Năng lượng giải tích ở trạng thái cơ bản của exciton hai chiều trong từ trường đều

Nghiên cứu Năng lượng giải tích ở trạng thái cơ bản của exciton hai chiều trong từ trường đều sử dụng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn, là một trong các phương pháp quen thuộc trong cơ học lượng tử đã được áp dụng tính toán cho nhiều bài toán vật lý, để tìm biểu thức năng lượng giải tích ở trạng thái cơ bản của exciton hai chiều trong từ trường đều. Mời các bạn cùng tham khảo!

NĂNG LƯỢNG GIẢI TÍCH Ở TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA EXCITON HAI CHIỀU TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU Nguyen Phuong Duy Anh Viện Phát Triển Ứng Dụng, Trường ĐH Thủ Dầu Một Email: anhnpd@tdmu.edu.vn TĨM TẮT Trong cơng trình này, phương pháp lý thuyết nhiễu loạn sử dụng để thu biểu thức lượng exciton hai chiều từ trường Trong đó, hàm sở dạng đại số sử dụng hàm sóng dao động tử điều hồ thuận tiện cho tính tốn giải tích yếu tố ma trận, đồng thời mang đặc điểm hàm sóng ngun tử hydro, sử dụng hiệu cho toán xét toán nguyên tử hai chiều khác exciton âm, exciton dương từ trường Biểu thức tường minh E (  ) thu mô tả phụ thuộc lượng exciton hai chiều vào từ trường trạng thái vùng từ trường yếu vùng từ trường mạnh, kết số thu có sai số nhỏ 1% so với kết số thu cơng trình khác Phương pháp áp dụng cho trạng thái kích khác TỪ KHỐ: exciton, từ trường, phương pháp lý thuyết nhiễu loạn THE EXPLICIT EXPRESSIONS OF THE ENERGY OF A TWODIMENSIONAL EXCITON IN UNIFORM MAGNETIC FIELD FOR THE GROUND STATE ASTRACT In this work, the explicit expressions of the energy of a two-dimensional exciton in magnetic field for the ground state are calculated by the perturbation theory method A basic set in the algebraic form given in the work as a set of harmonic oscillator wave functions is very useful for analytically calculating matrix elements as well as characterizes the hydrogen atom wave functions that makes solving process effective not only for the considered problem but also for other two-dimensional problems such as negatively charged exciton or positively charged exciton in a magnetic field The explicit expressions of E (  ) are given for analytically describing the dependence of the energy of a two-dimensional exciton on magnetic field intensity for the ground state, with an error of less than 1% for the the weak and the strong of the magnetic field intensity compared with the other theory data This method can be applied to any excited state KEYWORDS: exciton, magnetic field, perturbation theory 142 Giới thiệu Exciton trạng thái liên kết điện tử lỗ trống, khái niệm exciton Frenkel đề xuất vào năm 1931, xem sóng kích thích điện tử tinh thể [1] Các exciton thường phân loại theo trạng thái liên kết điện tử lỗ trống, bao gồm: điện tử liên kết với lỗ trống gọi exciton trung hồ (cịn gọi exciton); hai điện tử liên kết với lỗ trống gọi exciton âm, điện tử liên kết với hai lỗ trống gọi exciton dương… Thông thường, sử dụng khái niệm exciton, người ta thường đề cập đến exciton trung hoà Về cấu tạo, exciton có cấu tạo tương tự nguyên tử hydro tính chất có khác biệt lớn, chúng tham gia vận chuyển lượng khơng tham gia vận tải dịng điện exciton hạt trung hồ điện; chúng có mặt bán dẫn điện mơi; hàm sóng mơ tả trạng thái exciton tương tự nguyên tử hydro lượng liên kết nhỏ nhiều kích thước lại lớn nhiều lần nguyên tử hydro; phổ hấp thụ lượng exciton phổ gián đoạn gồm dãy vạch màu nguyên tử hydro, khơng có mức exciton mà có dãy mức exciton gián đoạn Trong năm gần đây, có nhiều nghiên cứu thực nghiệm việc tính lượng liên kết loại exciton vật liệu có kích thước cỡ nano Trong đó, nhóm vật liệu đơn lớp hai chiều graphene, kim loại chuyển tiếp dichalcogenides (transition metal dichalcogenides) quan tâm mạnh mẽ tính chất quang, điện chúng Do giảm số chiều nên hiệu ứng đặc biệt exciton bán dẫn quan sát dễ dàng so với bán dẫn khối [2] Mặt khác, phương pháp tính tốn lý thuyết cho trường hợp giả hai chiều sử dụng cho hệ bán dẫn hai chiều thực phương pháp biến phân Độ xác cao phương pháp tính cho phép ta khảo sát tính chất vật lý tượng dựa lượng liên kết exciton Vì vậy, việc phát triển phương pháp tính tốn lượng liên kết exciton hai chiều trường điện từ việc cần thiết Bài toán exciton hai chiều từ trường toán kinh điển nghiên cứu nhiều tầm quan trọng vật lí hệ thấp chiều [3] Bài tốn mơ hình để kiểm tra tính hiệu phương pháp giải phương trình Schrưdinger khác Do đó, cơng trình này, chúng tơi sử dụng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn, phương pháp quen thuộc học lượng tử áp dụng tính tốn cho nhiều tốn vật lý, để tìm biểu thức lượng giải tích trạng thái exciton hai chiều từ trường Cơng trình bước quan trọng q trình chúng tơi khảo sát phổ exciton hệ bán dẫn hai chiều Phương pháp lý thuyết nhiễu loạn giải phương trình Schrưdinger exciton hai chiều từ trường Phương trình Schrưdinger exciton hai chiều từ trường không thứ nguyên có dạng [3]: Hˆ  ( r ) = E ( r ) , 143 (1)  2 2   Z Hˆ = −  +  + Lˆz +  ( x + y ) −  x y  r (2) Trong đó: - Đơn vị độ dài bán kính Bohr hiệu dụng đơn vị lượng lượng Hartree hiệu dụng có dạng: 4 l  = * , me   = m*e4 16 2 2 - Từ trường không thứ nguyên  tỉ số so sánh lượng từ trường c = eB /  lượng tương tác Cuolomb  e4 / (16 2 = 16 2  e3 ) có dạng B, với c tần số chuyển động xoáy ốc Khi ta có thang đo từ trường sau:  vùng từ trường mạnh,   vùng từ trường trung bình  vùng từ trường yếu - Z ln có giá trị nguyên tử đồng dạng hydro Để giải phương trình Schrưdinger (1), (2) tìm lượng giải tích exciton hai chiều từ trường trạng thái bản, sử dụng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn kết hợp với toán tử sinh, hủy Dirac để giải trực tiếp toán 2.1 Trong vùng từ trường yếu Trong phương trình Schrưdinger (1), (2) có chứa thành phần tương tác Coulomb mẫu số nên để thuận tiện sử dụng toán tử sinh, hủy Dirac để giải ta sử dụng phép biến đổi Levi-Civita [4] để đưa toán dạng toán dao động tử phi điều hịa để giải [5] Khi ta thu phương trình Schrưdinger khơng gian (u, v) dạng: H  ( u , v ) = Z ( u , v ) (3)  2 2     2 H = −  +  −  E − Lˆz  ( u + v ) + ( u + v ) ,  u v    (4) với với toán tử Lˆ z khơng gian (u, v) có dạng 144 i    Lˆ = −  u − v   v u  Trong phương trình (3), (4), Z trị riêng phương trình, cịn E đóng vai trị tham số Khi giải phương trình này, ta thu Z dạng hàm số phụ thuộc vào E , sau ta giải phương trình Z ( E ) = thu lượng E Ta định nghĩa toán tử sinh hủy dạng: ˆ = ˆ =       + , u +  , ˆ = u − 2  u  2  u  (5)    ˆ+    v + ,  = v −    v    v  Các toán tử thỏa tính chất giao hốn ˆ s , ˆt+  =  s ,t ,  ˆs , ˆt+  =  s ,t , với ký hiệu deltaKronecker  s ,t sử dụng Do toán xét có bảo tồn tốn tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo Lˆ , mà với toán tử sinh hủy định nghĩa (5) Lˆ khơng có z z dạng trung hịa Vì vậy, ta tổ hợp lại toán tử (5) dạng ( ) ˆ − i ˆ , aˆ + = bˆ = ˆ + i ˆ , bˆ + = aˆ = ( ) ( ) ˆ + + i ˆ + , ˆ + − i ˆ + ( ) (6) Khi tốn tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo Lˆ z có dạng trung hịa: ( ) Lˆz = − aˆ + aˆ − bˆ+bˆ (7) Khi định nghĩa toán tử sinh hủy (6), ta đưa vào tham số thực dương  Tham số đóng vai trị tần số, đưa vào nhằm mục đích đẩy mạnh tốc độ hội tụ toán mà khơng ảnh hưởng đến kết tính tốn H   Vì vậy, ta chọn giá trị tham số tùy ý Ngoài ra, tốn tử thỏa tính chất giao hốn  aˆs , aˆt+  =  s ,t , bˆs , bˆt+  =  s ,t   Từ (6) ta thu dạng biểu diễn đại số tốn tử Hamilton (4) phương trình Schrưdinger (3) sau 145 H =−  ( Mˆ + E ˆ+ ˆ ˆ 2 + Mˆ − Nˆ − M +M +N + Mˆ + + Mˆ + Nˆ 2 64 ) ( ) ( ) (8) với E =E− m ˆ ˆ, Trong đó, ta thay Lˆ z trị riêng m tốn tử Mˆ + = aˆ +bˆ+ , Mˆ = ab Nˆ = aˆ + aˆ + bˆ+bˆ + đưa vào để (8) biểu diễn thuận tiện hơn, ngồi tốn tử lập thành đại số kín, dạng mà giao hốn tốn tử khơng xuất thêm toán tử khác Tiếp theo, ta tách toán tử Hamilton (8) thành hai thành phần Hˆ Vˆ với  ˆ+ ˆ ˆ E ˆ+ ˆ ˆ Hˆ = − M +M −N − M +M +N , 2 ( ) ( ) 2 ˆ ˆ + + Mˆ + Nˆ V= M 64 ( ) (9) (10) Như nói trên, ta lựa chọn giá trị tham số  từ dạng biểu diễn (9) ta nhận thấy chọn  = −2E (11)  Hˆ = Nˆ (12) thành phần Hˆ có dạng dạng trung hịa E0 ln có nghiệm xác Từ ta sử dụng Hˆ , Vˆ với  có dạng (12), (10) (11) để giải phương trình Schrưdinger (8) Tiếp theo, chúng tơi chọn hàm sở toán hàm riêng dao động tử điều hòa n1 , n2 osc = ( ) n1 aˆ + ) bˆ+ ( n1 !n2 ! n2 ( ) , với n1 , n2 số nguyên không âm; trạng thái chân không định nghĩa 146 (13) aˆ ( ) = 0, bˆ ( ) = 0, (14) với điều kiện chuẩn hóa ( ) ( ) = Do tốn có bảo toàn Lˆ z nên hàm sở (13) phải thỏa mãn phương trình Lˆz n1 , n2 osc = m n1 , n2 osc , (15) với m số lượng tử từ, nhận giá trị m = 0, 1, 2, 3, Từ (7) (13) ta m= 1 ( n1 − n2 ) m = ( n1 − n2 ) 2 (16) Do m số nguyên, n1 − n2 phải số chẵn Khi n1 + n2 số chẵn, nên ta đặt 2n = n1 + n2 (17) số nguyên không âm Đối với tốn xét, có bảo tồn số lượng tử từ m , ta sử dụng số n, m thay cho n1 , n2 xét trạng thái lượng tử Từ (16), (17) ta n1 = n + m, n2 = n − m với −n  m  n Khi đó, ta chuyển hàm sóng sở n1 , n2 osc thành hàm sở n, m osc chuẩn hóa sau: n, m osc = ( aˆ ) ( bˆ ) n+m ! n−m ! ( )( + n+m + n−m ) ( ) , (18) n = 0,1, 2, m = 0, 1, 2, ,  n Ta thấy hàm sở (18) trực giao chuẩn hóa nghĩa n, m1 k , m2 =  n,k  m1 ,m2 Từ ta sử dụng hàm sóng (18) để tính yếu tố ma trận Thơng qua công thức tác dụng Mˆ + n, m = aˆ + bˆ + n, m = ( n + 1) − m n + 1, m , ˆ ˆ n, m = n − m n − 1, m , Mˆ n, m = ab ( ) Nˆ n, m = aˆ + aˆ + bˆ + bˆ + n, m = ( 2n + 1) n, m , định nghĩa yếu tố ma trận Hˆ Vˆ dạng: 147 ( Hˆ ) m n , n =  n, m | Hˆ n, m , (Vˆ ) m n , n =  n, m | Vˆ n, m , ta thu yếu tố ma trận khác không sau: ( Hˆ ) ( ) Vˆ (Vˆ ) (Vˆ ) (Vˆ ) m n,n =  ( 2n + 1) , 2 = 2n + 1) ( 5n + 5n + − 3m ) , ( n,n 32 m 3 2 = 5n + 10n + − m ) ( n + 1) − m , ( n , n +1 64 m 3 2 = 2n + 3) ( n + 1) − m ( n + ) − m , ( n,n+ 64 m 2 2 = n + 1) − m ( n + ) − m ( n + 3) − m ( n ,n +3 64 m (19) ( ) Các yếu tố ma trận khác khơng cịn lại thu dựa vào tính chất đối xứng Vˆ m n , n ( ) = Vˆ m n , n Từ (1) (19) ta thu nghiệm giải tích lượng vùng từ trường yếu cho trạng thái n = 0, m = tính đến gần bổ bậc ba, có dạng: 2  2  2  E0 (  ) = −2 + 0.375   − 0.155   − 0.148         ( 3) (20) Hình Năng lượng trạng thái exciton hai chiều từ trường yếu biểu diễn theo công thức (20), so sánh với nghiệm số xác [3] (đường liền nét màu đen) 148 Để kiểm chứng độ xác biểu thức giải tích (20), chúng tơi so sánh nghiệm số thu biểu thức (20) với nghiệm số xác thu trình trình [3] Qua phân tích số với đồ thị hình 1, biểu diễn lượng phụ thuộc vào từ trường, vùng từ trường yếu thơng qua biểu thức (20) có so sánh với nghiệm xác thu [3] chúng tơi nhận thấy: (1) Nghiệm giải tích thu phương pháp lý thuyết nhiễu loạn cho trạng thái bản, vùng từ trường yếu, làm việc tốt đến bổ bậc hai (đường màu đỏ) với biểu thức có dạng: ( 2) E0 2  2  ( ) = −2 + 0.375   − 0.155       (21) (2) Biểu thức giải tích (21) cho kết sai số so với nghiệm xác thu [3] 1% vùng từ trường yếu (3) Các bổ bậc cao khơng đóng góp thêm độ xác tốn mà cịn có dấu hiệu phân kỳ (4) Biểu thức nghiệm giải tích (21) làm việc hiệu vùng từ trường có giá trị   1.86 2.2 Trong vùng từ trường mạnh Ta biểu diễn phương trình Schrưdinger (1) dạng:   2 2  2 Z   − + +  ( x + y ) −  (r ) =  E − m  (r ),   2  r     x y  (22) ta thay tốn tử Lˆ z trị riêng m Để điều kiện lý thuyết nhiễu loạn thỏa mãn cường độ từ trường lớn ta sử dụng khai triển ngược hệ số tương tác lớn (strong coupling series) từ trường  Ta đặt x = a x , y = a y , với a hệ số,  x ,  y biến tọa độ Khi ta thu cơng thức biến đổi 149 2 2  2 2  + = +  , x y a   x2  y2  x + y = a (  x2 +  y2 ) , r = a  x2 +  y2 Thay công thức vào (22) ta được:   2 2  Z  2  −  +  +  a (  x +  y ) − a  (  ) = a  E − m  (  ) r       x  y  Khi  a = a =  (23) Thay vào (23) ta được:   2 2  Z 1   −  +  + (  x +  y ) −  (  ) =  E − m  (  )   r      x  y  (24) Ta viết lại (24) dạng:   2 2  Z 1  −  +  + ( x + y ) −  ( r ) =  E − m  ( r )   r     x y  (25) Sử dụng phép biến đổi Laplace 1 Uˆ = = r    e ( − t x2 + y ) t dt phương trình (25) trở thành H ( r ) = E ( r ) , (26) với  2 2  Z H = −  +  + ( x2 + y ) −  x y   E= 1   E − m    150   e ( −t x2 + y t ) dt , (27) (28) Ta biểu diễn phương trình Schrưdinger (26) dạng toán tử sinh hủy định nghĩa:       x+  , aˆ = x− 2  x  2  x  aˆ =    ˆ    bˆ = y+ , b = y− 2  y  2  y  (29) Khi ta thu dạng đại số toán tử Hamilton (27) phương trình Schrưdinger (26) sau:  ˆ+ ˆ+ ˆ   ˆ H = − +  M1 + M + M1 + M  16  ( )  ˆ 2  ˆ dt  ˆ + + S  N1 + N − Z  0 t  16  ( ) (30) Trong đó, tốn tử Mˆ = aˆ , Mˆ 1+ = aˆ +2 , Nˆ = 2aˆ + aˆ + , Mˆ = bˆ , Mˆ 2+ = bˆ +2 , Nˆ = 2bˆ + bˆ + đưa vào để (30) biểu diễn thuận tiện hơn, ngồi tốn tử lập thành đại số kín tốn tử Sˆ sau dạng chuẩn, kết hợp khai triển Taylor có dạng −t ( M + N + M ) −t ( M + N + M ) Sˆ = e 1 e 2 ˆ+ ˆ ˆ+ ˆ ˆ ˆ ( ) t t     = exp  − Mˆ 1+  exp  − Mˆ 2+  exp − Nˆ ln + 2t  + 2t   + 2t  t t      exp − Nˆ ln + 2t exp  − Mˆ  exp  − Mˆ   + 2t   + 2t  ( + + + + =  i1 = i2 = i3 = i4 = ) ( −1) i1 + i2 + i3 + i4 t i1 +i2 +i3 +i4 i1 !i2 !i3 !i4 ! (1 + 2t )i1 +i2 +i3 +i4 ( ) ( Mˆ )  Mˆ 1+ (31) i1 + i3 (1 + 2t ) − ( ˆ ˆ N1 + N 2 ( ) ( Mˆ ) ) Mˆ i4 i2 Tiếp theo, ta tách toán tử Hamilton (30) thành hai thành phần Hˆ Vˆ với  ˆ+ ˆ+ ˆ  ˆ    ˆ ˆ Hˆ =  − +  M1 + M + M1 + M +  +  N1 + N , 16  16      ( ) Z 2 Vˆ = −    151  dt Sˆ t ( ) (32) (33) Từ dạng Hˆ (32) ta chọn  = cho thành phần Hˆ có dạng Hˆ = Nˆ (34) dạng trung hịa Eˆ ln có nghiệm xác Vˆ = − Z     dt Sˆ t (35) Từ đây, ta sử dụng Hˆ Vˆ có dạng (34), (35) để giải phương trình Schrưdinger (26) Sử dụng hàm sóng phần 2.1, ta tính cơng thức tác dụng sau: ( Nˆ + Nˆ ) n, m = ( 2n + 1) n, m , ( Mˆ ) n, m = i ! C C n + i, m − i , n + i, m + i , ( Mˆ ) n, m = i ! C C ( Mˆ ) n, m = i ! C C n − i, m + i ,  i   n −2 m   , + i + i i i n − m + 2i 2i 2i i n + m + 2i 2i 2i i ( Mˆ ) 2i i (36) n−m 2i  n + m n, m = i ! Ci2i C2ni+ m n − i, m − i ,  i    ,    n! a sử dụng với n, k  n  k ký hiệu   có nghĩa k !( n − k )! 2 lấy phần nguyên phép chia ký hiệu Ckn = Khi đó, ta định nghĩa yếu tố ma trận Hˆ Vˆ sau: ( Hˆ ) m n , n =  n, m | Hˆ n, m , (Vˆ ) m n , n =  n, m | Vˆ n, m Trong yếu tố ma trận khác khơng có dạng: 152 (37) ( Hˆ ) (Vˆ ) m n,n = m n,n + s ( 2n + 1) , =− Z    n+ m   n−m          i1 = i2 = Ci12`i1 C2ni1+ m Ci22 i2 C2ni−2 m  Cs2+si+1 2i1 C2ns++22si1+ m Cs2+si+2 2i2 C2ns++22si−2 m   t (38) s + i1 + i2 − (1 + 2t ) 1+ n + s dt ( ) Các yếu tố ma trận khác khơng cịn lại thu dựa vào tính chất đối xứng Vˆ m n , n ( ) = Vˆ m n , n Khi đó, ta thu nghiệm giải tích lượng vùng từ trường mạnh cho trạng thái n = 0, m = tính đến gần bổ bậc bốn có dạng: ( 4) E0 −1     ( ) = 0.25   − 0.886    2   2  −1/2 1/2   − 0.688 − 0.634    2    + 2.922    2  (39) Hình Năng lượng trạng thái exciton hai chiều vùng từ trường mạnh biểu diễn theo công thức (39), so sánh với nghiệm số xác [3] (đường liền nét màu đen) Qua phân tích số với đồ thị hình 2, biểu diễn lượng phụ thuộc vào từ trường vùng từ trường mạnh thông qua biểu thức (39) có so sánh với nghiệm xác thu [3] ta nhận thấy: (1) Nghiệm giải tích thu phương pháp lý thuyết nhiễu loạn cho trạng thái bản, vùng từ trường mạnh, làm việc tốt đến bổ bậc ba (đường màu đỏ) với biểu thức có dạng: 153 −1     E0 (  ) = 0.25   − 0.886    2   2  ( 3) −1/2 1/2   − 0.688 − 0.634    2  (40) (2) Biểu thức giải tích (40) cho kết sai số so với nghiệm xác thu [3] 1% vùng từ trường mạnh (3) Các bổ bậc cao khơng đóng góp thêm độ xác tốn mà cịn có dấu hiệu phân kỳ (4) Biểu thức nghiệm giải tích (40) làm việc hiệu vùng từ trường có giá trị   4.00 Từ đây, thu biểu thức lượng giải tích trạng thái exciton hai chiều vùng từ trường yếu vùng từ trường mạnh với sai số so với nghiệm xác thu cơng trình [3] 1%, có dạng: ( 2) E0 2  2  ( ) = −2 + 0.375   − 0.155   ,     −1     E0 (  ) = 0.25   − 0.886    2   2  ( 3) −1/2 (41) 1/2   − 0.688 − 0.634    2  (42) Hình Năng lượng trạng thái exciton hai chiều từ trường biểu diễn theo công thức (41), (42), so sánh với nghiệm số xác [3] (đường liền nét màu đen) 154 Qua đồ thị hình chúng tơi nhận thấy, vùng từ trường từ có giá trị từ 1.86    4.00 , nghiệm số thu biểu thức (41), (42) chúng tơi cho kết có sai số lớn 1% so với nghiệm số xác cơng trình [3] Mặc dù kết giải tích thu phương pháp lý thuyết nhiễu loạn khơng thể tính cho toàn miền biến đổi từ trường, với phạm vi làm việc ứng giá trị từ trường khoảng   1.86   4.00 đủ để đưa kết luận chung khảo sát exction hai chiều từ trường Kết luận Như vậy, phương pháp lý thuyết nhiễu loạn kết hợp với phép biến đổi Levi-Civita vùng từ trường yếu khai triển ngược hệ số tương tác lớn (strong coupling series) từ trường với phép biến đổi Laplace vùng từ trường mạnh, thu biểu thức lượng phụ thuộc từ trường E (  ) cho trạng thái Các biểu thức giải tích cho kết sai số so với nghiệm xác thu [3] 1% , ứng với vùng từ trường yếu có giá trị   1.86 vùng từ trường mạnh có giá trị   4.00 Trong vùng từ trường có giá trị 1.86    4.00 , phương pháp lý thuyết nhiễu loạn cho kết có sai số lớn 1% so với nghiệm số xác Tài liệu tham khảo [1] M A Lampert, “Mobile and immobile effective-mass-particle complexes in nonmetallic solids,” Physical Review Letters, vol 1, p 450, 1958 [2] B Ding and K Alameh, “Simultaneous monitoring of singlet and triplet exciton variations in solid organic semiconductors driven by an external static magnetic field,” Applied Physics Letters, vol 105, p.101, 2014 [3] D N T Hoang, D L Pham, and V H Le, “Exact numerical solutions of the Schrödinger equation for a two-dimensional exciton in a constant magnetic field of arbitrary strength,” Physica B: Condensed Matter, vol 423, p 31, 2013 [4] T Levi-Civita, Opere matematiche: memorie e note, vol N Zanichelli, 1973 [5] V H Le and T G Nguyen, “The algebraic method for two-dimensional quantum atomic systems, Journal of Physics A: Mathematical and General, vol 26, p 1409, 1993 155 ... vùng từ trường có giá trị   4.00 Từ đây, chúng tơi thu biểu thức lượng giải tích trạng thái exciton hai chiều vùng từ trường yếu vùng từ trường mạnh với sai số so với nghiệm xác thu cơng trình... tìm biểu thức lượng giải tích trạng thái exciton hai chiều từ trường Cơng trình bước quan trọng trình khảo sát phổ exciton hệ bán dẫn hai chiều Phương pháp lý thuyết nhiễu loạn giải phương trình... trung bình  vùng từ trường yếu - Z ln có giá trị ngun tử đồng dạng hydro Để giải phương trình Schrưdinger (1), (2) tìm lượng giải tích exciton hai chiều từ trường trạng thái bản, sử dụng phương