ (2.35) (2.37) ta có (2.39) Để minh họa cho tính toán tiến hành tính số cho số trường hợp Trước hết tiến hành tính số với c=0, tức hai thành phần áp dụng điều kiện biên Dirichlet Hình 2.2 2.3 hàm sóng trạng thái ứng với K=100 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 10 15 20 z Hình 2.2: Hàm sóng trạng thái trường hợp ứng với Đường nét liền nét đứt tương ứng với thành phần thứ thứ 37 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 10 15 20 z Hình 2.3: Hàm sóng trạng thái trường hợp ứng với K=100 Đường nét liền nét đứt tương ứng với thành phần thứ thứ Bây ta tiến hành t nh số tương ứng với Kết trình bày ) 2.5 ( với K=100) hình 2.4 (với 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 10 15 20 z Hình 2.4: Hàm sóng trạng thái trường hợp ứng với Đường nét liền nét đứt tương ứng với thành phần thứ thứ 38 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 10 15 20 z Hình 2.3: Hàm sóng trạng thái trường hợp ứng với K=100 Đường nét liền nét đứt tương ứng với thành phần thứ thứ 39 KẾT LUẬN Về khóa luận đạt mục đ ch đề ra, là:  Tìm hiểu thống kê Bose – Einstein cho hệ hạt đồng nhất, từ đưa khái niện ngưng tụ Bose – Einstein kh bose lý tưởng  Phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian  Phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc thời gian  Trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách mạnh gần parabol kép với điều kiện biên Robin  Sử dụng phần mềm Mathematica để vẽ đồ thị biểu diễn thay đổi tham số trật tự theo z 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt [1] Trần Thái Hoa( 1993), Bài giảng học lượng tử, NXB ĐHSP Hà Nội [2] Vũ Thanh Khiết( 1988), Vật lí thống kê, NXB Giáo dục, Hà Nội [3] www.wikipedia.org Tiếng Anh [4] A L Fetter and J D Walecka, Quantum Theory of Many – particles Systems (McGraw – Hill, Boston, 1971) [5] B V Schaeybroeck, Phys Rev A 78, 023624 (2008) [6] B Van Schaeybroeck and J O Indekeu, Phys Rev A 91, 013626 (2015) [7] C J Pethick, H Smith (2008), Bose – Einstein condensate in dilute gases, Cambridge University Press, New York [8] J O Indekeu, C Y Lin, N V Thu, B V Schaeybroeck, T H Phat (2015), Static interfacial properties of Bose – Einstein condensate mixtures, Phys Rev A 91, 033615 [9] L Pitaevskii, S Stringari (2003), Bose – Einstein condensation, Clarendon Press Oxford, New York [10] www.livescience.com 41 ... cứu trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein hai thành phần phân tách mạnh ảnh hưởng điều kiện biên Robin Nhiệm vụ nghiên c u Tìm hiểu “ Trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần phân tách mạnh. .. siêu chảy, Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein chọn đề tài “ Trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein hai thành phần phân tách mạnh với điều kiện biên Robin làm... vật lý khẳng định tồn trạng thái ngưng tụ polartion .24 CHƢƠNG TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ BOSE- EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH MẠNH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN