Khoá luận tốt nghiệp toán Đa thức bất khả quy

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu : Trình bày các tính chất của đa thức bất khả quy trên trường có đặc số 0, trình bày các tính chất của đa thức bất khả quy trên trườn

2 Mục đích nghiên cứu

dụng các phương pháp nghiên cứu khoa học

đối với bản thân Hình thành khả năng trình bày một vấn đề Toán học trừu tượng mộtcách logic và có hệ thống

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu : Trình bày các tính chất của đa thức bất khả quy trên trường

có đặc số 0, trình bày các tính chất của đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn

Phạm vi nghiên cứu: Tìm ra được lớp các đa thức bất khả quy trên trường có đặc

số 0, trình bày các tính chất của đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn

4 Phương pháp nghiên cứu

thể: sách Đại số đại cương, Lý thuyết vành và trường, Lý thuyết Galois,…

bạn học xung quanh để tổng hợp và hệ thống các kiến thức vấn đề nghiên cứu đầy đủ

và khoa học kết hợp đưa ra các bài tập cụ thể để hiểu rõ sâu hơn vấn đề

mặt nội dung cũng như hình thức của đề tài nghiên cứu

× →

athõa mãn các tính chất sau đây:

(iii) Có nghịch đảo: với mỗi phần tử a G∈ luôn tồn tại một phần tử b G∈ sao cho

ab ba e= = .

Abel nhiều khi còn được gọi là nhóm giao hoán

1.2 Tính chất

e− =e a− − =a ab − =b a− −

(iii) (Luật giản ước) Cho a, b, x là những phần tử tùy ý của G Từ các đẳng thức

xa xb= hoặc ax bx= đều suy ra a b= .

Cho G là nhóm, H là tập con khác rỗng của G Khi đó H là nhóm con của G nếu

H với phép toán cảm sinh của phép toán trong G là nhóm

Đặc biệt nếu H = G thì ta nói rằng G là một nhóm sinh bởi tập X

(iii) Nếu G là một hệ sinh hữu hạn nào đó thì ta nói G là nhóm hữu hạn sinh.Đặc biệt, nếu G có hệ sinh gồm một phần tử thì G được gọi là nhóm xyclic

4.2 Tính chất

• a có cấp hữu hạn khi và chỉ khi ∃m n N m n, ∈ , ≠ sao cho a m =a n.

nhóm G

II MỘT SỐ KIẾN THỨC VÀNH VÀ TRƯỜNG

1 Vành : Vành là một tập hợp R cùng với hai phép toán cộng và nhân thỏa các tính

Phần tử trung hòa của phép cộng được gọi là phần tử không, ký hiệu là 0; phần tử

hoán thì ta nói rằng vành R giao hoán; nếu phép nhân có phần tử đơn vị thì vành Rđược gọi là vành đơn vị Phần tử đơn vị được ký hiệu là e hay 1

2 Vành con

2.1 Định nghĩa Cho R là một vành.

Tập con A khác rỗng của R được gọi là một vành con của R nếu A ổn định đốivới hai phép toán tronh vành R và A cùng với hai phép toán cảm sinh là một vành.

2.2 Định lý (Đặc trưng của vành con) Cho A là một tập con khác rỗng của vành R.

Các mệnh đề sau đây là tương đương:

(i) A là một vành con của R

A ổn định với hai phép toán trong X và A cùng với hai phép toán cảm sinh là một trường

sau:

Khi F = P thì F được gọi là trường nguyên tố

4.2 Tính chất

điều kiện sau là tương đương:

• ∀x y A x y A xy A x A x, ∈ , + ∈ , ∈ − ∈, , −1∈A nếu x≠0

• ∀x y A x y A xy, ∈ , − ∈ , −1∈A nếu y≠0

khẳng định sau là tương đương:

đơn cấu

(iii) Giả sử X là vành giao hoán, có đơn vị, ideal M của X là ideal tối đại khi và

5 Đồng cấu vành

5.1 Định nghĩa

thỏa hai điều kiện sau:

f là đơn cấu nếu ánh xạ f là đơn ánh.

f là toàn cấu nếu ánh xạ f là toàn ánh

f là song ánh nếu ánh xạ f là song ánh.

5.2 Tính chất

• f là một toàn cấu khi và chỉ khi Imf = Y

• f là một đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {0}

6 Đặc số của vành

6.1 Định nghĩa Giả sử X là vành Nếu tồn tại số nguyên dương nhỏ nhất n sao cho

0,

na= ∀ ∈a X thì ta nói vành X có đặc số n Nếu không tồn tại n như vậy thì ta nói

vành X có đặc số 0 Đặc số của vành X được ký hiệu là CharX Nếu X là một trườngthì ta hiểu đặc số của trường X là đặc số của vành X

6.2 Tính chất

• n là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho n.1 = 0.

là số nguyên tố

III ĐA THỨC TRÊN MỘT TRƯỜNG

Cho K là một trường, K[x] là vành đa thức

được gọi là hạng tử của đa thức

2 Nghiệm của đa thức :

2.1 Định nghĩa: Giả sử c là một phần tử tùy ý của vành K,

1 1

f c =a c +a c− − + + ∈a K x có được bằng cách thay x bởi c được gọi là

giá trị của f(x) tại c

Nếu f(x) = 0 thì c gọi là nghiệm của f(x)

2.2 Định lý về phép chia có dư:

f x =g x q x +r x

Nghĩa là f(x) = ( x – c ).q(x), q(x) ∈K x[ ].

IV ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY

1 Định nghĩa: Một đa thức f(x) ∈K x[ ], có bậc ≥ 1, gọi là bất khả quy trong K x[ ]

nếu f(x) không có ước thực sự, nghĩa là không tồn tại hai đa thức

2 Tính chất: M

Định lý 4.2.1: Cho f(x) là đa thức bất khả quy trên K, f(x) là bất khả quy khi và

Định lý 4.2.2: Nếu f(x) là một đa thức bất khả quy trên K x , g(x) là một đa[ ]

Chứng minh: Cho d x( ) =gcd( f x g x( ), ( )) Từ thuật toán Euclid suy ra khi f(x)

và g(x) có hệ số trong K thì những hệ số của d(x) cũng thuộc K Nhưng vì f(x) bất khả

điều phải chứng minh

Định lý 4.2.3: Đa thức f(x) là bất khả quy trên K khi và chỉ khi f(x) là nguyên tố

Chú ý: Trong vành đa thức K x , ta có :[ ]

- Mỗi đa thức bậc nhất là bất khả quy

- Mỗi đa thức bậc 2, bậc 3 không có nghiệm trong K là bất khả quy

Định lý 4.2.4: ( Định lý về sự nhân tử hóa )

đa thức bất khả quy Sự phân tích này là duy nhất theo nhũng thừa số mà chúng chỉkhác nhau nhũng hằng số khác 0 thuộc K

Tức là:

Chứng minh: Cho f(x) là đa thức khác hằng số với những hệ số trong K và cho

deg ( )

diễn như tích của một thừa số bất khả quy

Cho n là một số tự nhiên bất kì và giả sử mọi đa thức bậc nhỏ hơn n có thể biểudiễn tích của những đa thức bất khả quy trên K Nếu cho đa thức f(x) bất khả quy trên

K, thì ta có thể cho rằng nó biểu diễn như tích của một thừa số bất khả quy Nếu ngược

giả thuyết quy nạp f(x) và r(x) biểu diễn như tích của những thừa số bất khả quy trên

K Suy ra điều này cũng đúng với f(x), nghĩa là mọi đa thức với những hệ số thuộc tậphợp K biểu diễn như tích của những thừa số bất khả quy trên K

Ta chỉ còn chứng minh tính duy nhất của biểu diễn trên Cho

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

trên, sau r bước ta nhận được:

g x g x g x nghĩa là r = s và k k1, , ,2 k là thứ tự nào đó trong các số r

1,2, ,r Điều đó phải như vậy vì trong trường hợp ngược lại ta sẽ nhận được đẳng

thức giữa đa thức bậc không và đa thức bậc khác không

V TRƯỜNG PHÂN RÃ CỦA ĐA THỨC :

1 Định nghĩa:

i) Cho K là trường và f(x) là đa thức bậc n ≥1 trên K Khi đó, trường E chứa

trường K như trường con, được gọi là trường phân rã của đa thức f(x) trên K nếu f(x)

có đúng n nghiệm ( kể cả nghiệm bội ) trong E và E là trường tối thiểu ( theo quan hệbao hàm ) chứa K và các nghiệm của f(x)

2 Tính chất: Cho trường K và một đa thức 0≠ f x( )∈K x[ ] bậc n Khi đó, f(x) có

nghiệm bội khi và chỉ khi trong trường phân rã của f(x) các đa thức f(x) và f’(x) cómột nghiệm chung

của f(x) với bội số ít nhất bằng 2

hữu hạn Ngược lại ta nói rằng L là mở rộng vô hạn của K

VII PHẦN TỬ ĐẠI SỐ

1 Định nghĩa

i) Cho L > K và u L ∈ Nếu tồn tại đa thức 0≠ f x( )∈K x[ ]h sao cho f(u) = 0 thì

u được gọi là phần tử đại số trên K Nếu không tồn tại đa thức thỏa điều kiện như vậy thì u được gọi là phần tử siêu việt trên K.

ii) Đa thức bất khả quy ( ) p x ∈K x[ ] với hệ tử cao nhất bằng 1, nhận α làm

iii) Cho L > K và u L ∈ Khi đó, bậc mở rộng [ K(u) : u ] được gọi là bậc của

phần tử u trên K

iv) Cho K < L Trường L được gọi là mở rộng đại số trên K nếu mọi phần tử của

L đều là phần tử đại số trên K Khi đó ta ký hiệu là L > K – đại sô

2 Tính chất

i) Cho ++K < L và a L ∈ Khi đó a là phần tử đại số trên K nếu và chỉ nếu một

trong các điều kiện sau đây xảy ra:

* K a ( ) { ( ) / = r a r K x ∈ ( ),deg r n < } trong đó n = deg Min( K,a )

* {1,a,a , ,2 an−1} là cơ sở của K(a) trên K

ii) Nếu L > K – hữu hạn thì L > K – đại số

iii) Cho K < L, giả sử L = K(a1, a2,…,an) trong đó ai là các phần tử đại số trên K.Khi đó L là mở rộng hữu hạn của K

VIII MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TRƯỜNG HỮU HẠN

1 Định nghĩa

Định nghĩa: Trường hữu hạn là trường có hữu hạn phần tử.

Định lí 8.1.1 Nếu F là trường hữu hạn thì đặc số của F là một số nguyên tố.

Chứng minh Ta có đặc số của trường hoặc là 0 hoặc là một số nguyên tố Giả sử

F là trường hữu hạn có đặc số 0 thì F chứa trường con nguyên tố đẳng cấu với Q.Nhưng Q là trường vô hạn nên trường con nguyên tố của F là vô hạn (mâu thuẫn).Vậy đặc số của trường hữu hạn là một số nguyên tố

2 Nhóm nhân của trường hữu hạn

Định lý 8.2.1 Cho Fq là trường hữu hạn thì với mọi a F∈ q ta đều có a q =a.

Chứng minh: Với a = 0 thì ta có a q =a Với a≠0 thì số phần tử của nhóm nhân

Chứng minh: Theo định lý 2.2.1 ta có a q =a với mọi a F∈ q hay a là nghiệm

x a− ∈F x i= q nguyên tố cùng nhau nên tích (x a− 1) (x a− 2) (x a− q)

q

x −x = (x a− 1) (x a− 2) (x a− q) .

Vậy F là trường phân rã của đa thức q x q−x trên K

Định lý 8.2.3 Nhóm nhân của trường hữu hạn là nhóm xyclic.

Chứng minh: Giả sử F là một trường hữ hạn gồm q phần tử Đặt

h= F = −q

giả sử h là số nguyên dương lớn hơn 1 và không là số nguyên tố

Khi đó, i

h h

p <

h p

h p i

n), ta có G là một nhóm xyclic

Định nghĩa 8.2.5 Mỗi phần tử sinh của nhóm xyclic F được gọi là một phần tử q*

Nhận xét: Trường hữu hạn F có tất cả ( 1) q ϕ q− phần tử nguyên thủy, trong đó

)

3 Số phần tử của trường hữu hạn

Bổ đề 8.3.1 Cho F là trường hữu hạn chứa trường con K có q phần tử thì F có q n

Chứng minh: Ta có F có không gian vecto trên K Nếu n=[ : ]F K thì F có cơ sở

của F được biểu diễn duy nhất dưới dạng :

q phần tử.

Định lý 8.3.2 F là trường hữu hạn có đặc số là p thì số phần tử của F là p n

Trong đó p là một số nguyên tố và n là số nguyên dương bất kì

Chứng minh: Do trường hữu hạn F có đặc số p nên F có trường con nguyên tố

p phần

tử

Định lý 8.3.3 Cho trường hữu hạn F và p(x) là đa thức có bậc n bất khả quy q

q phần tử.

Chứng minh: Do p(x) là đa thức bất khả quy nên

[ ]( ( ))

F x

p x có n

q phần tử.

Định lý 8.3.4 ( Sự tồn tại và duy nhất của trường hữu hạn p phần tử ) n

Cho p là số nguyên tố và n là số nguyên dương thì tồn tại trường hữu hạn chứa đúng

n

p phần tử Hơn nữa, hai trường hữu hạn có cùng số phần tử thì đẳng cấu với nhau.

Chứng minh: Đặt q = p Xét đa thức n x q −x trong F x Gọi F là trường phân p[ ]

x −x =qx − − = −

trong F là những nghiệm phân biệt

F theo tính chất trường phân rã Mà S có q phần tử nên F cũng có q phần tử Vậy tồn

Định lý 8.3.5 ( Tiêu chuẩn trường con )

Cho trường hữu hạn F p n

có p phần tử, trong đó m là m

có duy nhất trường con

CHƯƠNG II ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY

I ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC

Định lý 1.1: ( Định lý cơ bản của đại số sơ cấp ) Trường số phức C là trường

nghiệm có thể phân biệt hay trùng nhau

thức

Từ định lý, ta suy ra được : các đa thức bất khả quy của vành C[x] là các đa thứcbậc nhất

Ví dụ 1.1: x2 + 1 = (x + i)(x - i)

II ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY TRÊN TRƯỜNG SỐ THỰC

Định lý 2.1: Nếu f(x) ∈R x[ ], số phức αlà nghiệm của nó thì α cũng là nghiệm.

Định lý 2.2: Nếu f(x) là đa thức hệ số thực và số phức αlà nghiệm của nó thì các

Chứng minh: Cho deg ( ) f x =n Nếu n = 2, khẳng định của bài toán là đúng, vì

,

những đa thức hệ số thực có bậc nhỏ hơn số tự nhiên n Ta chứng minh nó cũng đúng

có hệ số thực Khi đó cả đa thức g(x) có hệ số thực và theo giả

phải nghiệm của f(x), ta có thể cho rằng những bội của nó bằng không) Từ đây suy ra

Hệ quả 2.3: Đa thức bất khả quy của R[x] là các đa thức bậc nhất và những đa

Chứng minh: Các đa thức bậc nhất và các đa thức bậc hai với biệt số âm rõ ràng

là những đa thức bất khả quy của R[x] Giả sử p(x) là một đa thức bất khả quy củaR[x] với bậc lớn hơn 1, ta có p(x) không có nghiệm thực Theo Định lý 2.5.1, p(x) có

một nghiệm phức z và do đó p(x) cũng nhận liên hợp z của z làm nghiệm vì các hệ số

của p(x) là thực, cho nên chia hết cho đa thức bậc hai với hệ số thực

Chú ý: Nếu f(x) bất khả quy trên trường R và có bậc ≥2 thì f(x) không có

nghiệm trong R Điều đảo lại là không đúng

Ví dụ 2.1: f x( )= x4+ +x2 1 rõ ràng là không có nghiệm thực nhưng

f x g x chỉ khác nhau một nhân tử bậc 0 nên việc tìm nghiệm của f(x) ∈Q x[ ]

là nghiệm của

[ ]

1 1

f x =a x +a x− − + + ∈a Z x thì u a v a | , |0 n.

Chú ý : Trong vành Q x [ ], để xét xem đa thức có bất khả quy hay không phức

khi chúng không có nghiệm hữu tỷ Nhưng đối với đa thức bậc lớn hơn 3 thì phức tạphơn nhiều

chỉ cần xét các đa thức với hệ số nguyên

Tiêu chuẩn Aidenstaino:

Nếu tất cả các giả thiết được thõa mãn thì f(x) cũng bất khả quy trên Q

Ví dụ 3.2: Đa thức f x ( ) = x4 + 2 x + 2 bất khả quy trên Q ( với p = 2 )

Ví dụ 3.3: Chứng minh đa thức sau là bất khả quy: x4−2x+3

Qua ví dụ trên ta thấy rằng bằng cách thay đổi biến ta có thể chứng minh tínhbất khả quy của một đa thức không Aidenstaino để nó thành Aidenstaino Điều nàyphát huy tác dụng của tiêu chuẩn Aidenstaino

Như vậy, có một câu hỏi đặt ra là nếu cho một đa thức là bất khả quy, để chứngminh nó là bất khả quy thì có thể băng cách thay đổi biến mà biến đổi nó thành đa thứcAidenstaino không ? Câu trả lời là không bao giờ cũng có cách biến đổi như vậy

Ví dụ 3.4: Cho đa thức f x ( ) 2 = x2 + 1 đa thức này không phân tích được trên

tập số Q nên nó không có nghiệm trên Q

Ta đổi biến x để đưa nó về đa thức Aidenstaino:

a M p hoặc 4 M p Trường hợp thứ nhất ta nhận được hệ số cao nhất của đa thứcQ(y) chia hết cho p Điều này trái với đa thức Aidenstaino Trường hợp thứ hai 4 chia

Điều này , cho ta thấy được, tồn tại đa thức không phân tích được, mà nó không

có một cách biến đổi tuyến tính của ẩn nào có thể chuyển nó thành đa thứcAidenstaino

Ví dụ 3.5 Giả sử f x( )=(x a− 1) (x a− 2) (x a− n) −1,a i∈Z phân biệt.

Chứng minh : f(x) là bất khả quy trong Q[x]

Chứng minh:

Giả sử f(x) khả quy, tức là tồn tại h(x), g(x), deg h(x) < n, deg g(x) < n , sao cho :

Ta có: f a( )i = g( ) ( )a i h a i = −1(1)

Đặt: q(x) = g(x) + h(x) , deg q(x) = max{ deg g(x) , deg h(x) } < n

Giả sử đa thức P(x) phân tích được Cho P(x) = G(x).H(x) với G(x) và H(x)

trong vế phải có thể có những dấu khác nhau, nhưng điều đó không quan trọng, màquan trọng là với mọi i

( 1 i n ≤ ≤ ) đẳng thức sau đều đúng: G(ai) - H(ai) = 0 Bằng cách như vậy ta tìm

này nhỏ hơn n, suy ra nó phải đồng nhất bằng không, nghĩa là

G(x) – H(x) = 0 hay là G(x) = H(x).

Ta thay đẳng thức vừa nhận được vào P(x) = G(x).H(x) ta nhận được

một đa thức khác G(x), từ đây suy ra bậc của đa thức đã cho n là số chẵn, còn hệ sốcao nhất của nó p là một số phương Nghĩa là, P(x) không phân tích đượckhi ta chỉ ra n

là một số lẻ hoặc là tuy n là một số chẵn, nhưng p không phải là số chính phương,trong trường hợp riêng p là một số âm

nó Không mất tính tổng quát ta cho rằng q > 0 ( trường hợp ngược lại ta có thể thaydấu tất cả các hệ số của đa thức G(x) )

minh rằng mỗi đẳng thức này thõa mãn với đúng m giá trị của i Thật vậy, nếu

nhận được G(x) trùng với hằng số 1, điều này vô lí Suy ra số lượng k của chỉ số I sao

Từ đây ta lại suy ra G(x) trùng với hằng số -1, điều này lại dẫn đến vô lí

( m ) ( m ) ( )n 1

trí và kí hiệu lại cho thích hợp )

Ta xét đa thức G(x) – 1 Đa thức này có bậc m, hệ số bậc cao nhất q và đa biết

Chú ý ở đây ta chỉ làm việc với các số nguyên, từ đẳng thức sau cùng ta nhận

hợp q = 1 và q = 2, và tương ứng p = 1 và p = 4

Trường hợp p = 4 ( nghĩa là q = 2 ): Trong trường hợp này phương trình (1) có

Vì tất cả các thừa số ở vế trái là những số nguyên, nên mọi số hạng bằng +1 hoặc

với giả thiết đã cho chúng phải khác nhau Nếu m = 2 ta chỉ có hai thừa số và vì tíchcủa chúng là dương, nên chúng cùng dấu, suy ra nó trùng nhau và điều đó lại dẫn đến

vô lí

Như vây, trong trường hợp p = 4 chỉ còn khả năng duy nhất m = 1 Đẳng thức(2) có dạng :

Sau đây ta chỉ xét trường hợp thứ 2 :

này đã được loại trừ trong trường hợp 2 của đề bài

2 Chỉ còn m = 1: bây giờ (3) có dạng

IV ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN

1 Nghiệm của đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn

Bổ đề 4.1.1 Cho ( )f x ∈F x q[ ] là đa thức bất khả quy bậc m trên F và n là một q