Tính toán mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

Bài toán hạt trong trường xuyên tâm

Như đã biết từ trong cơ học giải tích, bài toán chuyển động của hai hạt với định luật tương tác U r1 r2 rút về bài toán chuyển động của một hạt có khối lượng rút gọn trong trường lực U r. Chúng ta biết rằng, đối với chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm, ngoài định luật bảo toàn năng lượng, còn có hai định luật bảo toàn nữa, đó là định luật bảo toàn momen xung lượng toàn phần và định luật bảo toàn hình chiếu của momen lên trục z định hướng tùy ý trong không gian. Có thể coi nguyên tử hydro là trường hợp riêng của bài toán thế xuyên tâm, gồm hạt nhân và một eletron, hoặc iôn của một nguyên tử bất kì trong đó chỉ còn một electron, hoặc cũng có thể là nguyên tử hydro mêzô gồm có một prôtôn và mêzôn tích điện âm.

Khi so sánh các tính toán năng lượng từ (1.2.14) với các số liệu thực nghiệm, ta thấy có một vài điểm khác nhau vì ta đã bỏ qua các tương tác khác trong nguyên tử hydro.

Nguyên tử Hidro trong điện trường

Các toán tử định lượng về độ biến thiên của các mức năng lượng nguyên tử khi có điện trường tác dụng có thể được tiến hành bằng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn, nếu cường độ của trường đủ nhỏ, nghĩa là trong trường hợp độ biến thiên của các mức nhỏ so với khoảng cách giữa các mức lân cận nhau của nguyên tử khi không có trường. Momen lưỡng cực trung bình khác không có thể có trong cả các hệ lượng tử có nhóm các trạng thái hầu như suy biến, nếu như một hệ như thế không có năng lượng hoàn toàn xác định, do đó độ bất định của năng lượng lớn hơn khoảng cách giữa các mức có tính chẵn lẻ khác nhau. Do đó, các giá trị trung bình của các momen lưỡng cực của những phân tử như thế khác không cả trong những điện trường yếu, vì khoảng cách giữa các mức quay tương ứng nhỏ so với năng lượng của các phân tử ở trong điện trường và năng lượng nhiệt.

- Khi nguyên tử hydro được đặt trong điện trường ngoài thì trong Hamiltonian xuất hiện thêm số hạng nhiễu, sự đối xứng xuyên tâm được thay thế bằng sự đối xứng trục, dẫn đến mức năng lượng cơ bản sẽ có sự thay đổi.

Cơ sở của phương pháp toán tử

Người ta qui ước gọi kích thích một lượng tử là kích thích một phônôn (n = 1), kích thích 2 lượng tử là kích thích 2 phônôn v.v…Nói cách khác, mỗi lượng tử kích thích dao động của dao động tử được gọi là một phônôn. Trạng thái dừng hoàn toàn được xác định bằng việc nêu lên số các phônôn, do đó thay cho hàm n , người ta có thể đặc trưng cho nó bằng một hàm, trong đó biến độc lập là các số phônôn. Toán tử aˆ giảm số phônôn một đơn vị và được gọi là toán tử giảm số phônôn một đơn vị hay toán tử hủy phônôn.Toán tử aˆ tăng số phônôn một đơn vị và được gọi là toán tử sinh phônôn.

Trong biểu diễn các số lấp đầy, nếu hàm riêng của trạng thái cơ bản (trạng thái không có phônôn) được ký hiệu bằng 0 , thì khi ứng dụng liên tiếp n lần toán tử sinh aˆ ta có thể thu được hàm sóng của trạng thái có n phônôn.

Bài toán nguyên tử hydro theo phương pháp toán tử

• Phương trình Schrodinger cho bài toán nguyên tử hydro

Như chúng ta đã biết, tất cả các bài toán chuyển động của hệ trong thế giới vi mô đều dẫn đến việc giải phương trình động học của cơ học lượng tử đó là phương trình Schrodinger. Đây là một phương trình đạo hàm riêng tuyến tính phức tạp mà nghiệm chính xác của nó chỉ có thể xác định trong một số ít trường hợp đơn giản với thế năng đã được lý tưởng hóa (nguyên tử hydro, bài toán dao động tử điều hòa, chuyển động trong hố thế vuông góc,…). Tuy có thể giải được chính xác nhưng việc giải phương trình Schrodinger cho bài toán nguyên tử hydro theo cách cổ điển khá phức tạp, do đó trong các phần tiếp theo ta sẽ sử dụng phương pháp toán tử ứng dụng vào phương trình Schrodinger để xác định mức năng lượng của nguyên tử hydro ở trạng thái cơ bản.

Theo cách này, các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lí đều có thể biểu diễn qua các toán tử sinh hủy trên, nhờ đó mà các tính toán yếu tố ma trận giữa các trạng thái của nguyên tử hydro có thể dễ dàng chuyển về các phép biến đổi đại số dựa vào các giao hoán tử của các toán tử sinh hủy. V ˆ T : Thành phầnđộng năng chứa các sốhạng không trung hòa 2.2.2.2 Thành phần Hamiltonian liên quan đến thế năng. Với số hạng liên quan đến tương tác Culoumb (thế năng) thì các toán tử sinh hủy sẽ nằm ở dưới mẫu số và trong dấu căn nên cần tìm cách đưa về dạng chuẩn (normal), để có thể sử dụng trong tính toán.

Để đảm bảo tính chính xác của việc tính toán mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro nên ta sẽ tính đến bổ chính bậc ba. Để tính E02 , ta phải tính các mức năng lượng của bổ chính bậc hai theo kiểu nhiễu loạn và các yếu tố ma trận của bổ chính bậc hai theo kiểu nhiễu loạn. Trong phần chính của luận văn chỉ trình bày các kết quả của các mức năng lượng của bổ chính bậc hai theo kiểu nhiễu loạn, các yếu tố ma trận đã tính toán được, còn các phép tính toán cụ thể sẽ được trình bày trong phần phụ lục.

Vì việc tính toán khá dài và phức tạp nên cần sự hỗ trợ của phần mềm toán học Maple, được trình bày cụ thể trong phần phụ lục L1 - lxxv. , ta phải tính các mức năng lượng của bổ chính bậc ba theo kiểu nhiễu loạn và các yếu tố ma trận của bổ chính bậc ba theo kiểu nhiễu loạn. Vì việc tính toán khá dài và phức tạp nên cần sự hỗ trợ của phần mềm toán học Maple, được trình bày cụ thể trong phần phụ lục L2 - lxxvi.

Với kết quả thu được trong chương 2 đã cho ta độ tin cậy bước đầu để sử dụng phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro trong điện trường.