Khóa luận tốt nghiệp toán Một số bài toán về đa thức

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ PHƯỢNG MÔT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC KHÓA LUÂN TỐT NGHIÊP ĐAI HOC • • • • Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học GVC. Vương Thông HÀ NỘI – 2014 \ Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, đề tài của em đến nay đã được hoàn thành. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Vư ơ ng T hôn g đã tận, tình chỉ bảo, hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành đề tài nghiên cứu này. Em xin chân thảnh cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy, cô giáo ừong tổ Đại Số nói riêng và khoa Toán trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 nói chung, sự động viên giúp đỡ của gia đình, bạn bè đã dành cho em trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành đề tài. Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để tiểu luận của em được hoàn thiện và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên thực hiện Nguyễn Thị Phượng Tôi xin cam đoan những nội dung mà tôi đã trình bày trong khóa luận này là kết quả quá trình nghiên cứu nghiêm túc của bản thân dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của các thầy, cô giáo, đặc biệt là thầy V ư ơ ng T h ông . Những nội dung này không trùng với kết quả của các tác giả khác. Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên thực hiện LỜI CẢM ƠN Nguyễn Thị Phượng LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Đa thức có vị trí rất quan trọng trong Toán học, nó không những là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của Đại số mà còn là công cụ đắc lực của giải tích, lý thuyêt xấp xỉ, lý thuyết nội suy và lý thuyết tối ưu .Ngoài ra các định lý và các đặc trưng cơ bản của đa thức còn sử dụng nhiều trong toán cao cấp, toán ứng dụng Các bài toán về đa thức được xem như những dạng toán khó ở trung học cơ sở, được đề cập nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia, Olympic Tuy nhiên cho đến nay, tài liệu về đa thức chưa nhiều. Các dạng về đa thức chưa được phân loại rõ ràng và hệ thống hóa đầy đủ cũng như đưa ra phương pháp giải một cách tường minh. Với những lý do trên cùng vói sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của thầy Vươn g T h ông , em xin chọn đề tài “Mợí số b à i t oán về đ a t h ứ c ” làm khóa luận tốt nghiệp. Trong khóa luận này có các nội dung sau: Chương 1 : Một số kiến thức liên quan đến đa thức Chương 2: Một số bài toán về đa thức 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu những bài toán về đa thức trong Đại số sơ cấp. 3. Đổi tượng nghiên cứu Các dạng toán cơ bản trong Đại số sơ cấp liên quan đến đa thức. 4. Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh, hệ thống hóa Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC 1.1. Vành đa thức môt ẩn • 1.1.1. Xây dựng vành đa thức một ẩn 5 * Giả sử A là một vành giao hoán, có đơn vị, kí hiệu là 1. p = {(ao> a i>a n , ) , ừong đó C LịGA , V i = 0,1, và a t = 0 hầu hết}. Ta có phép toán: —Phép cộng: (a 0 , ^1) ■■■ > I I ■■■ ) "b Oo, b - 1 ) . . . , b n t . . . ) (a 0 -b b ( j f ữ-L -b b i f . . . , fl)j -b b n t . . . ) —Phép nhân: (a 0 , CL±I ■■■ I f l ) i i ■■■ )■ (^Q, b-^,. . . Ị bjj, ) (c 0 , Cj,. . . , c n , ) Với tpẸab í = 0.1 к+ш Khi đó tập p cùng với hai phép toán trên lập thành một vành giao hoán có đơn vị. * Xét ánh xạ: А -> p (a, 0, , 0, ) là một đơn cấu Do vậy, ta đồng nhất phần tửaẼẨ vói dãy (а , 0, , 0, ) e p thì A là vành con của p. Kí hiệu: X = (0ДД 0,0 ) Ta có X 2 = (0,0,1,0, 0, ) Х П = СР,. : .,0ЛА ,0) n Khi đó (a 0 , a l t , ON, ) được biểu diễn dưới dạng: f(x) = a 0 + а г х H h a n x n Nếu a n Ф 0 ( n > 0)thìn được gọi là bậc của /(%). Kí hiệu 7 1 = deg f{x) Đa thức không là đa thức không có bậc hoặc có bậc là: —00 Vành p được gọi là vành đa thức ẩn JC trên A. Kí hiệu: p = A[x] 1.1.2. Phép chia có dư Định lý 1 6 Cho A[x ] là vành đa thức, A là một vành giao hoán. Với hai đa thức bất kì/(x), g ( x ) G A [ x ] và g(x) ф 0 luôn tồn tại duy nhất q(x ) ,r( x ) € A[x] sao cho: /00 = g(pỏ.qOd+r(pc) —Nếu r(x) = 0 thì f(x) : g(x) ữong A[x]. —Nếu r(pc ) Ф 0, ta có deg r(x) < deg g (x) ; ta gọi q (x) là tìiương ; r(x) là dư trong phép chia f(x) cho g (x) ữong A [x] . 1.1.3. Nghiệm của đa thức Định nghĩa Cho đa thức fix) G A [x\ , f (x) = a 0 + a ± x -ị 1- a n x n . Phần tử a € A được gọi là nghiệm của đa thức nếu: f(jà) = a 0 + а г а + —h а^а 71 = 0. Định lý 2 Phần tử a là nghiệm của f ( x) khi và chỉ khi /00 chia hết cho ( X — а). Giả sử A là một trường, a G A,f( x ) e A [x] vàm G N ,m > 1. Khi đó a là ( /00 ■ (X — a ) m nghiệm bội cấp m cùa /W«Ị /W ^ h ^ t ^ _ e)-+1 +) m = 1 thì а là nghiệm đơn của f {ọ c ) . +) m = 2 thì а là nghiệm kép của f (x). Số nghiệm của đa thức là tổng số nghiệm của đa thức đó kể cả bội của các nghiệm (nếu có). a) Nghiệm của đa thức hệ số nguyên Định lý 3 Nếu phân số tối giản ĩ- ((p , q)=l ) là nghiệm của đa thức với q hệ số nguyên f ix' ) = а 0 + а г х H 1- a n x n thì p là ước của а 0 và q là ước của а^. Chửng minh Giả sử phân số tối giản — ((p, q)=l)\ầ L nghiệm của đa thức /00 . 7 q Khi đó ta có: /(-)= a 0 + + +а п (—) n = 0 w q <i Từ đó ta có: CLnP 71 = -q (cin-ìP 7 1-1 + +а^ п ~ 2 р + a 0 q n_1 ) (1) Và a 0 q n = — pCg^p” -1 h f a 2 q n ~ 2 p + (2) Từ (1) suy ra a n p n : q mà (p, q)= 1 => a n : q Từ (2) suy ra a Q q n \p mà ịp, q ) = 1 ^ a 0 \p Vậy p là ước của a 0 và q là ước của a n . r r r p r H ệ q u ả 1 : Nêu phân sô tôi giản — là nghiêm của đa thức với hệ sô nguyên q f(x) = a 0 + а г х -ị 1- CLnX 11 thì: i) (p — mq)/f(rri) , m e z ii) (V - í?)//(l) và ( p + q ) / /(-1) Chứng minh i) Phân tích /(x)theo lũy ứiừa của ( x — n i )ta được: f(pc) = b 0 + b^ipc — nì) -ị 1- b n (x — m) n = (p{x — rri) Nhận xét rằng các hệ số b 0 , b n là những số nguyên YÌ m là một số nguyên. Ta có: f (rr i ) = b n thay X bởi — ta được đẳng thức: Я Do đó: p ~ m q là nghiệm của ф(х). Theo định lý 3 thì p — m q là ước của B 0 = /(ш). ii) Theo câu i) thì: —Vói m = 1 thì(p — q) / /(1) 8 —Với m =—1 thì (p + q) //(—1) b) Nghiệm của đa thức hệ số đối xứng Định nghĩa Một đa thức/ộc) = a 0 x n + a ^x 7 1 - 1 -í 1- C L n^x + a n được gọi là đa thức đối xứng nếu những hệ số trong dạng chuẩn tắc của nó cách hệ số đầu và hệ số cuối bằng nhau thì có giá trị bằng nhau, nghĩa là: ’ ^1 ^n— li-” flji-b'" c) Định lý Bezout a là nghiệm của đa thức P(x) khi và chỉ khi P(x) chia hết cho X — a. Chứng minh Ta chia P(jc) cho X — a ta được: P(x) = ( x — a) Q(x) + r (Ở đây r = P(ct)). Từ đây dễ thấy P(a) = 0 khi và chỉ khi P(jc) chia hết cho X — a. d) Lược đồ Horner Định lý 4 Cho đa thức f(x ) = a 0 x n + a x x n ~ x H h a n _ 1 x + C Ln (a 0 0) và g (x) = ( x — a) . Khi đó ứiương của /00 cho g ( x) là một đa ứiức bậc 72 — 1 có dạng: q(x) — ồ 0 x n_1 + b^x 71-2 H 1- b n _ 2 x + b n _ ± . Trong đó: Nghĩa là: b 0 = a 0 ; &!= <*!+ a b 0 Lại có: / 2 (x) = AOO — («1 + ctb^ x 7 1 - 2 . (x — a ) = /00 — Ồi-X n_2 - (X — à) = (a 2 + ab^x 71-2 + a 3 .x n ~ 3 -ị 1- a n 9 b 0 CLQ ',b-y— ữj+CỈỈ?0 \ 2 Và số dư r = a n + ab n _ x Ũ 0 CL■]_ ^n-l ON a b 0 b i ^n-1 R Chứng minh Bằng phương pháp áp dụng định lý phép chia với dư ta được: A00 = /00 — fy)* 71-1 - (. x ~ a ) = (di + aZ? 0 ).x n_1 + a-L* 71-1 -ị 1- On Ở đây: b 2 = a 2 + a/?! Tiếp tục quá trình này ta được: b 0 ’ ^1— ị •••í b-n— 1— ^ n — 2 Và số dư r = On + a^n-! Định lý được chứng minh. 1 0 . “Mợí số b à i t oán về đ a t h ứ c ” làm khóa luận tốt nghiệp. Trong khóa luận này có các nội dung sau: Chương 1 : Một số kiến thức liên quan đến đa thức Chương 2: Một số bài toán về đa thức 2 là duy nhất. Chương 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN VÈ ĐA THỨC 1 3 2.1. Môt số bài toán về đa thức môt ẩn • • 2.1.1 Bài toán chia hết 2.1.1.1 Bài toán chứng minh chìa hấ a) Cơ sở lý luận Sử dụng định nghĩa. triển của nó. b) Ví dụ Một số đa thức đối xứng cơ sở: Định lý 9 (Định lý cơ bản cho những đa thức đối xứng) Mọi đa thức đối xứng có thể biểu diễn như đa thức của những đa thức đối xứng cơ bản và