Khóa luận tốt nghiệp toán Đa thức bất khả quy và đa giác newton

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 • • • • KHOA TOÁN -—0O0- — HOÀNG THỊ LỆ ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY VÀ ĐA GIÁC NEWTON KHÓA LUÂN TÓT NGHIÊP ĐAI HOC • • • • Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học: Th.s ĐỖ VĂN KIÊN HÀ NỘI - 2014 Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này em nhận được sự quan tâm, động viên, khích lệ của các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số nói riêng và các thầy cô giáo ừong khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 nói chung. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với các thầy giáo, cô giáo, đặc biệt là thày giáo T H . S Đ Ỗ V Ă N K I Ê N - người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian qua để em hoàn thành khóa luận này. Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn đề mà em trình bày trong khóa luận này sẽ không tránh khỏi thiếu sót. Em kính mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2014 S i n h v i ê n Hoàng Thị Lệ Trong quá trình nghiên cứu khóa luận “ Đ A T H Ứ C B Ấ T K H Ả Q U Y V À Đ A G I Á C N E W T O N ” em có sử dụng một số tài liệu tham khảo để hoàn thành khóa luận của mình. Danh sách tài liệu tham khảo em đã đưa vào mục tài liệu tham khảo của khóa luận. Em xin cam đoan khóa luận được hình thành bởi sự cố gắng, nỗ lực của bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình của thày G I Ấ O T H . S Đ Ỗ V Ă N K I Ê N cũng như các thầy cô ttong tổ Đại số. Đây là đề tài không trùng với đề tài của các tác giả khác. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thày cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn. LỜI CẢM Hà Nội, tháng 5 năm 2014 S i n h v i ê n Hoàng Thị Lệ LỜI CAM MỤC LỤC 1. Lý do chọn đề tài Toán học là một môn học cơ bản làm nền tảng cho các ngành khoa học khác, là thành phàn không thể thiếu của văn hóa phổ thông. Môn Toán có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy con người. Đa thức có vị trí quan ttọng ttong Toán học không những là đối tượng nghiên cứu của Đại số mà còn là công cụ đắc lực của giải tích trong lý thuyết sấp xỉ, lý thuyết tối ưu Ngoài ra lý thuyết về đa thức còn được sử dụng nhiều trong toán cao cấp và toán ứng dụng. Trong các cuộc thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic thì các bài toán về đa thức được xem là dạng khó. TrongToán học khi nghiên cứu về đa thức, đa thức bất khả quy là một đối tượng quan trọng, còn đa giác Newton được coi là một công cụ để hiểu hành vi của đa thức trên các lĩnh vực địa phương. Tuy nhiên, tài liệu viết về các đối tượng này còn rất ít. Vì vậy em đã mạnh dạn chọn đề tài “Đa thức bất khả quy và đa giác Newton”. Em mong rằng khóa luận này sẽ có ích cho những ai quan tâm đến đa thức, đặc biệt là đa giác Newton và tính bất khả quy của đa thức. 2. Mục đích và nhiệm yụ nghiên cứu Tìm hiểu tính bất khả quy của đa thức trên các trường số và trường hữu hạn,tìm hiểu về đa giác Newton và một số kết quả của đa giác Newton. 3. Đổi tượng nghiên cứu Đa thức một biến. 4. Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh, hệ thống hóa. 5. NỘỈ dung khóa luận Ngoài phần mở đàu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm có 3 chương: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Chương 2. Đa thức bất khả quy Chương 3. Đa giác Newton CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BI LỜI NÓI ĐẦU ~ 5 1.1. Vành đa thức một ẩn 1.1.1. Xây dựng vành đa thức một ẩn Cho A là vành giao hoán có đơn vị 1. Đặt P=|(a 0 ,á 1 ,a 2 , )l A . E Ạ Ã . = 0 hầu hết Ị Trên P ta định nghĩa hai phép toán: + (Z?Q,fop ) ( A 0 + B Ữ , A X + (^0 5 5 • • •) (^0 5 V •) Trong đó C L 2 A J B - , K - 0,1 K i+j=k J Khi đó P cùng với hai phép toán trên lập thành một vành giao hoán, có đơn vị (1Д Д ) Xét đồng cấu Ọ \ A — > P Ữ \—> ,0, ) Khi Đ Ỏ Ọ là một đơn cấunên ta có ứiể nhúng vành A trong Pbằng cách đồng nhất avới ẹ?(a) = (a,0, ,0, ), tức là coi A = (ữ,0, ,0, ) Đặt ứiì X 2 =XC = (0,0,1,0, ,0, ) Х 3 = (0Д0,1Д Д ) *"=(_________ ■••) n Bây giờ lấy phàn tử (a^Opí^, )bất kỳ thuộc Pthìa, = 0 hầu hết nên có số tự nhiênn sao cho =(a^ap.^a^o, .)và ta có, LỜI NÓI ĐẦU ~ 6 (ữ 0 ,ữ 1 , ,ữ n ,o, )=(ữ 0 ,o, )+(o,ữ 1 ,o, )+ +(o,o, ,ữ„,o, ) = a 0 +CỤC + + a n x n Vậy P = \ A Ữ + A Ỉ X + . . . + A N X " Ц e ẠneN . Vành P được gọi là vành đa thức một ẩn л:lấy hệ số trên А , kí hiệu là A Ị X ] . Đ ị n h n g h ĩ a 1 . 1 . 1 . Mỗi phần tử của A [ j c ] được gọi là mộtđa thức, kí hiệu là f(x), g(x ),p (x),. Ne u f(x) = a 0 +a ỉ x + + a n x n thì a 0 được gọi là hệ tử tự do, a n được gọi là hệ tử bậc cao nhất, а п ФО thì n được gọi là bậc của đa thức, kí hiệu de g f( xỴ Nhận xét l.l.l.Cho F ( X ) , G (jc) là hai đa thức khác 0 của vành. Khi đó: i) Neu F ( X ) + g(jt)^Othì deg(/(*) + g(*)) <max{deg/(x),degg(jc)} ii) Nếu/(x)g(jc) Ф Othì deg(/ (x) G (*))< deg F ( X ) + deg G ( X ) Nhận xét 1.1.2: i) Neu A là miền nguyên thì л [ х ] cũng là miền nguyên. ii) Neu A là một trường thì trong vành A [ x ] các hằng khác không là khả nghịch. 1.1.2. Định lý phép chia vói dư Đ ị n h l ý 1 . 1 . 1 .Cho A là một miền nguyên v àf( x ), g(x) ỉà hai đa thức trong A [ j c ] , hệ tử cao nhất của g ( j t ) khả ~ 7 nghịch trong A. Khi đó tồn tại duy nhất cặp đa thức q(x), r ( x ) G Aị x] sao ch o f(x) = g (x) q(x) + r (x) vớ i deg r < de g g ne u r( x) Ф 0 . Chứng minh a) Sự tồn tại G i ả s ử f(x ) = a 0 + a l x + + a n x n , a n Ф0 G ( X ) = B 0 + B 1 X + . . . + B M X M Ь Т Ф 0 Neu N < mthìtađặt ợ(jt) = 0,r(jt) = /(x). Nếu N > mthì đặt: /i w = / w - Ь Т А П Х П ~ Т 8 (л) = /(*)-01 (*)*(*) Bậc của đa thức này không lớn hơnm-lbởi các hệ tử cao nhất của / (л) và Q Ỉ (л) G (x) tràng nhau và bằng B M L A N B M = A N . Tiếp tục quá trình trên ta được F K M = Л-1 (*) - 9 K M G ( X ) , K = L , 2, Rõ ràng sau không quá N - M +1 bước ta sẽ thu được đa thức F K (я) mà deg/(*)< deg G (x). Khi đó đặt Q ( X ) = Q X (x) + Q 2 (x) + + Q K (л), R (x) = F K (X ) Ta có điều phải chứng minh. ~ 8 b) Tính duy nhất Giả sử ta cũng có /W=?'WÂW+^'W Với deg R < deg G nếu R (jc) Ф 0. Khi đó r(jc) - r' (*) = (q (x) - q(x))g (*). Neu r(jc) Ф Г ( jc), ta cũng có Q ( X ) Ф Q (*) và khi đó deg(r- R ') = deg( Q - Q ) + degG > degG Điều này vô lý vì deg (r-r)< max (deg R , deg r )< deg G . Do đó ta phải có R (jc) = Г (jt). Mặt khác A [ X ] là miền nguyên nên từ đó phải có Q ( X ) = Q ( Х ) . Neu trên vành A các đa thức А { Х ) Ф ® thỏa mãn đẳng thức p{ x) = aị^x)bị^x), v ớ i b ( x ) e A [ j c ] Khi đó A ( X ) được gọi là ước của /?(*), /?(*) gọi là bội của а(л:). Ta cũng nói а (л:) chia hết £>(*) còn P ( X ) chia hết cho а (л:). 1.1.3. Nghiệm của một đa thức Đ ị n h n g h ĩ a 1 . 1 . 2 . Giả sử A là vành con của vành к và f(x) G A [ j c ] có dạng f(x ) = a ữ +a l x + + a x n . Một phần tử с thuộc к sao cho f (c) = a 0 + ữịC + + а c" — 0 thì с được gọi là một nghiệm của f (я). Ví dụ 1.1.1. S Ố Y Ị Ĩ là số đại số ừên trường hữu tỷ Q vì nó là nghiệm của đa thức X 2 - 2 trong Q ~9 Đ ị n h l ý 1 . 1 . 2 ( Đ ị n h l ý B e z o u t ) . Cho A là miền nguyên, к là trường chứa A,C<EK,P(X)^ A[X] . Khi đó trong к[ x] , x - c là ước của đa thức p( x) k hi và chỉ k hi p(c ) = 0 . Chứng minh. Chia P { X ) cho X - C trong K [ X ] ta có dư là đa thức r(jc) = R < E K . Từ đó P ( C ) = R . Bởi vậy X - C Ì Ầ ước của P ( X ) khi và chỉ khi p(c) = 0. Đ ị n h n g h ĩ a 1 . 1 . 3 . Chok là số tự nhiên khác 0 . Phần tử и của vành K^ )A gọi là nghiệm bội к của đa thức / ( j c ) e A [ j c ] nếu / ( j c ) c / ỉ ỉ ' a hết cho (x — uỴ và không chia hết cho ( j c — uf + ì . Đ ị n h l ý 1 . 1 . 3 . Giả sử A là một miền nguyên, / ( я ) là một đa thức khác 0 thuộc vành A [ x ] v à щ,и 2 , ,и là các nghiệm trong Acủa nó với sổ bội tương ứng là k v k 2 , ,k . Khi đó f ( * ) = (x-u l Ỷ (x-u 2 ỷ (x-u r Ỷ g( x ) , với g ( j c ) e A v à g ( и , ) 5 * 0 với i=l,2, ,r. H ệ q u ả 1 . 1 . 1 .Cho A là miền nguyên, / ( j c ) e A [ j c ] có bậc n>\. Khỉ đó f có không quá n nghiệm trong А. Chứng minh.Theo định lý trên ta có degf ( x) = k 1 +k 2 + + k r + d e g g ( j c ) Do đó N > K X + K 2 + + K R . Chú ý 1.1.1. Nếu A không là miền nguyên thì kết quả ừên không đúng, chẳng hạn đa thức X 2 - Ỉ trong z có 4nghiệm là 1,4,11,14. 1.2. Vành đa thức nhiều ẩn ~1 [...]... xảy ra Vậy đa thức P ( X ) bất khả quy trên tập số hữu tỉ N h ậ n x é t 2 4 2 V ỉ khái niệm đa thức bất khả quy phụ thuộc vào các trường cơ sở nên nó có thể là đa thức bất khả quy trên trường số này nhưng lại không là bất khả quy trên trường sổ kia Ví dụ 2.4.3 Hàm/ (jc) - X 2 + X + 1 là đa thức bất khả quy trên M g (je) = X2 + llà đa thức bất khả quy trên M Nhưng / (x), g(je)lại khả quy trên c... 3 2 Những đa thức bất khả quy trên trường sổ thực là những đa thức bậc nhất và những đa thức bậc hai có những định thức âm {đa thức bậc hai p { x ) — X2 + ax + bcó định thức là Á = b2 — 4ac) Chứng minh Trước hết ta thấy những đa thức bậc nhất và những đa thức bậc hai có định thức âm đều là những đa thức bất khả quy trên K Ta chứng minh mọi đa thức bậc lớn hơn hoặc bằng 3 không bất khả quy trên M... _!* + P là một đa thức có các hệ số nguyên với P là một số nguyên tố Khi đó nếu P > L + \ A L \ + + \ A N _ 1 \ thì F ( X ) là một đa thức bất khả quy trên z Ví dụ2.4.8 Cho P là một số nguyên lẻ thì đa thức F = X P 1 + X P 2 + + X + P là bất khả quy trên z Lòi giải Đa thức trên có: a p- p-l 2 Suy ra p(^)có N nghiệm trên c hay p ( j c ) = a ( x - (\){x - a 2 ) ( x - a n ) fl.eC suy ra/*(*) không bất khả quy. Vậy đa thức bất khả quy trên c chỉ là những đa thức bậc nhất 2.3.2 Đ a t r ư ờ n g t h ứ... Dễ thấy giữa những đa thức Q K (X) Q K (X), ,Q K (jc) sẽ là tất cả những đa thức !^), Q 2 ( X ) ’ - - - > Q S { X ) > nghĩa làR = S vàfcp K 2 , , Ả;rlàứiứtự nào đó ừong các số 1, 2, R Điều đó phải như vậy vì trong trường hợp ngược lại ta sẽ nhận được đẳng thức giữa đa thức bậc không và đa thức bậc khác không 2.3 Đa thức bất khả quy trên các trường số 2.3.1 Đa thức bất khả quy trên trường sổ phức... khả quy trên Q của đa thức / (x) — X 2 + Ъ П Х 2 + n3, (neQ Lời giải • Vói N = 0 thì / (jt) = X 3 Đa thức này có ước thực sự làm;, B X 2 ( A , B e Q Vậy / (л) khả quy trên Q khi N = 0 Đặt — =J-1 ta có ^ Ậ = Y Ì -3y2 +6y-3=g(y) Áp dụng tiêu N N chuẩn Eisenstein cho P = 3ta được đa thức g(y )bất khả quy trên Q Vậy F ( X ) bất khả quy trên Q C h ú ý •Với N*0 tacó /M=í* 2.4.1.Tồn tại đa thức bất khả quy. .. \a J n d\n Sổ N ( n ) được xác định bởi các đa thức bất khả N Ví dụ 2.5.3 Số các đa thức bất khả quy bậc hai trên Ъ là: ^(2)4wi)52 + /i(2).5) = -(1.25-1.5) = 10 2 Số các đa thức bất khả quy bậc 2 trên z iV7(2) = ì(//(l).72 + //(2).7) = -(1.49-1.7) = 21 2 Đ ị n h l ý 2 5 8 Cho M thức bất khả quy của vành F [ л ] , bởi M ( x ) trên F [ л ] ịkhác hằng số) là đa ( x ) F là một trường I là iđêan sinh a... ước của nlà x q —X với mọi trường hữu hạn F và mọi n e N Chứng minh Ta thấy rằng mọi đa thức bất khả quy monic ữên F Q đều là các nhân tử của G = X 9 - X trên F và là các đa thức bất khả quy monic có bậc là ước của N Nhưng do đạo hàm hình thức của G là G = -1 nên không có nghiệm nào là nghiệm bội trên trường phân rã của nó trên F Q Vậy mỗi đa thức bất khả quy monic có bậc là ước của «trên F Q xuất... 2.5.2 Số đa thức monic trên một trường hữu hạn Nếu N ( d ) là số các đa thức bất khả quy monic bậc d trên F [x] Thể thì r « " = s f í dương d của n) v , ( d ) v » e N (tính trên tất cả các ước d\n Ví dụ 2.5.1 Tìm số các đa thức bất khả quy monic bậc 2 trên z Lời giải * Với N = ltacó 5 = N 5 (1) * Với N = 2 ta có 52 = N 5 { Ì ) + 2 N 5 ( 2 ) Do đó Af5(2) = 10 Vậy số các đa thức bất khả quy monic . tài Đa thức bất khả quy và đa giác Newton . Em mong rằng khóa luận này sẽ có ích cho những ai quan tâm đến đa thức, đặc biệt là đa giác Newton và tính bất khả quy của đa thức. 2. Mục đích và. thức giữa đa thức bậc không và đa thức bậc khác không. 2.3. Đa thức bất khả quy trên các trường số 2.3.1. Đa thức bất khả quy trên trường sổ phức Đ ị n h l ý 2 . 3 . 1 .Mọi đa thức bất khả quy. 2. ~1 CHƯƠNG 2 ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY 2.1. Khái niệm đa thức bất khả quy Đ ị n h n g h ĩ a 2 . 1 . 1 . Đa thức p{ x) e r [ j c ] , r là miền nguyên gọi là đa thức bất khả quy nểu P(x) ^ Q,P(x)khác khả nghịch