Khoá luận tốt nghiệp toán Đa thức bất khả quy

Đa thức bất khả quy A. PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài “Lý thuyết vành và trường” là mảng kiến thức quan trọng dành cho sinh viên chuyên ngành Toán. Đây là môn học rất hay, thú vị, kích thích được lòng say mê học và nghiên cứu Toán học của sinh viên. Nhưng do thời gian trên lớp có hạn nên sinh viên không thể tìm hiểu hết các vấn đề có liên quan đến môn học. Do vậy, được sự hướng dẫn của giáo viên hướng dẫn cùng với lòng say mê tìm hiểu về đa thức bất khả quy với những tính chất thú vị nên em đã quyết định chọn đề tài “ Đa thức bất khả quy ” để thực hiện tốt khóa luận tốt nghiệp của mình. 2. Mục đích nghiên cứu - Nhằm củng cố, tổng hợp và nâng cao kiến thức đã học, tận dụng và biết vận dụng các phương pháp nghiên cứu khoa học. - Rèn luyện khả năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu một vấn đề còn khá mới đối với bản thân. Hình thành khả năng trình bày một vấn đề Toán học trừu tượng một cách logic và có hệ thống. - Tìm ra được lớp các đa thức bất khả quy trên trường có đặc số 0. - Chỉ ra được các tính chất của đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu : Trình bày các tính chất của đa thức bất khả quy trên trường có đặc số 0, trình bày các tính chất của đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn. Phạm vi nghiên cứu: Tìm ra được lớp các đa thức bất khả quy trên trường có đặc số 0, trình bày các tính chất của đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn. 4. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc tài liệu liên quan đến nội dung đề tài cụ thể: sách Đại số đại cương, Lý thuyết vành và trường, Lý thuyết Galois,…. - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của bản thân, các bạn học xung quanh để tổng hợp và hệ thống các kiến thức vấn đề nghiên cứu đầy đủ và khoa học kết hợp đưa ra các bài tập cụ thể để hiểu rõ sâu hơn vấn đề. - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên để hoàn thành về mặt nội dung cũng như hình thức của đề tài nghiên cứu. GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng SVTH: Nguyễn Thị Thanh Nga 1 Đa thức bất khả quy B. PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I. KIẾN THỨC CƠ SỞ I. MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ NHÓM 1. Nhóm 1.1. Định nghĩa: Một tập hợp G được gọi là một nhóm nếu tồn tại một ánh xạ từ tích Descartes G G× vào G : : ( , ) f G G G a b ab × → a thõa mãn các tính chất sau đây: (i) Kết hợp: a(bc) = (ab)c, , ,a b c G∀ ∈ . (ii) Có đơn vị: Tồn tại một phần tử e G ∈ sao cho ,ae ea a a G= = ∀ ∈ . (iii) Có nghịch đảo: với mỗi phần tử a G∈ luôn tồn tại một phần tử b G∈ sao cho ab ba e= = . (iv) Giao hoán: , ,ab ba a b G= ∀ ∈ , thì nhóm X được gọi là nhóm Abel. Nhóm Abel nhiều khi còn được gọi là nhóm giao hoán. 1.2. Tính chất (i) Phần tử đơn vị e của G được xác định là duy nhất (ii) Mỗi phần tử a của G chỉ có duy nhất một phần tử nghịch đảo 1 a − , hơn nữa ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 , ,e e a a ab b a − − − − − − = = = (iii) (Luật giản ước) Cho a, b, x là những phần tử tùy ý của G. Từ các đẳng thức xa xb= hoặc ax bx= đều suy ra a b= . (iv) Trong G các phương trình xa b= và ax b= có nghiệm duy nhất. (v) Cho a X ∈ , ta xác định 0 , n a e a a a= = (n – phần tử) và ( ) 1 n n a a − − = . Khi đó ta được ( ) , m n m n m n nm a a a a a + = = . Hơn nữa, nếu G là Abel thì ( ) , , n n n ab a b a b G= ∀ ∈ . 2. Nhóm con 2.1. Định nghĩa: GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng SVTH: Nguyễn Thị Thanh Nga 2 Đa thức bất khả quy Cho G là nhóm, H là tập con khác rỗng của G. Khi đó H là nhóm con của G nếu H với phép toán cảm sinh của phép toán trong G là nhóm. Khi H là nhóm con của G ta ký hiệu H G ≤ . 2.2. Tính chất (i) Cho H là tập con khác rỗng của G. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: • H G ≤ • 1 , : xy H x y H x H − ∈  ∀ ∈  ∈  • 1 , :x y H xy H − ∀ ∈ ∈ (ii) Cho G là nhóm, H G≤ và F H≤ thì F G≤ . 3. Nhóm hữu hạn sinh 3.1. Định nghĩa Cho G là một nhóm và X G⊂ (i) Nhóm con nhỏ nhất của G chứa X được goi là nhóm con sinh bởi X kí hiệu là X . (ii) Nếu H G ≤ và H X= thì ta nói rằng H sinh bởi X hay X là hệ sinh của H. Đặc biệt nếu H = G thì ta nói rằng G là một nhóm sinh bởi tập X. (iii) Nếu G là một hệ sinh hữu hạn nào đó thì ta nói G là nhóm hữu hạn sinh. Đặc biệt, nếu G có hệ sinh gồm một phần tử thì G được gọi là nhóm xyclic. (iv)Nếu { } 1 2 , , , n X x x x= thì X được viết lại là 1 2 , , , n x x x . 3.2. Tính chất (i) Cho G là một nhóm và X G⊂ . Khi đó: • Nếu X = ∅ thì { } X e= • Nếu X ≠ ∅ thì 1 2 1 , , , , , n X x x x n N x X= ∈ ∈ (ii) Nếu G là nhóm xyclic sinh bởi a thì { } | n G a n Z= ∈ . 4. Cấp của nhóm – cấp của phần tử 4.1. Định nghĩa Cho G là nhóm (i) Cấp của G chính là lực lượng của G và kí hiệu là G (ii) Cấp của phần tử a G ∈ là cấp của a và kí hiệu là a . GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng SVTH: Nguyễn Thị Thanh Nga 3 Đa thức bất khả quy 4.2. Tính chất (i) Cho G là nhóm, a G ∈ . Khi đó: • a có cấp hữu hạn khi và chỉ khi , ,m n N m n∃ ∈ ≠ sao cho m n a a= . • Nếu a có cấp hữu hạn là d thì { } 2 1 , , , , d a e a a a − = . • Nếu a có cấp hữu hạn là d thì d là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho d a e= . Nếu tồn tại n sao cho n a e= khi và chỉ khi |d n . (ii) Cho G là nhóm, a G ∈ và a n= . Khi đó ( ) , m n a m n = (iii) Cho G là nhóm xyclic cấp n và G a= . Khi đó k G a= khi và chỉ khi ( ) gcd , 1k n = . (iv)Mọi nhóm cấp nguyên tố đều là nhóm xyclic. (v) Cho G là nhóm xyclic. Khi đó, nếu H G≤ thì H là nhóm con xyclic của nhóm G. II. MỘT SỐ KIẾN THỨC VÀNH VÀ TRƯỜNG 1. Vành : Vành là một tập hợp R cùng với hai phép toán cộng và nhân thỏa các tính chất sau: ( ) ( ) 1 , ,R R + là nhóm Abel; ( ) ( ) 2 , ,.R R là nửa nhóm; ( ) 3 R Phép nhân phân phối đối với phép cộng, nghĩa là với mọi , ,x y z R∈ , ta có ( ) ( ) yx x y z xy xz y z x zx + = + + = + Phần tử trung hòa của phép cộng được gọi là phần tử không, ký hiệu là 0; phần tử đối xứng của phần tử x R ∈ là phần tử đối của x ký hiệu là –x. Nếu phép nhân giao hoán thì ta nói rằng vành R giao hoán; nếu phép nhân có phần tử đơn vị thì vành R được gọi là vành đơn vị. Phần tử đơn vị được ký hiệu là e hay 1. 2. Vành con 2.1. Định nghĩa Cho R là một vành. GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng SVTH: Nguyễn Thị Thanh Nga 4 Đa thức bất khả quy Tập con A khác rỗng của R được gọi là một vành con của R nếu A ổn định đối với hai phép toán tronh vành R và A cùng với hai phép toán cảm sinh là một vành. 2.2. Định lý (Đặc trưng của vành con) Cho A là một tập con khác rỗng của vành R. Các mệnh đề sau đây là tương đương: (i) A là một vành con của R (ii) Với mọi , , , , ;x y A x y A xy A x A∈ + ∈ ∈ − ∈ (iii) Với mọi 1 , , , .x y A x y A xy A − ∈ − ∈ ∈ 3. Trường: Trường là một vành giao hoán, có đơn vị, nhiều hơn một phần tử và mọi phần tử khác không đều khả nghịch. 4. Trường con 4.1. Định nghĩa (i) Giả sử X là trường, tập con A khác rỗng của X được gọi là trường con của X nếu A ổn định với hai phép toán trong X và A cùng với hai phép toán cảm sinh là một trường. (ii) Trường con P của F được gọi là trường con nguyên tố nếu thỏa các điều kiện sau: • P không chứa trường con nào của F khác P • Mọi trường con của F đều chứa P. Khi F = P thì F được gọi là trường nguyên tố. 4.2. Tính chất (i) Giả sử A là một tập con có nhiều hơn một phần tử của trường X. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: • A là trường con của X • 1 , , , , ,x y A x y A xy A x A x A − ∀ ∈ + ∈ ∈ − ∈ ∈ nếu 0x ≠ • 1 , , ,x y A x y A xy A − ∀ ∈ − ∈ ∈ nếu 0y ≠ (ii) Giả sử X là vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử. Khi đó các khẳng định sau là tương đương: • X là trường • X không có ideal nào ngoài X và {0} • Mọi đồng cấu vành khác đồng cấu không từ vành X đến vành bất kỳ đều là đơn cấu. GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng SVTH: Nguyễn Thị Thanh Nga 5 Đa thức bất khả quy (iii) Giả sử X là vành giao hoán, có đơn vị, ideal M của X là ideal tối đại khi và chỉ khi X M là một trường. 5. Đồng cấu vành 5.1. Định nghĩa (i) Giả sử X và Y là các vành. Ánh xạ :f X Y→ được gọi là đồng cấu vành nếu thỏa hai điều kiện sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x y f x f y f xy f x f y + = + = với mọi ,x y X∈ Nếu X = Y thì đồng cấu :f X Y→ được gọi là tự đồng cấu của X. (ii) Cho đồng cấu vành :f X Y→ . Khi đó: f là đơn cấu nếu ánh xạ f là đơn ánh. f là toàn cấu nếu ánh xạ f là toàn ánh f là song ánh nếu ánh xạ f là song ánh. 5.2. Tính chất (i) Tích của hai đồng cấu là đồng cấu. (ii) Giả sử :f X Y→ là một đồng cấu vành. Khi đó: • f là một toàn cấu khi và chỉ khi Imf = Y • f là một đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {0} 6. Đặc số của vành 6.1. Định nghĩa Giả sử X là vành. Nếu tồn tại số nguyên dương nhỏ nhất n sao cho 0,na a X= ∀ ∈ thì ta nói vành X có đặc số n. Nếu không tồn tại n như vậy thì ta nói vành X có đặc số 0. Đặc số của vành X được ký hiệu là CharX. Nếu X là một trường thì ta hiểu đặc số của trường X là đặc số của vành X. 6.2. Tính chất (i) Giả sử X là vành có đơn vị là 1 và có đặc số n > 0. Khi đó: • n là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho n.1 = 0. • Nếu X không có ước của không (nói riêng X là miền nguyên, X là trường) thì n là số nguyên tố. (ii) Nếu CharX = p là một số nguyên tố thì: GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng SVTH: Nguyễn Thị Thanh Nga 6 Đa thức bất khả quy ( ) ( ) p p p p p p a b a b a b a b + = + − = − (iii) Cho F là một trường và P là một trường con nguyên tố của nó. Nếu: • F có đặc số 0 thì P đẳng cấu với Q • F có đặc số nguyên tố p thì P đẳng cấu với p Z . III. ĐA THỨC TRÊN MỘT TRƯỜNG Cho K là một trường, K[x] là vành đa thức 1. Định nghĩa đa thức: Giả sử [ ] 1 1 ( ) , 0 n n n n o n f x a x a x a K x a − − = + + + ∈ ≠ Khi đó ta nói f(x) có bậc n, kí hiệu : deg f(x) = n. n a được gọi là hệ tử cao nhất , 0 a được gọi là hạng tử tự do, ( ) 0, i a i n = được gọi là hệ tử , các ( ) 0, i i a x i n = được gọi là hạng tử của đa thức. 2. Nghiệm của đa thức : 2.1. Định nghĩa: Giả sử c là một phần tử tùy ý của vành K, 1 1 ( ) n n n n o f x a x a x a − − = + + + là một đa thức tùy ý của K[x], phần tử : [ ] 1 1 ( ) n n n n o f c a c a c a K x − − = + + + ∈ có được bằng cách thay x bởi c được gọi là giá trị của f(x) tại c. Nếu f(x) = 0 thì c gọi là nghiệm của f(x). +) Giả sử K là một trường , c K∈ , f(x) [ ] K x∈ , m là một số tự nhiên lớn hơn 1, c là nghiệm bội cấp m nếu và chỉ nếu ( ) ( ) m f x x c−M và f(x) không chia hết 1 ( ) m x c + − 2.2 Định lý về phép chia có dư: Giả sử f(x), g(x) [ ] K x∈ là hai đa thức với hệ tử ở trong trường K, f(x) 0≠ . Khi đó, tồn tại duy nhất hai đa thức f(x), g(x) [ ] K x∈ sao cho : ( ) ( ). ( ) ( )f x g x q x r x= + Trong đó r(x) = 0 hoặc r(x) 0≠ thì deg r(x) < deg g(x) ⇒ phần tử c K∈ là một nghiệm của đa thức f(x) [ ] K x∈ khi và chỉ khi ( ) ( )f x x c−M trong K[x]. GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng SVTH: Nguyễn Thị Thanh Nga 7 Đa thức bất khả quy Nghĩa là f(x) = ( x – c ).q(x), q(x) [ ] K x∈ . IV. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY 1. Định nghĩa: Một đa thức f(x) [ ] K x∈ , có bậc ≥ 1, gọi là bất khả quy trong [ ] K x nếu f(x) không có ước thực sự, nghĩa là không tồn tại hai đa thức g(x), h(x) [ ] K x∈ , có bậc ≥ 1 sao cho : f(x) = g(x).h(x) 2. Tính chất: M Định lý 4.2.1: Cho f(x) là đa thức bất khả quy trên K, f(x) là bất khả quy khi và chỉ khi ước duy nhất của nó với mỗi hệ số K∈ có dạng α và . ( )f x α , 0, K α α ≠ ∈ . Định lý 4.2.2: Nếu f(x) là một đa thức bất khả quy trên [ ] K x , g(x) là một đa thức bất kì trên [ ] K x thì hoặc là ( ) ( )g x f xM hoặc là ( ) ( ), ( )g x f x = hằng số. Chứng minh: Cho ( ) ( ) ( ) gcd , ( )d x f x g x= . Từ thuật toán Euclid suy ra khi f(x) và g(x) có hệ số trong K thì những hệ số của d(x) cũng thuộc K. Nhưng vì f(x) bất khả quy trên K, thì theo Định lý 2.2.1 ( ) ( )d x f x α = hoặc f ( ) , 0d x K α α = ≠ ∈ . Suy ra điều phải chứng minh. Định lý 4.2.3: Đa thức f(x) là bất khả quy trên K khi và chỉ khi f(x) là nguyên tố trên K, nghĩa là : ( ), ( ) [ ], ( ) | ( ). ( ) ( ) | ( )g x h x K x f x g x h x f x g x∀ ∈ ⇒ hoặc ( ) | ( )f x h x . Chú ý: Trong vành đa thức [ ] K x , ta có : - Mỗi đa thức bậc nhất là bất khả quy - Mỗi đa thức bậc 2, bậc 3 không có nghiệm trong K là bất khả quy. - Mỗi đa thức bất khả quy bậc ≥ 1 không có nghiệm trong K. Định lý 4.2.4: ( Định lý về sự nhân tử hóa ) Trong vành K[x], mỗi đa thức có bậc ≥ 1 , phân tích được thành tích của những đa thức bất khả quy. Sự phân tích này là duy nhất theo nhũng thừa số mà chúng chỉ khác nhau nhũng hằng số khác 0 thuộc K. Tức là: Nếu f(x) = f 1 (x)…f r (x) = g 1 (x)…g s (x) là hai biễu diễn tích của những nhân tử bất khả quy trên K thì r = s và f i (x) = . ( ),0 i ki i g x K α α ≠ ∈ và k 1 ,…,k r là thứ tự số trong các số 1,r . GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng SVTH: Nguyễn Thị Thanh Nga 8 Đa thức bất khả quy Chứng minh: Cho f(x) là đa thức khác hằng số với những hệ số trong K và cho deg ( )n f x= . Nếu n = 1, thì 0 1 ( )f x a x a= + bất khả quy và ta có thể cho rằng nó biểu diễn như tích của một thừa số bất khả quy. Cho n là một số tự nhiên bất kì và giả sử mọi đa thức bậc nhỏ hơn n có thể biểu diễn tích của những đa thức bất khả quy trên K. Nếu cho đa thức f(x) bất khả quy trên K, thì ta có thể cho rằng nó biểu diễn như tích của một thừa số bất khả quy. Nếu ngược lại nó phân tích được, nó biểu diễn dưới dạng ( ) ( ) ( ) f x g x r x= , ở đây ( )g x và ( )r x là những đa thức có hệ số trong K và deg ( )f x n< và deg ( )r x n< . Nhưng khi đó theo giả thuyết quy nạp f(x) và r(x) biểu diễn như tích của những thừa số bất khả quy trên K. Suy ra điều này cũng đúng với f(x), nghĩa là mọi đa thức với những hệ số thuộc tập hợp K biểu diễn như tích của những thừa số bất khả quy trên K. Ta chỉ còn chứng minh tính duy nhất của biểu diễn trên. Cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 ( ) r s f x f x f x f x g x g x g x= = ở đây ( ) j f x và ( ) j g x là những đa thức không phân tích được trên K. Theo Định lý 2.2.3 ít nhất một trong những đa thức bất khả quy ( ) j g x chia hết cho ( ) 1 f x là bất khả quy thì ( ) ( ) 1 1 1 k f x a g x= , ở đây 1 0 a K≠ ∈ . Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 3 1 1 1 1 r k k s f x f x f x a g x g x g x g x − + = Không mất tính tổng quát ta giả thiết r s≤ . Nghĩa là tiếp tục theo phương pháp trên, sau r bước ta nhận được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 , , r k k r r k f x a g x f x a g x f x a g x= = = Dễ thấy giữa những đa thức ( ) ( ) ( ) 1 2 , , , r k k k g x g x g x sẽ là tất cả những đa thức ( ) ( ) ( ) 1 2 , , , s g x g x g x nghĩa là r = s và 1 2 , , , r k k k là thứ tự nào đó trong các số 1,2, ,r . Điều đó phải như vậy vì trong trường hợp ngược lại ta sẽ nhận được đẳng thức giữa đa thức bậc không và đa thức bậc khác không. V. TRƯỜNG PHÂN RÃ CỦA ĐA THỨC : 1. Định nghĩa: GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng SVTH: Nguyễn Thị Thanh Nga 9 Đa thức bất khả quy i) Cho K là trường và f(x) là đa thức bậc n ≥ 1 trên K. Khi đó, trường E chứa trường K như trường con, được gọi là trường phân rã của đa thức f(x) trên K nếu f(x) có đúng n nghiệm ( kể cả nghiệm bội ) trong E và E là trường tối thiểu ( theo quan hệ bao hàm ) chứa K và các nghiệm của f(x). ii) Cho đa thức [ ] 1 1 ( ) , 0 n n n n o n f x a x a x a K x a − − = + + + ∈ ≠ ta gọi đa thức sau là đạo hàm của f(x): 1 2 1 '( ) 2 n n f x na x a x a − = + + + 2. Tính chất: Cho trường K và một đa thức 0 ( ) [ ]f x K x≠ ∈ bậc n. Khi đó, f(x) có nghiệm bội khi và chỉ khi trong trường phân rã của f(x) các đa thức f(x) và f’(x) có một nghiệm chung. Thật vây: Nếu α là nghiệm của f(x) với số bội k thì ( ) ( ) ( ) k f x x a q x= − với ( ) 0q α ≠ . Khi đó, 1 1 '( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) [( ) '( ) ( )] k k k f x x a q x k x a q x x a x a q x kq x − − = − + − = − − + Nếu k > 1 thì α là một nghiệm của f’(x) với số bội ít nhất là k – 1. Nếu k = 1 thì '( ) ( ) '( ) ( )f x x a q x q x= − + suy ra '( ) ( ) 0f q α α = ≠ Vậy '( ) ( ) 0f q α α = ≠ và f’(x) có nghiệm chung khi và chỉ khi α là một nghiệm của f(x) với bội số ít nhất bằng 2. VI. MỞ RỘNG TRƯỜNG Định nghĩa i) Cho K là trường con của trường L thì ta nói L là một mở rộng của k và ký hiệu K < L hay L > K ii) Cho K < L, khi đó L có cấu trúc K – không gian L. Ta biết rằng mọi không gian đều có cơ sở ( ta hiểu mỗi cơ sở của K – không gian L là một cơ sở mở rộng L trên K ). Khi đó số chiều của K – không gian vecto L được gọi là bậc mở rộng cuả L trên K. Ký hiệu [ L:K ] < ∞ thì ta nói rằng L là một mở rộng hữu hạn cuả K và ký hiệu L > K – hữu hạn. Ngược lại ta nói rằng L là mở rộng vô hạn của K. VII. PHẦN TỬ ĐẠI SỐ 1. Định nghĩa GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng SVTH: Nguyễn Thị Thanh Nga 10 [...]... chia hết cho p thì f(x) bất khả quy trên Z[x] Nếu tất cả các giả thiết được thõa mãn thì f(x) cũng bất khả quy trên Q 4 Ví dụ 3.2: Đa thức f ( x ) = x + 2 x + 2 bất khả quy trên Q ( với p = 2 ) GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 20 SVTH: Nguyễn Thị Thanh Nga Đa thức bất khả quy 4 Ví dụ 3.3: Chứng minh đa thức sau là bất khả quy: x − 2 x + 3 Chứng minh: Đặt x = y + 1 thay vào đa thức f ( y ) = ( y + 1) − 2(... Đa thức bất khả quy cũng là một đa thức Fq (b) Nếu f(x) bất khả quy và ad − bc ≠ 0 thì ( cx + d ) deg f ( x )  ax + b  f ÷  cx + d  là đa thức có bậc n Bây giờ ta sẽ chứng minh ( ⇐) ( cx + d ) Giả sử ( i ) ⇔ ( ii ) : deg f ( x )  ax + b  f ÷  cx + d  bất khả quy trên Fq Nếu f(x) khả quy thì f(x) được phân tích thành ít nhất hai nhân tử bất khả quy Giả sử f(x) là tích của m nhân tử bất khả. .. điều kiện 3 của đề bài loại trù IV ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN 1 Nghiệm của đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn Bổ đề 4.1.1 Cho f ( x ) ∈ Fq [x ] là đa thức bất khả quy bậc m trên Fq và n là một n q số nguyên dương Khi đó, f(x) chia hết x − x nếu và chỉ nếu m chia hết n Chứng minh: GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 25 SVTH: Nguyễn Thị Thanh Nga Đa thức bất khả quy ( ⇒) n q Giả sử f(x) chia hết... xem đa thức có bất khả quy hay không phức tạp hơn nhiều Đối với đa thức bậc 2, 3 của Q [ x ] , các đa thức bất khả quy khi và chỉ khi chúng không có nghiệm hữu tỷ Nhưng đối với đa thức bậc lớn hơn 3 thì phức tạp hơn nhiều Ví dụ 3.1: x 4 + 3x 2 + 2 = ( x 2 + 2 ) ( x 2 + 1) rõ ràng không có nghiệm hữu tỷ nào, nhưng nó không phải bất khả quy Vì vậy, người ta đã đưa ra một điều kiện đủ để chứng minh một đa. .. 2 ⇒ f(y) bất khả quy với p = 2 Qua ví dụ trên ta thấy rằng bằng cách thay đổi biến ta có thể chứng minh tính bất khả quy của một đa thức không Aidenstaino để nó thành Aidenstaino Điều này phát huy tác dụng của tiêu chuẩn Aidenstaino Như vậy, có một câu hỏi đặt ra là nếu cho một đa thức là bất khả quy, để chứng minh nó là bất khả quy thì có thể băng cách thay đổi biến mà biến đổi nó thành đa thức Aidenstaino... GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 29 SVTH: Nguyễn Thị Thanh Nga Đa thức bất khả quy TrF / K ( α q ) = α q + ( α q ) + + ( α q ) q ( 2 = α q + α q + + α q = α + α q + + α q m −1 q m −1 ) +α qm m −1 = TrF / K ( α ) 3 Đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn Định lý 4.3.1 Giả sử quy trên Fq f ( x ) ∈ Fq [x ] là đa thức có bậc n thì f(x) là đa thức bất khả nếu và chỉ nếu: ( n f ( x) | x q − x ) và gcd( f ( x),... trường con chứa p phần tử của p Nếu tồn tại F1 chứa đúng p m m p p phần tử thì p phần tử đó là nghiệm của đa thức x − x Nhưng x − x chỉ có p m nghiệm trong Fpn m Suy ra F’ = F1 GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 17 SVTH: Nguyễn Thị Thanh Nga Đa thức bất khả quy CHƯƠNG II ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY I ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC Định lý 1.1: ( Định lý cơ bản của đại số sơ cấp ) Trường số phức C là trường đóng.. .Đa thức bất khả quy i) Cho L > K và u ∈ L Nếu tồn tại đa thức 0 ≠ f ( x ) ∈ K [ x] h sao cho f(u) = 0 thì u được gọi là phần tử đại số trên K Nếu không tồn tại đa thức thỏa điều kiện như vậy thì u được gọi là phần tử siêu việt trên K ii) Đa thức bất khả quy p ( x) ∈ K [ x ] với hệ tử cao nhất bằng 1, nhận α làm nghiệm được gọi là đa thức tối tiểu của α trên K Ta ký... 4ac < 0 Chứng minh: Các đa thức bậc nhất và các đa thức bậc hai với biệt số âm rõ ràng là những đa thức bất khả quy của R[x] Giả sử p(x) là một đa thức bất khả quy của R[x] với bậc lớn hơn 1, ta có p(x) không có nghiệm thực Theo Định lý 2.5.1, p(x) có một nghiệm phức z và do đó p(x) cũng nhận liên hợp z của z làm nghiệm vì các hệ số của p(x) là thực, cho nên chia hết cho đa thức bậc hai với hệ số thực... thực và suy ra đa thức có hệ số thực Khi đó cả đa thức g(x) có hệ số thực và theo giả thiết quy nạp những bội của α ,α như nghiệm của g(x) là bằng nhau ( nếu α ,α không phải nghiệm của f(x), ta có thể cho rằng những bội của nó bằng không) Từ đây suy ra những bội của α ,α như nghiệm của f(x) cũng sẽ bằng bằng nhau Hệ quả 2.3: Đa thức bất khả quy của R[x] là các đa thức bậc nhất và những đa 2 thức bậc 2 . x . Chú ý: Trong vành đa thức [ ] K x , ta có : - Mỗi đa thức bậc nhất là bất khả quy - Mỗi đa thức bậc 2, bậc 3 không có nghiệm trong K là bất khả quy. - Mỗi đa thức bất khả quy bậc ≥ 1 không. một thừa số bất khả quy. Cho n là một số tự nhiên bất kì và giả sử mọi đa thức bậc nhỏ hơn n có thể biểu diễn tích của những đa thức bất khả quy trên K. Nếu cho đa thức f(x) bất khả quy trên K,. với lòng say mê tìm hiểu về đa thức bất khả quy với những tính chất thú vị nên em đã quy t định chọn đề tài “ Đa thức bất khả quy ” để thực hiện tốt khóa luận tốt nghiệp của mình. 2. Mục đích