Khai thác từ một số bất đẳng thức cổ điển (KL06248)

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - NGUYỄN THỊ BÍCH NGỌC KHAI THÁC TỪ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ KIỀU NGA HÀ NỘI - 2014 LỜI CẢM ƠN Đề tài khóa luận tốt nghiệp: “Khai thác từ số bất đẳng thức cổ điển” hoàn thành với nỗ lực thân giúp đỡ tận tình thầy cô bạn bè Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn – TS Nguyễn Thị Kiều Nga tận tình giúp đỡ em trình hoàn thành khóa luận Đồng thời em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy cô tổ Đại số trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện cho em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Bích Ngọc LỜI CAM ĐOAN Khóa luận hoàn thành với nỗ lực thân hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận kết nghiên cứu em, không trùng với đề tài khác Tất kết trình bày khóa luận hoàn toàn trung thực Em xin chịu trách nhiệm kết nghiên cứu Hà Nội, ngày, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Bích Ngọc MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Quan hệ thứ tự bất đẳng thức 1.2 Tính chất bất đẳng thức 1.3 Hàm số lồi, hàm số lõm 1.3.1 Định nghĩa tập lồi 1.3.2 Định nghĩa hàm số lồi, hàm số lõm 1.3.3 Tính chất hàm lồi 1.3.4 Hàm afin CHƢƠNG KHAI THÁC TỪ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN 2.1 Bất đẳng thức Cauchy(AM – GM) 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Chứng minh 2.1.3 Khai thác từ bất đẳng thức Cauchy 2.2 Bất đẳng thức Bunhiacopski 25 2.2.1 Định nghĩa 25 2.2.2 Chứng minh 26 2.2.3 Khai thác từ bất đẳng thức Bunhiacopski 27 2.3 Bất đẳng thức Jensen 35 2.3.1.Định nghĩa 35 2.3.2 Chứng minh 36 2.3.3 Khai thác từ bất đẳng thức Jensen 37 2.4.1 Định nghĩa 54 2.4.2 Chứng minh 55 2.4.3 Khai thác từ bất đẳng thức Chebyshev 56 KẾT LUẬN 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 MỘT SỐ KÍ HIỆU SỬ DỤNG TRONG KHÓA LUẬN  1i  j n a j  a1a2  a1a3   a1an  a2a3  a2a4   a2an   an1an  f (a , a , , a ) : tổng hoán vị theo n biến số a1, a2, , an n cyc  f (a, b, c)  f  a, b, c   f b, c, a   f  c, a, b  cyc Ví dụ: a b  a b  b c  c a 2 cyc GTLN: Giá trị lớn GTNN: Giá trị nhỏ MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nói chung, sống người có tìm kiếm khẳng định giá trị thân Mỗi vật có chỗ đứng giới thay đổi nhờ giá trị người ta thường không nhận vật nhận giá trị quan hệ so sánh Chính quan hệ tạo bất đẳng thức sống Thực tế dù câu nói “mọi so sánh khập khiễng” có đắn đến mức người không ngừng đánh giá – so sánh Các toán so sánh đặtravề sau ngày khó với mở rộng phép toán Tất nhà toán học có chung quan điểm “Các kết toán học thường biểu thị bất đẳng thức đẳng thức” Điều giống sống người ta gặp khác vật tượng thân vật tượng biến đổi theo giây phút Mặt khác, đời sống xã hội sử dụng tư bất đẳng thức để đánh giá hoạt động doanh nghiệp, hoạt động xuất nhập khẩu, thị trường chứng khoán, tài chính, ngân hàng Vì để phát triển tư đánh giá tốt biến đổi sống cần phải có tư tốt bất đẳng thức toán học Nói riêng, chương trình toán phổ thông toán bất đẳng thức thường toán đem lại cho học sinh nhiều thú vị song chúng toán khó Chúng thường có mặt đề thi học sinh giỏi kỳ thi cao đẳng, đại học Để giải chúng đòi hỏi phải có sáng tạo, kiên trì, linh hoạt người yêu thích toán Tất nhiên có nhiều phương pháp để giải toán việc lựa chọn phương pháp tối ưu cho lời giải hay ngắn gọn, đẹp mắt việc quan trọng Một phương pháp sử dụng bất đẳng thức kinh điển, nhờ mà hầu hết toán giải cách nhanh chóng Được động viên, bảo tận tình cô Nguyễn Thị Kiều Nga với say mê thân, em mạnh dạn nghiên cứu thực khóa luận với đề tài “Khai thác từ số bất đẳng thức cổ điển” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Khai thác ứng dụng số bất đẳng thức cổ điển Đối tƣợng nghiên cứu Một số tập bất đẳng thức Phƣơng pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, so sánh, phân tích tổng hợp CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Quan hệ thứ tự bất đẳng thức Trên tập số thực Với a, b thuộc xác định quan hệ “ bccaab    a b c    b  c c  a a  b Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho dãy đơn điệu ngược chiều ta có a b c    bc ca ab  a b c        b  c    c  a    a  b  2 a  b  c  b  c c  a a  b    a  b c  3 b  c   c  a   a  b  2a  b  c  b  c ca ab  a  b  c  abc Ví dụ Cho số thực a, b, c  thỏa mãn abc  Chứng minh 1    a b  c  b c  a  c  a  b  (1) Giải: Đặt x  1 , y  , z  suy a b c  x, y , z    xyz  Khi bất đẳng thức (1) tương đương với x2 y2 z2    yz zx x y Không tổng quát ta giả sử x  y  z  suy 59 (2) x y z0   y z  x   yz zx x y 0  Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev bất đẳng thức Cauchy ta có  x x2 y2 z2 y z      x  y  z     yz zx x y  yz zx xy  x y z    y  z    z  x    x  y        yz zx x y   x y z  3  y  z   z  x   x  y   yz zx x y   3 xyz  x  y  z  2 Suy bất đẳng thức (2) Vậy (1) Dấu “=” xảy a  b  c  Ví dụ Cho a, b, c, d , e  thỏa mãn 1 1     1 4a 4b 4c 4d 4e Chứng minh rằng: a b c d    1 2 4a 4b 4c  d2 Giải: a b c d e     1 2 2 4a 4b 4c 4d  e2 Vì 1 1      nên bất đẳng thức tương 4a 4b 4c 4d 4e đương với 1 1 a b c d e          2 2  a  b  c  d  e  a  b  c  d  e2 60  1 a 1 b 1 c 1 d       a    a    b    b2    c    c    d    d   1 e 0  e  e    Không tổng quát giả sử a  b  c  d  e Suy 1 a 1 b 1 c 1 d 1 e     4a 4b 4c 4d 4e Và 1 1     2 2 4a 4b 4c 4d  e2 Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có 1 a  (4  a)(4  a cyc )  1 a 1       1   2  cyc  a cyc  a cyc  a cyc   a  Dấu “=” xảy a  b  c  d  e  Ví dụ Cho a, b, c số thực cho 1 , , độ dài ba cạnh a b c tam giác Chứng minh rằng: ab  ac  2bc ab  bc  2ca ca  cb  2ab   6 a  bc b  ac c  ab (1) Giải: ab  ac  2bc ab  bc  2ca ca  cb  2ab   6 a  bc b  ac c  ab  a(b  c  2a) b(a  c  2b) c(a  b  2c)   0 a  bc b  ac c  ab Giả sử a  b  c  b  c  2a  a  c  2b  b  c  2a Vì dài ba cạnh tam giác ta có ab  ac  bc  ab  bc  ac  bc  ca  ab  Dẫn đến 61 (2) 1 , , độ a b c a b (a  b)(bc  ca  ab)   0 a  bc b  ac (a  bc)(b  ac) a b  a  bc b  ac hay Tương tự ta có: a b c   a  bc b  ac c  ab Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có a(b  c  2a) b(a  c  2b) c(a  b  2c)   a  bc b  ac c  ab b c   a  (b  c  2a  c  a  2b  a  b  2c)    0  a  bc b  ac c  ab  Như bất đẳng thức chứng minh Dấu “=” xảy a  b  c Ví dụ Cho a, b, c  a  b  c  Chứng minh rằng: 1   1 c ab a bc b ca (1) Giải: 1 1 c(1  c)     c  a  b c  c  3 3(c  c  3) Suy 1 a(a  1) b(b  1) c(c  1)       0 c2  a  b a  b  c b2  c  a a  a  b2  b  c  c   a 1 a 1 a Giả sử a  b  c a   b   c  Từ a  b  c  suy ab, bc, ca  , ta có 62  b 1 b 1 b  c 1 c 1 c 0 a 1 a  b 1  b  c 1 c Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có    1     (a   b   c  1)    3 3 3  a 1 a 1 b 1 c 1 b 1 c 1  a b c a b c  a 1 b 1 c 1 Dấu “=” xảy a  b  c  1.Vậy ta có điều phải chứng minh Bài tập tƣơng tự Bài Cho a, b, c  n   Chứng minh rằng: an bn cn (a  b  c)n1    bc ca ab 2.3n2 Bài Cho a, b, c, d  a  b2  c2  d  Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d2     bcd cd a d a b a bc Bài Cho a, b, c, d  thỏa mãn ab  bc  cd  da  Chứng minh rằng: a3 b3 c3 d3 S     bcd acd abd abc Bài Cho số thực a, b, c  thỏa mãn điều kiện a  b2  c2  a2 b2 c2    Chứng minhrằng: bc ca ab Bài Chứng minh rằng: a  bc b  ca c  ab     a, b, c  bc ca ab Bài Cho a, b, c, d  thỏa mãn a  b  c  d  Chứng minh rằng: 63 1 1      abc  bcd  cda  dab Bài Cho a, b, c  Chứng minh rằng: ab bc ca 4(a  b  c)    c a b (a  b)(b  c)(c  a) 2.4.3.2 Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev chứng minh bất đẳng thức hình học lượng giác Ví dụ Cho ABC tam giác có ba góc nhọn a, b, c độ dài ba cạnh Chứng minh rằng: a)  (a  b  c)  3(aA  bB  cC ) a b c b) 3(a  b  c)       A B C Giải: a) Giả sử a  b  c  A  B  C Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy trên, ta có ( A  B  C )(a  b  c)  3(aA  bB  cC )   (a  b  c)  3(aA  bB  cC ) b) Giả sử: abc Đặt f ( x)   sin x với x  (0; ) x f ( x)  (1) x cos x  sin x cos x( x  tan x)  x2 x2 Do tan x  x với x  (0;  ) nên f ( x)  suy sin A sin B sin C   A B C Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy (1) (2) ta có: 64 (2)  sin A sin B sin C  3(sin A  sin B  sin C )  ( A  B  C )     B C   A  R sin A R sin B R sin C   3.2 R(sin A  sin B  sin C )  ( A  B  C )     B C   A a b c  3(a  b  c)  ( A  B  C )     A B C a b c hay 3(a  b  c)       A B C Vậy ta có điều cần chứng minh Ví dụ Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Chứng minh rằng: sin A  sin B  sin C tan A tan B tan C  cos A  cos B  cos C (1) Giải: Ta có: tan A  tan B  tan C  tan A tan B tan C Suy (1) tương đương với 3(sin A  sin B  sin C )  (cos A  cos B  cos C )(tan A  tan B  tan C ) (2) Giả sử A  B  C  tan A  tan B  tan C cos A  cos B  cos C Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy trên, ta có 3(tan A cos A  tan B cos B  tan C cos C )   (cos A  cos B  cos C )(tan A  tan B  tanC ) Suy 3 sin A  sin B  sin C    cos A  cos B  cos C  tan A  tan B  tan C  Suy (2) Vậy (1) Ví dụ Cho tam giác ABC tam giác nhọn Chứng minh tan A  tan B  tan C    tan A tan B tan C      3 A B C  65 Giải:  tan A  tan B  tan C  Giả sử A  B  C   tan A tan B tan C  A  B  C Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy số chiều ta có: tan B tan C   tan A  tan A tan B tan C  3 A B C      A  B  C   A B C  B C    A  tan A tan B tan C   3 tan A  tan B  tan C        B C   A  tan A  tan B  tan C   Hay   tan A  3 A  tan B tan C    B C  Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu “=” xảy tam giác ABC Ví dụ Chứng minh tam giác ABC ta có a cos A  b cos B  c cos C  abc Giải: Giả sử a  b  c ta có A  B  C  cos A  cos B  cos C Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy số ngược chiều ta có: 3(a cos A  b cos B  c cos C )  (a  b  c)(cos A  cos B  cos C ) mà tam giác ABC ta có bất đẳng thức bản: cos A  cos B  cos C  nên: a cos A  b cos B  c cos C   abc 2.3 Vậy bất đẳng thức chứng minh 66 abc   Dấu “=” xảy  cos A  cos B  cos C hay ABC  A BC  Bài tập tƣơng tự Bài Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: sin A  sin 2B  sin 2C  sin A  sin B  sin C Bài 2.Cho ABC nhọn Chứng minh cos A  cos B  cos C cot A  cot B  cot C  sin A  sin B  sin C Bài 3.Cho đa giác n cạnh có độ dài tương ứng a1 , a2 , an  chu vi p thỏa mãn 1    1 2  a1  a2  an Chứng minh rằng: 1 p     a1 a2 an n  Bài Cho a1 , a2 , , an cạnh đa giác lồi n cạnh, p chu vi Chứng minh rằng: a1 a2 an n     p  2a1 p  2a2 p  2an n  67 KẾT LUẬN Bất đẳng thức phần kiến thức quan trọng Đại số, hay khó Bất đẳng thức thường gặp kỳ thi đại học, kỳ thi học sinh giỏi phổ thông, olimpic toán học Trong khóa luận em đưa số ứng dụng bất đẳng thức cổ điển như: Bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopski, bất đẳng thức Jenssen bất đẳng thức Chebyshev Do lần làm quen với công tác nghiên cứu khoa hoc Mặc dù cố gắng trình nghiên cứu thời gian lực thân hạn chế nên không tránh khỏi thiếu sót Vì em kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Kim Hùng, (2012), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Hà Nội Trần Đức Huyên, (2012),Chuyên đề bất đẳng thức toán – max, NXB Giáo Dục Việt Nam Trần Phương, (2009), Những viên kim cương giải tích toán học, NXB Tri thức “Tạp chí toán học tuổi trẻ” 69 [...]... 1 hay bất đẳng thức đúng với n  1 số thực dương Vậy bất đẳng thức được chứng minh Hiển nhiên dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1  a2   an1  a1  a2   an1  a1  a2   an n 1 2.1.3 Khai thác từ bất đẳng thức Cauchy 2.1.3.1 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy trong chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 1.Với a, b, c  0 Chứng minh rằng: a5  b5  c5  a 2b3  b2c3  c2a3 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy... dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 1 n 1 1 n ai 1 n bi P      n i 1 1  ai  bi n i 1 1  ai  bi n i 1 1  ai  bi 13 1 n n P  1   1 n i 1 n hay Vậy ta có điều phải chứng minh 2.1.3.2 Xây dựng bất đẳng thức và áp dụng Cơ sở lý luận: Từ bất đẳng thức Cauchy ta xây dựng các bất đẳng thức trung gian dạng phân thức Sử dụng các bất đẳng thức trung gian đó chúng ta chứng minh được một số bất đẳng. .. b2 bn Vậy bất đẳng thức được chứng minh Sau đây là một dạng phát biểu khác của bất đẳng thức Bunhiacopski Dạng cộng mẫu số: a12 a22 an2  a1  a2   an      , x1, x2 , , xn  0 x1 x2 xn x1  x2   xn 2 Về mặt toán học có thể hiểu là dạng cộng mẫu số bởi vì: Vế trái là tổng của n phân số nhờ chuyển hóa qua dấu bất đẳng thức mà ta nhận được một phân số có mẫu số là tổng của n mẫu số ở vế trái... trái Về mặt lịch sử bất đẳng thức này có tên gọi là Engel 2.2.3 Khai thác từ bất đẳng thức Bunhiacopski 2.2.3.1 Bài toán cực trị của hàm số Phƣơng pháp: Cho A  f  x  có miền xác định là D, để sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong việc giải bài toán cực trị của hàm số ta thực hiện cácbước sau: Bước 1: Chỉ ra chặn trên và chặn dưới f  x  , nghĩa là chứng minh hai bất đẳng thức (nếu có) m  f...CHƢƠNG 2 KHAI THÁC TỪ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN 2.1 Bất đẳng thức Cauchy(AM – GM) 2.1.1 Định nghĩa Với mọi số thực không âm a1, a2 , , an ta có a1  a2   an n  a1.a2 an n () Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1  a2   an 2.1.2 Chứng minh Trước hết ta chứng minh rằng: với a  0, n  *ta có... 2   a  1  a n1  2a n2  3a n3    n  1 a  n    0 Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy bằng quy nạp theo n Với n  1: bất đẳng thức hiển nhiên đúng Giả sử bất đẳng thức đúng với n số thực không âm, tức là a1  a2   an n  a1.a2 an n ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với n  1 số thực không âm 6 (1) b Đặt a1  a2   an  an1 a  a   an ,c  1 2 n 1 n áp dụng (1)... Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho n  1 số dương ta có 1 S  ai  n  1 n1 a1a2 ai 1ai 1 an 1    i  1,2, , n  ai ai ai Nhân vế với vế của n bất đẳng thức trên ta được 1 n  a i 1  i  n  1   n  1  Ví dụ 7 Với ai  i  1,2, , n  là các số thực dương Chứng minh rằng: 1 n2   n i 1 ai  ai n i 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1  a2   an Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy... 2 b c 2 c3 a  c  c2  a2 2 Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được a3 b3 c3 abc  2 2 2 2 2 2 a b b c a c 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đây là một bất đẳng thức khó với cách giải hay Sử dụng bất đẳng thức này chúng ta chứng minh các bất đẳng thức hệ quả sau 14 Ví dụ 2.Với a, b, c  0 ,  ,  ,   0 Chứng minh rằng:  a 2  1    b 2   b 2  1    c 2   c 2  1... của các bất đẳng thức trên ta được a5  b5  c5  a 2b3  b2c3  c2a3 Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a  b  c Ví dụ 2 Với a, b, c  0 Chứng minh rằng: a3b3  b3c3  c3a3  abc  ab2  bc 2  ca 2  (2) Giải: Chia 2 vế của (2) cho a3b3c3  0 Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 1 1 1 1 1      a3 b3 c3 a 2b b 2c c 2a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy... vế của các bất đẳng thức trên ta được 1  a  1  b  1  c   1  ab  1  bc  1  ca  1  a 1  b 1  c   1  ab 1  bc 1  ca  3 3 3 3 3 hay 3 3 3 2 3 3 2 3 2 2 3 2 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh Ví dụ 5.Với ai  0 ,  i  1,2, , n  thỏa mãn điều kiện n minh rằng: ai 2a i 1  i n a i 1 i  1 Chứng n 2n  1 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 2 lần cho n số thực dương ... khóa luận với đề tài Khai thác từ số bất đẳng thức cổ điển Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Khai thác ứng dụng số bất đẳng thức cổ điển Đối tƣợng nghiên cứu Một số tập bất đẳng thức Phƣơng pháp nghiên... x2   xn 2.3.3 Khai thác từ bất đẳng thức Jensen 2.3.3.1 Dùng bất đẳng thức Jensen để chứng minh số bất đẳng thức kinh điển a) Bất đẳng thức AM – GM Chứng minh rằng: Với số thực không âm a1,... mẫu số vì: Vế trái tổng n phân số nhờ chuyển hóa qua dấu bất đẳng thức mà ta nhận phân số có mẫu số tổng n mẫu số vế trái Về mặt lịch sử bất đẳng thức có tên gọi Engel 2.2.3 Khai thác từ bất đẳng