Khóa luận tốt nghiệp toán một số kết quả của tích ten xơ

Lời cảm ơn Bài khóa luận hoàn thành thành công lớn thân đường tiếp cận với nghiên cứu khoa học. Để có kết đó, nỗ lực cố gắng học hỏi, tìm tòi thân, nhận quan tâm, hướng dẫn tận tình từ thầy cô; ủng hộ, động viên từ gia đình bạn bè. Qua khóa luận xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô Ban lãnh đạo Trường Đại học Quảng Bình, thầy cô khoa Khoa học Tự nhiên nói chung thầy cô môn Toán nói riêng quan tâm, giúp đỡ suốt bốn năm học tập rèn luyện trường. Đặc biệt, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Th.s Nguyễn Quốc Tuấn, người theo sát hướng dẫn suốt trình thực khóa luận, thầy cho ý kiến đóng góp quý báu, giúp lĩnh hội kiến thức chuyên môn rèn luyện tác phong nghiên cứu khoa học. Đồng thời xin chân thành cảm ơn thầy giáo Th.s Trần Mạnh Hùng góp ý để khóa luận đầy đủ, hoàn thiện hơn. Tôi xin cảm ơn thầy cô Hội đồng phản biện góp ý, giúp khắc phục sai sót hoàn thiện khóa luận. Cuối xin gửi lời tri ân sâu sắc đến gia đình, người thân bạn bè bên tôi, động viên, khuyến khích suốt trình học tập trình thực khóa luận này. Tôi xin chân thành cảm ơn! Mục lục Lời cảm ơn MỤC LỤC MỞ ĐẦU Kiến thức sở 1.1 Không gian véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Không gian véc tơ ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . 11 1.3 Tổng trực tiếp không gian véc tơ . . . . . . . . . . . 13 1.4 Không gian véc tơ thương, dãy khớp . . . . . . . . . . . 15 1.5 Bài toán phổ dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Một số kết tích ten xơ 20 2.1 Ánh xạ đa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Tích ten xơ hai không gian véc tơ . . . . . . . . . . . 24 2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.2 Cách xây dựng tích ten xơ hai không gian véc tơ 2.3 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.3 Một số tính chất tích ten xơ . . . . . . . . . . 30 2.2.4 Một số ví dụ tích ten xơ . . . . . . . . . . . . 41 Tích ten xơ ánh xạ, tính khớp . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.3 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Tích ten xơ không gian không gian thương . . 50 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 MỞ ĐẦU 1. Lí chọn đề tài Mở rộng trực tiếp Đại số tuyến tính Đại số đa tuyến tính mà kiến thức trọng tâm ten xơ vấn đề liên quan đến nó. Ten xơ liên quan mật thiết đến lĩnh vực khác. Ten xơ khái niệm quan trọng vật lí cung cấp khuôn khổ toán học ngắn gọn cho việc thiết lập giải vấn đề vật lí nhiều lĩnh vực học môi trường liên tục, lí thuyết đàn hồi đặc biệt thuyết tương đối rộng. Ten xơ lần nghiên cứu nhà toán học Tullo Levi - Civita Gregorio Ricci - Curbasto nhánh mà họ gọi phép tính vi phân tuyệt đối. Ten xơ cho phép thiết lập lên cách phát biểu khác hình học vi phân nội đa tạp dạng ten xơ độ cong Riemann. Một khía cạnh quan trọng ten xơ tích ten xơ tích ten xơ hai không gian véc tơ sở để xây dựng nên khái niệm tích ten xơ đối tượng khác. Nhận xét V W hai không gian véc tơ V ×W tồn cấu trúc không gian véc tơ làm cho đẳng cấu với V ⊕ W . Tuy nhiên ánh xạ tuyến tính từ V × W tới U nói chung không ánh xạ tuyến tính từ V ⊕ W tới U ngược lại, tức hai tập hợp B(V × W, U ) L(V ⊕ W, U ) không đẳng cấu với nhau. Tích ten xơ V ⊗ W hai không gian V W xây dựng để thay cho V ⊕ W để hai không gian B(V × W, U ) L(V ⊕ W, U ) đẳng cấu với nhau. Là kiến thức sở quan trọng Đại số đa tuyến tính, nhiên có không nhiều tài liệu, công trình nghiên cứu đầy đủ, chi tiết tích ten xơ, để nghiên cứu sâu sắc vấn đề Đại số đa tuyến tính cung cấp cho bạn đọc tài liệu vấn đề này, chọn "Một số kết tích ten xơ" làm đề tài khóa luận tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích khóa luận tìm hiểu tích ten xơ thông qua tích ten xơ hai không gian véc tơ liên hệ với số đối tượng khác ánh xạ, tổng trực tiếp,vv. Thông qua khóa luận có hội củng cố lại kiến thức Đại số tuyến tính làm quen với cách nghiên cứu khoa học vấn đề toán học. 3. Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Tích ten xơ hai không gian véc tơ số đối tượng khác. Phạm vi nghiên cứu: Các đối tượng Đại số tuyến tính. Ngày tích ten xơ định nghĩa trực tiếp cho hai mô đun, nhiên phạm vi khóa luận không đề cập đến. 4. Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp sử dụng trình nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc, phân tích, tổng hợp tài liệu làm rõ nội dung lí thuyết, trình bày, chứng minh tính chất theo hệ thống khoa học, logic đưa ví dụ làm rõ. - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm thân, bạn học, anh chị khóa trước để tổng hợp, hệ thống hóa kiến thức, vấn đề nghiên cứu đầy đủ, khoa học. - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Xemina, lấy ý kiến giảng viên hướng dẫn giảng viên khác để hoàn thành mặt nội dung hình thức khóa luận. 5. Tầm quan trọng khoa học thực tiễn Ten xơ có ứng dụng hữu ích lĩnh vực khác học môi trường liên tục, hình học vi phân với ví dụ quen thuộc dạng bậc hai ten xơ mê tric ten xơ độ cong Riemann. Đại số lí thuyết ten xơ mang nhiều đặc tính hình học. Các dạng vi phân ứng dụng ten xơ toán học. Do đó, hiểu rõ tích ten xơ có sở để nghiên cứu sâu sắc ứng dụng vấn đề liên quan đến ten xơ. 6. Bố cục khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, phụ lục tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm chương: Chương 1: Kiến thức sở Chương hệ thống số kiến thức, kết đại số tuyến tính cần thiết cho chương sau: không gian véc tơ, không gian véc tơ ánh xạ tuyến tính, không gian con, không gian thương, tổng trực tiếp không gian véc tơ, không gian véc tơ thương, dãy khớp giới thiệu khái niệm toán phổ dụng. Chương 2: Một số kết tích ten xơ Chương trình bày cách hệ thống cách xây dựng tích ten xơ hai không gian véc tơ, ví dụ, tính chất tích ten xơ, mối liên hệ tích ten xơ với số đối tượng khác: tích ten xơ với ánh xạ, tổng trực tiếp, dãy khớp, với không gian không gian thương. Chương Kiến thức sở Chương nhằm mục đích nhắc lại số kiến thức, kết đại số tuyến tính cần thiết cho chương khóa luận. 1.1 Không gian véc tơ Định nghĩa 1.1.1. (Không gian véc tơ).Cố định trường K. Một không gian véc tơ K tập hợp V với phép toán cộng véc tơ phép nhân vô hướng V × V −→ V; (u, v) −→ u + v, K × V −→ V; (λ, v) −→ λ · v, thõa mãn điều kiện sau: i) (V, +) nhóm giao hoán với phần tử trung hòa 0, ii) Phép nhân với vô hướng có tính đơn vị: · v = v, với v ∈ V, iii) Phép nhân với vô hướng thực phép toán K: (λµ) · v = λ · (µ · v), (λ + µ) · v = λ · v + µ · v, iv) Phép nhân với vô hướng có tính phân phối phép cộng véc tơ: λ · (a + b) = (λ · a) + (λ · b). Từ định nghĩa không gian véc tơ ta có tính chất sau: · v = 0, (-1) · v = -v. Quy ước: Phép nhân với vô hướng thực trước phép cộng véc tơ, bỏ dấu ” · ” kí hiệu phép nhân với vô hướng. Ví dụ. i) Trong mặt phẳng tọa độ, véc tơ tự với phép cộng véc tơ nhân véc tơ với số thực lập nên không gian véc tơ thực. ii) Tập hợp đa thức K[X] (của ẩn X, với hệ số K) với phép cộng đa thức phép nhân đa thức với vô hướng thông thường lập nên không gian véc tơ trường K. iii) Tập hợp ma trận m hàng n cột với phần tử K, kí hiệu M (m × n; K) với hai phép toán cộng ma trận nhân ma trận với vô hướng lập nên K-không gian véc tơ. iv) Tập hợp C[a, b] hàm thực liên tục đoạn [a, b] ⊂ R không gian véc tơ thực với phép toán thông thường. Định nghĩa 1.1.2. (Không gian con). Tập U khác rỗng không gian véc tơ V gọi không gian V U đóng phép cộng véc tơ phép nhân với vô hướng, tức với u, v ∈ U , λ ∈ K ta có u + v ∈ U, λu ∈ U. Nhận xét: Từ định nghĩa, chọn λ = -1, ta có -u ∈ U với u ∈ U. Từ (U, +) nhóm (V, +). Vậy U không gian véc tơ (với phép toán hạn chế từ V). Định nghĩa 1.1.3. (Ánh xạ tuyến tính). Cho hai không gian véc tơ V W trường K. Một ánh xạ f: V −→ W gọi ánh xạ tuyến tính hai điều kiện sau thỏa mãn: i) f(u + v) = f(u) + f(v) với u, v ∈ V, ii) f(λu) = λf(u), với λ ∈ K, u ∈ V. Phép cộng ánh xạ tuyến tính phép nhân với vô hướng định nghĩa sau: (f + g)(v) = f(v) + g(v), (λf)(v) = λ(f(v)). Hạch (hạt nhân) ánh xạ tuyến tính định nghĩa tập Ker (f) = {v ∈ V | f(v) = 0}. Đây không gian V. Ảnh ánh xạ tuyến tính f tập Im (f) = {f(v) | v ∈ V}. Đây không gian W. Định nghĩa 1.1.4. Ánh xạ tuyến tính f: V −→ W gọi là: i) Đơn cấu Ker (f) = 0; Chứng minh: Ta có phần tử U biểu diễn dạng u = ⊕i∈I ui , ui ∈ Vi với hầu hết i ∈ I, trừ số hữu hạn phần tử khác 0. Xét ánh xạ f : U × V −→ ⊕i∈I (Ui ⊗ V ) ui , v) −→ (ui ⊗ v)i∈I ( i∈I f ánh xạ song tuyến tính. Bởi theo tính phổ dụng tích ten xơ tồn ánh xạ tuyến tính: h : U ⊗ V −→ ⊕i∈I (Ui ⊗ V ) ui ) ⊗ v) = (ui ⊗ v)i∈I h(( i∈I ui ∈ U ; v ∈ V . với i∈I Bây giờ, với i ∈ I, gọi γi : Ui → U phép nhúng tắc. Khi ta có ánh xạ tuyến tính γi ⊗ idV : Ui ⊗ V −→ U ⊗ V ui ⊗ v −→ ui ⊗ v Khi ta suy tồn ánh xạ tuyến tính k : ⊕i∈I (Ui ⊗ V ) −→ U ⊗ V thỏa mãn k((ui ⊗ v)i∈I ) = ( ui ⊗ v) = ( i∈I ui ) ⊗ v, với i∈I (ui ⊗ v)i∈I ∈ ⊕i∈I (Ui ⊗ V ). Vì phần tử dạng ( ui ) ⊗ v sinh U ⊗ V , phần tử dạng i∈I (ui ⊗ v)i∈I sinh ⊕i∈I (Ui ⊗ V ) 40 hk((ui ⊗ v)i∈I ) = h(( ui ) ⊗ v) = (ui ⊗ v)i∈I i∈I kh(( ui ) ⊗ v) = k((ui ⊗ v)i∈I ) = ( i∈I ui ) ⊗ v i∈I Ta suy hk = id; kh = id. Vậy k, h đẳng cấu. Mệnh đề 2.2.11. Cho U = ⊕i Ui , V = ⊕j Vj . Khi U ⊗ V = ⊕i,j (Ui ⊗ Vj ). Chứng minh: Theo định lí ta có: U ⊗ V = (⊕i Ui ) ⊗ (⊕j Vj ) ∼ = ⊕i (Ui ⊗ (⊕j Vj )) ∼ = ⊕i (⊕j (Ui ⊗ Vj ) ∼ = ⊕(i,j) (Ui ⊗ Vj ) Mệnh đề 2.2.12. Cho U1 , U2 ⊆ U, V1 , V2 ⊆ V . Khi (U1 ⊗ V1 ) ∩ (U2 ⊗ V2 ) = (U1 ∩ U2 ) ⊗ (V1 ∩ V2 ). 2.2.4 Một số ví dụ tích ten xơ Ví dụ 1. Cho V1 , V2 hai không gian véc tơ với sở {ei , ≤ i ≤ m} {fj , ≤ j ≤ n}. Theo hệ 2.2.3 {ei ⊗ fj ; ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n} sở V1 ⊗ V2 , dễ thấy hệ sinh có mn phần tử. Giả sử (x1 , x2 , ., xm ) tọa độ x ∈ V1 theo sở {e1 , ., em }, (y1 , y2 , ., yn ) tọa độ y ∈ V2 theo sở {f1 , ., fn }. Khi ta thấy: m x⊗y = n xi ei ⊗ i=1 yj f j j=1 41 m n xi yj (ei ⊗ fj ) = i=1 j=1 Điều chứng tỏ {xi yj |1 ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n} tọa độ x ⊗ y theo sở {e1 ⊗ f1 , ., em ⊗ fn }. Chẳng hạn, xét V1 = V2 = R3 với sở tự nhiên e1 = (1, 0, 0); e2 = (0, 1, 0); e3 = (0, 0, 1). Khi R3 ⊗ R3 có sở {e1 ⊗ e1 , e1 ⊗ e2 , e1 ⊗ e3 , e2 ⊗ e1 , e2 ⊗ e2 , e2 ⊗ e3 , e3 ⊗ e1 , e3 ⊗ e2 , e3 ⊗ e3 }. Đồng R3 ⊗ R3 với R9 , ta chọn e1 = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) e2 = (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) e3 = (0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0) e4 = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0) e5 = (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0) e6 = (0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0) e7 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0) e8 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0) e9 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1) Và x = (x1 , x2 , x3 ); y = (y1 , y2 , y3 ) x ⊗ y = (x1 y1 , x1 y2 , x1 y3 , x2 y1 , x2 y2 , x2 y3 , x3 y1 , x3 y2 , x3 y3 ) Theo đưa trực tiếp khái niệm tích ten xơ hai véc tơ x = (x1 , ., xm ) ∈ K m ; y = (y1 , ., yn ) ∈ K n sau: 42 x ⊗ y = (x1 y1 , ., x1 yn , ., , xm yn ) ∈ K mn Ví dụ 2. Cho K trường m, n hai số nguyên dương. Với x = (x1 , ., xm ) ∈ K m ; y = (y1 , ., yn ) ∈ K n ta xác định x ⊗ y = (x1 y1 , ., x1 yn , ., , xm yn ) ∈ K mn g : K m × K n −→ K mn (x, y) −→ x ⊗ y Giả sử (u1 , ., um ); (v1 , ., ); (e1 , ., emn ) sở K m , K n , K mn . với x = x1 u1 + . + xm um ∈ K m ; y = y1 v1 + . + yn ∈ K n , kí hiệu x ⊗ y = x1 y1 e1 + . + xm yn emn Khi g xác định ánh xạ song tuyến tính. Lấy K - không gian véc tơ P ánh xạ song tuyến tính f : K m × K n −→ P Với ≤ i ≤ mn biểu diễn dạng i = qn + r, ≤ q ≤ m − 1; ≤ r ≤ n. Với biểu diễn i uq+1 ⊗ ur = ei Xét đồng cấu h : K mn −→ P xác định ảnh sở sau: h(ei )f (uq+1 ⊗ ur ), ∀1 ≤ i ≤ mn. Khi h đồng cấu thỏa mãn f = hg. Thật vậy, với ∀x ∈ K m , y ∈ K n ta có 43 f (x, y) = xi yj f (ui , vj ) i=1,m,j=1,n = xi yj h(e(i−1)n+j ) i=1,m,j=1,n = h( xi yj e(i−1)n+j ) i=1,m,j=1,n = h(x ⊗ y) = hg(x, y) Suy f = hg. Giả sử có đồng cấu h : K mn −→ P thỏa mãn f = h g. Khi h (ei ) = h (uq+1 ⊗ ur ) = h g(uq+1 , ur ) = f (uq+1 , ur ) = h(ei ) với ≤ i ≤ mn i = qn + r, ≤ q ≤ m − 1; ≤ r ≤ n. Vậy h = h . Vậy (K mn , g) tích ten xơ hai không gian K m K n . Ví dụ 3. Cho K trường vành đa thức K[X], K[Y ], K[X, Y ]. Khi ánh xạ h : K[X] × K[Y ] −→ K[X, Y ] xác định công thức h(f (x), g(y)) = f (x)g(y) với f (x) ∈ K[X], g(y) ∈ K[Y ] ánh xạ song tuyến tính. Do theo tính chất phổ dụng tích ten xơ tồn dồng cấu F : K[X] ⊗ K[Y ] −→ K[X, Y ] F (f (x) ⊗ g(y)) = f (x)g(y) Mặt khác phần tử u ∈ K[X, Y ] biểu diễn dạng u = f0 + f1 Y + . + fm Y m 44 với m ∈ N, fi ∈ K[X], Y m ∈ K[Y ], i = 1, ., n. Ta có tương ứng G : K[X, Y ] −→ K[X] ⊗ K[Y ] xác định G(u) = f0 ⊗ + f1 ⊗ Y + . + fm ⊗ Y m ánh xạ, GF = F G = id hay G đồng cấu nghịch đảo F . Do K[X] ⊗K K[Y ] ∼ = K[X, Y ] 2.3 2.3.1 Tích ten xơ ánh xạ, tính khớp Định nghĩa Giả sử f : V1 −→ V ; g : W1 −→ W , ánh xạ tuyến tính. Khi ánh xạ f × g : V1 × W1 −→ V1 ⊗ W1 (f × g)(v, w) −→ f (v) ⊗ g(w), ∀v ∈ V1 , w ∈ W1 ánh xạ song tuyến tính. Thật vậy, với v, v1 , v2 ∈ V1 ; w, w1 , w2 ∈ W1 ; λ1 , λ2 ∈ K, ta có: (f × g)(λ1 v1 + λ2 v2 , w) = f (λ1 v1 + λ2 v2 ) ⊗ g(w) = (λ1 f (v1 ) + λ2 f (v2 )) ⊗ g(w) = λ1 f (v1 ) ⊗ g(w) + λ2 f (v2 ) ⊗ g(w) = λ1 (f × g)(v1 , w) + λ2 (f × g)(v2 , w). (f × g)(v, λ1 w1 + λ2 w2 ) = f (v) ⊗ g(λ1 w1 + λ2 w2 ) 45 = f (v) ⊗ (g(λ1 w1 ) + g(λ2 w2 )) = f (v) ⊗ g(λ1 w1 ) + f (v) ⊗ g(λ2 w2 ) = λ1 f (v) ⊗ g(w1 ) + λ2 f (v) ⊗ g(w2 ) = λ1 (f × g)(v, w1 ) + λ2 (f × g)(v, w2 ). Do theo từ tính phổ dụng tích ten xơ, tồn ánh xạ tuyến tính kí hiệu f ⊗ g : V1 ⊗ W1 −→ V ⊗ W (v ⊗ w) −→ f (v) ⊗ g(w) ánh xạ f ⊗ g gọi tích ten xơ hai ánh xạ f g. 2.3.2 Tính chất Mệnh đề 2.3.1. Cho f1,2 : V1 −→ V ; g1,2 : W1 −→ W ánh xạ tuyến tính. Khi f ⊗ (g1 + g2 ) = f ⊗ g1 + f ⊗ g2 . (f1 + f2 ) ⊗ g = f1 ⊗ g + f2 ⊗ g. Chứng minh: Ta có (f ⊗ (g1 + g2 ))(v ⊗ w) = f (v) ⊗ (g1 + g2 )(w) = f (v) ⊗ (g1 (w) + g2 (w)) = f (v) ⊗ g1 (w) + f (v) ⊗ g2 (w) = (f ⊗ g1 )(v ⊗ w) + (f ⊗ g2 )(v ⊗ w) = (f ⊗ g1 + f ⊗ g2 )(v ⊗ w) ((f1 + f2 ) ⊗ g)(v ⊗ w) = (f1 + f2 )(v) ⊗ g(w) 46 = (f1 (v) + f2 (v)) ⊗ g(w) = f1 (v) ⊗ g(w) + f2 (v) ⊗ g(w) = (f1 ⊗ g)(v ⊗ w) + (f2 ⊗ g)(v ⊗ w) = (f1 ⊗ g + f2 ⊗ g)(v ⊗ w) Mệnh đề 2.3.2. Cho f : V1 → V ; f : V → V2 ; g : W1 → W ; g : W → W2 ánh xạ tuyến tính. Khi (f f ⊗ g g) = (f ⊗ g )(f ⊗ g) Chứng minh: Ta có: (f f ⊗ g g)(v1 ⊗ w1 ) = f f (v1 ) ⊗ g g(w1 ) = f (f (v1 )) ⊗ g (g(w1 )) = (f ⊗ g )(f (v1 ) ⊗ g(w1 ) = (f ⊗ g )(f ⊗ g)(v1 ⊗ w1 ) Mệnh đề 2.3.3. Sơ đồ sau giao hoán V1 ⊗ W id⊗g f ⊗id / V ⊗ W1 f ⊗g  V1 ⊗ W & f ⊗id /V  id⊗g ⊗W nghĩa (f ⊗ id)(id ⊗ g) = (id ⊗ g)(f ⊗ id) = f ⊗ g Chứng minh: +) (f ⊗ id)(id ⊗ g) = f ⊗ g ((f ⊗ id)(id ⊗ g))(v ⊗ w) = (f ⊗ id)((id ⊗ g)(v ⊗ w)) = (f ⊗ id)(id(v) ⊗ g(w)) = (f ⊗ id)(v ⊗ g(w)) 47 = f (v) ⊗ id(g(w)) = f (v) ⊗ g(w) = f ⊗ g)(v ⊗ w) +) (id ⊗ g)(f ⊗ id) = f ⊗ g (id ⊗ g)(f ⊗ id)(v ⊗ w) = (id ⊗ g)((f ⊗ id)(v ⊗ w)) = (id ⊗ g)(f (v) ⊗ id(w)) = (id ⊗ g)(f (v) ⊗ w) = id(f (v)) ⊗ g(w) = f (v) ⊗ g(w) = (f ⊗ g)(v ⊗ w) Bây giả thiết / f V1 / V g / V / dãy khớp ngắn không gian véc tơ. Khi theo mệnh đề 1.4.4, dãy khớp chẻ ra, nghĩa tồn ánh xạ h : V2 −→ V cho gh = id. Từ theo mệnh đề 1.4.4, V tổng trực tiếp V1 V2 với ánh xạ cấu trúc f, h, g, l = f −1 (id − gh). Theo ta có dãy khớp / V1 ⊗ W f / V ⊗W g / V2 ⊗ W /0 , với không gian W . Ta nói tích ten xơ không gian vec tơ bảo toàn dãy khớp ngắn tích ten xơ hàm tử khớp. 2.3.3 Một số ví dụ Ví dụ Nếu L∗1 , L∗2 không gian véc tơ hữu hạn chiều 48 L∗1 ⊗ L∗2 ∼ = (L1 ⊗ L2 )∗ với L∗i không gian ánh xạ tuyến tính từ Li vào K, i = 1, 2. Thật vậy, giả sử f1 : L1 → K; f2 : L2 → K ánh xạ tuyến tính. Xét hợp thành ánh xạ f1 ⊗ f2 : L1 ⊗ L2 → K ⊗ K với đẳng cấu tuyến tính i : K ⊗ K → K ta ánh xạ i◦ (f1 ⊗ f2 ) : L1 ⊗ L2 → K, hay i◦ (f1 ⊗ f2 ) ∈ (L1 ⊗ L2 )∗ . Ta có tương ứng: L∗1 × L∗2 −→ (L1 ⊗ L2 )∗ (f1 , f2 ) −→ i◦ (f1 ⊗ f2 ) ánh xạ song tuyến tính. Thật vậy, ∀f1 , f1 , f1 ∈ L∗1 ; f2 , f2 , f2 ∈ L∗2 ; ∀λ1 , λ2 ∈ K, ta có: (λ1 f1 + λ2 f1 , f2 ) = i◦ ((λ1 f1 + λ2 f1 ) ⊗ f2 ) = i◦ (λ1 f1 ⊗ f2 + λ2 f1 ⊗ f2 ) = λ1 i◦ (f1 ⊗ f2 ) + λ2 i◦ (f1 ⊗ f2 ) = λ1 (f1 , f2 ) + λ2 (f1 , f2 ) (f1 , λ1 f2 + λ2 f2 ) = i◦ (f1 ⊗ (λ1 f2 + λ2 f2 )) = i◦ (f1 ⊗ λ1 f2 + f1 ⊗ λ2 f2 ) = λ1 i◦ (f1 ⊗ f1 ) + λ2 i◦ (f1 ⊗ f2 ) = λ1 (f1 , f2 ) + λ2 (f1 , f2 ) Do theo tính chất phổ dụng tích ten xơ, tồn ánh xạ tuyến tính: h : L∗1 ⊗ L∗2 −→ (L1 ⊗ L2 )∗ 49 (f1 ⊗ f2 ) −→ i◦ (f1 ⊗ f2 ) ánh xạ h đẳng cấu cần tìm. Bằng phép quy nạp ta có: L∗1 ⊗ . ⊗ L∗n ∼ = (L1 ⊗ . ⊗ L2 )∗ Ví dụ L∗ ⊗ M ∼ = L(L, M ) Xét ánh xạ song tuyến tính L∗ × M → L(L, M ), (f, u) → |a → f (a)u|, f ∈ L∗ ; u ∈ M ; a ∈ L. Do theo tính phổ dụng tích ten xơ, tồn ánh xạ tuyến tính L∗ ⊗ M → L(L, M ), f ⊗ u → |a → f (a)u|. Đó đẳng cấu cần tìm. 2.4 Tích ten xơ không gian không gian thương Định lí 2.4.1. Giả sử V1 , W1 không gian V W . Khi i) V1 ⊗ W1 đồng với không gian V ⊗ W . ii) Với việc đồng (i), ta có hệ thức sau V ⊗ W : (2.4.1) V ⊗ W ∩ V1 ⊗ W = V1 ⊗ W . 50 iii) Tích ten xơ không gian thương V /V1 W/W1 thỏa mãn (2.4.2) V /V1 ⊗ W/W1 ∼ = V ⊗ W/(V ⊗ W1 + V1 ⊗ W ). Chứng minh: Đặt V2 = V /V1 W2 = W/W1 . Ta có hai dãy khớp ngắn: / /W f V1 f V g / V / W g / W / / 0, /0 . Nhân hai dãy khớp ta sơ đồ ô vuông giao hoán sau:  / V1 ⊗ W id⊗a / 0 /  V ⊗ W1 id⊗a  V1 ⊗ W id⊗b f ⊗id / f ⊗id / V ⊗W id⊗b  V1 ⊗ W f ⊗id /   V ⊗ W2   g⊗id / g⊗id / g⊗id /  / / / V2 ⊗ W id⊗a  V2 ⊗ W id⊗b  V2 ⊗ W  với cột hàng khớp. Từ sơ đồ ta thấy ánh xạ a ⊗ f : V1 ⊗ W1 −→ V ⊗ W hợp thành hai đơn ánh f ⊗ id id ⊗ a nên đơn ánh. Vậy đồng V1 ⊗ W1 với không gian V ⊗ W . (i) chứng minh. Ta thấy vế phải (ii) nằm vế trái, ta chứng minh bao hàm thức 51 ngược lại. Theo (i) ta cần chứng minh x ∈ V ⊗ W thỏa mãn: x = (f ⊗ id)y = (id ⊗ a)z x = (f ⊗ a)t, với t V1 ⊗ W1 . Thật vậy, x = (f ⊗ id)y (g ⊗ id)x = 0, từ (g ⊗ id)(id ⊗ a)z = hay (id ⊗ a)(g ⊗ id)z = Vì id ⊗ a đơn ánh nên ta có (g ⊗ id)z = 0, từ suy z = (f ⊗ id)t với t V1 ⊗ W1 . Với (iii) trước hết ta có nhận xét rằng, theo sơ đồ ánh xạ g ⊗ b = (g ⊗ id)(id ⊗ b) : V ⊗ W −→ V2 ⊗ W2 toàn ánh. Vậy ta cần chứng minh hạch ánh xạ trùng với V ⊗ W1 + V1 ⊗ W. Hiển nhiên V ⊗ W1 + V1 ⊗ W ⊂ Ker(g ⊗ b), hạn chế g ⊗ b lên không gian bên vế trái 0. Ta chứng minh bao hàm thức ngược lại. Giả thiết x ∈ Ker(g ⊗ b) . Thế y = (g ⊗ id)x ∈ V2 ⊗ W thỏa mãn (id ⊗ b)y = 0. Do tính khớp cột thứ ba sơ đồ ta có 52 y = (id ⊗ a)z với z ∈ V2 ⊗ W1 . Vì ánh xạ g ⊗ id hàng thứ toàn ánh nên tồn t ∈ V ⊗ W1 để (g ⊗ id)t = z. Đặt u = (id ⊗ a)t ∈ V ⊗ W . Khi (g ⊗ id)u = (g ⊗ id)(id ⊗ a)t = (id ⊗ a)(g ⊗ id)t = y Vậy (g ⊗ id)(x − u) = 0, tồn w ∈ V1 ⊗ W để (f ⊗ id)w = x − u = x − (id ⊗ a)t. Vậy x ∈ V1 ⊗ W + V ⊗ W1 hai không gian đồng với không gian V ⊗ W ánh xạ f ⊗ id id ⊗ a. (iii) chứng minh. 53 KẾT LUẬN Trong toàn khóa luận, dựa vào tài liệu tham khảo hướng dẫn, góp ý thầy giáo hướng dẫn nỗ lực cố gắng thân, trình bày vấn đề sau: trình bày, giải thích khái niệm, cách xây dựng tích ten xơ hai không gian véc tơ, nêu trình bày chi tiết tính chất tích ten xơ không gian véc tơ; đưa số ví dụ tích ten xơ;, liên hệ tích ten xơ hai không gian véc tơ với số đối tượng khác ánh xạ, không gian thương, dãy khớp, Với nội dung nghiên cứu trình bày, khóa luận "Một số kết tích ten xơ" giải vấn đề đặt ra. Nội dung lí thuyết tích ten xơ, liên hệ với số đối tượng trình bày cách hệ thống, chặt chẽ giúp bạn đọc dễ hiểu vận dụng. Qua trình nghiên cứu giúp hiểu sâu lí thuyết tích ten xơ nắm vững kiến thức Đại số tuyến tính. Tuy nhiên nội dung khóa luận chưa khai thác triệt để ứng dụng lí thuyết chuyên ngành khác toán học nên tương lai cố gắng nghiên cứu sâu toàn diện vấn đề này. Tích ten xơ vấn đề khó hay nên kiến thức mà khóa luận đưa hi vọng nguồn tài liệu giúp ích nhiều cho bạn đọc yêu toán ham thích tìm hiểu khoa học. 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Phùng Hồ Hải, (2010), Đại số đa tuyến tính, NxB Khoa học tự nhiên công nghệ. 2. Lê Tuấn Hoa, (2005), Đại số tuyến tính qua tập ví dụ, NxB ĐHQG Hà Nội. 3. Nguyễn Hữu Việt Hưng, (1998), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục Hà Nội. 4. Nguyễn Hữu Việt Hưng, (2004), Đại số tuyến tính, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội. 5. N.Bourbaki, (1998), Algebra, Chapter - 3. 6. W.H. Greub, (1980), Polynomial representations of GL(n), Lect. Notes in Math. 830, Springer. 55 [...]... −→ U (do tính phổ dụng của tích ten xơ ở trên) sao cho f = g⊗ hay f ∈ Im(ϕ) Suy ra B(V × W, U ) ⊂ Im(ϕ) Vậy ϕ là một đẳng cấu hay hai không gian L(V ⊗W, U ) và B(V ×W, U ) đẳng cấu với nhau Nhận xét Tích ten xơ nếu tồn tại thì duy nhất Chứng minh: Giả sử cặp (T, ⊗) cũng thỏa mãn các điều kiện của tích 25 ten xơ của V và W Theo định nghĩa của (V ⊗ W, ⊗) thì tồn tại duy nhất một đẳng cấu tuyến tính... 2.2 2.2.1 Tích ten xơ của hai không gian véc tơ Định nghĩa Định nghĩa 2.2.1 Cho V, W là hai không gian véc tơ Tích ten xơ của chúng là một cặp gồm một không gian véc tơ và một ánh xạ, kí hiệu (V ⊗W, ⊗), trong đó (V ⊗W là một không gian véc tơ và ⊗ : V ×W −→ V ⊗ W là một ánh xạ song tuyến tính thỏa mãn tính phổ dụng sau đây: (∗) Với mọi ánh xạ song tuyến tính f : V × W −→ U , tồn tại duy nhất một ánh... (Tập một phần tử) Tập có duy nhất một phần tử thường được kí hiệu là {∗} Ta có nhận xét : Từ một tập hợp bất kì tồn tại duy nhất một ánh xạ tới {∗} Tính phổ dụng của {∗} được mô tả như sau: ∀S, ∃!f : S −→ {∗} Ví dụ 5 (Không gian véc tơ 0) Không gian véc tơ 0 thỏa mãn bài toán phổ dụng: ∀W, ∃!g : V −→ W đồng thời nó cũng thỏa mãn bài toán phổ dụng sau: ∀W, ∃!f : W −→ V 19 Chương 2 Một số kết quả của tích. .. gồm chỉ một véc tơ khác 0 luôn là độc lập tuyến tính Định nghĩa 1.1.7 Cơ sở của V là một tập con B của V sao cho mọi phần tử của V biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong B Định lí 1.1.8 Cho V là một không gian véc tơ trên trường K Các điều kiện sau là tương đương đối với một tập con B ⊂ V : 10 i) B là một cơ sở của V ; ii) B là tập sinh tối tiểu của V (nghĩa... cũng có θ θ là ánh xạ đồng nhất Vậy θ là đẳng cấu Vậy tích ten xơ của hai không gian nếu tồn tại thì duy nhất với sai khác một đẳng cấu duy nhất Tổng quát: Cho V1 , V2 , , Vp là các không gian véc tơ Tích ten xơ của chúng là một cặp (V1 ⊗ V2 ⊗ ⊗ Vp , ⊗), trong đó V1 ⊗ V2 ⊗ ⊗ Vp là một không gian véc tơ và ⊗ : V1 × V2 × × Vp −→ V1 ⊗ V2 ⊗ ⊗ Vp là một ánh xạ đa tuyến tính thỏa mãn tính chất phổ dụng... trận A thu được ở trên được gọi là ma trận biểu diễn của ánh xạ f theo hai cơ sở (x) và (y) Ma trận biểu diễn của ánh xạ hợp thành là tích của ma trận biểu diễn của từng ánh xạ 12 Mệnh đề 1.2.2 Chiều của không gian L(V, W ) là tích số chiều của V và W Trong trường hợp V = W ánh xạ tuyến tính f : V −→ V được gọi là một tự đồng cấu tuyến tính hoặc một phép biến đổi tuyến tính Khi đó không gian L(V, W... xét tập con có dạng v + U = {v + u | u ∈ U } của V Một tập như vậy được gọi là một lớp ghép của v theo U Lớp ghép của các véc tơ v và v theo U hoặc trùng nhau hoặc không giao nhau Tập các lớp ghép của các phần tử của V theo U được gọi là tập thương của V theo U , kí hiệu V /U Điều kiện để v + U và v + U trùng nhau là v − v ∈ U Ta trang bị cho V /U hai phép toán sau: (v + U ) + (v + U ) = (v + v ) +... Tổng trực tiếp của hai không gian véc tơ thỏa mãn bài toán phổ dụng Cụ thể, nó là tích trực tiếp của hai không gian véc tơ thỏa mãn bài toán của Ví dụ 1, thể hiện bằng sơ đồ: (1.4.3) T f1 ∃!f f2 $ )/ V1 ⊕ V2 p 1   S1 p2 V2 Nhận thấy rằng (S1 ⊕ S2 , j1 , j2 ) cũng thỏa mãn bài toán phổ dụng ở Ví dụ 2: (1.4.4) V1 j1 V2 j2 /  V1 ⊕ V 2 g2 g1 ∃!g $)  T Nghĩa là V1 ⊕ V2 đồng thời là đối tích của hai không... Trong một không gian véc tơ bất kì luôn tồn tại ít nhất một cơ sở Hai cơ sơ bất kì có cùng lực lượng Hơn thế nữa, nếu cho một tập các véc tơ độc lập tuyến tính trong không gian thì ta luôn có thể bổ sung vào đó các véc tơ để thu được một cơ sở của không gian đó Định nghĩa 1.1.11 Lực lượng của cơ sở trong một không gian véc tơ được gọi là số chiều của không gian véc tơ đó Kí hiệu: dimK V (hoặc dim V)... g(b, a) = a ⊗ b Dễ thấy rằng g là một ánh xạ song tuyến tính Do đó theo tính phổ dụng của tích ten xơ, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính k : V2 ⊗ V1 −→ V1 ⊗ V2 với k(b ⊗ a) = a ⊗ b Như vậy kh : V1 ⊗ V2 −→ V1 ⊗ V2 là một ánh xạ tuyến tính thỏa mãn kh(a ⊗ b) = a ⊗ b, ∀a ∈ V1 , b ∈ V2 Hay kh trùng với ánh xạ đồng nhất id trên tập các véc tơ dạng (a ⊗ b), đó là tập sinh của không gian V1 ⊗V2 , do đó kh . đọc một tài liệu về vấn đề này, tôi đã chọn " ;Một số kết quả của tích ten xơ& quot; làm đề tài khóa luận tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của khóa luận là tìm hiểu về tích ten xơ. bài toán phổ dụng. Chương 2: Một số kết quả của tích ten xơ 5 Chương này trình bày một cách hệ thống về cách xây dựng tích ten xơ của hai không gian véc tơ, các ví dụ, tính chất của tích ten xơ, mối. lên cách phát biểu khác của hình học vi phân nội tại của một đa tạp trong dạng của ten xơ độ cong Riemann. Một khía cạnh quan trọng của ten xơ là tích ten xơ và tích ten xơ của hai không gian véc