2 Một số kết quả của tích ten xơ
2.4 Tích ten xơ của không gian con và không gian thương
Định lí 2.4.1. Giả sử V1, W1 lần lượt là không gian con của V và W. Khi đó
i) V1 ⊗W1 có thể đồng nhất với một không gian con của V ⊗W. ii) Với việc đồng nhất trong (i), ta có hệ thức sau trong V ⊗W:
iii) Tích ten xơ của các không gian thương V /V1 và W/W1 thỏa mãn (2.4.2) V /V1 ⊗W/W1 ∼= V ⊗W/(V ⊗W 1 +V1 ⊗W). Chứng minh: Đặt V2 = V /V1 và W2 = W/W1. Ta có hai dãy khớp ngắn: 0 //V1 f //V g //V2 //0, 0 //W1 f //W g //W2 //0.
Nhân hai dãy khớp trên ta được sơ đồ các ô vuông giao hoán sau:
0 0 0 0 //V1 ⊗W1 f⊗id// id⊗a V ⊗W1 g⊗id// id⊗a V2 ⊗W1 // id⊗a 0 0 //V1 ⊗W f⊗id// id⊗b V ⊗W g⊗id// id⊗b V2 ⊗W // id⊗b 0 0 //V1 ⊗W2 f⊗id// V ⊗W2 g⊗id// V2 ⊗W2 // 0 0 0 0 với các cột và các hàng đều khớp.
Từ sơ đồ ta thấy ánh xạ a⊗f : V1 ⊗W1 −→ V ⊗W là hợp thành của hai đơn ánh là f ⊗id và id⊗a nên là đơn ánh.
Vậy có thể đồng nhất V1 ⊗W1 với một không gian con của V ⊗W.
(i) được chứng minh.
ngược lại.
Theo (i) ta cần chứng minh nếu x ∈ V ⊗W thỏa mãn:
x = (f ⊗id)y = (id⊗a)z thì x = (f ⊗a)t, với t nào đó trong V1 ⊗W1. Thật vậy, nếu x = (f ⊗id)y thì (g⊗id)x = 0, từ đó
(g ⊗id)(id⊗a)z = 0
hay
(id⊗a)(g⊗id)z = 0
Vì id⊗a là đơn ánh nên ta có (g⊗id)z = 0, từ đó suy ra z = (f ⊗id)t
với t trong V1 ⊗W1.
Với (iii) trước hết ta có nhận xét rằng, theo sơ đồ trên thì ánh xạ
g⊗b = (g ⊗id)(id⊗b) : V ⊗W −→ V2 ⊗W2
là toàn ánh.
Vậy ta cần chứng minh hạch của ánh xạ này trùng với V ⊗W1+V1⊗W.
Hiển nhiên
V ⊗W1 +V1 ⊗W ⊂Ker(g⊗b),
vì hạn chế của g⊗b lên các không gian bên vế trái bằng 0. Ta chứng minh bao hàm thức ngược lại.
Giả thiết x ∈ Ker(g ⊗b) . Thế thì y = (g ⊗id)x ∈ V2 ⊗W thỏa mãn
(id⊗b)y = 0.
y = (id⊗a)z với z ∈ V2 ⊗W1.
Vì ánh xạ g ⊗id ở hàng thứ nhất là toàn ánh nên tồn tại t ∈ V ⊗W1
để
(g ⊗id)t= z.
Đặt u = (id⊗a)t ∈ V ⊗W. Khi đó
(g ⊗id)u = (g ⊗id)(id⊗a)t= (id⊗a)(g ⊗id)t = y
Vậy (g ⊗id)(x−u) = 0, do đó tồn tại w ∈ V1 ⊗W để
(f ⊗id)w = x−u = x−(id⊗a)t.
Vậy x ∈ V1⊗W +V ⊗W1 nếu hai không gian này được đồng nhất với các không gian con của V ⊗W bởi các ánh xạ f ⊗id và id⊗a.
KẾT LUẬN
Trong toàn bộ khóa luận, dựa vào các tài liệu tham khảo cùng sự hướng dẫn, góp ý của thầy giáo hướng dẫn và những nỗ lực cố gắng của bản thân, tôi đã trình bày được các vấn đề sau: trình bày, giải thích khái niệm, cách xây dựng tích ten xơ của hai không gian véc tơ, nêu và trình bày chi tiết các tính chất của tích ten xơ của các không gian véc tơ; đưa ra một số ví dụ về tích ten xơ;, liên hệ tích ten xơ của hai không gian véc tơ với một số đối tượng khác như ánh xạ, không gian thương, dãy khớp,.... Với các nội dung nghiên cứu đã trình bày, khóa luận "Một số kết quả của tích ten xơ" đã giải quyết những vấn đề đặt ra. Nội dung cơ bản nhất của lí thuyết tích ten xơ, sự liên hệ của nó với một số đối tượng đã được trình bày một cách hệ thống, chặt chẽ giúp bạn đọc dễ hiểu và vận dụng.
Qua quá trình nghiên cứu đã giúp tôi hiểu sâu hơn về lí thuyết tích ten xơ và nắm vững những kiến thức cơ bản trong Đại số tuyến tính. Tuy nhiên nội dung khóa luận chưa khai thác triệt để các ứng dụng của lí thuyết này trong các chuyên ngành khác của toán học nên trong tương lai tôi sẽ cố gắng nghiên cứu sâu hơn và toàn diện hơn về vấn đề này.
Tích ten xơ là một vấn đề khó và hay nên những kiến thức mà khóa luận đưa ra hi vọng sẽ là nguồn tài liệu giúp ích rất nhiều cho bạn đọc yêu toán và ham thích tìm hiểu khoa học.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phùng Hồ Hải, (2010), Đại số đa tuyến tính, NxB Khoa học tự nhiên và công nghệ.
2. Lê Tuấn Hoa, (2005), Đại số tuyến tính qua các bài tập và ví dụ, NxB ĐHQG Hà Nội.
3. Nguyễn Hữu Việt Hưng, (1998), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục Hà Nội.
4. Nguyễn Hữu Việt Hưng, (2004),Đại số tuyến tính, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội.
5. N.Bourbaki, (1998), Algebra, Chapter 1 - 3.
6. W.H. Greub, (1980),Polynomial representations of GL(n), Lect. Notes in Math. 830, Springer.