Khóa luận tốt nghiệp toán Khai thác từ một số bất đẳng thức cổ điển

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHÒATOÁN’ NGUYỄN THỊ BÍCH NGỌC KHAI THÁC TỪ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • Chuyên ngành: Đại số Ngưòi hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THỊ KIỀU NGA HÀ NỘI – 2014 ■ Đề tài khóa luận tốt nghiệp: “ K H A I T H Á C T Ừ M Ộ T S Ố B Ấ T Đ Ẳ N G T H Ứ C C Ổ Đ I Ể N ” được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ tận tình của các thày cô và bạn bè. Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tói cô giáo hướng dẫn - TS. Nguyễn Thị Kiều Nga đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong tổ Đại số trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Bích Ngọc Khóa luận được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự hướng dẫn tận tình của TS. Nguyễn Thị Kiều Nga. Khóa luận là kết quả nghiên cứu của em, không trùng vói bất kì đề tài nào khác. Tất cả các kết quả trình bày trong khóa luận là hoàn toàn trung thực. Em xin chịu trách nhiệm về kết quả nghiên cứu của mình. Hà Nội, ngày, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Bích Ngọc LỜI CẢM ƠN MUC LUC • • • ■ • MỘT SỐ KÍ HIỆU sử DỤNG TRONG KHÓA LUẬN • • • • • ữịữj = ữịŨ 2 "I" ữịữ^ + + ữịữ n + й 2 ^з "I" ^2^4 •" ••• a n • 1 <i<j<n • ^/(o 1 ,a 2 , ,ữ n ): tổng hoán vị theo N biến số a b a 2 , , a n • cyc • ^F ( A , B , C ) = / (аД c) + / ( B , C , A ) + / (c,a,fc) • ợyc • Ví dụ: Y ^ A 2 B = q 2 fc + fc 2 c + c 2 fl • cyc • GTLN: Giá trị lớn nhất GTNN: Giá trị nhỏ nhất • MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài • Nói chung, cuộc sống của mỗi con người luôn có sự tìm kiếm và khẳng định giá ttị bản thân. Mỗi vật có chỗ đứng ttong thế giới luôn thay đổi này là nhờ giá trị của nó nhưng người ta thường không nhận ra rằng mọi vật chỉ có thể nhận giá tri trong quan hệ so sánh. Chính quan hệ đó đã tạo ra các bất đẳng thức của cuộc sống. • Thực tế dù câu nói “mọi so sánh đều khập khiễng” có đứng đắn đến mức nào thì con người vẫn không ngừng đánh giá - so sánh. • Các bài toán so sánh đặtravề sau ngày càng khó hơn với sự mở rộng của các phép toán. Tất cả các nhà toán học đều có chung một quan điểm là “Các K Ế T Q U Ả C Ơ B Ả N C Ủ A T O Á N H Ọ C T H Ư Ờ N G Đ Ư Ợ C B I Ể U T H Ị B Ằ N G N H Ữ N G B Ấ T Đ Ẳ N G T H Ứ C C H Ứ K H Ô N G P H Ả I B Ằ N G N H Ữ N G Đ Ẳ N G T H Ứ C ” . Điều đó cũng giống như trong cuộc sống người ta luôn gặp sự khác nhau giữa các sự vật hiện tượng và ngay trong bản thân mỗi sự vật hiện tượng cũng biến đổi theo từng giây phút. Mặt khác, trong đời sống xã hội chúng ta luôn sử dụng tư duy bất đẳng thức để đánh giá hoạt động của doanh nghiệp, hoạt động xuất nhập khẩu, thị trường chứng khoán, tài chính, ngân hàng Vì thế để phát triển tư duy và đánh giá tốt các sự biến đổi trong cuộc sống thì càn phải có tư duy tốt về bất đẳng thức toán học. • Nói riêng, ữong chương trình toán phổ thông các bài toán về bất đẳng thức thường là những bài toán đem lại cho học sinh nhiều thú yị song chúng cũng là những bài toán khó. Chúng thường có mặt trong các đề thi học sinh giỏi và các kỳ thi cao đẳng, đại học. Để giải quyết chúng đòi hỏi phải có sự sáng tạo, kiên trì, linh hoạt của người yêu thích toán. 4 • Tất nhiên có rất nhiều phương pháp để giải các bài toán này và việc lựa chọn một phương pháp tối ưu cho lời giải hay và ngắn gọn, đẹp mắt là việc rất quan trọng. Một trong các phương pháp đó là chúng ta sử dụng các bất đẳng thức kinh điển, nhờ nó mà hầu hết các bài toán đều được giải quyết một cách nhanh chóng. • Được sự động viên, chỉ bảo tận tình của cô Nguyễn Thị Kiều Nga cùng với sự say mê của bản thân, em mạnh dạn nghiên cứu và thực hiện khóa luận với đề tài “ K H A I T H Á C T Ừ M Ộ T S Ố B Ấ T Đ Ẳ N G T H Ứ C C Ổ Đ I Ể N ” . 2. Muc đích và nhiêm vu nghiên cứu • • • o • Khai thác các ứng dụng của một số bất đẳng thức cổ điển. 3. Đối tượng nghiên cứu • Một số bài tập về bất đẳng thức. 4. Phương pháp nghiên cứu • Đọc tài liệu, so sánh, phân tích và tổng hợp. 5 1.1Quan hệ thứ tự trên R và bất đẳng thức • Trên tập số thực M xác định quan hệ “<” được định nghĩa như sau: Với mọi A , B thuộc R, ta có • A < B nếu& - A là số dương. Ta kí hiệu A < B nếu A < B hoặc A - B A < B còn được viết là B > A A < B còn được viết là B > A • Ta có tổng và tích của các số thực dương là một số thực dương. • Cho hai biểu thức A và B . Nếu xảy ra các quan hệ A < B , A < B , B > A , B > A thì ta gọi đó là một bất đẳng thức. A gọi là vế trái, B gọi là vế phải của bất đẳng thức đó. 1.2. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức Với các biểu thức A và B theo định nghĩa ta có A < B khi và chỉ khi B - A >0 A < B khi và chỉ khi B - A >0 Cho A , B , C , D là các biểu thức. Khi đó ta có các tính chất sau đây: A<B và B<c thì A<c A < B V À C<Dthì A + C < B + D A < B khi và chỉ khi A + C < B + C A < B khi và chỉ khi M A < M B [ M > o) • A < B khi và chỉ khi M A > M B (m < o) • A < B khi và chỉ khi - A > - B • A<B và C>D thì A-C<B-D • A<B và C<D, A, B, c, D >0 thì AC<BD • A<B, A, B>0 , rc e N thìA"<5" • ,11 А < В , A , В cùng dấu thì — > -r • A В • A<B, A,fi>0,neN th\4Ã<4B 1.3. Hàm sổ lồi, hàm số lõm 1.3.1. Định nghĩa tập lồi • Tập Ả C L X được gọi là tập lồi nếu: CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6 • У Х 1 , Х 2 e A;V/le [0,1] = > À X ^ + (1 - X ) ^ A V Í D Ụ : các nửa khoảng, tam giác, đường tròn đơn vị trong mặt phẳng là các tập lồi. 1.3.2. Định nghĩa hàm số lồi, hàm số lõm • Hàm số / (jt)được gọi là lồi trên [a,z?]nếu vói mọi X V X 2 e [ A , B ] với • mọi A , S S > 0 thỏa mãn A + S S = 1 T A C 0 F [ A X L + S S X 2 ) < A F [ X L ) + S S F [ X 2 ) Hàm F ( X ) được gọi là hàm lõm trên [ A , B ] nếu - F ( X ) là hàm lồi trên [А , B ] . 1.3.3. Tính chất cơ bản của hàm lồi • Tính chất 1. Cho D là tập lồi trong K Giả sử F 2 ( X ) , . . . , F N ( X )là các hàm lồi xác định trên D . Cho Ả Ị > 0, với mọi I = L , 2 , . . . , N . Khi đó hàm số /îj/j (jc) + Лз/з (jc) + + Ằ N F N (jc) cũng lồi trên D . • Tính chất 2. (Điều kiện để một hàm số là hàm lồi) • Cho D là tập lồi trên R 2 . Hàm / : D M. là hàm lồi trên D khi và • chỉ khi (-^,y 1 ), (x 2 ,y 2 )thuộcDthì • Y / { X ) = F Ọ I X Y +(1 - Ả ) X 2 \ Л У 1 + (1 - Ằ ) Y 2 ) làhàmlồittên [0;l] • Tính chất 3. Cho D <z]R là tập hợp lồi, hàm số/: D — > R là hàm lồi • trên D . Khi đó vói mọi số thực a thuộc № thì các tập • К={{ х ’У) &г>: /{ х ’У) <а } • N ữ ={{x,y)eD:f(x,y)<a} • là các tập lồi trong M. • C H Ú Ý : Các tập № A , N A gọi là các tập hợp mức của hàm lồi F ( X , Y ) . Ta quan niệm tập Ф là tập lồi. • Tính chất 4. Giả sử / : D —» K D là tập lồi trong Ш • Đặt E P I F = |(jc, j) G M ; Y , X G d| E P I Ý Â Ư Ợ с gọi là tập lồi trên CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7 • đồ thị. Hàm / là lồi trên D khi và chỉ khi E P I Ý Ì Ầ L tập lồi trong M Tính chất 5. Cho/(jt)là hàm xác định trên [ A , B ] và có đạo hàm cấp 2 tại jee[ữ,z?]. Nếu/"(jc)>0, Vjce[a,&]thì /(jc)là hàm lồi ưên [ A , B ] . Nếu F ( X ) <0, Vjce[a,b]ứù /(jc)là hàm lõm trên [ A , B ] . 1.3.4.Hàm afin • Cho hàm số/ : D —»R. Hàm/là hàm afin khi và chỉ khi/(x)vừa là hàm lồi, vừa là hàm lõm. • C H Ú Ý : Hàm / (jt) có dạng / (x) = A X + B trong đó A , B là những số thực được gọi là afin. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8 • KHAI THÁC TỪ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CỎ ĐIỂN • ■ • 2.1. Bất đẳng thức Cauchy(AM - GM) 2.1.1. Định nghĩa • Với mọi số thực không âm A L , A 2 , . . . , A n ta có • • • Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A L = A 2 = . . . = A . 2.1.2. Chứng minh • Trước hết ta chứng minh rằng: với Va >0, ne N ta có • a n+1 - ịn + ìja + n> 0 • Thật vậy, • a n+ì -{n +1 )ữ + «>0 = a n+l -na-a + n • = ịa n+1 -a)-n(a-l) • = aịa n -ÝỊ-nịa-Ý) — Ữ Ị ^ Ũ — 1 + 2 + + lỊ — N Ị Ữ — l) • = (a-l)|^ữ" + a n ~ l + + a)-nJ • = (a-l)^a" -lỊ + ^a"” 1 -l)+ + («- l)J CHƯƠNG 9 • ( • = ( Ữ - 1) 2 1 + 2a n ” 2 + 3 A N ~ 3 + + Ị N - l)a + n) ~ Ị > 0 • Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy bằng quy nạp theo N . Với N -1 :bất đẳng thức hiển nhiên đúng. • Giả sử bất đẳng thức đúng với N số thực không âm, tức là CHƯƠNG 1 ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với N +1 số thực không âm [...]... mặt toán học có thể hiểu là dạng cộng mẫu số bởi vì: vế trái — là tổng của N phân số nhờ chuyển hóa qua dấu bất đẳng thức mà ta nhận được một phân số có mẫu số là tổng của N mẫu số ở vế trái, về mặt lịch sử bất đẳng thức này có tên gọi là E N G E L 2.2.3 Khai thác từ bất đẳng thức Bunhiacopski 2.2.3.1 Bài toán cực trị của hàm số Phương pháp: — Cho A = F (jt) có miền xác định là D , để sử dụng bất đẳng. .. dựng bất đẳng thức và áp dụng Cơ sở lý luận: Từ bất đẳng thức Cauchy ta xây dựng các bất — đẳng thức trung gian dạng phân thức Sử dụng các bất đẳng thức trung gian đó chúng ta chứng minh được một số bất đẳng thức khó — Ví dụ l.Vói A , B , C là các số thực dương Chứng minh rằng: — a3 c3 a — + ^r - + ^7 -> - — — a 2 +b 2 b +c a +c Giải: Ta có — a 2 +b 2 — — — Vậy bất. .. I suy ra -— — Hiển nhiên dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi • • CL + ữry + + ữ , i 2 = — = a n + l = — 0 Chứng minh rằng: • a5 +... - dị 51 i=i A Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho N -1 số dương ta có 53 54 !_ 1 = s-q > (n-ĩy^a l a 2 a i _ 1 a i+v a n , a a n (=1 Ví dụ 7 Với D Ị (i = 1 , 2 l à các số thực dương Chứng minh rằng: 58 «1 „2 59 i=l 60 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi«! = A 2 = = A 61 Giải: 62 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho N số thực dương ta có 67 , i i i Nhân vế với vế của N bất đẳng thức trên ta được a 55... dụng bất đẳng thức2 л/я я +ơ ữ +ơ dương ta có ö +0 Cauchy cho 2 số 2V« Tương tự ta có — — fc3+c3 2л/& — с4 — с — 3 ay/a ^ + —^>c 2 л/с + А3 Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng — thức cần chứng minh — Ví dụ 11 Với A , B , C >0 Chứng minh rằng: a7 — b5 с5 (b 2 1 с2 а 2Л >a+b+c — — С Tương tư ta со _ , 7 2 ^ a — -J > с - — с +a 2с b 4 +c 4 — 2b Cộng vế với vế của các bất đẳng thức. .. rằng: — a3 c3 a — + ^r - + ^7 -> - — — a 2 +b 2 b +c a +c Giải: Ta có — a 2 +b 2 — — — Vậy bất đẳng thức được chứng minh — — Đây là một bất đẳng thức khó với cách giải hay Sử dụng bất đẳng thức này chúng ta chứng minh các bất đẳng thức hệ quả sau Ví — dụ 2.YỞIA,B,C >0, A,P,Ỵ> 0 Chứng minh rằng: Giả — a — a+b 2 > — \-r- , Giải: Ữ Ta c 2 +(l -ỵ)a 2 c 2 +a 2 > ab... fc2) a ba 2 +b 2 a 2 b Suy ra — — Tương tự ta có — — — — Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh Bài 2 Với a,b,c >0 Chứng minh rằng: — — — — c(c + a)2 c 4 a — Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được điều cần Cộng B , C >0 Chứng minh thức chứng minh Bài 4 Với A ,vế với vế của các bất đẳngrằng: trên ta được điều cần chứng minh — Bài 3 Với a,b,c >0 Chứng minh rằng:... C ) > Onên từ (1) ta suy ra — ^ = { a Pi 'p2+ — + a + a nK) ~{ a ỉ + a 2 + — + a^)(b\ +bị + + b^< 0 hay ịaị +aị + + al^ịỉị + bị + + — [api +a 2 b 2 + + a n b n) — Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A' = 0 — Hay phương trình F ( X ) = 0 có nghiệm khi và chỉ khi — _ ữn \KK — — Vậy bất đẳng thức được chứng minh — Sau đây là một dạng phát biểu khác của bất đẳng thức Bunhiacopski Dạng cộng mẫu số: CL 2 al... với vế của các bất đẳng thức trên ta được 16(l + a 3 )3 (l+ b 3 )3 (l + c3 )3 > (l + ab 2 )3 (l + bc 2 )3 (l+ ca 2 )3 hay ca 2 ^ 17 18 ịl + a 3 ^ịl + b 3 ^ịl + c 3 ^>ịl + ab 2 ^ịl + bc 2 ^ịl + Vậy bất đẳng thức được chứng minh Ví dụ 5.VỚĨ A >0, { Ỉ = l,2, ,n) thỏa mãn điều kiện =1 Chứng 19 ;=1 20 minh rằng: ——— > —-— tr2-«, 2n-l 21 22 Giải: 23 Áp dụng bất đẳng ứiức Cauchy 2 lần cho N số thực dương... >£-Z?J+2c3 3+ a 3 ) 3fl c (c 7.3 , o_3 — — — — -— — c+2A3 >C 3 Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta được bất đẳng thức cần chứng minh — N H Ậ N X É T ' Với A > 0 ta có — -{a 3 +2b 3 )>aab 2 aịa3 +è3) а(аъ — 3 ^a(a +è ) 3 3 ữ +2b +aab — +è3) 3 3 2_ ữ +2b 3 3 + «^ữ3+2è3^_3 + a a3+2fc3 — Vу — — — — — Do dó ta có bài toán sau: Ví dụ 13 Với a,b,c > OChứng minh rằng: (a3+b3) ф3+с3) а OÍ.3 _2 . TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHÒATOÁN’ NGUYỄN THỊ BÍCH NGỌC KHAI THÁC TỪ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • Chuyên ngành: Đại số Ngưòi hướng dẫn khoa học: TS Muc đích và nhiêm vu nghiên cứu • • • o • Khai thác các ứng dụng của một số bất đẳng thức cổ điển. 3. Đối tượng nghiên cứu • Một số bài tập về bất đẳng thức. 4. Phương pháp nghiên cứu • Đọc tài. được gọi là afin. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8 • KHAI THÁC TỪ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CỎ ĐIỂN • ■ • 2.1. Bất đẳng thức Cauchy(AM - GM) 2.1.1. Định nghĩa • Với mọi số thực không âm A L , A