Khóa luận tốt nghiệp toán Một số phép co dãn

Hà Nội, ngày 16 tháng 5 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hồng Khóa luận tốt nghiệp "Một số phép co dãn" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của ThS.. Trong khi đó, sách giáo khoa toán Việ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

Khóa luận tốt nghiệp được hoàn thành tại Đại học Sư phạm Hà Nội

2 Có được bản khóa luận tốt nghiệp này em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán, đặc biệt là ThS

Nguyễn Thị Bình đã trực tiếp hướng dẫn, dìu dắt và giúp đỡ em những chỉ dẫn hết sức quý giá để

em nghiên cứu và hoàn thành đề tài này

Với mong muốn viết được một khóa luận đầy đủ phong phú và hữu ích cho người đọc em đã rất cố gắng nhưng lượng thời gian ý, kinh nghiệm bản thân còn ít và dung lượng hạn chế nên không thể tránh khỏi sai sót và chưa hoàn thiện Rất mong được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để

đề tài được hoàn chỉnh và phát triển hơn nữa

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 16 tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Hồng

Khóa luận tốt nghiệp "Một số phép co dãn" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của ThS Nguyễn Thị Bình Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác

Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm ơn

và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã được ghi rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 16 tháng 5 năm 2014 Sinh viên

LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

co dãn đồ thị theo chiều ngang hay chiều dọc Trong khi đó, sách giáo khoa toán Việt Nam biến đổi đồ thị hàm số chỉ giới hạn ở phép tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa

độ và cũng được cung cấp hết sức đơn giản trong sách giáo khoa đại số 10 nâng cao,

có đưa ra đồ thị hàm số thể hiện phép co dãn nhưng không đề cập đến phép biến đổi này

Hiện nay trên thị trường sách đã xuất bản và Internet ngày càng có nhiều tác giả với những tài liệu khác nhau viết về chủ đề này Tuy nhiên, trong các tài liệu này thì các dạng bài tập chưa thực sự được phân loại rõ ràng, hệ thống hóa chưa được đầy đủ, đa dạng Vì vậy việc nghiên cứu

chúng gặp nhiều khó khăn, gây ảnh hưởng đến việc nắm bắt kiến thức và giải bài tập.Với những lí do trên cùng niềm say mê nghiên cứu và sự chỉ bảo tận tình của

ThS Nguyễn Thị Bình em đã tập trung thực hiện đề tài "Một số phép co dãn" nhằm

làm rõ hơn vấn đề này và phân loại các dạng bài tập Từ đó giúp học sinh có một hệ thống bài tập được phân loại rõ ràng, đáp ứng được nhu cầu khác nhau của việc tự học cũng như học tập trên lớp

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

M Ở

Nghiên cứu và phân loại một số phép co dãn đồ thị hàm số Làm rõ sự biến đổi

đồ thị hàm số và một số bài tập liên quan

3 Đối tượng nghiên cứu

Một số phép co dãn đồ thị hàm số và các bài tập liên quan

4 Phương pháp nghiền cứu

Đọc tài liệu sau đó phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận tốt nghiệp bao

Tập D được goi là tập xác định của hàm số Phần tử X goi là đối số (biến số)

Phần tửy e t tương ứng với X gọi là giá trị của hàm số tại X, kí hiệu Y — /(X )

Tập hợp T F = { F ( X ) I Vx e Z)j gọi là tập giá trị của hàm số.

Việc biểu diễn các điểm (X , F ( X )) thuộc đồ thị hàm số У = F ( X ) lên mặt phẳng tọa độ O X Y gọi là vẽ đồ thị của hàm số.

M Ở

Hình 1.1.3.1 b)

1 1 3 1 Đ ồ t h ị h à m s ố ỵ =

Hình 1.1.3.2 a)

Hình 1.1.3.2 b)

1 1 3 1 Đ ồ t h ị h à m s ố ỵ =

1.2 Tịnh tiến đồ thị hàm số

Cho hàm số Y = F ( X ) , với A , B > 0

Từ đồ thị hàm số Y — F ( X ) bằng phép tịnh tiến theo trục Ox a đơn vị: +

Sang trái nếu A > 0 + Sang phải nếu A < 0 ta được đồ thị hàm số Y = /(X +

Chương 2: PHÉP co DÃN cơ BẢN

Cho hàm số Y — F ( X ) có đồ thị hàm số (C)

Xem xét sự co dãn của đồ thị hàm số này qua 2 dạng: co dãn theo chiều dọc và

co dãn theo chiều ngang

Hình 1.1.3.3

1 1 3 3 Đ ồ t h ị h à m s ố

2.1.1 Sự biến đổi đò thị

Đồ thị hàm số У — F ( Ạ X ) được biến đổi từ đồthị hàm số У — F ( X )

qua một phép co dãn theo trục hoành(co dãn theochiều ngang) với hệ số

co dãn là 1/a

Hay còn gọi là phép co dãn theo X - hướng.

• А > 1 : phép co

• 0 < А < 1 : phép dãn

• а<0: vẽ đồ thị hàm số Y — F { — A X ) bằng phép co hoặc dãn như trên sau đó

lấy đối xứng qua trục tung

2.1.2 Tọa độ điểm

• Điểm có tọa độ thuộc đồ thị hàm số Ỵ = F ( X ) khi chuyển

sang đồ thị hàm số Ỵ — F ( A X ) sẽ có tọa độ ( X / A ; y) Dễ thấy tung độ của

mọi điểm trên đồ thị không thay đổi

• Điểm bất động: bất kỳ điểm nào trên trục Oy

2.1.3 Một số ví dụ minh họa

V Í D U 2 1 1 Vẽ đồ thị hàm số У = (2л;) 2 từ đồ thị hàm số Y = X 2

Hướng dẫn và lời giải:

Ta thấy đồ thị hàm số У = X 2 là đồ thị hàm số đơn giản dễ vẽ Hàm

=> Nhận xét: từ hình 2.1.1 ta có thể thấy với mỗi giá trị của y thì |x| giảm 2 lần từ đồ thị trước sang đồ thì sau biến đổi Tức là |xl nhỏ đi hay đồ thị co lại theo chiều ngang.Như vậy ta cũng có thể tìm được phép co dãn theo chiều ngang và hệ số co dãn của nó nếu biết đồ thị hàm số trước và sau phép co dãn này.

1 1 3 3 Đ ồ t h ị h à m s ố

+ Lấy đối xứng (C2) qua Oy được (C2) là đồ

+ Ta có đồ thị

+ Nhận xét: Từ đồ thị (Ci) sang đồ thị (C2) với mỗi giá trị của y thì Ixl tăng lên 2 lần, hay đồ thị dãn theo chiều ngang

V Í D U 2 1 3 Cho đường cong Y = — Hỏi ta sẽ được đồ thị của hàm số nào

khi thực hiện phép co dãn theo trục hoành với hệ số co dãn:

a)

1b) theo trục hoành Y — F (ax) hay Y = y—

i) qua một phép co dãn theo trục tung (co dãn theo chiều dọc) với hệ số co dãn

là a

j) Hay còn gọi là phép co dãn theo у - hướng

• А > 1 : phép dãn

• 0 <А < 1 : phép co

• а < 0: vẽ đồ thị hàm số ỵ — —a/(jc) bằng phép co hoặc dãn như

k) trên sau đó lấy đối xứng qua trục hoành

2.2.2 Tọa độ điểm

• Điểm có tọa độ (*;y) huộc đồ thị hàm số j = /(jc)khi chuyển

l) sang đồ thị hàm số У = a/(x) sẽ có tọa độ (x;ợy) Dễ thấy hoành độ

của mọi điểm trên đồ thị không thay đổi

• Điểm bất động: bất kỳ điểm nào trên trục Ox

t) Hình 2.2.1

u) => Nhận xét: từ hình 2.2.1 ta có thể thấy với mỗi giá trị của X thì |yl tăng

4 lần từ đồ thị trước sang đồ thì sau biến đổi Tức là lyl lớn hơn hay đồ thị dãn ra theo chiều dọc

v) Như vậy ta cũng có thể tìm được phép co dãn theo chiều dọc và hệ số co dãn của nó nếu biết đồ thị hàm số trước và sau phép co dãn này

w) V Í D U 2 2 2 Vẽ đồ thị hàm số Y — — ^x3 từ đồ thị hàm số Y — X 3

x) oy) Lời giải:

z) + Ỵ = JC3 := F ( X ) có đồ thị hàm số (C i)

m) Ta có đồ thị:

n)

aj) + Các điểm thuộc (Ci) chuyển sang (C2):

aq) + Nhận xét: Từ đồ thị (Cl) sang đồ thị (C2 ) với mỗi giá trị của X thì lyl

của giảm đi 8 lần, hay đồ thị co theo chiều dọc

ax) + Các điểm thuộc (Cl) chuyển sang (Cl ):

az)

ba)

bb)+ Tịnh tiến (Cl ) theo chiều dương Oy 1 đơn vị ta được đồ thị (C2)

bc) V Í D U 2 2 4 Cho đường cong Y = — Hỏi ta sẽ đươc đồ thi của hàm số

bl) Tức là ta có đồ thi của hàm số y =

bm) J 2 x

+

Ta có đồ thị:

2.3 Kết luận

bn) Cho đồ thị hàm số Y — F ( X ), các đồ thị hàm số sau là sự co dãn của đồ thị hàm số Y — F ( X ) ,

bo) với 0<a^l +

c o d ã n l à l / b và phép co dãn theo y - hướng với hệ số co dãn là a.

bt) + 0 < A < 1 phép co theo y - hướng A > 1 phép dãn theo y - hướng +

0 < b < 1 phép dãn theo X - hướng b > 1 phép co theo X - hướng + A < 0

vẽ đồ thị hàm số Y — — D Ì (B X ) bằng phép co dãn như trên sau đó lấy đối xứng qua Ox + B < 0 vẽ đồ thị hàm số Y = af ( — B X ) bằng phép co dãn như

trên sau đó lấy đối xứng qua Oy

phép dãn

ad) (x;y) (x/a;y)ae) Điểm bất động: điểm nằm trên Ox

af) + Với a < 0: sử dụng phép đối xứng.

3.2 Tọa độ điểm

( B X ) được biến đổi qua phép co dãn theo cả 2trục tọa

ch) => tò đồ thị (C) thực hiện 2 phép co dãn theo cả trục tung và trục hoành với hệ số co đều là 1/2 được đồ thị hàm số (C’).

ci) + Các điểm thuộc (C) chuyển sang (C’)

co) + Nhận xét: giá trị tuyệt đối của X và y của điểm thuộc đồ thị (C’) đều giảm 2

lần so với giá trị tương ứng của nó trên đồ thị (C) Chính là sự co dãn theo cả chiều ngang và chiều dọc

cp) Rõ ràng ta thấy Ỵ = ^ ( 2 X ) 2 = 2 X 2 có dạng 2, là phép dãn theo y cq) hướng với hệ số dãn là 2, nhưng ta không làm theo cách này để thấy được tích của phép co dãn như thế nào Để thấy rõ hơn sự co theo 2 hướng thể hiện trên đồ thị, ta sẽ thực hiện lần lượt 2 phép co như sau:

-cr) + Co đồ thị (C) theo X - hướng với hệ số co là 1/2 được đồ thị hàm số Y =

( 2 X ) 2 (C”)

ag)

cs)+ Co đồ thị (C”) theo y - hướng với hệ số co là 1/2 được đồ thị hàm số Y =

^ ( 2 X Ỷ (C’) là đồ thị cần vẽ

ct) + Các điểm thuộc (C) chuyển sang (C”) sang (C’)

cv) (0;0) -► (0;0) (0;0)

cy) Hoặc ta có thể vẽ theo 2 phép co dãn sau:

cz) + Co đồ thị (C) theo y - hướng với hệ số co là 1/2 được đồ thị hàm

dj) + Bước 2: Tịnh tiến (C) 3 đơn vị theo chiều âm Ox +

Bước 3: Co (Cl) theo X - hướng hệ số 1/2

+

Ta có đồ thị

dk) + Bước 4: Dãn (C2) theo y - hướng hệ số 2 Ta

dp) đồ thị hàm số y = X 2 qua các phép biến đổi sau:

1 co theo chiều ngang với hệ số 1/2

2 Tịnh tiến 3/2đơn vị theo chiều âm Ox

3 Dãn theo chiều dọc với hệ số 2

1 Dãn theo chiều dọc với hệ số 8.

3.4 Nhận xét

• Từ đồ thị của 2 hàm số trước và sau phép co dãn dạng 1 và dạng 2 ta có thể tìm được phép co dãn và hệ số co dãn, và ta cũng có thể làm điều tương tự với tích của 2 phép co dãn nhưng việc này không phải là

ah)

có thể được vẽ

dr) dễ Đối với một số hàm đơn giản có thể dễ dàng tìm ra, với một số hàm không quá phức tạp ta có thể tìm bằng cách dự đoán hệ số co dãn dựa vào đồ thị hàm số co hay dãn và dựa vào sự biến đổi tạo độ của một số điểm trên đồ thị Đối với các hàm quá phức tạp không xét đến việc tìm phép co dãn nhờ đồ thị vì nó là tương đối khó khăn.

• Cũng như đối với phép co dãn dạng 1 và dạng 2 hay tích của 2 phép co dãn thì rõ ràng ta thấy các phép co dãn sẽ được kết hợp với các phép biến đổi khác như tịnh tiến và đối xứng Có thể thấy là các phép biến đổi có sự liên hệ với nhau và thường xuyên kết hợp với nhau, ta có dạng tổng quát như sau:

ds) Y = A ( F ( B X + C ) ) + D , với + а: co dãn theo chiều dọc ( А < 0 :

đối xứng qua Ox)dt) + b: co dãn theo chiều ngang ( B < 0 : đối xứng qua Oy)

du) + c: tịnh tiến theo chiều

ngang + d: tịnh tiến theo chiều dọc

• Một hàm số thì X, у có thể đổi vai trò cho nhau, lúc này ta sử dụng các phép co dãn

đã biết với chú ý X, у đổi ngược cho nhau (xem ví dụ

dz) Chương 4: CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ ví DỤ

ee) Y — 0 là các đường tiệm cận của Y = F (x).

ef)

eg) Hình 4.4.1

eh) Lời giải:

ei)Hàm số cần vẽ đồ thị có dạng Y = F (úũt), dạng 1, với a = 2 > 1 nên

ej) đồ thi hàm số Ỵ = F ( X ) co theo X - hướng với hê số co là — = ^ sẽ đươc

el) đồ thị hàm số Y - f (2 X ).

ak)

em) Tọa độ các điểm thay đổi:

ev) V Í D U 4 1 2 Hình 4.1.2 biểu diễn đồ thị hàm số Y =f (x) Đường

cong đi qua gốc tọa độ o, các điểm A(-a;0), B ( — A / 2 ; — A ) , C(a;4a) và

-ex) Hình 4.1.2

ey) Lời giải:

a) Hàm số cần vẽ đồ thị có dạng Ỵ — af (jt), dạng 2, với 0 < A = < 1 nênez) đồ thị hàm số Y =f (jc) co theo y - hướng với hệ số 1/2 được đồ thị hàm

av) A(-a;0) aw) —> ax) A(-a;0) ay) >■ các điểm thuộc Ox bất

số Y — 2 A — F ( X / 2 ) : tịnh tiến 2a đơn vị theo chiều dương Oy.

fh) Tọa độ các điểm thay đổi:

Đồ thị cần vẽ:

B(-fi) У

fj)

fk) Hình 4.1.2 b)

fl) V Í D Ụ 4 1 3 Hình 4.1.3 biểu diễn đồ thị của hàm số у = f(jt), nó đi qua

gốc tọa độ và các điểm A(-3/2;0), B(-l/2;l), C( 1/2;—3/2) và D(1;0) Các

(2x;-y+2a)bn) O(0;0) bo) - > bp) 0’(0;2a)

fv) Ví du 4.1.4 Cho đường cong y=f(x) có tiệm cận

đứng X = 1 và tiệm cận ngang y = 0, điểm cực tiểu

A(3;-l), 1 điểm trên Ox B(2;0) và 1 điểm trên Oy C(0;1)

rp r lÀ ,1dp)

dq) Hình 4.1.3'

dr)

fx) Hình 4.1.4

fy) Vẽ đồ thị hàm số:

fz) Lời giải:

a) Hàm số cần vẽ đồ thị có dang y = f(ax) với a = 3 > 1 nên co đồ thị

sốY — F { 3*).

gb) Tọa độ các điểm thay đổi:

rp r lÀ ,1