Khai thác từ một số bất đẳng thức cổ điển (KL06248)

LỜI CẢM ƠN Đề tài khóa luận tốt nghiệp: “Khai thác từ một số bất đẳng thức cổ điển” được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô và bạn bè.. Tất cả

NGUYỄN THỊ BÍCH NGỌC

KHAI THÁC TỪ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN THỊ KIỀU NGA

HÀ NỘI - 2014

LỜI CẢM ƠN

Đề tài khóa luận tốt nghiệp: “Khai thác từ một số bất đẳng thức cổ điển” được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ tận tình của

các thầy cô và bạn bè

Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới cô giáo

hướng dẫn – TS Nguyễn Thị Kiều Nga đã tận tình giúp đỡ em trong quá

trình hoàn thành khóa luận

Đồng thời em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong

tổ Đại số trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày, tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Bích Ngọc

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự hướng dẫn

tận tình của TS Nguyễn Thị Kiều Nga

Khóa luận là kết quả nghiên cứu của em, không trùng với bất kì đề tài nào khác Tất cả các kết quả trình bày trong khóa luận là hoàn toàn trung thực

Em xin chịu trách nhiệm về kết quả nghiên cứu của mình

Hà Nội, ngày, tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Bích Ngọc

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Quan hệ thứ tự trên và bất đẳng thức 3

1.2 Tính chất cơ bản của bất đẳng thức 3

1.3 Hàm số lồi, hàm số lõm 4

1.3.1 Định nghĩa tập lồi 4

1.3.2 Định nghĩa hàm số lồi, hàm số lõm 4

1.3.3 Tính chất cơ bản của hàm lồi 4

1.3.4 Hàm afin 5

CHƯƠNG 2 KHAI THÁC TỪ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN 6

2.1 Bất đẳng thức Cauchy(AM – GM) 6

2.1.1 Định nghĩa 6

2.1.2 Chứng minh 6

2.1.3 Khai thác từ bất đẳng thức Cauchy 7

2.2 Bất đẳng thức Bunhiacopski 25

2.2.1 Định nghĩa 25

2.2.2 Chứng minh 26

2.2.3 Khai thác từ bất đẳng thức Bunhiacopski 27

2.3 Bất đẳng thức Jensen 35

2.3.1.Định nghĩa 35

2.3.2 Chứng minh 36

2.3.3 Khai thác từ bất đẳng thức Jensen 37

2.4.1 Định nghĩa 54

2.4.2 Chứng minh 55

2.4.3 Khai thác từ bất đẳng thức Chebyshev 56

KẾT LUẬN 68

TÀI LIỆU THAM KHẢO 69

MỘT SỐ KÍ HIỆU SỬ DỤNG TRONG KHÓA LUẬN

GTNN: Giá trị nhỏ nhất

đã tạo ra các bất đẳng thức của cuộc sống

Thực tế dù câu nói “mọi so sánh đều khập khiễng” có đúng đắn đến mức nào thì con người vẫn không ngừng đánh giá – so sánh

Các bài toán so sánh đặtravề sau ngày càng khó hơn với sự mở rộng của các phép toán Tất cả các nhà toán học đều có chung một quan điểm

là “Các kết quả cơ bản của toán học thường được biểu thị bằng những

bất đẳng thức chứ không phải bằng những đẳng thức” Điều đó cũng

giống như trong cuộc sống người ta luôn gặp sự khác nhau giữa các sự vật hiện tượng và ngay trong bản thân mỗi sự vật hiện tượng cũng biến đổi theo từng giây phút Mặt khác, trong đời sống xã hội chúng ta luôn

sử dụng tư duy bất đẳng thức để đánh giá hoạt động của doanh nghiệp, hoạt động xuất nhập khẩu, thị trường chứng khoán, tài chính, ngân hàng Vì thế để phát triển tư duy và đánh giá tốt các sự biến đổi trong cuộc sống thì cần phải có tư duy tốt về bất đẳng thức toán học

Nói riêng, trong chương trình toán phổ thông các bài toán về bất đẳng thức thường là những bài toán đem lại cho học sinh nhiều thú vị song chúng cũng là những bài toán khó Chúng thường có mặt trong các

đề thi học sinh giỏi và các kỳ thi cao đẳng, đại học Để giải quyết chúng đòi hỏi phải có sự sáng tạo, kiên trì, linh hoạt của người yêu thích toán

2

Tất nhiên có rất nhiều phương pháp để giải các bài toán này và việc lựa chọn một phương pháp tối ưu cho lời giải hay và ngắn gọn, đẹp mắt là việc rất quan trọng Một trong các phương pháp đó là chúng ta sử dụng các bất đẳng thức kinh điển, nhờ nó mà hầu hết các bài toán đều được giải quyết một cách nhanh chóng

Được sự động viên, chỉ bảo tận tình của cô Nguyễn Thị Kiều Nga cùng với sự say mê của bản thân, em mạnh dạn nghiên cứu và thực hiện

khóa luận với đề tài “Khai thác từ một số bất đẳng thức cổ điển”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Khai thác các ứng dụng của một số bất đẳng thức cổ điển

3 Đối tượng nghiên cứu

Một số bài tập về bất đẳng thức

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, so sánh, phân tích và tổng hợp

Ta có tổng và tích của các số thực dương là một số thực dương

Cho hai biểu thức A và B Nếu xảy ra các quan hệ

A B A B B  A BA thì ta gọi đó là một bất đẳng thức A gọi là vế trái, B gọi là vế phải của bất đẳng thức đó

1.3.3 Tính chất cơ bản của hàm lồi

Tính chất 1 Cho D là tập lồi trong Giả sử f x1   , f2 x , , f n x là

các hàm lồi xác định trên D Cho i 0, với mọi i1,2, ,n Khi đó hàm số1 1f x 2f2 x   n f n x cũng lồi trên D

Tính chất 2 (Điều kiện để một hàm số là hàm lồi)

Cho D là tập lồi trên 2 Hàm f : D là hàm lồi trên D khi và

chỉ khi x y1, 1 , x y thuộc2, 2 D thì

 x (f x1 (1 ) ; x2 y1 (1 )y2)

          là hàm lồi trên  0; 1

Tính chất 3 Cho D 2là tập hợp lồi, hàm số f : D là hàm lồi

trên D Khi đó với mọi số thực α thuộc thì các tập

Tính chất 4 Giả sử f D:  D là tập lồi trong

Đặt epif   x y,  : f x  y x, D epif được gọi là tập lồi trên

đồ thị Hàm f là lồi trên D khi và chỉ khi epif là tập lồi trong 2

Tính chất 5 Cho f x là hàm xác định trên [a, b] và có đạo hàm cấp 2  

tại x a b, Nếu f x 0, x  a b, thì f x là hàm lồi trên    a b, Nếu f x 0, x  a b, thì f x là hàm lõm trên    a b ,

6

CHƯƠNG 2 KHAI THÁC TỪ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN

Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy bằng quy nạp theo n

Với n1:bất đẳng thức hiển nhiên đúng

Giả sử bất đẳng thức đúng với n số thực không âm, tức là

ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với n1 số thực không âm

hay bất đẳng thức đúng với n1 số thực dương

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Hiển nhiên dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

8

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được

a b  c a b b c c a

Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 5.Với a i 0, i1,2, ,n thỏa mãn điều kiện

1

1

n i i

11

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 6 Với a i 0i1,2, ,n thỏa mãn điều kiện

1

1

n i i

n

i i n i

n a

n a

Bài tập tương tự Bài 1.Với , , ,a b c d 0 thỏa mãn a   b c d 1. Chứng minh rằng:

1 5 d

1 b ac

2 5

1 5 abd

1 c

2 5

n P

Ví dụ 1.Với , ,a b c là các số thực dương Chứng minh rằng:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đây là một bất đẳng thức khó với cách giải hay Sử dụng bất đẳng thức này chúng ta chứng minh các bất đẳng thức hệ quả sau

Vậy ta có điều phải chứng minh

Chọn   1,  2 ta có bài toán sau:

Vậy ta có điều cần chứng minh

Sử dụng kết quả của ví dụ 13 và chọn  1 ta có bất đẳng thức sau:

Vậy ta có điều cần chứng minh

Sử dụng kết quả của ví dụ 18 với  1 ta được bất đẳng thức sau:

23

Bài tập tương tự Bài 1 Với , ,a b c0 Chứng minh rằng:

1 12

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh

Bài 2 Với , ,a b c0 Chứng minh rằng:

24

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh

Bài 3 Với , ,a b c0 Chứng minh rằng:

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh

Bài 4 Với , ,a b c0 Chứng minh rằng:

1 1 1 12

26

a a  a b b  b  a b a b  a b

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi   0

Hay phương trình f x 0 có nghiệm khi và chỉ khi

n n

b  b   b

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Sau đây là một dạng phát biểu khác của bất đẳng thức Bunhiacopski Dạng cộng mẫu số:

Về mặt toán học có thể hiểu là dạng cộng mẫu số bởi vì: Vế trái là

tổng của n phân số nhờ chuyển hóa qua dấu bất đẳng thức mà ta nhận được một phân số có mẫu số là tổng của n mẫu số ở vế trái Về mặt lịch

sử bất đẳng thức này có tên gọi là Engel

Bước 1: Chỉ ra chặn trên và chặn dưới f x , nghĩa là chứng minh  

hai bất đẳng thức (nếu có) m f x M, trong đó m, M là hai hằng số Bước 2: Chứng minh dấu bằng có thể xảy ra, nghĩa là chứng minh

   

 

29

Cho

820920

30

17

Bài 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

ysinx cosxcosx sin x

b cc a a b 

   với mọi , ,a b c0

32

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta mở rộng bất đẳng thức Nesbit như sau:

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ta mở rộng bất đẳng thức Nesbit với vế trái gồm 5 số hạng của tổng





 Khi đó ta có:

Với n2 thì (1) đúng theo định nghĩa của hàm lồi

Giả sử (1) đúng với n *ta phải chứng minh (1) đúng với n1

  với mọi a a1, 2, ,a n 0

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 a2   a n

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2 Cho x i 0với mọii1,2, ,n Chứng minh rằng:

1 1 11

1

n i

i i

n

t

t i

a a a a

a a a a

a a a a

x u

k

k k

Vậy ta có điều phải chứng minh

44

Bài tập tương tự Bài 1 Chứng minh rằng:

2 1 1

1 1

1

11

n n

i n

n

i

i i

x x n

x x

1

2 cot

4 2

n i

i i

a n

i i i i i i i

n

i i i i i i i

Ví dụ 2 Cho , ,A B C là 3 góc của một tam giác Chứng minh rằng:

2

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 3 Cho đa giác n cạnh n4 M là một điểm nằm trong đa giác

a n

n i

2

n i

48

hay

2 2

4 sin

n i

i i i

a n



 

Vậy ta có điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi đa giác đã cho đều

a b c ta có

3

22

Nhân vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c

51

Vậy giá trị nhỏ nhất của A 1 a1b1c là64

27khi

13

Suy ra hàm ( )f x ln sinx là hàm lõm trên (0; π)

Với mọi A B, 0; Áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có

ln sin ln sin 2ln sin 2ln cos

2

A

52

2sin sin cos

Vậy ta có bài toán:

Cho ABC đều Chứng minh rằng:

Hãy sáng tạo các bài toán sau:

Bài 1 TrongABCnhọn Tìm giá trị nhỏ nhất của

 với mọi x ( p là nửa chu vi)

Bài 4 Cho ABC với các cạnh có độ dài là , ,a b c và chu vi là 1 Chứng

2 Bất đẳng thức Chebyshev trên hai dãy đơn điệu ngược chiều

Cho hai dãy hữu hạn các số thực a a1, 2, ,a n và b b1, , ,2 b n Khi đó:

Ví dụ 1 Cho n số dương a a1, 2, ,a n sao cho a a1 .2 a n 1 Chứng minh

rằng với mọi số tự nhiên n ta có

Vậy ta có điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 a2   a n

Ví dụ 2 Cho dãy số dương x x1, 2, ,x n Chứng minh rằng:

1

1

n i i

6136

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a    b c d e 1

Ví dụ 8 Cho , ,a b c là các số thực sao cho 1 1 1, ,

Như vậy bất đẳng thức đã được chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c

2

( )

.2.3

65

Vậy ta có điều cần chứng minh

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Chứng minh rằng:

Ta có:tanAtanBtanCtan tan tanA B C

Suy ra (1) tương đương với

3(sinAsinBsin )C (cosAcosBcos )(tanC AtanBtan )C (2) Giả sử A  B C tanAtanBtanC và cosAcosBcosC

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy trên, ta có

3(tan cosA Atan cosB BtanCcos )C 

(cosA cosB cos )(tanC A tanB tanC)

Ví dụ 3 Cho tam giác ABC là tam giác nhọn Chứng minh rằng

66

Giải:

Giả sử

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều

Ví dụ 4 Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta luôn có

Giả sử a b cta có A  B C cosAcosBcosC

Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy số ngược chiều ta có: 3( cosa A b cosBccos )C (a b c)(cosAcosBcos )C

mà trong tam giác ABC ta luôn có bất đẳng thức cơ bản:

Bài 1 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

sin 2Asin 2Bsin 2CsinAsinBsin C

Bài 2.Cho ABC nhọn Chứng minh

68

KẾT LUẬN

Bất đẳng thức là phần kiến thức quan trọng trong Đại số, hay nhưng rất khó Bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi đại học, kỳ thi học sinh giỏi ở phổ thông, olimpic toán học Trong khóa luận của em đưa ra một số ứng dụng của các bất đẳng thức cổ điển như: Bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopski, bất đẳng thức Jenssen và bất đẳng thức Chebyshev

Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa hoc Mặc

dù rất cố gắng trong quá trình nghiên cứu nhưng những do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót

Vì vậy em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

69

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Phạm Kim Hùng, (2012), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Hà Nội

2 Trần Đức Huyên, (2012),Chuyên đề bất đẳng thức và bài toán min –

max, NXB Giáo Dục Việt Nam

3 Trần Phương, (2009), Những viên kim cương trong giải tích toán học,

NXB Tri thức

4 “Tạp chí toán học tuổi trẻ”