Chương 2: LÝ THUYẾT GROSS - PITAEVSKII
2.1. Gần đúng trường trung bình
Ngưng tụ Bose – Einstein thu được từ một hệ các boson ở trạng thái cơ bản tại nhiệt độ thấp. Do vậy, ta có thể tìm hiểu về năng lượng của trạng thái cơ bản và sử dụng để nghiên cứu một hệ khí bất kì. Toán tử Hamilton tổng quát mô tả hệ được cho bởi [6],
, (2.1)
trong đó, số hạng đầu tiên là động năng của hạt thứ , tiếp theo là số hạng mô tả tương tác ngoài và số hạng cuối cùng mô tả tương tác giữa các cặp hạt trong hệ. Trạng thái cơ bản tương ứng với năng lượng cực tiểu, vì thế ta có thể tìm năng lượng này bằng phương pháp cực trị. Chú ý, để thuận tiện ta sử dụng khái niệm thế nhiệt động, nó rất có ích trong việc xác định trạng thái cân bằng của hệ không cô lập. Ta có được năng lượng cần làm cực tiểu bằng cách sử dụng năng lượng tự do, ở đây là năng lượng và là thế hóa.
Cho toán tử Hamilton và hàm sóng , chúng ta thu được năng lượng sau
, (2.2) ta có thể sử dụng biểu thức này để tìm cực tiểu của năng lượng tự do . Trong ngưng tụ đang xét có hạt, do vậy ta có thể liên hợp hàm sóng với mọi hàm sóng của các hạt trong hệ. Tuy nhiên, để thu được nghiệm cần thiết của bài toán chúng ta dùng phương pháp gần đúng trường trung bình. Điều này có nghĩa là đối với một hạt không phân biệt trạng thái nghỉ và trạng thái độc lập , và chúng ta có thể bỏ đi chỉ số của hàm sóng. Theo đó, chúng ta cần cực
tiểu hóa năng lượng tự do trong không gian hàm sóng có dạng , ở đây mô tả tích tenxơ và là tích tenxơ của hàm sóng của các hạt trong hệ. Chúng ta đang xét bài toán trong điều kiện chuẩn hóa . Gần đúng được thỏa mãn nếu ngưng tụ không thực sự đặc, hay nói cách khác, tương tác giữa các hạt lân cận gần nhất mạnh hơn tương tác của hạt với các hạt ở xa hơn về một bên.
Bài toán được quy về tìm cực tiểu của . Ta
hãy tính từng số hạng trong biểu thức này. Đối với thành phần động năng
, (2.3)
như đã nói trên, là tích tenxơ hàm sóng của hạt và là hàm sóng của một hạt, sử dụng tính chất hàm Green chúng ta thu được kết quả cuối cùng trong công thức (2.3). Có thể dễ dàng viết được thành phần thế năng như sau
. (2.4) Đối với số hạng mô tả tương tác giữa các hạt trong hệ, ta có
(2.5)
Đối với số hạng cuối cùng trong công thức của năng lượng tự do
, (2.6) chúng ta viết biểu thức như trên để thuận tiện cho việc tính toán.
Cho các biểu thức như trên, chúng ta phải đi tìm cực tiểu của chúng.
Hay, chúng ta sẽ đi xét biến thiên nhỏ của hàm sóng , chúng ta coi như và độc lập với các biến số thay vì phải xét sự biến thiên của các thành phần thực và ảo của hàm sóng. Theo cách này, ta dễ dàng có thể thu được đạo hàm cho các biểu thức (2.3) và (2.4). Ở trường hợp của công thức (2.5), chúng ta có đạo hàm hai lần của hàm sóng , nhưng vì có thể đổi vị trí nên ta có biểu thức sau
. (2.7) Tương tự, đối với thế hóa chúng ta có
. (2.8) Thay đồng thời các biểu thức trên vào biểu thức đạo hàm của năng lượng tự do chúng ta được
(2.9) và do đó, các đại lượng trong dấu ngoặc vuông của (2.9) bị triệt tiêu. Hầu hết
người ta đều chọn thế năng tương tác có dạng
,
trong đó alà chiều dài tán xạ sóng , sử dụng gần đúng cuối cùng chúng ta thu được
. (2.10)
Công thức (2.10) chính là phương trình Gross - Pitaevskii độc lập với thời gian. Chiều dài tán xạ ađo cường độ của tương tác giữa các boson. Như vậy, cực tiểu hóa năng lượng tương ứng với cực tiểu hóa năng lượng tự do
, đây là biểu thức quan trọng của vật lý thống kê.