, 1 đường thăng Y B —.
j đều tồn tại duy nhất iG (1,2âểSị J=1 và với mỗ ii thì
deg gị(x) = 2ХД. j=1
Ví dụ3.4.4. Cho F ( X ) = ' Ỵ ^ N _ 0 Ữ JX J G z X sao cho P Ì A N, P \ D J
j e {0,...,n-l} và P 2 Ì A Ỉ . Khi đó hoặc F ( X ) bất khả quy ưên о hoặc
F ( X ) là tích của một đa thức bậc một và một đa thức bất khả quy trênQ có bậc N - 1.
Ví dụ 3.4.5.Chođa thức/(je) - X 5 + 2 X 3 + 2 X + 4 . Từ V Í D Ụ 3 . 4 . 4 ta suy ra nếu F ( X )không bất khả quy thì nó không có nghiệm hữu tỷ. Điều này không xảy ra suy ra / (д) là bất khả quy.
3.5. Một sổ bài tập
Bài 1: Cho / ( jc) = Jt3 + 22. Tìm pep để F ( X ) là Eisenstein tương ứng với P .Với mỗi P như thế tìmA để /(jt + a) có dạngEisenstein tương ứng với p.
Bài 2: Cho /(jc) = X 1 +21jc6-30jc4-90jc3 +1350JC + 2700. Tính /?(/,/') từ đó giải thích tại sao F ( X ) bất khả quy trênQ.
Bài 3: Cho/(*) = X3 + k , k e z là đa ứiức Newton ứng với số nguyên tố
p. Chứng minh rằng p = 3 hoặc p I k .
Bài 4: Cho g(jc) = 45jc8 -30jc7 -15jc6 -2jc4 +30jc2 +150 . Vẽ đa giác Newton của G (jc) ứng với P = 2 và giải thích tại sao G (x) bất khả quy.
Bài 5: Cho F ( X ) = D J X J e z với A N * 0, N > 2, và cho P là một số nguyên tố. Giả sử có một số nguyên A mà P \ F ( À ) . Chứng minh: i) F { X ) là Eisenstein tương ứng với P nếu và chỉ nếu F ( X + A ) có
dạng Eisenstein tương ứng với P .
ii) Nếu P 2 \ F Ị A ) thì F ( X ) không là Eisenstein tương ứng với số nguyên tố p.
Bài 6: Với mỗi hàm f(x) ở dưới, xác định mỗi số nguyên tố p mà f(x) là Eisenstein tương ứng với p .
(a) /(•*) = X 3 + JC + 1
(b)f ( ; t ) = X3 + X2 — 2 x — 1
(c) /(x) = X 3 + X 2 + X + 5
Bài 7: Cho /(X ) E Z . Giả sử tồn tại một hàm G ( X ) E Z mà có dạng Eisenstein. Chứng minh rằng F ( X ) là Eisenstein. Gọi ý: Cho A - G (o), chứng minh rằng / ( X + fl) có dạng Eisenstein. Bài 8: Cho F { X ) = ' ^ D " Ữ J X J với A ^0,n>2.Cho P là một số nguyên tố không chia hết N .Giả sử rằng A là một số nguyên mà F ( X + A
) có dạng Eisenstein tương ứng vói P . Chứng minh
a - —an_ẠnanỴl ( m o d p).
Bài 9: Cho / (x) = A . X J G z , cho P là một số nguyên tố cùng
nhau với N . Giả sử rằng P Ì A N , PK I Ữ J với J e (0,1,...,« -1), và
P
k+11 A 0. Chứng minh rằng F ( X ) là bất khả quy trên Q.
Bài 10: Chứng minh rằng nếu /(Jc)eC có bậc N > \ và g(x) = f(x + a), aeC thì = R(g,g').
KẾT LUẬN ■
Do thời gian có hạn và năng lực còn hạn chế nên khóa luận mới chỉ nghiên cứu được những kiến thức cơ bản của đa thức bất khả quy và đa giác Newton.
Mặc dù đã cố gắng nhưng bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học nên khóa luận của em không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn chỉnh hơn.